Jaren geleden was er op heel wat TV-zenders een populair spelprogramma te zien met de naam 'Cijfers en letters'.
Dit programma was van Franse origine en kreeg oorspronkelijk de naam 'Des chiffres et des lettres' mee.

De twee kandidaten kregen twee soorten vragen voorgeschoteld:
met een reeks willekeurig gekozen letters moesten ze proberen een zo lang mogelijk woord te vormen
en met 6 willekeurig getallen moesten ze een willekeurig gekozen getal zo dicht mogelijk benaderen
door toepassing van de vier hoofdbewerking ( +, -, * , /).

Op de foto hieronder zie je dat de deelnemers
met behulp van de getallen 8, 10, 2, 1, 5 en 50
moesten proberen 899 te vormen.
Niet alle getallen moesten hiervoor gebruikt worden.
Kan jij erin slagen om precies 899 te bekomen?

*************************************************************

We kloppen hiervoor even aan bij Aad van de Wetering uit het Nederlandse driebruggen.

Spelen met letters, woorden, zinnen, cijfers en getallen is een van zijn grootste hobby's.
Ook schaken, scrabble, cryptogrammen en polyomino's genieten zijn warme belangstelling.
Dank zij zijn iICT-toepassingen kan je heel wat leuke puzzels oplossen.

Hoe zou jij bijvoorbeeld door alle cijfers van 1 tot en met 9 precies één keer te gebruiken
en door toepassing van de vier hoofdbewerkingen precies 1 000 als uitkomst kunnen bekomen? 
 
Zijn programma 'REKEN' (te vinden op zijn website) helpt je probleemloos aan de oplossing.

Voer bij 'Basisgetallen' de cijfers of getallen in waarmee je wilt rekenen (gescheiden door een spatie)
en plaats in het vakje 'Resultaatgetallen' de te vormen uitkomst.
Kies bv. 'Alle getallen' als je alle basisgetallen wilt gebruiken, klik dan op 'Start rekenen' en je vindt dat

(1 + 2/3) * 4 * 5 * (6 + 7 + 8 + 9) = 1 000.

Webadres van Aad: http://home.wxs.nl/~avdw3b/aad.html .

Bijlagen:
reken.zip (10.4 KB)   

Als je erin slaagt dit probleem binnen één minuut op te lossen, dan heb je vast een IQ van minstens 120.

Drie groene en drie bruine kikkers bevinden zich op een spelbord met zeven vakjes.
Het is de bedoeling dat de groene kikkers springen naar de drie meest rechtse vakjes en de bruine kikkers naar de drie meest linkse vakjes.
Een kikker kan de volgende sprongen uitvoeren:
- één vakje vooruit als dit vakje leeg is
- over één kikker heen als het vakje net achter deze kikker leeg is.
Een sprong eindigt dus steeds op een leeg vakje.

In bijlage vind je een interactieve versie van dit spelletje.

Proberen maar!

 

Bijlagen:
kikkertest.xls (313 KB)   

Een flippo is de benaming voor een schijfje dat gratis bij de chips van Smiths zat.
Op een flippo werden o.a. stripfiguren (zoals de Pokemon-figuren) en voetbalspelers afgebeeld. 
In België en Nederland werd de flippo voor het eerst geïntroduceerd in 1995, waarna er een ware rage ontstond.

Vooral bij kinderen van de basisschoolleeftijd was de flippo om te verzamelen en onderling te ruilen erg populair.
Ook werden met de flippo verschillende spelletjes gespeeld;
deze werden zowel door de fabrikant als de kinderen zelf verzonnen
en meestal was het doel hiervan het winnen van andermans flippo's.

(Bron: wikipedia)

Maar er waren ook flippo's waarmee je het '24-spel' kon spelen.

Op deze flippo's stonden vier cijfers afgebeeld en het was de bedoeling
om hiermee via de vier hoofdbewerkingen ( +, - , x en :) precies 24 te vormen.
Alle cijfers moesten bovendien precies één keer gebruikt worden.

