Octopus Paul, een in Groot-Brittannië geboren inktvis, voorspelde dat Spanje het WK voetbal in Zuid-Afrika gaat winnen.
De verzorgers van het orakel zetten twee mosselbakjes in het water. Op elke bak was een vlag geplakt van de spelende teams.
Toen men een bakje mosselen met de Nederlandse vlag en een bakje met de Spaanse vlag voor de neus van de inktivis plaatste, koos Paul voor de bak met de Spaanse vlag erop.
De inktvis van het aquarium Sea Life in het Duitse Oberhausen deed eerder correcte voorspellingen voor alle zeven WK wedstrijden van het Duitse elftal.
Voor de uitslag van de finale duurde de keuze van Paul slechts drie minuten. Eerder kon hij wel 70 minuten over zijn voorspelling doen.
De voorspelling werd live uitgezonden op twee Duitse televisiekanalen en op het onderstaande Youtube-filmpje zie je Paul live aan het werk.
De kans om acht opeenvolgende wedstrijden juist te voorspellen - in de veronderstelling
dat beide teams telkens een even grote kans hebben om te winnen - is 1 op 256 of net geen 0,4 %.
N = aantal wedstrijden
Kans op N juiste voorspellingen
1
1 op 2 of 50 %
2
1 op 4 of 25 %
3
1 op 8 of 12,5 %
4
1 op 16 of 6,25 %
5
1 op 32 of 3,125 %
6
1 op 64 of 1,5625 %
7
1 op 128 of 0,78125 %
8
1 op 256 of 0,390625 %
Okta-pous (Grieks Ὀκτάπους) betekent letterlijk acht-poot. De octopus vulgaris of gewone octopus geldt als een van de intelligentste bewoners van de oceanen!
Heel wat studenten zijn ervan overtuigd dat een functie constant is in een interval als de eerste afgeleide van die functie nul is in alle punten van dit interval.
Het nul-zijn van de eerste afgeleide is wel een nodige voorwaarde opdat een functie constant zou zijn, maar die voorwaarde is niet voldoende!
Voorbeeld. f : IR → IR : x → f(x) = arctan (x) + arctan (1/x). Men rekent gemakkelijk na dat de eerste afgeleide van deze functie nul is: f '(x) = 1/(1 + x2) + (-1/x2)/(1 + 1/x2) = 1/(1 + x2) 1/(1 + x2) = 0. Wanneer we echter de grafiek van deze functie bekijken, blijkt dat voor alle strikt negatieve x-waarden f(x) = -π/2 en voor alle strikt positieve x-waarden is f(x) = π/2.
We kunnen dit ook schrijven als f(x) = (π/2) . sign(x) omdat de sign-functie gedefineerd is door: sign(x) = 1 voor x > 0 en sign(x) = -1 voor x < 0.
Hieronder zie je hoe je dit eenvoudig met een grafische rekenmachine kunt verifiëren.
Een continue functie is constant in een interval als en slechts als de eerste afgeleide van die functie nul is in alle punten van dit interval! Immers, om te bewijzen dat uit het feit dat f '(x) = 0 voor alle x-waarden in [a,b] volgt dat f constant is in [a,b] steunt men op de stelling van Lagrange en hiervoor is de voorwaarde van continu-zijn nodig.
Opgave. Bepaal de eerste afgeleide van beide onderstaande functies. Teken de grafiek. Zijn dit constante functies? 1) g : IR → IR : x → f(x) = arctan (2x + 1) + arctan (1 + 1/x). 2) h : IR → IR : x → f(x) = arctan ((1 x)/(1 + x)) + arctan (x).
Teken n2 cirkels in een vierkant met zijde a, zodat er n rijen van n cirkels zijn die elkaar twee aan twee uitwendig raken
en zodat de cirkels bovendien raken aan de zijden van het vierkant.
Op de onderstaande figuur werden zo respectievelijk 32 = 9 en 42 = 16 cirkels getekend en de cirkelschijven werden ingekleurd.
Toon aan dat er op beide figuren evenveel witruimte overblijft binnen het vierkant.
Dit blijkt bovendien onafhankelijk te zijn van het gekozen getal n.
Oplossing.
De straal van elk van de n2 cirkels is gelijk aan a/(2n) en bijgevolg is de totale oppervlakte van de n2 cirkels gelijk aan n2. πa2/(4n2) = πa2/4.
De oppervlakte van de witruimte is dan gelijk aan (1 π/4)a2
(dit is precies het verschil van de oppervlakte van het vierkant met zijde a en de oppervlakte van de ingeschreven cirkel in dit vierkant) en hangt dus niet af van n.
