Een aantal eenvoudige goocheltrucs zijn gebaseerd op het principe dat de uitkomst van een bepaalde handeling onafhankelijk is van de werkwijze.
De goochelaar kent dan vooraf de uitkomst, terwijl de speler ervan overtuigd is dat de manier van werken de uitkomst beïnvloedt.
Een voorbeeld hiervan is de verrassende truc van Dr. Jacob Daley uit New York.
De goochelaar neemt 7 kaarten uit een spel met de waarden van één (aas) tot en
met zeven.
Hij
legt de kaarten in een kring zoals hierboven is aangeduid.
Let op:
de volgorde waarin de kaarten liggen is essentieel:
bovenaan
ligt een 7 en dan met de klok mee een 3, een aas (1), een 6 een 4, een 2 en
een 5.
De
kaarten worden echter met de rug naar boven (d.w.z. zonder dat de cijfers
zichtbaar zijn) in een cirkel neergelegd.
De
goochelaar beweert dat hij de uitkomst van het spelletje kan voorspellen
en
schrijft op een blaadje papier het cijfer 5 (zonder dat de speler het ziet) en
stopt dit blaadje in een omslag.
De speler wijst dan een willekeurige kaart aan en draait die om.
We
nemen aan dat hij de 4 omdraait.
Dan
moet de speler in wijzerzin vier kaarten verder tellen en de kaart waarop hij
eindigt (in dit geval een 3) omdraaien.
Vervolgens
telt hij drie kaarten verder in wijzerzin, maar alleen de kaarten met de rug
naar boven worden geteld.
In dit
geval eindigt hij op de 2.
Dit
doet hij zo verder tot er tenslotte maar één kaart meer overblijft en ... dat
blijkt de kaart met het cijfer 5 te zijn.
Het is
merkwaardig dat dit niet afhangt van de kaart waarmee de speler begint!
Opgelet: als de speler als beginkaart de 5 kiest,
dan
eindigt het spel meteen want dan vraagt de goochelaar direct
om de
omslag te openen en te kijken welk getal daarop genoteerd staat.
De eenvoudigste 'goocheltruc' met getallen is wellicht de volgende.
1. Laat iemand een willekeurig (natuurlijk) getal van drie verschillende cijfers opschrijven. 2. Laat hem een nieuw getal vormen door de volgorde van de cijfers om te draaien. 3. Laat hem het kleinste van de twee getallen aftrekken van het grootste. 4. Laat hem weer het getal vormen door de volgorde van de cijfers van de uitkomst om te draaien. 5 Laat hem de twee laatste getallen bij elkaar optellen.
De uitkomst blijkt 'altijd' 1089 te zijn!
Voorbeeld. 741 −147 _____ 594 + 495 ____ 1089
Verklaring. Vertrek van 100a + 10b + c met a > c en keer de volgorde van de cijfers om. Zo bekom je 100c + 10b + a. Wanneer men die twee getallen van elkaar wil aftrekken moet men een tiental gaan 'lenen' omdat a > c is. Men trekt dus 100c + 10b + a af van 100a + 10(b-1) + (c + 10). Maar dan blijkt dat men ook een honderdtal moet gaan 'lenen' omdat 10b > 10(b-1). Uiteindelijk berekent men dus het volgende verschil:
Tel hierbij nu 100(c+10-a) + 90 + (a-1-c) op en je bekomt als resultaat 900 + 180 + 9 = 1089.
Doordenkertje. Waarom lukt deze goocheltruc niet als je start met het getal 928 of met 514?
Het getal 6147 is de beruchte constante van Kaprekar, genoemd naar de Indiase wiskundige Shri Dattathreya Ramachandra Kaprekar. De eigenschap die dit getal bezit wordt aangegeven door de volgende stappen te doorlopen:
Neem een willekeurig decimaal geschreven getal van 4 cijfers.
Zet de cijfers in oplopende en in aflopende volgorde, zodat twee getallen van 4 cijfers worden verkregen.
Trek het kleinste van het grootste getal af.
Keer terug naar stap 2.