Op de website van het Nederlandse Freudenthalinstituut (http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00008/) kan je dit spelletje,
dat de rekenvaardigheid stimuleert en bovendien de volgorde van de bewerkingen leert te gebruiken, online spelen.

Onze Nederlandse collega Matthijs Coster heeft op zijn website een rubriek geplaatst over het flippospel.
Je vindt er een aantal opgaven met een stijgende moeilijkheidsgraad en een programmaatje Flippo,
dat niet alleen een opgave met moeilijkheidsgraad naar keuze op je afstuurt,
maar bovendien ook de oplossing(en) ervan geeft.

Matthijs Coster
http://www.coster.demon.nl/ 

Zeker eens proberen!

19-07-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Onze Spaanse collega Manuel Sada Allo knutselde enkele mooie toepassingen met Geogebra in elkaar.
Het feit dat de uitleg in het Spaans gegeven wordt, kan geen echte hinderpaal zijn.

Klik op de titel in een vakje voor meer uitleg.

Disfrute de estos ejemplos didácticos!

Áreas	Con Regla y Compás		Familias de Funciones elementales	Transformaciones de Funciones
Medidas de ángulos	Puntos y Rectas notables de un triángulo		Derivadas e Integrales	Problemas de Optimización
Movimientos y transformaciones en el plano	Teselaciones de Escher		Trigonometría	Estadística y Probabilidad
Geometría analítica: Vectores y Rectas	Cónicas		Números complejos	Igualdades Notables
Teorema de Pitágoras	Cicloides y Trocoides		Problemas	Miscelánea
Disecciones geométricas	Algunos fractales		Desafíos matemáticos de EL PAIS	Videoclips de

Bron: http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/index.htm
Muchas gracias al Odette De Meulemeester por enviarme este webadress.

19-07-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Vraag hem nogmaals een getal te omcirkelen dat niet geschrapt is en laat  hem daarna opnieuw alle (niet-geschrapte) getallen in de rij en de kolom van dit gekozen getal te schrappen. Laat hem dit nog een derde keer doen. Vraag hem tenslotte om het enige nog overblijvende getal eveneens te omcirkelen en laat hem de vier omcirkelde getallen samentellen. Wedden dat de som 2011 is!

Hoe werkt dit?
We geven de uitleg aan de hand van het eerste rooster. Start met een 5x5-rooster en plaats in de eerste rij de getallen 1, 2, 3 en 4 en in de eerste kolom de getallen  0, 4, 8 en 12. We noemen deze 8 getallen de genererende getallen van het rooster.
Het getal dat je nu immers op het kruispunt van een rij en een kolom plaatst, is telkens de som van de overeenkomstige getallen uit de bovenste rij en de meest linkse kolom.  Zo is 11 de som van 3 en 8. Op die manier kan je het volledige rooster invullen.
Via elke keuze van 4 getallen die uit 4 verschillende rijen en 4 verschillende kolommen komen, heb je eigenlijk 4 getallen gekozen waarvan de som gelijk is aan 1 + 2 + 3 + 4 + 0 + 4 + 8 + 12 = 34. Dit verklaart waarom men het resterende getal kan 'raden' door de som van de drie omcirkelde getallen af te trekken van 34.
       

14-07-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Octopus Paul voorspelt nederlaag Oranje

Octopus Paul, een in Groot-Brittannië geboren inktvis, voorspelde dat Spanje het WK voetbal in Zuid-Afrika gaat winnen.

De verzorgers van het orakel zetten twee mosselbakjes in het water. Op elke bak was een vlag geplakt van de spelende teams.

Toen men een bakje mosselen met de Nederlandse vlag en een bakje met de Spaanse vlag voor de neus van de inktivis plaatste, koos Paul voor de bak met de Spaanse vlag erop.