Toon aan dat deze eigenschap ook geldig is voor n3 bollen die in een kubus met ribbe a worden geplaatst.
Abu Ja'far Muhammed ibn Musa al-Chwarizmi werd rond 780 in Bagdad geboren. De naam al-Chwarizmi betekent letterlijk "afkomstig uit Chwarizmi", een streek in het huidige Oezbekistan. Het belang van zijn wetenschappelijk werk blijkt o.a. uit het feit dat het woord algoritme aan zijn naam ontleend is. Hij leverde grote bijdragen aan gebieden als algebra, trigonometrie, astronomie en astrologie, geografie en cartografie. Zijn systematische en logische aanpak van het oplossen van lineaire en kwadratische vergelijkingen gaven gestalte aan de algebra, een vakgebied dat zijn naam ontleent aan Chwarizmi's beroemde boek over het vakgebied: Hisab al-jabr wa al-muqabala, "de theorie van transformatie en herstel", refererend aan de manieren waarop deeltermen in algebraïsche termen gemanipuleerd kunnen worden.
Bron: wikipedia.
We geven hieronder een voorbeeld waaruit blijkt op welke ingenieuze manier al-Chwarizmi erin slaagde een oplossing te vinden van enkele eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen.
Uiteraard had hij geen echte algebra te beschikking en moest hij zich - in de Griekse traditie - behelpen met meetkundige figuren en de oppervlakte ervan.
We illustreren zijn methode aan de hand van de vergelijking x² + 10x = 39.
Hij vertrekt van een vierkant met zijde x en dus met oppervlakte x2. Hij vult deze figuur daarna aan met vier rechthoeken waarvan één zijde lengte x heeft en de andere zijde lengte 10/4. Die vier rechthoeken samen hebben dan een oppervlakte 10x. De vraag is nu hoe hij de afmeting x moet kiezen zodat de vijf vierhoeken (het vierkant en de vier rechthoeken) samen een oppervlakte hebben die gelijk is aan 39. Hij vervolledigt hiervoor de figuur door aan de vier hoeken een vierkantje te tekenen met zijde 10/4.
De oppervlakte van deze vier vierkantjes samen is gelijk aan 25 en bijgevolg moet de oppervlakte van het groot vierkant (de gehele figuur) gelijk zijn aan 39 + 25 = 64. Maar dan kan hij hieruit direct besluiten dat de zijde van het grote vierkant lengte 8 heeft.
Bijgevolg is x = 8 2 . (10/4) = 8 5 = 3.
OPGAVE. Pas de methode van al-Chwarizmi toe om een oplossing te bepalen van de vergelijking x² + 3x/2 = 10.
Een elegant bewijs van deze stelling vind je in bijlage.
Gevolg.
Als men een
willekeurig punt P op de omgeschreven cirkel van een willekeurige driehoek Δ
ABC
spiegelt t.o.v. van de drie zijlijnen van deze driehoek, dan zijn de
beeldpunten R', S' en T' collineair.
Dit is een direct gevolg van de bovenstaande
stelling door toepassing van een homothetie met centrum P en factor 2.
Hoe lang duurt het vooraleer een bedrag dat volgens het principe van de samengestelde intrest wordt uitgezet, zal verdubbeld zijn?
Een eenvoudige rekenregel om dat (bij benadering) te bepalen is de zogenaamde 72-regel.
Wanneer bv. de rentevoet i = 4%, dan duurt het ongeveer 72/4 = 18 jaar vooraleer het beginkapitaal zal verdubbeld zijn en bij een rentevoet i = 3% zal dat 72/3 = 24 jaar duren.
Verklaring.
De eindwaarde van een kapitaal k uitgezet op samengestelde intrest bij een rentevoet i gedurende n jaar, wordt berekend met de gekende formule:
kn = k (1 + i)n .
Om te weten hoe lang het duurt vooraleer het beginkapitaal verdubbelt, moet men dus de volgende vergelijking oplossen:
2k = k (1 + i)n
of na schrapping van de factor k in beide leden:
2 = (1+i)n..
Neem van beide leden de natuurlijke logaritme, dan is
ln 2 = n . ln (1 + i).
Voor kleine waarden van i is ln (1 + i) ongeveer gelijk aan i. Dit volgt bv. uit de Talorreeksontwikkeling: ln (1 + x) = x x2/2 + x3/3 - ...
en omdat ln 2 = 0,693 ... is bijgevolg n . i ≈ 0,69.
Omdat 72 vrij dicht bij 69,3 ligt en bovendien deelbaar is door 2, 3, 4, 6, 8, 9 ... kiest men dit getal om de berekening gemakkelijker uit het hoofd uit te voeren.
