Tijdens een tussenstop in Avignon begin augustus 2010 botsten we op een intrigerend kunstwerk van Miquel Barceló, dat ter gelegenheid van de speciale tentoonstelling Terra-Mare van het werk van deze kunstenaar was ontleend uit de Galerie Bruno Bischlofberger in Zürich en opgesteld stond op het plein voor het Palais des Papes. Ondanks het feit dat heel wat toeristen even tegen deze reusachtige olifant kwamen leunen, bleef hij onwrikbaar in evenwicht staan.
Het herinnerde me er aan dat als een lichaam een steunvlak heeft, het niet zal omvallen zolang de loodlijn uit het zwaartepunt dit vlak snijdt.
Bij een driehoek is het zwaartepunt het snijpunt van de drie zwaartelijnen. Op de onderstaande figuur is het zwaartepunt Z van driehoek ΔABC getekend. Men kan gemakkelijk aantonen (hoe doe je dat?) dat de drie driehoeken ΔZAB, ΔZBC en ΔZCA dezelfde oppervlakte hebben en meteen kan je ook aantonen dat er zes even grote driehoeken op deze figuur staan, nl. ΔZAP, ΔZPB, ΔZBM, ΔZMC, ΔZCN en ΔZNA.
Tip. Waarom is de afstand van Z tot de zijde [BC] van de driehoek gelijk aan één derde van de hoogte uit A?
Het zwaartepunt van een vlakke figuur is dus het punt waaronder je een speld kunt plaatsen waarop de figuur dan in evenwicht zou kunnen blijven staan.
Bij een cirkelschijf is het middelpunt uiteraard het zwaartepunt. Maar weet je ook waar het zwaartepunt van een halve cirkelschijf ligt?
Dit probleem kan je oplossen met behulp van bepaalde integralen.
In bijlage vind je een powerpointpresentatie waarin de algemene formules voor de berekening van de coördinaten (Zx, Zy) van het zwaartepunt Z van een vlakke figuur terug te vinden zijn.
Probeer hiermee eens aan te tonen dat het zwaartepunt Z van een halve cirkelschijf (neem als vergelijking van de cirkel y = √(r² - x ²)) als coördinaten Zx = 0 en Zy = (4r)/(3π) heeft.
Door gebruik te maken van de zogenaamde stelling van Pappus kan je dit resultaat vrij direct verifiëren.
Stelling van Pappus
Als een vlakke figuur F wentelt rond een as die in hetzelfde vlak ligt en de vlakke figuur F niet snijdt, dan is de inhoud van het ontstane omwentelingslichaam gelijk aan het product van de oppervlakte van F en de omtrek van de cirkel beschreven door het zwaartepunt Z van F.
Hoe vind je hiermee de bovenstaande formules terug voor het zwaartepunt van een halve cirkelschijf ?
In bijlage vind je nog een uitdagende werkopdracht over het zwaartepunt van vlakke en van 3D-figuren. Bron: http://schoolweb1.rago.be
Tijdensonze zomervakantie brachten we een bezoek aan de eilandjes voor de kust
van Marseille,
o.a. aan het eiland waarop het Château d' If gelegen is.
Gelukkig zorgde de mistral die dag voor wat afkoeling ...
Het Château d'If is een fort en voormalige gevangenis op het
eiland If, het kleinste eiland van de Frioul-archipel.
Het fort is vooral bekend als een van de locaties uit de roman De graaf van
Monte Cristo van Alexandre Dumas.
Tijdens het bezoek aan dit merkwaardig bouwwerk dacht ik terug aan een logisch vraagstukje uit mijn studententijd.
Een
kasteel heeft twee uitgangen en aan elke uitgang staat een bewaker.
Eén van hen liegt altijd en de andere zegt altijd de waarheid.
De éne uitgang leidt naar de dood en de andere naar de vrijheid. Jij staat in het kasteel en weet niet
welke deur naar de dood of naar de vrijheid leidt
en je weet ook niet welke bewaker liegt of de waarheid spreekt.