De inktvis van het aquarium Sea Life in het Duitse Oberhausen deed eerder correcte voorspellingen voor alle zeven WK wedstrijden van het Duitse elftal.

Voor de uitslag van de finale duurde de keuze van Paul slechts drie minuten. Eerder kon hij wel 70 minuten over zijn voorspelling doen.

De voorspelling werd live uitgezonden op twee Duitse televisiekanalen en op het onderstaande Youtube-filmpje zie je Paul live aan het werk.



De kans om acht opeenvolgende wedstrijden juist te voorspellen - in de veronderstelling

dat beide teams telkens een even grote kans hebben om te winnen - is 1 op 256 of net geen 0,4 %.

N = aantal wedstrijden	Kans op N juiste voorspellingen
1	1 op 2 of 50 %
2	1 op 4 of 25 %
3	1 op 8 of 12,5 %
4	1 op 16 of 6,25 %
5	1 op 32 of 3,125 %
6	1 op 64 of 1,5625 %
7	1 op 128 of 0,78125 %
8	1 op 256 of 0,390625 %

Okta-pous (Grieks Ὀκτάπους) betekent letterlijk acht-poot. De octopus vulgaris of gewone octopus geldt als een van de intelligentste bewoners van de oceanen!

12-07-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Heel wat studenten zijn ervan overtuigd dat een functie constant is in een interval als de eerste afgeleide van die functie nul is in alle punten van dit interval.

Het nul-zijn van de eerste afgeleide is wel een nodige voorwaarde opdat een functie constant zou zijn, maar die voorwaarde is niet voldoende!

Voorbeeld. f : IR → IR : x → f(x) = arctan (x) + arctan (1/x).
Men rekent gemakkelijk na dat de eerste afgeleide van deze functie nul is:
f '(x) = 1/(1 + x²) + (-1/x²)/(1 + 1/x²) = 1/(1 + x²)  –  1/(1 + x²) = 0.
Wanneer we echter de grafiek van deze functie bekijken, blijkt dat voor alle strikt negatieve x-waarden f(x) = -π/2 en voor alle strikt positieve x-waarden is f(x) = π/2.

We kunnen dit ook schrijven als f(x) = (π/2) . sign(x) omdat de sign-functie gedefineerd is door: sign(x) = 1 voor x > 0 en sign(x) = -1 voor x < 0.

Hieronder zie je hoe je dit eenvoudig met een grafische rekenmachine kunt verifiëren.

 Een continue functie is constant in een interval als en slechts als de eerste afgeleide van die functie nul is in alle punten van dit interval!
Immers, om te bewijzen dat uit het feit dat f '(x) = 0 voor alle x-waarden in [a,b] volgt dat f constant is in [a,b]
steunt men op de stelling van Lagrange en hiervoor is de voorwaarde van continu-zijn nodig.

Opgave.
Bepaal de eerste afgeleide van beide onderstaande functies. Teken de grafiek. Zijn dit constante functies?
1) g : IR → IR : x → f(x) = arctan (2x + 1) + arctan (1 + 1/x).
2) h : IR → IR : x → f(x) = arctan ((1 – x)/(1 + x)) + arctan (x).

Oplossing.
1) g(x) = (π/2) . sign(x) + π/4.
2) h(x) =(π/2) . sign(x + 1) – π/4. 

Blijf verwonderd!

08-07-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Teken n²  cirkels in een vierkant met zijde a, zodat er n rijen van n cirkels zijn die elkaar twee aan twee uitwendig raken

en zodat de cirkels bovendien raken aan de zijden van het vierkant.

Op de onderstaande figuur werden zo respectievelijk 3² = 9 en 4² = 16 cirkels getekend en de cirkelschijven werden ingekleurd.

Toon aan dat er op beide figuren evenveel witruimte overblijft binnen het vierkant.

Dit blijkt bovendien onafhankelijk te zijn van het gekozen  getal n. 

   

Oplossing.