Bij deze procedure wordt in maximaal zeven stappen het getal 6174 verkregen, en daarna komen er geen nieuwe getallen meer bij. De procedure eindigt vanwege 7641 − 1467 = 6174. Neem bijvoorbeeld het startgetal 5342.
5432 − 2345 = 3087
8730 − 0378 = 8352
8532 − 2358 = 6174
7641 − 1467 = 6174
De enige getallen van 4 cijfers waarvoor deze procedure niet werkt, zijn getallen met herhaalde cijfers zoals 3333, die na één iteratie de waarde 0 geven.
Hier volgt een eenvoudige goocheltoer waarmee je jouw vrienden kunt verbazen (en waarmee je hun geboortedatum kunt te weten komen).
Vraag hen achtereenvolgens 1. het nummer van hun geboortemaand op te schrijven 2. dit getal met 5 vermenigvuldigen 3. hierbij 7 op te tellen 4. deze uitkomst met 4 te vermenigvuldigen 5. hierbij 13 op te tellen 6. de uitkomst te vermenigvuldigen met 5 7. hierbij tenslotte het getal van hun geboortedag op te tellen. Vraag hen de uitkomst van dit rekenwerkje te geven.
Trek daarna zelf van deze uitkomst 205 af. Het getal dat je dan bekomt bestaat uit het nummer van de geboortemaand gevolgd door het getal van de geboortedag.
Voorbeeld. Iemand is geboren op 23 november. november = 11de maand 11 x 5 = 55 55 + 7 = 62 62 x 4 = 248 248 + 13 = 261 261 x 5 = 1305 1305 + 23 = 1328.
1328 - 205 = 1123, waarbij 11 het nummer van de geboortemaand is en 23 het getal van de geboortedag.
Proclamatie 19 mei 2010 Gastspreker: Prof. Marcus du Sautoy, University of Oxford
Op de
proclamatie naar aanleiding van de jubileumeditie van 25 jaar VWO
gaf Prof. Dr. Marcus du
Sautoy
een lezing over "Finding Moonshine: a Mathematician's journey into
Symmetry".
Deze lezing was gebaseerd op zijn boek dat in de Nederlandse editie de naam
'Het symmetrie monster' meekreeg.
Marcus is een vermaard onderzoeker en bestudeert zeta functies, p-adische
Lie-groepen en algebraische meetkunde.
Hij werd aangesteld tot Simonyi professor aan de Universiteit van Oxford,
met als opdracht wetenschappelijk onderzoek toegankelijk te maken voor het
grote publiek.
Hij publiceert populariserende boeken, en werkt sinds vele jaren mee aan radio-
en TV-programma's over wiskunde.
Op de finale van de Junior Wiskunde Olympiade werd een uitdagende 'Sangaku-vraag' gesteld. De vraag en de oplossing vind je in bijlage.
Voor de leerlingen van De Pleinschool
(Kortrijk) was deze jubileumeditie een voltreffer:
Thibout Delabie (leerling van het zesde jaar wetenschappen-wiskunde)
won de VWO-finale en de leerlingen van klas 5L9 waren laureaat van de
VWO-posterwedstrijd.
Je vindt het ontwerp van de poster in
bijlage.
De getallen van 1 tot en met 25
blijken elk een bijzondere link met een mathematisch probleem
of met een wiskundige wetenswaardigheid te hebben
en staan bovendien gerangschikt in een magisch vierkant.
Dit ontwerp diende als
inspiratiebron voor de nieuwe VWO-poster van 2010-2011,
die je kan bewonderen op http://www.vwo.be/vwo/ .
Gustav Theodor Fechner
(1801-1887) was een pionier van de experimentele psychologie.
Hij was o.a. geïntrigeerd door de gulden snede en voerde een aantal
experimenten uit naar de aantrekkingskracht
van het getal phi = (1+√5)/2, dat
ongeveer gelijk is aan 8/5 = 1,6.
Toen hij een reeks rechthoeken toonde
aan een aantal proefpersonen en vroeg welke rechthoek men als 'de
meest harmonische' aanzag
ontdekte hij dat de rechthoek waarvan de afmetingen zich verhouden
als 8:5 de voorkeur van de meesten kreeg.