Om te bepalen waar ergens het getal π = 3,141592653589... ligt op een geijkte rechte kan je een cirkelschijf met straal 0,5 laten rollen zoals op de bovenstaande figuur.
Het getal π wordt dan op de rechte lijn 'uitgetekend' door het wiel één volledige omwenteling te laten maken..
Een geheugensteuntje om de eerste 12 cijfers na de komma van het getal pi van buiten te kennen (tel de letters van elk woord):
Ook u kunt u zeker vergissen: 3 1 4 1 5 9 uw zwakke brein kan plots verkeerd beslissen! 2 6 5 3 5 8 9
Op de pi-search pagina http://www.angio.net/pi/piquery kan je vinden waar bv. jouw geboortedatum opduikt in de cijfers na de komma in het getal pi.
De formules voor de omtrek p en de oppervlakte A van een cirkel met straal r : p = 2πr en A = πr2 . Merk op dat de afgeleide naar de variabele r van de formule voor A precies de formule voor p oplevert (geen toeval: lees de bijlage bij het artikel op mijn blog over paradoxen: problemen met pi op datum: 22-09-2009).
Een leuke visualisering van de waarde van π en 2π vind je terug via de ingeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek met zijden 3, 4 en 5. De oppervlakte van deze cirkel is dan π en de omtrek is 2π.
Bewijs.
De oppervlakte van Δ ABC = 6 (basis = 4 en hoogte = 3). (1)
Noem r de straal van de ingeschreven cirkel en M het middelpunt van deze cirkel. Verbind M met de hoekpunten A, B en C. De oppervlakte van Δ ABC = oppervlakte van Δ AMC + oppervlakte van Δ CMB + oppervlakte van Δ BMA = ½ . 4r + ½ . 5r + ½ . 3r = 6r. (2) Uit (1) en (2) volgt dat r = 1 en bijgevolg is de oppervlakte van de ingeschreven cirkel gelijk aan π en de omtrek is gelijk aan 2π.
In bijlage vind je een uitgebreidere versie van deze tekst waarin de vijf fasen nog meer worden toegelicht.
Bij de evaluatie is het belangrijk dat men van een evenwichtig opgestelde toets gebruik maakt.
Naargelang de gevolgde studierichting zal men het soort vragen (reproductievragen, vragen waarbij men zelf het nodige wiskundige gereedschap moet kiezen,
veralgemeningen - voor de sterkere wiskundige afdelingen -) aanpassen.
De zogenaamde toetspiramide van Prof. Jan de Langhe van het Freudenthalinstituut kan hierbij een nuttig werkinstrument zijn.
In bijlage vind je 8 problemen (met oplossingen), die ik in 2002 heb samengeraapt voor onze jaarlijkse Dag van de Wiskunde.
Ze kunnen een uitdaging zijn om jouw probleemoplossend vermogen eens te testen!
Hoe moet je de sutra 'verticaal en kruiselings' interpreteren?
Veronderstel
dat je 23 x 12 uit het hoofd wil berekenen.
Start met:
2
3 1
2
--------------------------------------
'Verticaal' bekom je 2 x 1 = 2
en 3 x 2 = 6.
'Kruiselings' bekom je 2 x 2 + 1 x 3 = 7
Daarom is 23 x 12 = 276.
Veronderstel dat je 43 x 72 uit het hoofd wil berekenen.
Start met:
4 3
7
2
---------------------------------------
'Verticaal' bekom je nu 4 x 7 = 28 en 3 x 2 = 6.
'Kruiselings' bekom je 4 x 2 + 7 x 3 = 29. Splits dit op in 9 en 2 en voeg de 2 bij 28, dwz. 2 + 28 = 30.
Daarom is 43 x 72 = 3096.
Veronderstel dat je 103 x 109 uit het hoofd wil berekenen.
Start met: 103
109
--------------------------------------
'Kruiselings' wordt nu 103 + 9 of 109 + 3 = 112.
'Verticaal' wordt nu 3 x 9 = 27.
Daarom is 103 x 109 = 11227.
Veronderstel dat je 206 x 207 uit het hoofd wil berekenen.
Start met: 206
207
---------------------------------------
'Kruiselings' bekom je 206 + 7 of 207 + 6 = 213.
Omdat 200 = 2 x 100, neem je 2 x 213 = 426.
'Verticaal' bekom je 6 x 7 = 42.
Dan is 206 x 207 = 42642.
Je kunt dit 'principe' ook toepassen bij de uitwerking van het product van
veeltermen.