De straal van elk van de n² cirkels is gelijk aan a/(2n) en bijgevolg is de totale oppervlakte van de n² cirkels gelijk aan n². πa²/(4n²) = πa²/4.

De oppervlakte van de witruimte is dan gelijk aan (1 – π/4)a²

(dit is precies het verschil van de oppervlakte van het vierkant met zijde a en de oppervlakte van de ingeschreven cirkel in dit vierkant) en hangt dus niet af van n.

Toon aan dat deze eigenschap ook geldig is voor n³ bollen die in een kubus met ribbe a worden geplaatst.

08-07-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Abu Ja'far Muhammed ibn Musa al-Chwarizmi werd rond 780 in Bagdad geboren.
De naam al-Chwarizmi betekent letterlijk "afkomstig uit Chwarizmi", een streek in het huidige Oezbekistan. 
Het belang van zijn wetenschappelijk werk blijkt o.a. uit het feit dat het woord algoritme aan zijn naam ontleend is.
Hij leverde grote bijdragen aan gebieden als algebra, trigonometrie, astronomie en astrologie, geografie en cartografie.
Zijn systematische en logische aanpak van het oplossen van lineaire en kwadratische vergelijkingen gaven gestalte aan de algebra,
 een vakgebied dat zijn naam ontleent aan Chwarizmi's beroemde boek over het vakgebied: Hisab al-jabr wa al-muqabala,
"de theorie van transformatie en herstel", refererend aan de manieren waarop deeltermen in algebraïsche termen gemanipuleerd kunnen worden.

Bron: wikipedia.

We geven hieronder een voorbeeld waaruit blijkt op welke ingenieuze manier al-Chwarizmi
erin slaagde een oplossing te vinden van enkele eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen. 

Uiteraard had hij geen echte algebra te beschikking en moest hij zich - in de Griekse traditie -
behelpen met meetkundige figuren en de oppervlakte ervan.

We illustreren zijn methode aan de hand van de vergelijking x² + 10x = 39. 

Hij vertrekt van een vierkant met zijde x en dus met oppervlakte x².
Hij vult deze figuur daarna aan met vier rechthoeken waarvan één zijde lengte x heeft en de andere zijde lengte 10/4.
Die vier rechthoeken samen hebben dan een oppervlakte 10x.
De vraag is nu hoe hij de afmeting x moet kiezen zodat de vijf vierhoeken (het vierkant en de vier rechthoeken)
samen een oppervlakte hebben die gelijk is aan 39.
Hij vervolledigt hiervoor de figuur door aan de vier hoeken een vierkantje te tekenen met zijde 10/4.

De oppervlakte van deze vier vierkantjes samen is gelijk aan 25
en bijgevolg moet de oppervlakte van het groot vierkant (de gehele figuur) gelijk zijn aan 39 + 25 = 64.
Maar dan kan hij hieruit direct besluiten dat de zijde van het grote vierkant lengte 8 heeft. 

Bijgevolg is x = 8 – 2 . (10/4) = 8 – 5 = 3.

 OPGAVE. Pas de methode van al-Chwarizmi toe om een oplossing te bepalen van de vergelijking x² + 3x/2 = 10.

Lukt dit?

07-07-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Een rotatie of draaiing om een punt over een bepaalde hoek is een eenvoudige transformatie

waarmee men in de vlakke meetkunde ogenschijnlijk moeilijk bewijsbare eigenschappen 'in een handomdraai' bewezen krijgt.

Een mooi voorbeeld hiervan staat hieronder afgebeeld (met dank aan collega Eddy Jennekens).

Wanneer men op twee zijden van een willekeurige driehoek ABC buitenwaarts vierkanten construeert (op de figuur de vierkanten ADEC en ABFG), 

dan zijn de lijnstukken [DB] en [CG] even lang en bovendien staat ze loodrecht op elkaar.

Voor het bewijs volstaat het op het lijnstuk [DB] een draaiing toe te passen rond het punt A over een hoek van -90°. 