De resulaten van het onderzoek van
Fechner kan je aflezen op de onderstaande pagina uit het boek Divine Proportion, PHI in Art, Nature and Science van Priya Hemenway
(De Geheime Code, de gulden snede als goddelijke verhouding in kunst, natuur en
wetenschap, Uitgeverij Librero, Kerkdriel 2010).
Edwin Hubble (1889-1953) was een Amerikaans astronoom en kosmoloog.
In de jaren twintig ontdekten astronomen dat het spectrum van bijna alle sterrenstelsels naar het rood verschoven is.
Dit betekent dus dat ze zich van ons vandaan bewegen. In 1929 toonde Edwin Hubble aan dat deze roodverschuiving groter is, naarmate het object verder weg staat.
Deze vaststelling leidde tot de hypothese van het uitdijend heelal en tot de ontwikkeling van de theorie van de Big Bang of de oerknal,
waarbij alles vanuit één punt en op één moment zou kunnen ontstaan zijn.
De wet van Hubble kan in een eenvoudige formule worden uitgedrukt:
v = H0 . d
Hierin is
Ho de Hubbleconstante uitgedrukt in km/s/Mpc, d de afstand tot de aarde in Megaparsec of Mpc (1 Mpc is ongeveer 3,26 miljoen lichtjaar) en v de snelheid (in km/s) waarmee het sterrenstelsel zich van ons verwijdert.
Dit betekent concreet dat de verste objecten in het heelal zich het snelst van ons verwijderen.
Op 24 april 1990 plaatste de NASA een gigantische ruimtetelescoop in een baan om de aarde en noemde hem de Hubbletelescoop, als eerbetoon aan Edwin Hubble.
Deze telescoop bestaat uit een aantal precisie-instrumenten waarmee men de ruimte kan observeren zonder last te ondervinden van de aardse dampkring.
Dit leverde spectaculaire opnames op van sterrenstelsels, exploderende sterren en mysterieuze nevels.
De Hubbletelescoop gezien vanuit de spaceshuttle Discovery.
Hieronder zie je de mysterieuze spirograafnevel, gefotografeerd door de Hubbletelescoop.
Op de website www.apod.nl verschijnt dagelijks een nieuwe ruimtefoto.
De afkorting apod staat voor Astronomy Picture of the Day.
In bijlage vind je een powerpresentatie over de Hubbletelescoop met tien van de meest spectaculaire beelden die de telescoop doorstuurde naar de aarde.
In deze presentatie maak je ook kennis met de planeten van ons zonnestelsel:
Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus en Pluto (sedert 2006 gedegradeerd tot dwergplaneet).
Een 'ezelsbruggetje' om de namen van de planeten in de juiste volgorde te onthouden zijn de beginletters van de woorden uit het volgende zinnetje:
Maak Van Acht Meter Japanse Stof Uw Nieuwe Pyjama of ook: Mijn Vrouw Apprecieerde Mijn Jongste Stoute Uitspraak Niet. Pech!
IC 418: de Spirograafnevel Astronomy Picture of the Day van 11 april 2010
Met de Hubbletelescoop heeft de mens ongetwijfeld weer zijn grenzen verlegd.
Mogen we hopen dat het derde millennium nieuwe poorten opent naar de 'verovering' van het heelal
en slaagt de mens er in om intelligent buitenaards leven te ontdekken?
Op deze houtgravure uit het boek L' atmosphère météorologique populaire door Camille Flammarion (1842-1925)
slaagt de mens erin de middeleeuwse wereld te doorbreken en ontdekt hij de wondere buitenaardse wereld.
Uit een wetenschappelijke studie (lees de bijdrage op deze blog over de rechthoeken van Fechner) blijkt dat de meeste mensen als ideale afmetingen voor de lengte en de breedte van een rechthoek kiezen voor de verhouding 8:5. Merk op dat 8/5 = 1,6 en volgens Fechner ligt dit getal dicht bij het getal PHI van de gulden snede en is dit de reden waarom men deze verhouding verkiest.