Zo is bijvoorbeeld (2x + 3)(4x + 5) = 8x² + 22x + 15.
Start met 2 3
4 5
-----------------------------------
'Verticaal' bekom je 2 x 4 = 8 en 3 x 5 = 15.
'Kruiselings' bekom je 2 x 5 + 4 x 3 = 22.
Deze bewerkingen leveren meteen de drie coëfficiënten op van de
productveelterm.
Wil je meer te weten komen over de interpretatie van de andere sutra's?
Ziehier een eenvoudig optelspelletje waarmee je jouw tegenspeler zult
verbazen.
Vraag jouw tegenspeler om op een blad papier twee cijfers onder elkaar te
noteren.
Op de derde lijn schrijft hij dan de som van die twee cijfers, op de vierde
lijn de som van het tweede en het derde getal,
op de vijfde lijn de som van het derde en het vierde getal ... enzovoort tot er
10 getallen onder elkaar staan.
Nu komt de uitdaging: om ter vlugst de som van deze 10 getallen berekenen.
Blijkbaar volstaat het voor jou om de rij getallen gedurende enkele seconden te bekijken om dan uit het hoofd de som ervan te bepalen.
Voorbeeld. Jouw tegenspeler start met de cijfers 3 en 7 en bouwt hiermee de volgende rij op: 3 7 10 17 27 44 71 115 186 301 ----- 781 is de gezochte som.
Hoe ga jij te werk om bijna direct deze som te berekenen?
Neem het zevende getal uit de rij en vermenigvuldig het met 11: 71 x 11 = 781.
Blijkbaar wordt een rij getallen opgebouwd waarin de Fibonaccigetallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 een rol spelen.
Ze komen immers te voorschijn als coëfficiënten:
a b a + b a + 2b 2a + 3b 3a + 5b 5a + 8b 8a + 13b 13a + 21b 21a + 34b ------------- 55a + 88b = 11(5a + 8b) is de som van de 10 getallen.
Tip. Hoe vermenigvuldig je
gemakkelijk uit het hoofd een getal met 11?
Voorbeeld 1. 236 x 11 = 2596.
Behoud het cijfer van de eenheden van
het getal 236 (in dit geval 6).
Het cijfer van de tientallen in de uitkomst is gelijk aan 3+6, het cijfer van
de honderdtallen in de uitkomst is gelijk aan 2+3.
Je moet dus telkens twee opeenvolgende cijfers van 236 bij elkaar optellen.
Het cijfer van de duizendtallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de
honderdtallen van 236 (in dit geval 2).
Deze regel is geldig zolang je bij het maken van de som van twee opeenvolgende
cijfer niet boven de 9 uitkomt.
Voorbeeld 2. 948 x 11 = 10428.
Behoud het cijfer van de eenheden van
het getal 948 (in dit geval 8).
Het cijfer van de tientallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de
eenheden van de som 4+8 = 12
(in dit geval 2) en neem 1 mee voor de volgende
som.
Het cijfer van de honderdtallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de
eenheden van de som 9+4+1 = 14
(in dit geval 4) en neem opnieuw 1 mee.
Het aantal duizendtallen in de uitkomst is gelijk aan het cijfer van de
honderdtallen van 948
(in dit geval 9) vermeerderd met 1. Zo kom je
aan 10.
Een aantal eenvoudige goocheltrucs zijn gebaseerd op het principe dat de uitkomst van een bepaalde handeling onafhankelijk is van de werkwijze.
De goochelaar kent dan vooraf de uitkomst, terwijl de speler ervan overtuigd is dat de manier van werken de uitkomst beïnvloedt.
Een voorbeeld hiervan is de verrassende truc van Dr. Jacob Daley uit New York.
De goochelaar neemt 7 kaarten uit een spel met de waarden van één (aas) tot en
met zeven.
Hij
legt de kaarten in een kring zoals hierboven is aangeduid.
Let op:
de volgorde waarin de kaarten liggen is essentieel:
bovenaan
ligt een 7 en dan met de klok mee een 3, een aas (1), een 6 een 4, een 2 en
een 5.
De
kaarten worden echter met de rug naar boven (d.w.z. zonder dat de cijfers
zichtbaar zijn) in een cirkel neergelegd.
De
goochelaar beweert dat hij de uitkomst van het spelletje kan voorspellen
en
schrijft op een blaadje papier het cijfer 5 (zonder dat de speler het ziet) en
stopt dit blaadje in een omslag.
De speler wijst dan een willekeurige kaart aan en draait die om.
We
nemen aan dat hij de 4 omdraait.