GESNAPT?

06-07-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE RECHTE VAN SIMSON

Op het voorbije congres van de Vlaamse Vereniging voor Wiskundeleraren (www.vvwl.be) op 1 en 2 juli 2010 in Blankenberge

maakte collega Eddy Jennekens me attent op een 'vergeten' stelling uit de vlakke meetkunde.

Wanneer men een willekeurig punt P op de omgeschreven cirkel van een willekeurige driehoek ABC

loodrecht projecteert op de drie zijden (zijlijnen) van deze driehoek, dan zijn de drie projectiepunten collineair.

De rechte door de projectiepunten R, S en T is de rechte van Simson, genoemd naar de Britse wiskundige Robert Simson (1687-1768).

Bijlagen:
Rechte van Simson.doc (172.5 KB)   

Op Youtube circuleren heel wat filmpjes waarin een wiskundige truc met kaarten wordt getoond (en soms ook wordt uitgelegd).

De 'Card Trick Teacher' is hierbij mijn favoriet. 

http://www.thecardtrickteacher.com/

Graag één truc (die voldoende concentratie vergt) bij wijze van voorbeeld.

05-07-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Hoe lang duurt het vooraleer een bedrag dat volgens het principe van de samengestelde intrest wordt uitgezet, zal verdubbeld zijn?

Een eenvoudige rekenregel om dat (bij benadering) te bepalen is de zogenaamde 72-regel.

Wanneer bv. de rentevoet i = 4%, dan duurt het ongeveer 72/4 = 18 jaar vooraleer het beginkapitaal zal verdubbeld zijn en bij een rentevoet i = 3% zal dat 72/3 = 24 jaar duren.

Verklaring.

De eindwaarde van een kapitaal k uitgezet op samengestelde intrest bij een rentevoet i gedurende n jaar, wordt berekend met de gekende formule:

k_n = k (1 + i)ⁿ .

Om te weten hoe lang het duurt vooraleer het beginkapitaal verdubbelt, moet men dus de volgende vergelijking oplossen:

    2k = k (1 + i)ⁿ  

of  na schrapping van de factor k in beide leden:  

     2 = (1+i)^n..

Neem van beide leden de natuurlijke logaritme, dan is 

         ln 2 = n . ln (1 + i).

Voor kleine waarden van i is ln (1 + i) ongeveer gelijk aan i. Dit volgt bv. uit de Talorreeksontwikkeling: ln (1 + x) = x –  x²/2 + x³/3 - ...

en omdat ln 2 = 0,693 ... is bijgevolg   n . i ≈ 0,69.

Omdat 72 vrij dicht bij 69,3 ligt en bovendien deelbaar is door 2, 3, 4, 6, 8, 9 ... kiest men dit getal om de berekening gemakkelijker uit het hoofd uit te voeren.

28-06-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

27-06-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Probleemoplossend denken vormt de rode draad doorheen ons wiskundeonderwijs.

Bij een oplossingsproces wordt over het algemeen een onderscheid gemaakt tussen vijf belangrijke fasen.

Het gaat niet om gescheiden fasen.

Geregeld wordt gewisseld tussen verschillende fasen en wordt teruggekeerd naar een vorige fase van het proces,

bijvoorbeeld om een aspect te verduidelijken, te verhelderen of om terug te koppelen.

-             De fase van het exploreren van de opdracht.

Dit kan bijvoorbeeld via

-             het maken van een tekening om een situatie te verduidelijken;

-             het formuleren van een werkhypothese of een vermoeden;

-             het systematisch oplijsten van informatie (gebruik van een tabel van gegevens);

-             het uitzetten van een uitvoeringsplan (indien zinvol).

-             De fase van de mathematisering.

Dit gebeurt bijvoorbeeld door

-             het gebruik van wiskundige kennisschema’s (bijv. formularium, vademecum);

-             het gebruik van wiskundige simulatie (ICT) om een vermoeden te verifiëren;

-             een omgekeerde redenering opzetten (bijv. van achter naar voor werken);

-             het formuleren van deelproblemen (bijv. door een bepaalde veranderlijke constant te houden).