In Genesis 6,15 geeft God aan Noach de opdracht een ark te bouwen: "Als volgt moet gij ze maken: de ark moet driehonderd el lang zijn, vijftig el breed en dertig el hoog".
In Exodus 25,10 lezen we hoe Jahwe aan Mozes de opdracht geeft een ark te plaatsen in een heiligdom om er de verbondsakte in te bewaren: "Ge moet een ark maken van acaciahout, twee en een halve el lang, anderhalve el breed en anderhalve el hoog."
Merk op dat de verhouding 50 : 30 gelijk is aan de verhouding 2,5 : 1,5 of ongeveer 1,66...
PI = 3,14 ...
In 1 Koningen 7, 23 wordt voor het getal pi de benaderde waarde 3 gebruikt, want er is sprake van een waterbekken met een diameter van 10 el en een omtrek van 30 el.
Verder maakte Chiram de Zee, een bekken van gegoten brons van vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el.
God wordt in de christelijke traditie voorgesteld als een Heilige en Goddelijke drie-eenheid: Vader, Zoon en Geest. Als iets in de bijbel belangrijk was, duurde het vaak drie dagen.
Want zoals Jona drie dagen en drie nachten in de buik van een grote vis zat, zo zal de Mensenzoon drie dagen en drie nachten in het binnenste van de aarde verblijven. Matteüs 12, 40
Waarop Jezus hun antwoordde: Breek deze tempel af en in drie dagen zal Ik hem doen herrijzen. Johannes 2,19
Het getal vier wijst op volmaaktheid. Zo zijn er 4 windstreken en 4 elementen (aarde, water, lucht en vuur).
Er werd ook een verlamde bij hem gebracht, die door vier mensen gedragen werd. Marcus 2,3
Hierna zag ik vier engelen bij de vier hoeken van de aarde staan. Zij hielden de vier winden van de aarde in bedwang, om te voorkomen dat er een wind over land of op zee of door de bomen zou waaien. Apokalyps of Openbaring van Johannes 6,1
Toen Jezus daar aankwam, hoorde hij dat Lazarus al vier dagen in het graf lag. Johannes 11,17
Het getal vijf verwijst vaak naar behoeften en verantwoordelijkheden van de mens.
Maar hij zei tegen hen: Geven jullie hun te eten. Ze zeiden: We hebben maar vijf broden en twee vissen. Moeten wij dan eten gaan kopen voor al die mensen?Lucas 9,13
Aan de een gaf hij vijf talent, aan een ander twee, en aan nog een ander één, ieder naar wat hij aankon.Matteüs 25,15
Dan zal het met het koninkrijk van de hemel zijn als met tien meisjes die hun olielampen hadden gepakt en erop uittrokken, de bruidegom tegemoet. Vijf van hen waren dwaas, de andere vijf waren wijs. De dwaze meisjes hadden wel hun lampen gepakt, maar geen extra olie. Matteüs 25, 1-3
Zeven is het heilig getal getal (en 7 = 3 + 4) en komt heel vaak voor in de bijbel:
God schiep de wereld in 6 dagen, waarbij de zevende dag een heilige dag is. Genesis 2,2. Na zeven dagen liet Noach de duif opnieuw vliegen. Genesis 7,10-12. Het water van de Nijl veranderde 7 dagen in bloed. Exodus. 7, 25. We moeten een zondaar 70 keer 7 maal vergeven. Matteüs 18, 22. Er waren 7 broden bij de wonderbare spijziging en er werden 7 manden met brokken opgehaald. Matteüs 15, 34-37, Markus 8, 5-8.
Tien drukt de verantwoordelijkheid uit van de mens tegenover God.
De heer heeft u toen zijn verbond geopenbaard en u bevolen om het uit te voeren: de tien geboden die Hij toen op twee stenen platen heeft gegrift. Deuteronomium 10,13
En als een vrouw tien drachmen heeft en er één verliest, steekt ze toch de lamp aan, veegt het hele huis schoon en zoekt ze alles af tot ze het muntstuk gevonden heeft?Lucas 15,8
Het getal 12 wijst op volmaaktheid (en 12 = 3 x 4).