Dan
moet de speler in wijzerzin vier kaarten verder tellen en de kaart waarop hij
eindigt (in dit geval een 3) omdraaien.
Vervolgens
telt hij drie kaarten verder in wijzerzin, maar alleen de kaarten met de rug
naar boven worden geteld.
In dit
geval eindigt hij op de 2.
Dit
doet hij zo verder tot er tenslotte maar één kaart meer overblijft en ... dat
blijkt de kaart met het cijfer 5 te zijn.
Het is
merkwaardig dat dit niet afhangt van de kaart waarmee de speler begint!
Opgelet: als de speler als beginkaart de 5 kiest,
dan
eindigt het spel meteen want dan vraagt de goochelaar direct
om de
omslag te openen en te kijken welk getal daarop genoteerd staat.
De eenvoudigste 'goocheltruc' met getallen is wellicht de volgende.
1. Laat iemand een willekeurig (natuurlijk) getal van drie verschillende cijfers opschrijven. 2. Laat hem een nieuw getal vormen door de volgorde van de cijfers om te draaien. 3. Laat hem het kleinste van de twee getallen aftrekken van het grootste. 4. Laat hem weer het getal vormen door de volgorde van de cijfers van de uitkomst om te draaien. 5 Laat hem de twee laatste getallen bij elkaar optellen.
De uitkomst blijkt 'altijd' 1089 te zijn!
Voorbeeld. 741 −147 _____ 594 + 495 ____ 1089
Verklaring. Vertrek van 100a + 10b + c met a > c en keer de volgorde van de cijfers om. Zo bekom je 100c + 10b + a. Wanneer men die twee getallen van elkaar wil aftrekken moet men een tiental gaan 'lenen' omdat a > c is. Men trekt dus 100c + 10b + a af van 100a + 10(b-1) + (c + 10). Maar dan blijkt dat men ook een honderdtal moet gaan 'lenen' omdat 10b > 10(b-1). Uiteindelijk berekent men dus het volgende verschil:
Tel hierbij nu 100(c+10-a) + 90 + (a-1-c) op en je bekomt als resultaat 900 + 180 + 9 = 1089.
Doordenkertje. Waarom lukt deze goocheltruc niet als je start met het getal 928 of met 514?
Het getal 6147 is de beruchte constante van Kaprekar, genoemd naar de Indiase wiskundige Shri Dattathreya Ramachandra Kaprekar. De eigenschap die dit getal bezit wordt aangegeven door de volgende stappen te doorlopen:
Neem een willekeurig decimaal geschreven getal van 4 cijfers.
Zet de cijfers in oplopende en in aflopende volgorde, zodat twee getallen van 4 cijfers worden verkregen.
Trek het kleinste van het grootste getal af.
Keer terug naar stap 2.
Bij deze procedure wordt in maximaal zeven stappen het getal 6174 verkregen, en daarna komen er geen nieuwe getallen meer bij. De procedure eindigt vanwege 7641 − 1467 = 6174. Neem bijvoorbeeld het startgetal 5342.
5432 − 2345 = 3087
8730 − 0378 = 8352
8532 − 2358 = 6174
7641 − 1467 = 6174
De enige getallen van 4 cijfers waarvoor deze procedure niet werkt, zijn getallen met herhaalde cijfers zoals 3333, die na één iteratie de waarde 0 geven.
Hier volgt een eenvoudige goocheltoer waarmee je jouw vrienden kunt verbazen (en waarmee je hun geboortedatum kunt te weten komen).
Vraag hen achtereenvolgens 1. het nummer van hun geboortemaand op te schrijven 2. dit getal met 5 vermenigvuldigen 3. hierbij 7 op te tellen 4. deze uitkomst met 4 te vermenigvuldigen 5. hierbij 13 op te tellen 6. de uitkomst te vermenigvuldigen met 5 7. hierbij tenslotte het getal van hun geboortedag op te tellen. Vraag hen de uitkomst van dit rekenwerkje te geven.
Trek daarna zelf van deze uitkomst 205 af. Het getal dat je dan bekomt bestaat uit het nummer van de geboortemaand gevolgd door het getal van de geboortedag.
Voorbeeld. Iemand is geboren op 23 november. november = 11de maand 11 x 5 = 55 55 + 7 = 62 62 x 4 = 248 248 + 13 = 261 261 x 5 = 1305 1305 + 23 = 1328.
1328 - 205 = 1123, waarbij 11 het nummer van de geboortemaand is en 23 het getal van de geboortedag.