Je mag één vraag stellen aan één van beide bewakers die enkel met ja of met nee
mag beantwoord worden
en uit het antwoord dat hij je geeft, moet je kunnen opmaken welke deur naar de
vrijheid leidt.
Welke vraag zal je stellen?
Oplossing.
Kies een
willekeurige uitgang en stel aan de bewaker die bij deze uitgang staat de
volgende vraag:
"Als ik aan uw collega zou vragen of hij bij de deur naar de dood staat,
wat zou hij dan antwoorden?"
Er zijn vier mogelijkheden en uit onderstaande schema blijkt dat je als antwoord
'NEE' zult krijgen
als je de vraag hebt gesteld aan de bewaker die bij de deur naar de vrijheid
staat
(onafhankelijk van het feit of die bewaker altijd liegt of steeds de waarheid
spreekt).
Bewaker aan wie je de vraag stelt
Antwoord dat de andere bewaker zou geven
Antwoord dat de bewaker geeft aan wie je de vraag stelt
Leugenaar bij de deur naar de dood
NEE, want hij staat bij de deur naar de vrijheid en zegt altijd de waarheid
JA, want hij liegt altijd
Leugenaar bij de deur naar de vrijheid
JA, want hij staat bij de deur naar de dood en zegt altijd de waarheid
NEE, want hij liegt altijd
Waarheidsspreker bij de deur naar de dood
JA, want want hij staat bij de deur naar de vrijheid en liegt altijd
JA, want hij spreekt altijd de waarheid.
Waarheidsspreker bij de deur naar de vrijheid
NEE, want want hij staat bij de deur naar de dood en liegt altijd
NEE, want hij spreekt altijd de waarheid.
Als je dus als antwoord NEE krijgt dan sta je bij de deur naar de vrijheid. Als het antwoord JA is, moet je de andere deur kiezen.
Tijdens de voorbije zomervakantie bracht ik samen met mijn vrouw Ingrid en
ik een bezoek
aan het fascinerende Vasarely-museum in het Zuid-Franse Aix-en-Provence.
In de Fondation Vasarely (zie: http://www.fondationvasarely.fr/) kom
je als wiskundige direct onder de indruk
van de meer dan 40 monumentale kunstwerken van de Frans-Hongaarse pop-art-kunstenaar
Victor Vasarely.
Hij speelt hier een subtiel spel met kleuren, optische effecten en vormen zoals
vierkanten en cirkels
in een aantal kunstwerken die schilderkunst, beeldhouwkunst en
bouwkunst met elkaar verzoenen.
In een aantal kunstwerken slaagt Vasarely er schijnbaar in om cirkels probleemloos te transformeren in even grote vierkanten en hiermee de kwadratuur van de cirkel op te lossen.
Dit wiskundig probleem bestaat er in om enkel met behulp van een passer en een liniaal een cirkel te construeren die even groot is als een gegeven vierkant.
Sedert 1882 weten we echter dat deze constructie onmogelijk is.
De zogenaamde stelling van Lindemann-Weierstrass bewees toen namelijk dat het getal pi transcendent is,
d.w.z. dat pi geen nulwaarde is van een veelterm met rationale coëfficiënten.
Hierdoor was meteen ook bewezen dat de kwadratuur van de cirkel onoplosbaar is ...
We hebben toch met volle teugen (fijne wijntjes uit de Rhônestreek) genoten van ons bezoek in Aix-en-Provence!
Jaren geleden was er op heel wat TV-zenders een
populair spelprogramma te zien met de naam 'Cijfers en letters'.
Dit programma was van Franse origine en kreeg oorspronkelijk de naam 'Des
chiffres et des lettres' mee.
De
twee kandidaten kregen twee soorten vragen voorgeschoteld:
met een reeks willekeurig gekozen letters moesten ze proberen een zo lang
mogelijk woord te vormen
en met 6 willekeurig getallen moesten ze een willekeurig gekozen getal zo
dicht mogelijk benaderen
door toepassing van de vier hoofdbewerking ( +, -, * , /).