Twaalf zonen had Jakob.Genesis 35,21
De volgende morgen bouwde hij aan de voet van de berg een altaar en richtte hij twaalf gedenkstenen op, voor elk van de twaalf stammen van Israël één.Exodus 24, 4
Toen de dag aanbrak, riep hij de leerlingen bij zich en koos twaalf van hen uit, die hij apostelen noemde: Simon, aan wie hij de naam Petrus gaf, diens broer Andreas, Jakobus en Johannes, Filippus en Bartolomeüs, Matteüs en Tomas, Jakobus, de zoon van Alfeüs, en Simon, die de IJveraar genoemd wordt, Judas, de zoon van Jakobus, en Judas Iskariot, die een verrader werd. Lucas 6, 13-16
Veertig is het getal dat verwijst naar verandering, ommekeer, loutering en beproeving. Zo duurt bijvoorbeeld de vasten veertig dagen en er zijn veertig dagen tussen de opstanding van Christus (Pasen) en zijn hemelvaart.
Mozes trad de wolk binnen en besteeg de top. Veertig dagen en veertig nachten bleef hij op de berg.Exodus 24, 18
Daarna werd Jezus door de Geest meegevoerd naar de woestijn om door de duivel op de proef gesteld te worden. Nadat hij veertig dagen en veertig nachten had gevast, had hij grote honger.Matteüs 4, 1-2
Zo ontstak de heer in toorn tegen Israël en Hij liet hen veertig jaar lang rondzwerven in de woestijn tot heel de generatie die zich tegen de heer gekeerd had, verdwenen was. Numeri 2,12
In de Apokalyps of Openbaring van Johannes13, 18 komt wellicht het meest merkwaardige getal uit de gehele bijbel voor, nl. 666 of het getal van het beest. Na 2000 jaar bijbelstudie is het nog steeds gissen wie of wat hiermee wordt bedoeld.
Nu komt het aan op scherpzinnigheid! Wie doorzicht heeft, kan het getal van het beest berekenen. Het duidt een mens aan, en het getal van die mens is 666.
Vast staat dat men reeds in de oudheid ontzag had voor het getal 666 en dat men een amulet droeg waarop een magisch vierkant met 6 rijen en 6 kolommen voorkwam met daarin de getallen van 1 tot en met 36. Merk op dat 1 + 2 + 3 + ... + 36 = 666. Dit amulet zou dan bescherming bieden tegen boze geesten. In elke rij, in elke kolom en op beide diagonalen van het vierkant is de som van getallen gelijk aan 111. De zes rijen (of kolommen) geven dan weer 666 als totale som.
6
32
3
34
35
1
7
11
27
28
8
30
19
14
16
15
23
24
18
20
22
21
17
13
25
29
10
9
26
12
36
5
33
4
2
31
Een afdrukversie van deze tekst zit in bijlage.
*****************************************
En nog meer getallenmagie met 666:
de som van kwadraten van de eerste zeven priemgetallen is 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666. en 666 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 53 + 43 + 33 + 23 + 13, waarbij men de middelste term in deze som kan schrijven als het product 6 . 6 . 6.
Collega An Vandersteene is een van de vele ijverige Vlaamse wiskundeleerkrachten die op een eigen website heel wat bruikbaar materiaal verzamelde (voornamelijk voor het 2de, 3de en 4de jaar aso) en ook beschikbaar stelt.
Vraag iemand in elke rij van de onderstaande tabel één getal te omcirkelen en vraag hem dan zo snel mogelijk die vijf getallen bij elkaar op te tellen.
Nog voor hij potlood en papier heeft kunnen nemen, kan jij al zeggen hoeveel de som is.
186
384
681
483
780
285
741
345
147
543
840
642
377
278
773
872
971
179
762
168
564
960
663
366
657
558
954
855
756
459
Hiervoor ga je als volg te werk.
Stel dat de getallen 681, 741, 377, 366 en 954 zijn. Tel de eenheden van de vijf getallen samen: 1 + 1 + 7 + 6 + 4 = 19. Trek dit getal af van 50; dit geeft 50 - 19 = 31. De som van de vijf getallen is dan 3119.