Proclamatie 19 mei 2010 Gastspreker: Prof. Marcus du Sautoy, University of Oxford
Op de
proclamatie naar aanleiding van de jubileumeditie van 25 jaar VWO
gaf Prof. Dr. Marcus du
Sautoy
een lezing over "Finding Moonshine: a Mathematician's journey into
Symmetry".
Deze lezing was gebaseerd op zijn boek dat in de Nederlandse editie de naam
'Het symmetrie monster' meekreeg.
Marcus is een vermaard onderzoeker en bestudeert zeta functies, p-adische
Lie-groepen en algebraische meetkunde.
Hij werd aangesteld tot Simonyi professor aan de Universiteit van Oxford,
met als opdracht wetenschappelijk onderzoek toegankelijk te maken voor het
grote publiek.
Hij publiceert populariserende boeken, en werkt sinds vele jaren mee aan radio-
en TV-programma's over wiskunde.
Op de finale van de Junior Wiskunde Olympiade werd een uitdagende 'Sangaku-vraag' gesteld. De vraag en de oplossing vind je in bijlage.
Voor de leerlingen van De Pleinschool
(Kortrijk) was deze jubileumeditie een voltreffer:
Thibout Delabie (leerling van het zesde jaar wetenschappen-wiskunde)
won de VWO-finale en de leerlingen van klas 5L9 waren laureaat van de
VWO-posterwedstrijd.
Je vindt het ontwerp van de poster in
bijlage.
De getallen van 1 tot en met 25
blijken elk een bijzondere link met een mathematisch probleem
of met een wiskundige wetenswaardigheid te hebben
en staan bovendien gerangschikt in een magisch vierkant.
Dit ontwerp diende als
inspiratiebron voor de nieuwe VWO-poster van 2010-2011,
die je kan bewonderen op http://www.vwo.be/vwo/ .
Gustav Theodor Fechner
(1801-1887) was een pionier van de experimentele psychologie.
Hij was o.a. geïntrigeerd door de gulden snede en voerde een aantal
experimenten uit naar de aantrekkingskracht
van het getal phi = (1+√5)/2, dat
ongeveer gelijk is aan 8/5 = 1,6.
Toen hij een reeks rechthoeken toonde
aan een aantal proefpersonen en vroeg welke rechthoek men als 'de
meest harmonische' aanzag
ontdekte hij dat de rechthoek waarvan de afmetingen zich verhouden
als 8:5 de voorkeur van de meesten kreeg.
De resulaten van het onderzoek van
Fechner kan je aflezen op de onderstaande pagina uit het boek Divine Proportion, PHI in Art, Nature and Science van Priya Hemenway
(De Geheime Code, de gulden snede als goddelijke verhouding in kunst, natuur en
wetenschap, Uitgeverij Librero, Kerkdriel 2010).
Edwin Hubble (1889-1953) was een Amerikaans astronoom en kosmoloog.
In de jaren twintig ontdekten astronomen dat het spectrum van bijna alle sterrenstelsels naar het rood verschoven is.
Dit betekent dus dat ze zich van ons vandaan bewegen. In 1929 toonde Edwin Hubble aan dat deze roodverschuiving groter is, naarmate het object verder weg staat.
Deze vaststelling leidde tot de hypothese van het uitdijend heelal en tot de ontwikkeling van de theorie van de Big Bang of de oerknal,
waarbij alles vanuit één punt en op één moment zou kunnen ontstaan zijn.
De wet van Hubble kan in een eenvoudige formule worden uitgedrukt:
v = H0 . d
Hierin is
Ho de Hubbleconstante uitgedrukt in km/s/Mpc, d de afstand tot de aarde in Megaparsec of Mpc (1 Mpc is ongeveer 3,26 miljoen lichtjaar) en v de snelheid (in km/s) waarmee het sterrenstelsel zich van ons verwijdert.
Dit betekent concreet dat de verste objecten in het heelal zich het snelst van ons verwijderen.
Op 24 april 1990 plaatste de NASA een gigantische ruimtetelescoop in een baan om de aarde en noemde hem de Hubbletelescoop, als eerbetoon aan Edwin Hubble.
Deze telescoop bestaat uit een aantal precisie-instrumenten waarmee men de ruimte kan observeren zonder last te ondervinden van de aardse dampkring.
Dit leverde spectaculaire opnames op van sterrenstelsels, exploderende sterren en mysterieuze nevels.
De Hubbletelescoop gezien vanuit de spaceshuttle Discovery.
Hieronder zie je de mysterieuze spirograafnevel, gefotografeerd door de Hubbletelescoop.
Op de website www.apod.nl verschijnt dagelijks een nieuwe ruimtefoto.
De afkorting apod staat voor Astronomy Picture of the Day.