Op de foto hieronder zie je dat de deelnemers met behulp van de getallen 8, 10, 2, 1, 5
en 50 moesten proberen 899 te vormen. Niet alle getallen moesten hiervoor gebruikt
worden.
Kan jij erin slagen om precies 899 te bekomen?
We
kloppen hiervoor even aan bij Aad van de Wetering uit het Nederlandse
driebruggen.
Spelen
met letters, woorden, zinnen, cijfers en getallen is een van zijn grootste
hobby's.
Ook schaken, scrabble, cryptogrammen en polyomino's genieten zijn warme
belangstelling.
Dank zij zijn iICT-toepassingen kan je heel wat leuke puzzels oplossen.
Hoe zou jij bijvoorbeeld door alle cijfers van 1 tot en met 9 precies één keer
te gebruiken
en door toepassing van de vier hoofdbewerkingen precies 1 000 als uitkomst
kunnen bekomen?
Zijn programma 'REKEN' (te vinden op zijn website) helpt je probleemloos aan de
oplossing.
Voer
bij 'Basisgetallen' de cijfers of getallen in waarmee je wilt rekenen
(gescheiden door een spatie)
en plaats in het vakje 'Resultaatgetallen' de te vormen uitkomst.
Kies bv. 'Alle getallen' als je alle basisgetallen wilt gebruiken, klik
dan op 'Start rekenen' en je vindt dat
Als je erin slaagt dit probleem binnen één minuut op te lossen, dan heb je vast een IQ van minstens 120.
Drie groene en drie bruine kikkers bevinden zich op een spelbord met zeven vakjes. Het is de bedoeling dat de groene kikkers springen naar de drie meest rechtse vakjes en de bruine kikkers naar de drie meest linkse vakjes. Een kikker kan de volgende sprongen uitvoeren: - één vakje vooruit als dit vakje leeg is - over één kikker heen als het vakje net achter deze kikker leeg is. Een sprong eindigt dus steeds op een leeg vakje.
In bijlage vind je een interactieve versie van dit spelletje.
Een flippo
is de benaming voor een schijfje dat gratis bij de chips van Smiths zat.
Op een flippo werden o.a. stripfiguren (zoals de Pokemon-figuren) en voetbalspelers
afgebeeld.
In België en Nederland werd de flippo voor het eerst geïntroduceerd in 1995,
waarna er een ware rage ontstond.
Vooral bij
kinderen van de basisschoolleeftijd was de flippo om te verzamelen en onderling
te ruilen erg populair.
Ook werden met de flippo verschillende spelletjes gespeeld;
deze werden zowel door de fabrikant als de kinderen zelf verzonnen
en meestal was het doel hiervan het winnen van andermans flippo's.
(Bron:
wikipedia)
Maar er waren ook flippo's waarmee je het '24-spel' kon spelen.
Op deze
flippo's stonden vier cijfers afgebeeld en het was de bedoeling
om hiermee via de vier hoofdbewerkingen ( +, - , x en :) precies 24 te vormen.
Alle cijfers moesten bovendien precies één keer gebruikt worden.
Op de website van het Nederlandse Freudenthalinstituut (http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00008/)
kan je dit spelletje,
dat de rekenvaardigheid stimuleert en bovendien de volgorde van de
bewerkingen leert te gebruiken, online spelen.
Onze Nederlandse collega Matthijs Coster heeft op zijn website een rubriek
geplaatst over het flippospel.
Je vindt er een aantal opgaven met een stijgende moeilijkheidsgraad en een
programmaatje Flippo,
dat niet alleen een opgave met moeilijkheidsgraad naar keuze op je afstuurt,
maar bovendien ook de oplossing(en) ervan geeft.
Onze Spaanse collega Manuel Sada Allo knutselde enkele mooie toepassingen met Geogebra in elkaar. Het feit dat de uitleg in het Spaans gegeven wordt, kan geen echte hinderpaal zijn.