Germinal Pierre Dandelin (1794-1847) was een Belgische wiskundige.
Hij studeerde in Gent en aan de Ecole Polytechnique in Parijs en werkte als militair in het Belgische leger en in het leger van Napoleon.
Aan de universiteit van Luik doceerde hij mijnbouw.
Hij bewees een merkwaardige stelling, die een verband legt tussen vlakke meetkunde en ruimtemeetkunde.
Beschouw
een kegel met top V en een vlak dat de kegelmantel snijdt volgens een ellips.
Een willekeurige rechte op de kegelmantel en door de top V
(d. i. een beschrijvende van het kegeloppervlak), snijdt de ellips in een punt
B.
Beschrijf twee bollen in de kegel, één boven en één onder het vlak van de
ellips,
zodat beide bollen raken aan de kegelmantel en aan het vlak van
de ellips.
Dit zijn de zogenaamde bollen van Dandelin.
De stelling van Dandelin zegt nu dat de
raakpunten D en E van de bollen met het vlak van de ellips
precies de twee brandpunten zijn van de ellips.
Het volstaat hiervoor aan te tonen dat de som van de afstanden van een
willekeurig punt op de ellips tot de punten D en E constant is.
Een
ellips is (per definitie) de meetkundige plaats van de punten in een vlak
waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten in dat vlak constant is.
Die twee punten zijn dan de brandpunten van de ellips.
De willekeurige beschrijvende VB snijdt de bollen van Dandelin in de punten A
en C.
Dan is de afstand ½AC½ constant,
d.w.z. onafhankelijk van de gekozen beschrijvende VB.
De raaklijnstukken vanuit een punt aan een bol hebben dezelfde lengte en daarom
is ½BA½= ½BE½en½BC½= ½BD½ .
Hieruit volgt dat ½BE½ + ½BD½ =½BA½ + ½BC½ = ½AC½
en bijgevolg is ½BE½+½BD½constant.
Hierbij is B een willekeurig punt op de ellips en bijgevolg moeten D en E de
brandpunten zijn van de ellips.
In 2006
kon je in het Coffeehouse van het Oostendse kursaal een 'Coupe Belge' eten.
Deze ijscoupe beeldde de stelling van Dandelin op een culinair-visuele manier
uit.
Wiskundige Dirk Huylebrouck zei hierover:
" Het ijsje wordt geserveerd in een kegelvormige coupe, met één kleine bol
aardbei (Walen),
een grote bol banaan (Vlamingen), gescheiden door een taalgrenskoekje,
maar
met zwarte chocoladesaus over beide bollen (Brusselaars)."
Op 1 april stelt men de vragen die men wil (opgelost zien ...)
1. Als je van zwemmen slanker wordt, wat doen walvissen dan verkeerd? 2. Als superlijm alles vastlijmt, waarom dan niet de binnenkanten van de tube? 3. Waarom loopt je neus en ruiken je voeten? 4. Waarom worden bij de executie van ter dood veroordeelden in de VS steriele naalden gebruikt? 5. Als de meeste auto-ongelukken gebeuren in een straal van vijf kilometer rond de woning, waarom gaat dan niet iedereen tien kilometer verderop wonen? 6. Als konijnenpootjes geluk brengen, wat gebeurde er dan met dat konijn? 7. Hoe zorgt men er voor dat herten bij die verkeersborden oversteken? 8. Wat doen weekdieren tijdens het weekend? 9. Hoe plaatst men op een grasplein de bordjes 'Verboden op het gras te lopen'? 10. Waarom zegt men dat je achter jouw computer zit terwijl je er eigenlijk voor zit?
Dit is niet verwonderlijk als je weet dat een voetbal voor heel wat Hollanders een echt symbool is voor inzet en sportieve competitiegeest.
Maar wist je dat een voetbal in feite een veelvlak is (een afgeknotte icosaëder) dat bestaat uit 12 regelmatige vijfhoeken en 20 regelmatige zeshoeken?
Kan je hieruit ook afleiden hoeveel ribben een voetbal heeft?
Dit is één van de vragen die je in de brochure in bijlage terugvindt.