In bijlage vind je een powerpresentatie over de Hubbletelescoop met tien van de meest spectaculaire beelden die de telescoop doorstuurde naar de aarde.
In deze presentatie maak je ook kennis met de planeten van ons zonnestelsel:
Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus en Pluto (sedert 2006 gedegradeerd tot dwergplaneet).
Een 'ezelsbruggetje' om de namen van de planeten in de juiste volgorde te onthouden zijn de beginletters van de woorden uit het volgende zinnetje:
Maak Van Acht Meter Japanse Stof Uw Nieuwe Pyjama of ook: Mijn Vrouw Apprecieerde Mijn Jongste Stoute Uitspraak Niet. Pech!
IC 418: de Spirograafnevel Astronomy Picture of the Day van 11 april 2010
Met de Hubbletelescoop heeft de mens ongetwijfeld weer zijn grenzen verlegd.
Mogen we hopen dat het derde millennium nieuwe poorten opent naar de 'verovering' van het heelal
en slaagt de mens er in om intelligent buitenaards leven te ontdekken?
Op deze houtgravure uit het boek L' atmosphère météorologique populaire door Camille Flammarion (1842-1925)
slaagt de mens erin de middeleeuwse wereld te doorbreken en ontdekt hij de wondere buitenaardse wereld.
Uit een wetenschappelijke studie (lees de bijdrage op deze blog over de rechthoeken van Fechner) blijkt dat de meeste mensen als ideale afmetingen voor de lengte en de breedte van een rechthoek kiezen voor de verhouding 8:5. Merk op dat 8/5 = 1,6 en volgens Fechner ligt dit getal dicht bij het getal PHI van de gulden snede en is dit de reden waarom men deze verhouding verkiest.
In Genesis 6,15 geeft God aan Noach de opdracht een ark te bouwen: "Als volgt moet gij ze maken: de ark moet driehonderd el lang zijn, vijftig el breed en dertig el hoog".
In Exodus 25,10 lezen we hoe Jahwe aan Mozes de opdracht geeft een ark te plaatsen in een heiligdom om er de verbondsakte in te bewaren: "Ge moet een ark maken van acaciahout, twee en een halve el lang, anderhalve el breed en anderhalve el hoog."
Merk op dat de verhouding 50 : 30 gelijk is aan de verhouding 2,5 : 1,5 of ongeveer 1,66...
PI = 3,14 ...
In 1 Koningen 7, 23 wordt voor het getal pi de benaderde waarde 3 gebruikt, want er is sprake van een waterbekken met een diameter van 10 el en een omtrek van 30 el.
Verder maakte Chiram de Zee, een bekken van gegoten brons van vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el.
God wordt in de christelijke traditie voorgesteld als een Heilige en Goddelijke drie-eenheid: Vader, Zoon en Geest. Als iets in de bijbel belangrijk was, duurde het vaak drie dagen.
Want zoals Jona drie dagen en drie nachten in de buik van een grote vis zat, zo zal de Mensenzoon drie dagen en drie nachten in het binnenste van de aarde verblijven. Matteüs 12, 40
Waarop Jezus hun antwoordde: Breek deze tempel af en in drie dagen zal Ik hem doen herrijzen. Johannes 2,19
Het getal vier wijst op volmaaktheid. Zo zijn er 4 windstreken en 4 elementen (aarde, water, lucht en vuur).
Er werd ook een verlamde bij hem gebracht, die door vier mensen gedragen werd. Marcus 2,3
Hierna zag ik vier engelen bij de vier hoeken van de aarde staan. Zij hielden de vier winden van de aarde in bedwang, om te voorkomen dat er een wind over land of op zee of door de bomen zou waaien. Apokalyps of Openbaring van Johannes 6,1
Toen Jezus daar aankwam, hoorde hij dat Lazarus al vier dagen in het graf lag. Johannes 11,17
Het getal vijf verwijst vaak naar behoeften en verantwoordelijkheden van de mens.