Schrijf het bovenstaande rooster over op een blad papier en vraag aan jouw tegenspeler om één van de 16 getallen te omcirkelen. Vraag dan om alle getallen in de rij en de kolom van dat getal te schrappen. Als de speler bijvoorbeeld 6 kiest, dan schrapt hij de getallen 2, 10, 14 en 5, 7 en 8. Vraag hem nogmaals een getal te omcirkelen dat niet geschrapt is en laat hem daarna opnieuw alle (niet-geschrapte) getallen in de rij en de kolom van dit gekozen getal te schrappen. Als zijn keuze nu bv. 12 is, dan schrapt hij 4, 16, 9 en 11. Laat hem dit nog een derde keer doen. We nemen aan dat hij nu 3 omcirkelt en dan 1 en 15 schrapt. Vraag hem nu de drie omcirkelde getallen bij elkaar op te tellen en jouw te vertellen hoeveel de som is. In dit geval is dit 6 + 12 + 3 = 21. Trek dit getal af van 34 en je kent meteen het enige nog resterende getal (dat niet omcirkeld en niet geschrapt is) in het rooster: 34 - 21 = 13.
MAGISCH ROOSTER 2
406
487
576
434
623
704
793
651
428
509
598
456
275
356
445
303
Schrijf het bovenstaande rooster over op een blad papier en vraag aan jouw tegenspeler om één van de 16 getallen te omcirkelen. Vraag dan om alle getallen in de rij en de kolom van dat getal te schrappen.
Vraag hem nogmaals een getal te omcirkelen dat niet geschrapt is en laat hem daarna opnieuw alle (niet-geschrapte) getallen in de rij en de kolom van dit gekozen getal te schrappen. Laat hem dit nog een derde keer doen. Vraag hem tenslotte om het enige nog overblijvende getal eveneens te omcirkelen en laat hem de vier omcirkelde getallen samentellen. Wedden dat de som 2011 is!
Hoe werkt dit? We geven de uitleg aan de hand van het eerste rooster. Start met een 5x5-rooster en plaats in de eerste rij de getallen 1, 2, 3 en 4 en in de eerste kolom de getallen 0, 4, 8 en 12. We noemen deze 8 getallen de genererende getallen van het rooster. Het getal dat je nu immers op het kruispunt van een rij en een kolom plaatst, is telkens de som van de overeenkomstige getallen uit de bovenste rij en de meest linkse kolom. Zo is 11 de som van 3 en 8. Op die manier kan je het volledige rooster invullen. Via elke keuze van 4 getallen die uit 4 verschillende rijen en 4 verschillende kolommen komen, heb je eigenlijk 4 getallen gekozen waarvan de som gelijk is aan 1 + 2 + 3 + 4 + 0 + 4 + 8 + 12 = 34. Dit verklaart waarom men het resterende getal kan 'raden' door de som van de drie omcirkelde getallen af te trekken van 34.
+
1
2
3
4
0
...
...
...
...
4
...
...
...
...
8
...
...
11
...
12
...
...
...
...
Kan je genererende getallen bepalen voor het tweede magisch rooster?
Octopus Paul, een in Groot-Brittannië geboren inktvis, voorspelde dat Spanje het WK voetbal in Zuid-Afrika gaat winnen.
De verzorgers van het orakel zetten twee mosselbakjes in het water. Op elke bak was een vlag geplakt van de spelende teams.
Toen men een bakje mosselen met de Nederlandse vlag en een bakje met de Spaanse vlag voor de neus van de inktivis plaatste, koos Paul voor de bak met de Spaanse vlag erop.
De inktvis van het aquarium Sea Life in het Duitse Oberhausen deed eerder correcte voorspellingen voor alle zeven WK wedstrijden van het Duitse elftal.
Voor de uitslag van de finale duurde de keuze van Paul slechts drie minuten. Eerder kon hij wel 70 minuten over zijn voorspelling doen.
De voorspelling werd live uitgezonden op twee Duitse televisiekanalen en op het onderstaande Youtube-filmpje zie je Paul live aan het werk.
De kans om acht opeenvolgende wedstrijden juist te voorspellen - in de veronderstelling
dat beide teams telkens een even grote kans hebben om te winnen - is 1 op 256 of net geen 0,4 %.