Dit boekje heeft als titel "De Nederlandse Wiskunde Olympiade, 100 opgaven met hints, oplossingen en achtergronden".
Hierin staat een schat aan oefeningen voor al wie houdt van probleemoplossend denken.
Omdat een voetbal bestaat uit 12 vijfhoeken en 20 zeshoeken zijn er (12 x 5 + 20 x 6) : 3 = 60 hoekpunten. Je moet hierbij delen door 3 omdat elk hoekpunt behoort tot 3 van de 32 veelhoeken.
Een voetbal heeft (12 x 5 + 20 x 6) : 2 = 90 ribben. Je moet hierbij delen door 2 omdat elke ribbe behoort tot 2 van de 32 veelhoeken.
Algemene term in een rij bepalen en vijfhoeksgetallen
Een vijfhoeksgetal is een geheel getal, dat gevonden kan worden als het aantal punten van gezamenlijke vijfhoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt
en (gedeeltelijk) twee gemeenschappelijke zijden, en met een telkens oplopend aantal punten per zijde. Bron: Wikipedia.
De eerste zes vijfhoeksgetallen zijn 1, 5, 12, 22, 35, 51.
Probleem: vind een formule voor de algemene term van deze rij.
We geven hieronder een efficiënte methode om de algemene term van een 'willekeurige' rij te bepalen.
We vertrekken van een voorbeeldrij: 5, 23, 59, 119, 209 ... en schrijven op de opeenvolgende lijnen hieronder telkens de verschilrij op.
In deze rij is elke term het verschil van de termen die er links- en rechtboven staan:
5 23 59 119 209 18 36 60 90 18 24 30 6 6 0
Merk op dat het proces van het nemen van de verschil hier stopt na 4 stappen.
Dit is meteen een aanduiding dat de algemene term tn van de rij kan uitgedrukt worden met behulp van een veelterm van graad 4 - 1 = 3, m.a.w. tn = an³ + bn² + cn + d.
Welnu, via de verschilrijen kan men gemakkelijk verifiëren dat 209 = 5 . 1 + 18 . 4 + 18 . 6 + 6 . 4 + 0 . 1
, m.a.w. door de eerste termen (in kleur) uit de opeenvolgende verschilrijen te vermenigvuldigen met de getallen uit de vijfde rij van de driehoek van Pascal (1, 4, 6, 4, 1) bekomt men de term 209.
In het algemeen is de n-de term uit deze rij dan gelijk aan
Hierbij zijn de getallen 1, n-1, (n-1)(n-2)/2, (n-1)(n-2)(n-3)/6, ... de zogenaamde binomiaalcoëfficiënten die voorkomen in de n-de rij van de driehoek van Pascal.
Met deze methode bepalen we nu de uitdrukking voor het n-de vijfhoeksgetal Vn . We vertrekken hiervoor van de rij 1, 5, 12, 22 ... van de vijfhoeksgetallen.
Kan je nu zelf aantonen dat het n-de zeshoeksgetal gelijk is aan Zn = n (2n -1)?
Op het VVWL-congres in Blankenberge (1 en 2
juli 2010) maakte collega Antoine Verroken me erop attent
dat het probleem ook een eenvoudige en evidente oplossing heeft met behulp van
een stelsel.
Hij bezorgde meteen ook enkele referenties van boeken waarin dit probleem wordt behandeld: - Wiskunde zonder omslag (1962, 2de druk), blz. 82 - 97, W. W. Sawyer. Oorspronkelijke titel: Mathematician's delight. - Difference Equations, Walter Kelley and Allan Peterson, 1991. ISBN: 0 - 12 - 403325 - 3.
We illustreren dit met de rij 5,23,59,119,209, ...
Omdat men na vier keer nemen van differenties op de nulrij botst (zie hoger) mag men aannemen dat de algemene term van de rij wordt bepaald door een veelterm van de derde graad: tn = an³ + bn² + cn + d. Nu is t1 = a + b + c + d = 5 t2 = 8a + 4b + 2c + d = 23 t3 = 27a +9b + 3c + d = 59 t4 = 64a + 16b + 4c + d = 119.