Maar hij zei tegen hen: Geven jullie hun te eten. Ze zeiden: We hebben maar vijf broden en twee vissen. Moeten wij dan eten gaan kopen voor al die mensen?Lucas 9,13
Aan de een gaf hij vijf talent, aan een ander twee, en aan nog een ander één, ieder naar wat hij aankon.Matteüs 25,15
Dan zal het met het koninkrijk van de hemel zijn als met tien meisjes die hun olielampen hadden gepakt en erop uittrokken, de bruidegom tegemoet. Vijf van hen waren dwaas, de andere vijf waren wijs. De dwaze meisjes hadden wel hun lampen gepakt, maar geen extra olie. Matteüs 25, 1-3
Zeven is het heilig getal getal (en 7 = 3 + 4) en komt heel vaak voor in de bijbel:
God schiep de wereld in 6 dagen, waarbij de zevende dag een heilige dag is. Genesis 2,2. Na zeven dagen liet Noach de duif opnieuw vliegen. Genesis 7,10-12. Het water van de Nijl veranderde 7 dagen in bloed. Exodus. 7, 25. We moeten een zondaar 70 keer 7 maal vergeven. Matteüs 18, 22. Er waren 7 broden bij de wonderbare spijziging en er werden 7 manden met brokken opgehaald. Matteüs 15, 34-37, Markus 8, 5-8.
Tien drukt de verantwoordelijkheid uit van de mens tegenover God.
De heer heeft u toen zijn verbond geopenbaard en u bevolen om het uit te voeren: de tien geboden die Hij toen op twee stenen platen heeft gegrift. Deuteronomium 10,13
En als een vrouw tien drachmen heeft en er één verliest, steekt ze toch de lamp aan, veegt het hele huis schoon en zoekt ze alles af tot ze het muntstuk gevonden heeft?Lucas 15,8
Het getal 12 wijst op volmaaktheid (en 12 = 3 x 4).
Twaalf zonen had Jakob.Genesis 35,21
De volgende morgen bouwde hij aan de voet van de berg een altaar en richtte hij twaalf gedenkstenen op, voor elk van de twaalf stammen van Israël één.Exodus 24, 4
Toen de dag aanbrak, riep hij de leerlingen bij zich en koos twaalf van hen uit, die hij apostelen noemde: Simon, aan wie hij de naam Petrus gaf, diens broer Andreas, Jakobus en Johannes, Filippus en Bartolomeüs, Matteüs en Tomas, Jakobus, de zoon van Alfeüs, en Simon, die de IJveraar genoemd wordt, Judas, de zoon van Jakobus, en Judas Iskariot, die een verrader werd. Lucas 6, 13-16
Veertig is het getal dat verwijst naar verandering, ommekeer, loutering en beproeving. Zo duurt bijvoorbeeld de vasten veertig dagen en er zijn veertig dagen tussen de opstanding van Christus (Pasen) en zijn hemelvaart.
Mozes trad de wolk binnen en besteeg de top. Veertig dagen en veertig nachten bleef hij op de berg.Exodus 24, 18
Daarna werd Jezus door de Geest meegevoerd naar de woestijn om door de duivel op de proef gesteld te worden. Nadat hij veertig dagen en veertig nachten had gevast, had hij grote honger.Matteüs 4, 1-2
Zo ontstak de heer in toorn tegen Israël en Hij liet hen veertig jaar lang rondzwerven in de woestijn tot heel de generatie die zich tegen de heer gekeerd had, verdwenen was. Numeri 2,12
In de Apokalyps of Openbaring van Johannes13, 18 komt wellicht het meest merkwaardige getal uit de gehele bijbel voor, nl. 666 of het getal van het beest. Na 2000 jaar bijbelstudie is het nog steeds gissen wie of wat hiermee wordt bedoeld.
Nu komt het aan op scherpzinnigheid! Wie doorzicht heeft, kan het getal van het beest berekenen. Het duidt een mens aan, en het getal van die mens is 666.
Vast staat dat men reeds in de oudheid ontzag had voor het getal 666 en dat men een amulet droeg waarop een magisch vierkant met 6 rijen en 6 kolommen voorkwam met daarin de getallen van 1 tot en met 36. Merk op dat 1 + 2 + 3 + ... + 36 = 666. Dit amulet zou dan bescherming bieden tegen boze geesten. In elke rij, in elke kolom en op beide diagonalen van het vierkant is de som van getallen gelijk aan 111. De zes rijen (of kolommen) geven dan weer 666 als totale som.
6
32
3
34
35
1
7
11
27
28
8
30
19
14
16
15
23
24
18
20
22
21
17
13
25
29
10
9
26
12
36
5
33
4
2
31
Een afdrukversie van deze tekst zit in bijlage.
*****************************************
En nog meer getallenmagie met 666:
de som van kwadraten van de eerste zeven priemgetallen is 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666. en 666 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 53 + 43 + 33 + 23 + 13, waarbij men de middelste term in deze som kan schrijven als het product 6 . 6 . 6.
Collega An Vandersteene is een van de vele ijverige Vlaamse wiskundeleerkrachten die op een eigen website heel wat bruikbaar materiaal verzamelde (voornamelijk voor het 2de, 3de en 4de jaar aso) en ook beschikbaar stelt.