-             De fase van de wiskundige verwerking.

Hierbij gaat men het probleem stapsgewijze wiskundig oplossen en de plande wiskundige handelingen effectief uitvoeren. 

-             De fase van het formuleren van een oplossing van het probleem.

-             De fase van het reflecterend terugkijken.

Bron: Leerplan wiskunde eerste graad A-stroom, VVKSO – Brussel D/2009/7841/003 (www.vvkso.be).

In bijlage vind je een uitgebreidere versie van deze tekst waarin de vijf fasen nog meer worden toegelicht.



Bij de evaluatie is het belangrijk dat men van een evenwichtig opgestelde toets gebruik maakt.

Naargelang de gevolgde studierichting zal men het soort vragen (reproductievragen, vragen waarbij men zelf het nodige wiskundige gereedschap moet kiezen,

veralgemeningen - voor de sterkere wiskundige afdelingen -) aanpassen. 

De zogenaamde toetspiramide van Prof. Jan de Langhe van het Freudenthalinstituut kan hierbij een nuttig werkinstrument zijn.  

In bijlage vind je 8 problemen (met oplossingen), die ik in 2002 heb samengeraapt voor onze jaarlijkse Dag van de Wiskunde.

Ze kunnen een uitdaging zijn om jouw probleemoplossend vermogen eens te testen!

Bijlagen:
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN.doc (33.5 KB)   
Probleemoplossend_denken_(8_voorbeelden).doc (89 KB)   

Vedische wiskunde is de naam van een oud Indisch rekensysteem, wellicht daterend uit de tweede eeuw v. Chr.

en dat verwijst naar de Veda's, een oude verzameling teksten die in het Sanskriet waren geschreven.

Veda is trouwens het Sanskriet voor 'kennis'.

Het systeem werd herontdekt tussen 1911 en 1918 door Sri Bharati Krishna Tirthaji,

een Hindoe-wiskundige en is gebaseerd op 16 sutra's en 14 subsutra's (woordformules).




Bron: http://www.vedicmaths.org

Hoe moet je de sutra 'verticaal en kruiselings' interpreteren?

Veronderstel dat je 23 x 12 uit het hoofd wil berekenen.
Start met:     2            3
                    1            2
--------------------------------------
'Verticaal' bekom je 2 x 1 = 2   en 3 x 2 = 6.
'Kruiselings' bekom je 2 x 2 + 1 x 3 = 7
Daarom is 23 x 12 = 276. 

Veronderstel dat je 43 x 72 uit het hoofd wil berekenen.
Start met:      4           3
                     7          2
---------------------------------------
'Verticaal' bekom je nu 4 x 7 = 28  en  3 x 2 = 6.
'Kruiselings' bekom je 4 x 2 + 7 x 3 = 29. Splits dit op in 9 en 2 en voeg de 2 bij 28, dwz. 2 + 28 = 30.
Daarom is 43 x 72 = 3096.

  Veronderstel dat je 103 x 109 uit het hoofd wil berekenen.
Start met:     103
                    109
--------------------------------------
'Kruiselings' wordt nu 103 + 9 of 109 + 3 = 112.
'Verticaal' wordt nu 3 x 9 = 27.
Daarom is 103 x 109 = 11227.

Veronderstel dat je 206 x 207 uit het hoofd wil berekenen.
Start met:  206
                 207
---------------------------------------
'Kruiselings' bekom je 206 + 7 of 207 + 6 = 213.
Omdat 200 = 2 x 100, neem je 2 x 213 = 426.
'Verticaal' bekom je 6 x 7 = 42.
Dan is 206 x 207 = 42642.