Als oplossing van dit stelsel vindt men dan: a = 1, b = 3, c = 2 en d = -1, zodat tn = n³ + 3n² + 2n - 1.
(1 + 2)² = 9 en ook 1³ + 2³ = 9 (1 + 2 + 3)² = 36 en ook 1³ + 2³ + 3³ = 36 (1 + 2 + 3 + 4)² = 100 en ook 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100
Dit blijkt ook verder te kloppen.
WAAROM???
Een visueel bewijs voor het feit dat (1 + 2 + 3)² = 1³ + 2³ + 3³ zie je hieronder. Het volstaat de kubussen met ribbe 2 en ribbe 3 op de gepaste manier op te delen en dan de bekomen delen tot één vlak vierkant te herschikken. Met dank aan Henri Picciotto. In bijlage vind je een analoog (algemeen) bewijs zonder woorden.
En waarom is (x + 1)² = x² + 2x + 1? Dat kan je dan weer op de onderstaande figuur aflezen
En via de onderstaande figuur kan je begrijpen waarom de som 1 + 2 + 3 + ... + 10 gelijk is aan de helft van het product van 10 en 11.
Het product van vier opeenvolgende natuurlijke getallen vermeerderd met 1 is gelijk aan het kwadraat van een natuurlijk getal.
Bewijs. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1 (reken de uitdrukking in het linkerlid distributief uiy) = (n2 + 3n + 1) 2 (gebruik de formule (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc).
Voorbeeld. 16 . 17 . 18 . 19 + 1 = 93 025 = 3052.
Als een natuurlijk getal n gelijk is aan de som van de kwadraten van twee natuurlijke getallen a en b, dan is ook n3 gelijk aan de som van de kwadraten van twee natuurlijke getallen.
Bewijs. We maken gebruik van complexe getallen. Omdat i2 = -1 (imaginaire eenheid) is (a + bi)(a - bi) = a2 + b2. Stel n = a2 + b2 (gegeven). Dan is n3 = (a2 + b2)3 = [(a + bi)(a - bi)]3 = (a + bi)3 (a - bi)3 = (a3 + 3a2bi - 3ab2 - b3i) (a3 - 3a2bi - 3ab2 + b3i) = [ (a3 - 3ab2) + (3a2b - b3)i] [ (a3 - 3ab2) - (3a2b - b3)i] = (a3 - 3ab2)2 + (3a2b - b3)2.
Was Napoleon Bonaparte (1769-1821) een getalenteerde wiskundige?
In elk geval staat is er in de literatuur een stelling op zijn naam. Het is echter niet duidelijk of er een verband is met Napoleon.
De zogenaamde stelling van Napoleon duikt voor het eerst op in 1825 in de publicatie 'The Ladies' Diary' van Dr. W. Rutherford.
Stelling van Napoleon
Als men op de drie zijden van een willekeurige driehoek buitenwaarts een gelijkzijdige driehoek construeert,
dan zijn de zwaartepunten van deze driehoeken de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek.
In bijlage vind je een powerpointpresentatie met een meetkundig bewijs van deze merkwaardige stelling.
Deze stelling houdt verband met
het zogenaamde punt van Fermat (1601-1665)
dat ook bekend staat als het punt van Torricelli (1608-1647).
Dit is het punt binnen een willekeurige driehoek waarvoor de som van de
afstanden tot de drie hoekpunten zo klein mogelijk is.
De constructie ervan is eenvoudig wanneer je gebruik maakt van de drie naar
buiten geconstrueerde gelijkzijdige driehoeken.
Verbind elk nieuw bekomen hoekpunt met het tegenoverliggend hoekpunt van de
oorspronkelijke driehoek ABC.
Het snijpunt van de drie verbindingslijnen is dan het punt van Fermat
(F).
De drie hoeken waaronder men vanuit het punt F de zijden [AB], [BC] en
[CA] ziet, zijn hoeken van 120°.
/0088.gif)
PHI = (1 + √5)/2 (of ongeveer 1,6)
Een afdrukversie van deze tekst zit in bijlage.
Een afdrukversie van deze tabel zit in bijlage.