N = aantal wedstrijden
Kans op N juiste voorspellingen
1
1 op 2 of 50 %
2
1 op 4 of 25 %
3
1 op 8 of 12,5 %
4
1 op 16 of 6,25 %
5
1 op 32 of 3,125 %
6
1 op 64 of 1,5625 %
7
1 op 128 of 0,78125 %
8
1 op 256 of 0,390625 %
Okta-pous (Grieks Ὀκτάπους) betekent letterlijk acht-poot. De octopus vulgaris of gewone octopus geldt als een van de intelligentste bewoners van de oceanen!
Heel wat studenten zijn ervan overtuigd dat een functie constant is in een interval als de eerste afgeleide van die functie nul is in alle punten van dit interval.
Het nul-zijn van de eerste afgeleide is wel een nodige voorwaarde opdat een functie constant zou zijn, maar die voorwaarde is niet voldoende!
Voorbeeld. f : IR → IR : x → f(x) = arctan (x) + arctan (1/x). Men rekent gemakkelijk na dat de eerste afgeleide van deze functie nul is: f '(x) = 1/(1 + x2) + (-1/x2)/(1 + 1/x2) = 1/(1 + x2) 1/(1 + x2) = 0. Wanneer we echter de grafiek van deze functie bekijken, blijkt dat voor alle strikt negatieve x-waarden f(x) = -π/2 en voor alle strikt positieve x-waarden is f(x) = π/2.
We kunnen dit ook schrijven als f(x) = (π/2) . sign(x) omdat de sign-functie gedefineerd is door: sign(x) = 1 voor x > 0 en sign(x) = -1 voor x < 0.
Hieronder zie je hoe je dit eenvoudig met een grafische rekenmachine kunt verifiëren.
Een continue functie is constant in een interval als en slechts als de eerste afgeleide van die functie nul is in alle punten van dit interval! Immers, om te bewijzen dat uit het feit dat f '(x) = 0 voor alle x-waarden in [a,b] volgt dat f constant is in [a,b] steunt men op de stelling van Lagrange en hiervoor is de voorwaarde van continu-zijn nodig.
Opgave. Bepaal de eerste afgeleide van beide onderstaande functies. Teken de grafiek. Zijn dit constante functies? 1) g : IR → IR : x → f(x) = arctan (2x + 1) + arctan (1 + 1/x). 2) h : IR → IR : x → f(x) = arctan ((1 x)/(1 + x)) + arctan (x).
Teken n2 cirkels in een vierkant met zijde a, zodat er n rijen van n cirkels zijn die elkaar twee aan twee uitwendig raken
en zodat de cirkels bovendien raken aan de zijden van het vierkant.
Op de onderstaande figuur werden zo respectievelijk 32 = 9 en 42 = 16 cirkels getekend en de cirkelschijven werden ingekleurd.
Toon aan dat er op beide figuren evenveel witruimte overblijft binnen het vierkant.
Dit blijkt bovendien onafhankelijk te zijn van het gekozen getal n.
Oplossing.
De straal van elk van de n2 cirkels is gelijk aan a/(2n) en bijgevolg is de totale oppervlakte van de n2 cirkels gelijk aan n2. πa2/(4n2) = πa2/4.
De oppervlakte van de witruimte is dan gelijk aan (1 π/4)a2
(dit is precies het verschil van de oppervlakte van het vierkant met zijde a en de oppervlakte van de ingeschreven cirkel in dit vierkant) en hangt dus niet af van n.
Toon aan dat deze eigenschap ook geldig is voor n3 bollen die in een kubus met ribbe a worden geplaatst.
Abu Ja'far Muhammed ibn Musa al-Chwarizmi werd rond 780 in Bagdad geboren. De naam al-Chwarizmi betekent letterlijk "afkomstig uit Chwarizmi", een streek in het huidige Oezbekistan. Het belang van zijn wetenschappelijk werk blijkt o.a. uit het feit dat het woord algoritme aan zijn naam ontleend is. Hij leverde grote bijdragen aan gebieden als algebra, trigonometrie, astronomie en astrologie, geografie en cartografie. Zijn systematische en logische aanpak van het oplossen van lineaire en kwadratische vergelijkingen gaven gestalte aan de algebra, een vakgebied dat zijn naam ontleent aan Chwarizmi's beroemde boek over het vakgebied: Hisab al-jabr wa al-muqabala, "de theorie van transformatie en herstel", refererend aan de manieren waarop deeltermen in algebraïsche termen gemanipuleerd kunnen worden.
Bron: wikipedia.
We geven hieronder een voorbeeld waaruit blijkt op welke ingenieuze manier al-Chwarizmi erin slaagde een oplossing te vinden van enkele eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen.
Uiteraard had hij geen echte algebra te beschikking en moest hij zich - in de Griekse traditie - behelpen met meetkundige figuren en de oppervlakte ervan.
We illustreren zijn methode aan de hand van de vergelijking x² + 10x = 39.
Hij vertrekt van een vierkant met zijde x en dus met oppervlakte x2. Hij vult deze figuur daarna aan met vier rechthoeken waarvan één zijde lengte x heeft en de andere zijde lengte 10/4. Die vier rechthoeken samen hebben dan een oppervlakte 10x. De vraag is nu hoe hij de afmeting x moet kiezen zodat de vijf vierhoeken (het vierkant en de vier rechthoeken) samen een oppervlakte hebben die gelijk is aan 39. Hij vervolledigt hiervoor de figuur door aan de vier hoeken een vierkantje te tekenen met zijde 10/4.
De oppervlakte van deze vier vierkantjes samen is gelijk aan 25 en bijgevolg moet de oppervlakte van het groot vierkant (de gehele figuur) gelijk zijn aan 39 + 25 = 64. Maar dan kan hij hieruit direct besluiten dat de zijde van het grote vierkant lengte 8 heeft.
Bijgevolg is x = 8 2 . (10/4) = 8 5 = 3.
OPGAVE. Pas de methode van al-Chwarizmi toe om een oplossing te bepalen van de vergelijking x² + 3x/2 = 10.
Een elegant bewijs van deze stelling vind je in bijlage.
Gevolg.
Als men een
willekeurig punt P op de omgeschreven cirkel van een willekeurige driehoek Δ
ABC
spiegelt t.o.v. van de drie zijlijnen van deze driehoek, dan zijn de
beeldpunten R', S' en T' collineair.
Dit is een direct gevolg van de bovenstaande
stelling door toepassing van een homothetie met centrum P en factor 2.
Hoe lang duurt het vooraleer een bedrag dat volgens het principe van de samengestelde intrest wordt uitgezet, zal verdubbeld zijn?
Een eenvoudige rekenregel om dat (bij benadering) te bepalen is de zogenaamde 72-regel.
Wanneer bv. de rentevoet i = 4%, dan duurt het ongeveer 72/4 = 18 jaar vooraleer het beginkapitaal zal verdubbeld zijn en bij een rentevoet i = 3% zal dat 72/3 = 24 jaar duren.
Verklaring.
De eindwaarde van een kapitaal k uitgezet op samengestelde intrest bij een rentevoet i gedurende n jaar, wordt berekend met de gekende formule:
kn = k (1 + i)n .
Om te weten hoe lang het duurt vooraleer het beginkapitaal verdubbelt, moet men dus de volgende vergelijking oplossen:
2k = k (1 + i)n
of na schrapping van de factor k in beide leden:
2 = (1+i)n..
Neem van beide leden de natuurlijke logaritme, dan is
ln 2 = n . ln (1 + i).
Voor kleine waarden van i is ln (1 + i) ongeveer gelijk aan i. Dit volgt bv. uit de Talorreeksontwikkeling: ln (1 + x) = x x2/2 + x3/3 - ...
en omdat ln 2 = 0,693 ... is bijgevolg n . i ≈ 0,69.
Omdat 72 vrij dicht bij 69,3 ligt en bovendien deelbaar is door 2, 3, 4, 6, 8, 9 ... kiest men dit getal om de berekening gemakkelijker uit het hoofd uit te voeren.
Om te bepalen waar ergens het getal π = 3,141592653589... ligt op een geijkte rechte kan je een cirkelschijf met straal 0,5 laten rollen zoals op de bovenstaande figuur.
Het getal π wordt dan op de rechte lijn 'uitgetekend' door het wiel één volledige omwenteling te laten maken..
Een geheugensteuntje om de eerste 12 cijfers na de komma van het getal pi van buiten te kennen (tel de letters van elk woord):
Ook u kunt u zeker vergissen: 3 1 4 1 5 9 uw zwakke brein kan plots verkeerd beslissen! 2 6 5 3 5 8 9
Op de pi-search pagina http://www.angio.net/pi/piquery kan je vinden waar bv. jouw geboortedatum opduikt in de cijfers na de komma in het getal pi.
De formules voor de omtrek p en de oppervlakte A van een cirkel met straal r : p = 2πr en A = πr2 . Merk op dat de afgeleide naar de variabele r van de formule voor A precies de formule voor p oplevert (geen toeval: lees de bijlage bij het artikel op mijn blog over paradoxen: problemen met pi op datum: 22-09-2009).
Een leuke visualisering van de waarde van π en 2π vind je terug via de ingeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek met zijden 3, 4 en 5. De oppervlakte van deze cirkel is dan π en de omtrek is 2π.
Bewijs.
De oppervlakte van Δ ABC = 6 (basis = 4 en hoogte = 3). (1)
Noem r de straal van de ingeschreven cirkel en M het middelpunt van deze cirkel. Verbind M met de hoekpunten A, B en C. De oppervlakte van Δ ABC = oppervlakte van Δ AMC + oppervlakte van Δ CMB + oppervlakte van Δ BMA = ½ . 4r + ½ . 5r + ½ . 3r = 6r. (2) Uit (1) en (2) volgt dat r = 1 en bijgevolg is de oppervlakte van de ingeschreven cirkel gelijk aan π en de omtrek is gelijk aan 2π.
In bijlage vind je een uitgebreidere versie van deze tekst waarin de vijf fasen nog meer worden toegelicht.
Bij de evaluatie is het belangrijk dat men van een evenwichtig opgestelde toets gebruik maakt.
Naargelang de gevolgde studierichting zal men het soort vragen (reproductievragen, vragen waarbij men zelf het nodige wiskundige gereedschap moet kiezen,
veralgemeningen - voor de sterkere wiskundige afdelingen -) aanpassen.
De zogenaamde toetspiramide van Prof. Jan de Langhe van het Freudenthalinstituut kan hierbij een nuttig werkinstrument zijn.
In bijlage vind je 8 problemen (met oplossingen), die ik in 2002 heb samengeraapt voor onze jaarlijkse Dag van de Wiskunde.
Ze kunnen een uitdaging zijn om jouw probleemoplossend vermogen eens te testen!
Hoe moet je de sutra 'verticaal en kruiselings' interpreteren?
Veronderstel
dat je 23 x 12 uit het hoofd wil berekenen.
Start met:
2
3 1
2
--------------------------------------
'Verticaal' bekom je 2 x 1 = 2
en 3 x 2 = 6.
'Kruiselings' bekom je 2 x 2 + 1 x 3 = 7
Daarom is 23 x 12 = 276.
Veronderstel dat je 43 x 72 uit het hoofd wil berekenen.
Start met:
4 3
7
2
---------------------------------------
'Verticaal' bekom je nu 4 x 7 = 28 en 3 x 2 = 6.
'Kruiselings' bekom je 4 x 2 + 7 x 3 = 29. Splits dit op in 9 en 2 en voeg de 2 bij 28, dwz. 2 + 28 = 30.
Daarom is 43 x 72 = 3096.
Veronderstel dat je 103 x 109 uit het hoofd wil berekenen.
Start met: 103
109
--------------------------------------
'Kruiselings' wordt nu 103 + 9 of 109 + 3 = 112.
'Verticaal' wordt nu 3 x 9 = 27.
Daarom is 103 x 109 = 11227.
Veronderstel dat je 206 x 207 uit het hoofd wil berekenen.
Start met: 206
207
---------------------------------------
'Kruiselings' bekom je 206 + 7 of 207 + 6 = 213.
Omdat 200 = 2 x 100, neem je 2 x 213 = 426.
'Verticaal' bekom je 6 x 7 = 42.
Dan is 206 x 207 = 42642.
Je kunt dit 'principe' ook toepassen bij de uitwerking van het product van
veeltermen.
Zo is bijvoorbeeld (2x + 3)(4x + 5) = 8x² + 22x + 15.
Start met 2 3
4 5
-----------------------------------
'Verticaal' bekom je 2 x 4 = 8 en 3 x 5 = 15.
'Kruiselings' bekom je 2 x 5 + 4 x 3 = 22.
Deze bewerkingen leveren meteen de drie coëfficiënten op van de
productveelterm.
Wil je meer te weten komen over de interpretatie van de andere sutra's?
Ziehier een eenvoudig optelspelletje waarmee je jouw tegenspeler zult
verbazen.
Vraag jouw tegenspeler om op een blad papier twee cijfers onder elkaar te
noteren.
Op de derde lijn schrijft hij dan de som van die twee cijfers, op de vierde
lijn de som van het tweede en het derde getal,
op de vijfde lijn de som van het derde en het vierde getal ... enzovoort tot er
10 getallen onder elkaar staan.
Nu komt de uitdaging: om ter vlugst de som van deze 10 getallen berekenen.
Blijkbaar volstaat het voor jou om de rij getallen gedurende enkele seconden te bekijken om dan uit het hoofd de som ervan te bepalen.
Voorbeeld. Jouw tegenspeler start met de cijfers 3 en 7 en bouwt hiermee de volgende rij op: 3 7 10 17 27 44 71 115 186 301 ----- 781 is de gezochte som.
Hoe ga jij te werk om bijna direct deze som te berekenen?
Neem het zevende getal uit de rij en vermenigvuldig het met 11: 71 x 11 = 781.
Blijkbaar wordt een rij getallen opgebouwd waarin de Fibonaccigetallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 een rol spelen.
Ze komen immers te voorschijn als coëfficiënten:
a b a + b a + 2b 2a + 3b 3a + 5b 5a + 8b 8a + 13b 13a + 21b 21a + 34b ------------- 55a + 88b = 11(5a + 8b) is de som van de 10 getallen.
Tip. Hoe vermenigvuldig je
gemakkelijk uit het hoofd een getal met 11?
Voorbeeld 1. 236 x 11 = 2596.
Behoud het cijfer van de eenheden van
het getal 236 (in dit geval 6).
Het cijfer van de tientallen in de uitkomst is gelijk aan 3+6, het cijfer van
de honderdtallen in de uitkomst is gelijk aan 2+3.
Je moet dus telkens twee opeenvolgende cijfers van 236 bij elkaar optellen.
Het cijfer van de duizendtallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de
honderdtallen van 236 (in dit geval 2).
Deze regel is geldig zolang je bij het maken van de som van twee opeenvolgende
cijfer niet boven de 9 uitkomt.
Voorbeeld 2. 948 x 11 = 10428.
Behoud het cijfer van de eenheden van
het getal 948 (in dit geval 8).
Het cijfer van de tientallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de
eenheden van de som 4+8 = 12
(in dit geval 2) en neem 1 mee voor de volgende
som.
Het cijfer van de honderdtallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de
eenheden van de som 9+4+1 = 14
(in dit geval 4) en neem opnieuw 1 mee.
Het aantal duizendtallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de
honderdtallen van 948
(in dit geval 9) vermeerderd met 1. Zo kom je
aan 10.
In bijlage vind je nog een uitdagende werkopdracht over het zwaartepunt van vlakke en van 3D-figuren. 
Disfrute de estos ejemplos didácticos!
Videoclips de 
Kan je genererende getallen bepalen voor het tweede magisch rooster? 
Toon aan dat deze eigenschap ook geldig is voor n3 bollen die in een kubus met ribbe a worden geplaatst.
.svg.med.png "Coins Money Clip Art")