Je kunt dit 'principe' ook toepassen bij de uitwerking van het product van veeltermen.
Zo is bijvoorbeeld  (2x + 3)(4x + 5) = 8x² + 22x + 15.
Start met   2      3
                 4      5
-----------------------------------
'Verticaal' bekom je 2 x 4 = 8 en 3 x 5 = 15.
'Kruiselings' bekom je 2 x 5 + 4 x 3 = 22.
Deze bewerkingen leveren meteen de drie coëfficiënten op van de productveelterm.

Wil je meer te weten komen over de interpretatie van de andere sutra's?

Kijk dan eens op:
http://en.wikipedia.org/wiki/Swami_Bharati_Krishna_Tirtha's_Vedic_mathematics

22-06-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Ziehier een eenvoudig optelspelletje waarmee je jouw tegenspeler zult verbazen.
Vraag jouw tegenspeler om op een blad papier twee cijfers onder elkaar te noteren.
Op de derde lijn schrijft hij dan de som van die twee cijfers, op de vierde lijn de som van het tweede en het derde getal,
op de vijfde lijn de som van het derde en het vierde getal ... enzovoort tot er 10 getallen onder elkaar staan.
Nu komt de uitdaging: om ter vlugst de som van deze 10 getallen berekenen.

Blijkbaar volstaat het voor jou om de rij getallen gedurende enkele seconden te bekijken om dan uit het hoofd de som ervan te bepalen.

Voorbeeld.
Jouw tegenspeler start met de cijfers 3 en 7 en bouwt hiermee de volgende rij op:
    3
    7
  10
  17
  27
  44
  71
115
186
301
-----
                                781 is de gezochte som.

Hoe ga jij te werk om bijna direct deze som te berekenen?

Neem het zevende getal uit de rij en vermenigvuldig het met 11:  71 x 11 = 781.

Blijkbaar wordt een rij getallen opgebouwd waarin de Fibonaccigetallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 een rol spelen.

Ze komen immers te voorschijn als coëfficiënten:

      a
      b
   a + b
   a + 2b
  2a + 3b
  3a + 5b
  5a + 8b
  8a + 13b
13a + 21b
21a + 34b
-------------
55a + 88b = 11(5a + 8b) is de som van de 10 getallen.

Tip. Hoe vermenigvuldig je gemakkelijk uit het hoofd een getal met 11?

Voorbeeld 1.  236 x 11 = 2596.

Behoud het cijfer van de eenheden van het getal 236 (in dit geval 6).
Het cijfer van de tientallen in de uitkomst is gelijk aan 3+6, het cijfer van de honderdtallen in de uitkomst is gelijk aan 2+3.
Je moet dus telkens twee opeenvolgende cijfers van 236 bij elkaar optellen.
Het cijfer van de duizendtallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de honderdtallen van 236 (in dit geval 2). 
Deze regel is geldig zolang je bij het maken van de som van twee opeenvolgende cijfer niet boven de 9 uitkomt.

Voorbeeld 2.  948 x 11 = 10428.

Behoud het cijfer van de eenheden van het getal 948 (in dit geval 8).
Het cijfer van de tientallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de eenheden van de som 4+8 = 12
(in dit geval 2) en neem 1 mee voor de volgende som.
Het cijfer van de honderdtallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de eenheden van de som 9+4+1 = 14
(in dit geval 4) en neem opnieuw 1 mee.
Het aantal duizendtallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de honderdtallen van 948
(in dit geval 9) vermeerderd met 1. Zo kom je aan 10.

18-06-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Een aantal eenvoudige goocheltrucs zijn gebaseerd op het principe dat de uitkomst van een bepaalde handeling onafhankelijk is van de werkwijze.

De goochelaar kent dan vooraf de uitkomst, terwijl de speler ervan overtuigd is dat de manier van werken de uitkomst beïnvloedt.

Een voorbeeld hiervan is de verrassende truc van Dr. Jacob Daley uit New York.

De goochelaar neemt 7 kaarten uit een spel met de waarden van één (aas) tot en met zeven.

Hij legt de kaarten in een kring zoals hierboven is aangeduid.

Let op: de volgorde waarin de kaarten liggen is essentieel:

bovenaan ligt een 7 en dan met de klok mee een 3, een aas (1), een 6 een 4, een 2 en een 5.

De kaarten worden echter met de rug naar boven (d.w.z. zonder dat de cijfers zichtbaar zijn) in een cirkel neergelegd.

De goochelaar beweert dat hij de uitkomst van het spelletje kan voorspellen

en schrijft op een blaadje papier het cijfer 5 (zonder dat de speler het ziet) en stopt dit blaadje in een omslag.
De speler wijst dan een willekeurige kaart aan en draait die om.

We nemen aan dat hij de 4 omdraait.

Dan moet de speler in wijzerzin vier kaarten verder tellen en de kaart waarop hij eindigt (in dit geval een 3) omdraaien.

Vervolgens telt hij drie kaarten verder in wijzerzin, maar alleen de kaarten met de rug naar boven worden geteld.

In dit geval eindigt hij op de 2.

Dit doet hij zo verder tot er tenslotte maar één kaart meer overblijft en ... dat blijkt de kaart met het cijfer 5 te zijn.

Het is merkwaardig dat dit niet afhangt van de kaart waarmee de speler begint!

Opgelet: als de speler als beginkaart de 5 kiest,

dan eindigt het spel meteen want dan vraagt de goochelaar direct

om de omslag te openen en te kijken welk getal daarop genoteerd staat.

************************************************************************************************

Een andere leuke goocheltoer die op een analoog principe gebaseerd is,
kan je via een filmpje volgen op de website van Marco Frezza.

Kan je ook verklaren hoe dit werkt?

... met de magische groeten van Marco Frezza

17-06-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

1. Neem een willekeurig decimaal geschreven getal van 4 cijfers.
2. Zet de cijfers in oplopende en in aflopende volgorde, zodat twee getallen van 4 cijfers worden verkregen.
3. Trek het kleinste van het grootste getal af.
4. Keer terug naar stap 2.

Bij deze procedure wordt in maximaal zeven stappen het getal 6174 verkregen, en daarna komen er geen nieuwe getallen meer bij. De procedure eindigt vanwege 7641 − 1467 = 6174. Neem bijvoorbeeld het startgetal 5342.

5432 − 2345 = 3087

8730 − 0378 = 8352

8532 − 2358 = 6174

7641 − 1467 = 6174

De enige getallen van 4 cijfers waarvoor deze procedure niet werkt, zijn getallen met herhaalde cijfers zoals 3333, die na één iteratie de waarde 0 geven.

17-06-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Hier volgt een eenvoudige goocheltoer
waarmee je jouw vrienden kunt verbazen
(en waarmee je hun geboortedatum kunt te weten komen).

   Vraag hen achtereenvolgens
1. het nummer van hun geboortemaand op te schrijven
2. dit getal met 5 vermenigvuldigen
3. hierbij 7 op te tellen
4. deze uitkomst met 4 te vermenigvuldigen
5. hierbij 13 op te tellen
6. de uitkomst te vermenigvuldigen met 5
7. hierbij tenslotte het getal van hun geboortedag op te tellen.
Vraag hen de uitkomst van dit rekenwerkje te geven.

Trek daarna zelf van deze uitkomst 205 af.
Het getal dat je dan bekomt bestaat uit het nummer van de geboortemaand gevolgd door het getal van de geboortedag.

Voorbeeld.
Iemand is geboren op 23 november.
november = 11de maand
11 x 5 = 55
55 + 7 = 62
62 x 4 = 248
248 + 13 = 261
261 x 5 = 1305
1305 + 23 = 1328.

1328 - 205 = 1123, waarbij 11 het nummer van de geboortemaand is en 23 het getal van de geboortedag.

Kan je ook verklaren hoe dit werkt? 

17-06-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens