'Bewijs' kent in onze samenleving verschillende betekenissen
1. Je kunt bewijzen dat
je Belg bent door je paspoort te tonen (als je tenminste geen vals
paspoort hebt).
2. In de rechtspraak is het bewijs die informatie die aantoont dat de verdachte
datgene heeft gedaan waarvan hij beschuldigd wordt.
3. Een wetenschappelijk bewijs bestaat uit waarnemingen (na onderzoek) die een
hypothese of theorie bevestigen of ontkrachten.
4. Een wiskundig bewijs bestaat uit het aantonen dat een bepaalde bewering
(stelling) waar is, uitgaande van bepaalde axiomas.
Als je in de wiskunde een vermoeden
kunt bewijzen heb je een stelling.
Kijk maar naar de onderstaande voorbeelden.
Vermoeden:De
formule n2 + n + 41 levert voor elk positief geheel getal n een
priemgetal. Bewijs: n = 1 invullen levert het priemgetal 43, n = 2
invullen levert het priemgetal 47, n = 3 invullen levert het priemgetal 53
Maar bij n = 41 levert de formule het getal 1763 en dat getal is deelbaar door
41 en 43 en dus geen priemgetal.
Je hebt een tegenvoorbeeld gevonden en bijgevolg is het vermoeden niet waar.
Vermoeden (laatste stelling
van Fermat): De vergelijking xn + yn = zn heeft
geen gehele oplossingen voor x, y en z als n een geheel getal is groter dan 2.
Pierre de Fermat krabbelde rond 1630
in de kantlijn van een boek dat hij een eenvoudig bewijs had gevonden voor deze
stelling,
maar dat er te weinig plaats was om het volledig bewijs neer te schrijven.
Fermat overleed echter kort daarop en eeuwenlang zochten wiskundigen naar een
sluitend bewijs
(of een tegenvoorbeeld om aan te tonen dat de stelling niet geldig is).
Pas in 1994 slaagde Andrew Wiles er in via geavanceerde wiskundige
technieken dit vermeoden te bewijzen.
We mogen dus terecht spreken van de laatste stelling van Fermat.
Vermoeden (van Goldbach): Elk even getal groter dan 2 is op minstens één manier te schrijven als de som van twee priemgetallen. Tot op vandaag is niemand erin geslaagd dit vermoeden te bewijzen en met computers vindt men ook geen tegenvoorbeeld.
Vermoeden: De som van de hoeken van een driehoek (d.w.z. van elke driehoek) is 180°.
Een klassiek bewijs bestaat er in
door het hoekpunt A een rechte te tekenen die evenwijdig is met BC.
Door gebruik te maken van het feit dat verwisselende binnenhoeken gelijk zijn
en het feit dat de drie aangeduide hoeken in A samen een gestrekte hoek
vormen,
volgt hieruit dat de som van de drie hoeken van driehoek ABC gelijk is aan
180°.
Vermoeden: Overstaande hoeken zijn gelijk.
In een filmpje van de Nederlandse schooltelevisie wordt dit vermoeden op een visuele manier wordt bewezen.
Voor de stelling van Pythagoras zijn er zeker meer dan 100 bewijzen beschikbaar.
De bovenstaande figuur geeft zelfs een 'bewijs zonder woorden'. Kan je uitleggen waarom dit een valabel bewijs is voor de stelling van Pythagoras?
Op http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ kan je al meer dan 80 verschillende bewijzen vinden voor deze fundamentele stelling uit de vlakke Euclidische meetkunde.
In 2008 publiceerden Benoit Baudelet en Michel Sebillo in Losanges een nieuw en erg origineel bewijs.
Collega Hugo Staelens nam het op in zijn rubriek 'Uit de klas geklapt...' in het tijdschrift Wiskunde & Onderwijs nr. 138 (2009). Je vindt het bewijs in bijlage.
De tweede bijlage bevat een eenvoudig visueel bewijs van de stelling van Pythagoras. Kan je uitleggen waarom dit een geldig bewijs is?
De laatste bijlage is een werktekst over de stelling van Pythagoras, waarin een aantal originele bewijzen in opdrachtvorm zijn opgenomen.
Voor heel wat wiskundigen (o.a. Prof. Jan van de Craats) is de onderstaande legpuzzel het favoriete bewijs voor de stelling van Pythagoras!
In het Internationaal Jaar van de Sterrenkunde 2009 past het om de Kuifjesstrip De geheimzinnige ster terug eens boven te halen. In deze strip heeft Professor Hippolytus Kalys berekend dat op een bepaalde dag precies om 8 uur 12 minuten en 30 seconden een enorme vuurbal in botsing zal komen met de aarde. Hij bedelft Kuifje meteen onder de papieren waarop hij de berekeningen heeft uitgevoerd.
Ook in de strip Kuifje in Afrika komt een tafereeltje uit een wiskundeles voor. In de oorspronkelijke editie Kuifje in Congo ging het echter om een geschiedenisles waarin Kuifje aan enkele negertjes uit de toenmalige Belgische kolonie uitleg geeft over de geschiedenis van België. In de latere versies van deze strip vraagt Kuifje aan de negertjes hoeveel twee plus twee is. Ze blijven echter het antwoord schuldig...
In augustus 2007 diende Mbutu Monondo Bienvenue, een Congolese student in België, een aanklacht in bij de officier van justitie in Brussel over de strip. De man vond het album een belediging voor alle Congolezen en noemde het stripverhaal racistisch, o.a. omdat alle Congolezen hierin als dom werden afgeschilderd. Hij eiste een symbolische schadevergoeding van 1 euro, alsmede dat het album uit de handel zou worden genomen
In de Kuifjesstrips lopen echter heel wat exentrieke geleerde heren rond. De meest bekende is ongetwijfeld professor Trifonius Zonnebloem, die voor het eerst opduikt in De schat van scharlaken Rackham, het elfde Kuifjesverhaal. Zonnebloem is een geniale uitvinder, verstrooid en doof op het lachwekkende af. Het is echter ook een romantische ziel, die enerzijds de ambitieuze droom koestert om de eerste mens op de maan te zetten, maar anderzijds een nieuwe rozenvariëteit kweekt. Hij noemt de roos Bianca en weet hiermee de imposante operadiva Bianca Castafiore te charmeren.
Hergé vond zijn inspiratie voor de figuur van professor Zonnebloem bij de Auguste Piccard, een eminent Zwitserse geleerdeen hoogleraar aan de Vrije Universiteit Brussel. Piccard slaagde erin om in 1931 met een luchtballon hoger te klimmen in de stratosfeer dan wie ook voor hem, nl. tot op 15.781 meter hoogte. In 1960 daalde zijn zoon Jacques Piccard met de bathyscaaf van zijn vader af tot op een diepte van 10.916 meter, het diepste punt op aarde, in de Marianentrog.
Trifonius Zonnebloem Professor Auguste Piccard (1884-1962)
Op 20 oktober 2009 overleed Jef Nys, de geestelijke vader van Jommeke en pionier van de Vlaamse kinderstrip.
Jef was een bescheiden, maar gerespecteerd man. Op zijn gedachtenisprentje staat de volgende tekst te lezen:
Wat is het wat een mens tot mens maakt?
Niet zijn rijkdom, niet zijn macht, niet zijn te grote functie of hoge titel. Mensen die bouwen aan hun eigen gewichtigheid vallen heel licht uit.
Wat een mens tot een mens maakt is wel: zijn eenvoud, zijn goedheid en liefde, zijn rechtschapenheid ...
Het eerste stripalbum van Jommeke De jacht op een voetbal verscheen in 1959.
De vriendjes van Jommeke duiken pas op in album nr. 2 De zingende aap en Professor Gobelijn verschijnt op het toneel in album nr. 4 De purperen pillen.
In album nr. 227 Het brein van Gobelijn zit Jommeke te piekeren over een wiskundig vraagstukje, dat Filiberke blijkbaar in een-twee-drie kan oplossen.
In bijlage vind je dit vraagstukje (en de oplossing).
In 1964 verscheen het favoriete album nr. 26 van Jef Nys : Kinderen Baas.
Daarin test Professor Gobelijn de wiskundekennis van Jommeke door hem te vragen een ingewikkelde formule uit te werken.
Jommeke heeft echter geluk want er blijkt een fout in de opgave te zitten, waardoor het probleem onoplosbaar is.
Zo zie je maar dat studenten ook al eens een wiskundige meevaller kunnen hebben (zie bijlage)!
De afkorting DIN staat voor Deutsches Institut für Normung, de Duitse nationale normeringsinstantie die gevestigd is in Berlijn. In 1920 dook voor het eerst de DIN-norm op voor papierformaat nl. DIN-A4.
De A-serie van papierformaten is een serie van vellen waarbij het eerstvolgende vel steeds een tweemaal zo grote (of kleine) oppervlakte heeft.
De verhouding tussen de lange en de korte zijde is zo, dat wanneer het vel over de lange zijde in twee wordt geknipt
(dus de oppervlakte gehalveerd), er twee kleinere rechthoeken onstaan die gelijkvormig zijn met de grotere rechthoek.
Dus als k de korte zijde en l de lange zijde van een blad papier uit de A-serie is, geldt:
ofwel
ofwel
Hieruit blijkt dat de verhouding tussen de lange en korte zijde de vierkantswortel uit 2 is.
De serie begint met A0, een vel met een oppervlakte van 1 vierkante meter.
Met de berekende verhouding levert dat een vel op van 1189 mm bij 841 mm.
Door deling volgt hieruit de complete serie:
naam
lengte
breedte
A0
1189 mm
841 mm
A1
841 mm
594 mm
A2
594 mm
420 mm
A3
420 mm
297 mm
A4
297 mm
210 mm
A5
210 mm
148 mm
A6
148 mm
105 mm
A7
105 mm
74 mm
A8
74 mm
53 mm
A9
53 mm
37 mm
A10
37 mm
26 mm
A11
26 mm
18 mm
Kijk eens na of postzegels ook een A-formaat hebben!
Hieronder zie je een leuke postzegel uit Australië waarop allusie wordt gemaakt op het verband tussen graden Celsius en graden Fahrenheit.
Ken je de formule voor de omzetting van graden Celsius naar graden Fahrenheit (en omgekeerd)?
Het Vlaams wiskundetijdschrift Uitwiskeling bestaat 25 jaar
Dit jaar viert het wiskundetijdschrift Uitwiskeling zijn zilveren jubileum.
Reeds 25 jaar lang wil Uitwiskeling nieuwe ideeën aanreiken voor de klaspraktijk.
Dit tijdschrift van en voor leraren heeft ook een webstek: www.uitwiskeling.be.
je vindt er o.a. een overzicht van alle vorige jaargangen, een korte beschrijving van de inhoud van de volgende nummers, applets en links naar andere sites.
Interessant zijn ook de werkbladen die de redactie ter beschikking stelt.
Als smaakmaker vind je in bijlage vijf werkbladen over statistiek uit het nummer 18/1 van december 2001.
De Guidonische lettergrepen zijn de oud-Latijnse benamingen van de zes tonen van het hexachord, ut-re-mi-fa-sol-la, een groep van zes opeenvolgende tonen.
De zes benamingen werden in de 11e eeuw bedacht door Guido van Arezzo.
Pas in de 19e eeuw werd er een zevende toon aan het stelsel toegevoegd en in sommige landen de ut vervangen door do.
De Guidonische lettergrepen werden in de Middeleeuwen gebruikt om zangers direct van het blad te leren zingen, zonder voorstudie van het materiaal.
De namen werden ontleend aan de - in die dagen overbekende - hymne Ut quaeant laxis, een hymne van Paolo Diacono (Paolo di Varnefrido (720-799)) ter ere van Johannes De Doper.
In de Latijnse tekst hieronder herken je ongetwijfeld de noten ut-re-mi-fa-sol-la-si als beginwoord of beginletters van de woorden:
UT queant laxis REsonare fibris
MIra gestorum FAmuli tuorum,
SOLve polluti LAbii reatum,
Sancte Iohannes.
Het octaaf is in de muziek het interval tussen twee tonen waarvoor geldt dat de frequentie van de ene toon precies het dubbele is van die van de andere.
In dat verband wordt de toon met de dubbele frequentie wel het octaaf van de andere toon genoemd.
Het woord octaaf is afgeleid van het Latijnse octavus, dat "achtste" betekent.
Een diatonische toonladder (dat is de basistoonladder van de westerse muziek) bestaat namelijk uit acht noten, en beslaat precies een octaaf,
dat wil zeggen dat de eerste en de achtste noot precies een factor twee in toonhoogte verschillen.
Bron: Wikipedia.
Hieronder staat een octaafafstand tussen twee tonen C aangeduid op een pianoklavier.
Sinds het begin van de 19de eeuw worden piano's meestal gestemd volgens de zogenaamde evenredige twaalftoonstemming.
Dit betekent dat men het octaaf indeelt in 12 intervallen.
Wanneer men vertrekt van een toon met frequentie ν (bv. de la, die volgens internationale afspraak overeenkomt met een toon van 440 Hz),
bekomt men zo een meetkundige rij van 13 deelpunten of 12 intervallen met frequenties ν, kν, k2ν, k3ν, ..., k11ν, k12ν.
Dit komt overeen met een octaaf en dan volgt hieruit dat k12ν = 2ν (nl. verdubbeling van de frequentie).
Dit betekent dat de factor k gelijk is aan 21/12 (de twaalfdemachtswortel van 2 = 12 √2 ).
Volgens de sensatiewet van Fechner ervaren we deze prikkels (die een meetkundige rij met reden 21/12 vormen) als opeenvolgende termen van een rekenkundige rij.
Die rij bekomt men door van de bovenstaande meetkundige rij de 2log te nemen: 2log ν, 1/12 + 2log ν, 2/12 + 2log ν, ..., 11/12 + 2log ν, 1 + 2log ν.
Merk op dat dit een rekenkundige rij is met verschil 2log 21/12 = 1/12.
Een mooie toepassing van de meetkundige rij met reden 21/12 vindt men in de afstanden tussen de zogenaamde frets (ijzeren staafjes op de hals) van een gitaar.
Als we de afstand van de kam tot een bepaalde fret aanduiden met di en de afstand van de kam tot de daaronder liggende fret met di+1, dan is de di /di+1 = 21/12.
Dezelfde regelmaat vindt men ook terug bij orgelpijpen. Hieronder zie je hiervan een visuele voorstelling.
De langste pijp meet bv. 200 cm en door telkens de lengte van een pijp te delen door 12 √2 krijg je lengte van de volgende pijp. Bron: www.wisfaq.nl.
Je vindt hierbij nog drie bijlagen.
Rijen 1. Een tekst van UHasselt in het kader van 'Geboeid door Wiskunde en Wetenschappen'. Deze tekst behandelt o.a. de rij van Fibonacci, rekenkundige en meetkundige rijen, fractalen (driehoek van Sierpinski en sneeuwvlok van Koch).
Rijen 2. Een bewerking van de vorige tekst door collega Leon Lenders (Bree). Hierbij zit een originele bijdrage over 'een harmonische stapel bakstenen'.
Rijen en frets op een gitaar, door Martijn de Bruijn en Ramon Handulle (Technische Universiteit Delft).
Voor wie meer wil weten over de plaatsing van de frets op een elektrische of een akoestische gitaar.
"Maar wanneer zal ik de sterrenhemel maken, dat schilderij dat ik voortdurend in mijn hoofd heb?" (Vincent Van Gogh, Sterrenhemel boven de Rhône, Musée d' Orsay, Parijs)
We komen en we gaan
Jij hield je vast aan zekerheid Jij noemde elke ster bij naam Ik zei: 'Ik wil verwonderd zijn' Omdat we komen en we gaan
De wetenschap mag weten Het wonder blijft bestaan Ik weet maar één ding zeker De rest mag je vergeten Wij komen en wij gaan
De priesters mogen preken Ik blijf er ver vandaan Ik weet maar éénn ding zeker De rest mag je vergeten Eén waarheid blijft bestaan We komen en we gaan ...
De Vlaamse architecten Voet-Theuns (www.voet-theuns.be) zijn de wiskundige knobbels achter de phi-link-tafel.
In de afmetingen is het gulden getal phi = (1 + √5)/2 verwerkt en men kan verschillende tafels op heel diverse manieren tot één geheel aan elkaar linken.
Dit verklaart meteen de naam phi-link-tafel.
Het feit dat de tafels op heel veel manieren tegen elkaar kunnen geschoven worden heeft
o.a. te maken met het feit dat drie van de vier zijden even lang zijn, dat één van de hoeken 60° is en één van de hoeken een rechte hoek is.
We voegen hierbij twee bijlagen: - een brochure met uitleg over de exacte afmetingen van de philinktafels en verschillende configuraties; - een werkopdracht waarin je moet bewijzen waarom het getal phi opduikt in de verhouding van de afmetingen van de zijden van de philinktafel.
Door op het blauw gekleurde begrip te klikken, krijg je meteen bijkomende uitleg vanuit MathWorld van Eric Weisstein.
Wil je weten wat er speciaal is aan jouw geboortedatum (een getal van 8 cijfers: ddmmjjjj), tik dan dit getal in op http://www.coolnumbers.com/
Ik deed zelf even de test met de datum van gisteren (8 september 2009), tikte hiervoor 08092009 in en ontdekte zo dat het getal 8 092 009 een priemgetal is.
Wil je te weten komen wat er bijzonder is met een bepaalde rij getallen, tik dan de eerste vijf termen in (gescheiden door komma's ) op de volgende website (kies Use Database):
Ik deed de test met twee rijen: - voor 4,7,12,19,28 ontdekte het programma vlot de uitdrukking voor de algemene term a(n) = n² + 3 - de rij 4,7,11,18,29 blijkt een rij Lucasgetallen te zijn, waarbij vanaf de derde term elk getal de som is van de twee voorgaande termen.
Op 1 juli 1940 werd de op twee na grootste hangbrug ter wereld in gebruik genomen, nabij Tacoma in de Verenigde Staten.
Al vanaf het begin bleek de Tacoma Narrows Bridge zich erg vreemd te gedragen.
Bij een licht briesje bleek de brug te golven en al vlug kreeg de brug daarom de bijnaam Galloping Gertie.
Het werd zelfs een sport om bij winderig weer met de wagen over de brug heen te rijden,
want het kon gebeuren dat de golfbeweging zo sterk toenam dat men op een bepaald moment zelfs zijn voorligger niet meer zag.
Op 7 november 1940 stak er echter een sterke zuidwestenwind op en meteen
trad een fenomeen op
dat men nog nooit eerder bij bruggen had vastgesteld: de brugbegon ook in de dwarsrichting te schommelen.
Om 11 uur s morgens gebeurde dan het drama: de brug stortte in.
Behalve een hondje dat in een wagen op de brug was achtergelaten, waren er geen
slachtoffers.
Van de ineenstorting van de brug werden fotos en filmopnames gemaakt.
Hieronder kan je via een spectaculair filmpje het instorten van de brug bekijken.
Een onderzoek wees uit dat de brug geheel conform met de
toenmalige ingenieurseisen was gebouwd
en niemand kon verklaren waarom de brug instortte.
Er kwam een internationale onderzoekscommissie waarin ook de befaamde
ingenieur en fysicus Theodore von Kármán zetelde.
Hij was een expert op het gebied van de aerodynamica en toonde aan dat de windstoten de brug tot de natuurlijke resonantie hadden gebracht.
Zijn theorie werd in een windtunnel bevestigd. Sinds het ineenstorten van de Tacoma Narrows Bridge worden allerlei bruggen eerst in modelvorm in windtunnels getest.
Theodore von Kármán maakte als eerste een grondige studie van wervelingen die ontstaan achter een voorwerp dat zich in een stromend medium (lucht of water) bevindt.
Deze vortexvorming werd trouwens naar hem genoemd en is bijvoorbeeld van belang bij de constructie van vliegtuigvleugels.
Deze wervelingen kunnen immers het afbreken van een vleugel veroorzaken.
In bijlage zit een document met de wiskundige behandeling van het fenomeen 'resonantie'. Aan de hand van een differentiaalvergelijking van tweede orde kan men het begrip eenvoudig uitleggen.
Je vindt hierbij ook een tekst van een werkcollege over differentiaalvergelijkingen van collega Bart Windels (met oefeningen en oplossingen).
Gregor Mendel (1822-1884) was een Oostenrijkse Augustijnermonnik met een levendige belangstelling voor plantkunde.
Hij is vooral bekend geworden door zijn onderzoek op overerving van eigenschappen bij erwten.
Hierbij ontdekte hij dat er van een bepaalde eigenschap dominante en recessieve vormen bestaan.
Door gericht kruisingen door te voeren kon hij hiervoor wetmatigheden opstellen. Deze staan gekend als "de wetten van Mendel".
Zijn bevindingen waren een aanvulling op de theorie van Darwin.
Hij ontdekte dat bepaalde erfelijke factoren werden doorgegeven in wat men later de 'genen' zou noemen.
Mendel wordt beschouwd als één van de grondleggers van de genetica.
Om zijn theorie goed te begrijpen, kan het gebruik van wiskundige modellen zoals kansbomen of zogenaamde Punnettschema's hulp bieden.
Ook bij de studie van bloedgroepen probeert men informatie (o.a. van donoren en ontvangers) schematisch voor te stellen.
Een plusteken (groen vakje) geeft aan dat transfusie mogelijk is.
In bijlage vind je een werkopdracht (met oplossingen) over het gebruik van kansbomen en diagrammen in de genetica en de biologie. Met dank aan collega's Gilberte Verbeeck en Marie-Claire Geladé voor de discussies over dit onderwerp.
Wanneer we de IQ's van een aselecte proefgroep uittekenen als een frequentieverdeling,
krijgen we een vrij goede benadering van de Gausscurve of normaalverdeling (zie onderstaande figuur).
Op de horizontale as staan de IQ-scores. Bij een degelijke IQ-test zal men ervoor zorgen dat de gemiddelde testscore gelijk is aan 100
en dat de standaardafwijking (= de gemiddelde afwijking t.o.v. het gemiddelde) gelijk is aan 15.
Op de verticale as staan de overeenkomstige percentages (deel van de bevolking met een bepaald IQ).
Doordat de normaalverdeling symmetrisch is, wil dit zeggen dat 50% van de mensen een IQ hebben dat kleiner of gelijk is aan 100.
Ongeveer 84% mensen hebben een IQ kleiner of gelijk aan 115.
Slechts 2,5% heeft een IQ hoger dan 130. Ongeveer 68% van de bevolking heeft een IQ tussen 85 en 115.
Traditioneel worden een aantal categorieën onderscheiden.
Aan het ene eind van de verdeling vinden we de groep van de minstbegaafden, dit zijn de personen met een IQ van minder dan 70 (ongeveer 2,5% van de bevolking).
Binnen deze groep maakt men soms het onderscheid tussen idioten (IQ < 30), imbecielen (IQ tussen 30 en 50), debielen (IQ tussen 50 en 70).
Naast deze groep van minstbegaafden onderscheiden we nog de minderbegaafden (70-85), de gemiddeld (85-115) en meerbegaafden (115-130) en de hoogbegaafden (> 130).
Gebruik de cijfers van 1 tot en met 9 elk één keer en zorg ervoor dat de bewerkingen horizontaal en verticaal kloppen. Denk aan de volgorde van de bewerkingen: vermenigvuldigen en delen (aangeduid met /) hebben voorrang op optellen en aftrekken!
Puzzel 2 (Number Block)
Vul in de lege vakjes cijfers van 0 tot en met 9 in. Eenzelfde cijfer mag je meer dan één keer gebruiken. Door de cijfers per rij, per kolom en volgens de twee diagonalen op te tellen moet je telkens de aangeduide som bekomen.
De oplossingen van puzzel 1 en puzzel 2 zitten in bijlage.
Liefhebbers van woordzoekers komen ongetwijfeld aan hun trekken met de wiskundige woordzoeker in bijlage,
die we met toestemming van de redactie van Puzzelland publiceren.
Op www.puzzelland.com vind je dagelijks een portie uitdagende cijferpuzzels.
Bonaventura Cavalieri (1598-1647) ontdekte in de 17de eeuw een principe dat aan de basis zou liggen van de integraalrekening.
Principe van Cavalieri:
Als twee lichamen bovenaan en onderaan begrensd zijn door evenwijdige vlakken en indien de dwarsdoorsneden van beide lichamen, evenwijdig met deze vlakken, op dezelfde hoogte dezelfde oppervlakte hebben, dan hebben beide lichamen hetzelfde volume.
Toepassing.
Via het principe van Cavalieri stellen we de formule op voor de inhoud van een bol aan de hand van de formules voor de inhoud van een cilinder en een kegel.
Op de bovenstaande figuur zie je links een cilinder, waarvan de straal van het grondvlak en de hoogte gelijk zijn aan r.
Hieruit is een kegel geboord, waarvan de straal van het grondvlak en de hoogte eveneens gelijk zijn aan r. De ring op hoogte y heeft dan als oppervlakte A1(y) = πr 2 πy 2.
Rechts is een bol afgebeeld met straal r. Beschouw nu de cirkel op hoogte y gerekend vanaf het evenaarsvlak.
De straal r' van deze cirkel kan men direct bepalen via de stelling van Pythagoras: r' 2 + y 2 = r' 2 , m.a.w. r' = √(r 2 y 2).
De oppervlakte van deze cirkel is dan A2(y) = π(r 2 y 2).
Hieruit blijkt dat A1(y) = A2(y), zodat we het principe van Cavalieri kunnen toepassen op de cilinder waaruit een kegel is geboord en de halve bol.
Het volume van het linkse lichaam is het verschil van een cilinder en een kegel of π.r 2.r (1/3).π. r 2.r = (2/3) π. r 3.
Dit is dan gelijk aan het volume van een halve bol en bijgevolg is het volume van een bol met straal r gelijk aan (4/3). π . r 3.
Heb je al ooit op een vrijdag de 13de een zwarte kat onder een ladder zien doorlopen?
Triskaidekafobie is een specifieke fobie voor het getal 13. De naam is afkomstig van het Griekse triskaideka (dertien) en fobos (angst).
Het getal 13 staat in bepaalde vormen van bijgeloof te boek als een ongeluksgetal.
In een aantal passagiersvliegtuigen is er geen rij met nummer 13 en in de Verenigde Staten tref je zelfs wolkenkrabbers aan zonder 13de verdieping!
Een aantal mensen nemen op vrijdag de 13de steeds verlof om zo zonder risico thuis te kunnen blijven. Bij racewedstrijden van formule 1 wil men geen startnummer 13 gebruiken.
En dan was er ook nog de mislukte ruimtemissie van Apollo XIII, met een reis naar de maan maar zonder maanlanding.
Twee dagen na de lancering op 11 april 1970, terwijl het ruimteschip zich tussen de aarde en de maan bevond,
ontplofte een zuurstoftank waardoor de bemanning feitelijk schipbreuk leed in de ruimte.
De bemanning sprak de historische woorden: "Houston, we have a problem".
Gelukkig liep dit avontuur uiteindelijk nog goed af voor de drie bemanningsleden Jim Lovell, Jack Swigert en Fred Haise.
Er zijn verschillende mogelijke verklaringen voor het bijgeloof in het getal dertien en voor vrijdag de dertiende.
Op vrijdag 13 oktober 1307 werden in Frankrijk alle Tempeliers op bevel van Philips de Schone werden gearresteerd, op grond van valse beschuldigingen. Dit betekende meteen de opheffing van de Orde van de Tempeliers.
Op het Laatste Avondmaal zaten er 13 mannen aan tafel: één ervan, nl Judas Iskariot zou Jezus verraden.
Er is een oud vooroordeel tegenover vrouwen, die 13 maanperiodes (menstruaties) per jaar doormaken.
De naam van de beruchte misdadiger Jack the Ripper telt 13 letters.
In een heksenkring zaten 13 heksen.
13 is een priemgetal.
De mafste fobie is ongetwijfeld de hippopotomonstrosesquippedaliofobie.
Sesquipedalofobie is de ziekelijke, irrationale angst voor het lezen of uitspreken van lange woorden.
Het woord is afgeleid van het Latijnse sesquipedalis (lang, omslachtig, veellettergrepig, letterlijk: anderhalve voet lang) en het Griekse fobos (angst).
In de loop der tijd is voor hetzelfde begrip het woord hippopotomonstrosesquip(p)edaliofobie ontstaan.
De uitbreidingen zijn gebaseerd op de woorden hippopotamos (Grieks: nijlpaard) en monstrum (Latijn: gedrocht).
Door de eeuwen heen kende ook de numerologie heel wat bijval.
Getallensymboliek is het toekennen van betekenis aan getallen, die die getallen niet zeer vanzelfsprekend hebben.
Vaak gaat het om getallen die bepaalde wiskundige eigenschappen bezitten.
Numerologie en op numerologie gebaseerde voorspelling waren reeds populair onder vroege wiskundigen zoals Pythagoras,
al wordt het door huidige mathematici niet langer beschouwd als deel uitmakend van de wiskunde maar eerder als pseudo-wetenschap.
Een gelijkaardige historisch geëvolueerde waardering zien we eveneens bij astrologie - astronomie en alchemie - chemie.
Tegenwoordig wordt numerologie net zoals astrologie vaak geassocieerd met de occulte praktijk van voorspelling. (Bron: Wikipedia).
Een voorbeeld van deze getallensymboliek is de berekening van jouw persoonlijk geboortecijfer.
Voor een persoon die bijvoorbeeld op 27 december 1961 (27/12/1961) geboren is, verloopt de berekening als volgt: - tel eerst alle cijfers van de geboortedatum bij elkaar op: 2 + 7 + 1 + 2 + 1 + 9 + 6 + 1 = 29; - tel van deze som weer de cijfers bij elkaar op en herhaal dit tot je uiteindelijk nog één cijfer overhoudt: 2 + 9 = 11 en 1 + 1 = 2. Voor deze persoon is 2 dus het geboortecijfer.
De luchtfoto's van Yann Arthus-Bertrand zullen ongetwijfeld niet enkel wiskundigen imponeren. De regelmaat in de patronen, de compositie van de elementen en de kleurschakeringen zorgen immers voor een mathematisch-esthetische ervaring.
De grootste aangeplante doolhof ter wereld bevindt zich in Reignac-sur-Indre (Frankrijk).
Tulpenvelden in de omgeving van Amsterdam.
Het Atomium, een ontwerp van architect André Waterkeyn stelt een kubische ijzerkristalstructuur voor, 165 miljard keer vergroot. De negen bollen symboliseren de 9 (ondertussen 10) Belgische provincies. In het novembernummer van 2009 van het wetenschappelijk tijdschrift EOS verscheen een opmerkelijk artikel over het Atomium. Na de restauratie van 2006-2008 heeft ons nationaal monument immers een SCHEVE BOL. Je kan het artikel lezen in bijlage.
Als een wiskundeleraar van zijn leerlingen een beetje creatieve aanpak bij het oplossen van problemen verwacht, dan is parate kennis onontbeerlijk. Voor mijn studenten die in het vijfde jaar aso een studierichting met 6 wekelijkse lestijden volgen, heb ik daarom een instapformularium opgesteld. Je vindt het in bijlage.
Kwestie van het schooljaar op een opgewekte manier te beginnen ...
De zeef van Eratosthenes met de priemgetallen kleiner dan 120
Vier wetenswaardigheden over priemgetallen.
1 Wat zijn priemgetallen? Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7, 11, .... De naam priemgetal is afgeleid van het Latijnse woord 'primus', wat eerste of primair betekent. Priemgetallen kan men immers de atomen van de getallenleer noemen omdat elk natuurlijk getal groter dan 1 ofwel zelf een priemgetal is, ofwel op een unieke manier te schrijven is als een product van priemgetallen. Zo is bv. 180 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 22 . 32 . 5 en 2009 = 7 . 7 . 41 = 72 . 41. Men zegt dan dat 7 en 41 priemdelers zijn van 2009.
2 Zijn er oneindig veel priemgetallen? Ja! Dit is reeds in de 3de eeuw v. Chr. bewezen door Euclides. Hij gebruikte hiervoor een bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel immers dat het aantal priemgetallen eindig is en dat p het grootste priemgetal is. We maken dan het product van al deze priemgetallen en tellen er 1 bij op. Zo bekomen we het getal N = (2 . 3 . 5 . 7 ... p) + 1. Nu zijn twee mogelijkheden: - ofwel is dit een priemgetal. Maar dan hebben we meteen een contradictie met het feit dat p het grootste priemgetal zou zijn, m.a.w. we er bestaat toch een priemgetal N dat groter is dan p; - ofwel is N zelf geen priemgetal. Maar dan heeft N een priemdeler p', die groter moet zijn dan p, want als we N delen door alle priemgetallen van 2 tot en met p is de rest telkens 1. Bijgevolg bestaat er een priemgetal p' groter dan p, wat opnieuw in contradictie is met de veronderstelling dat p het grootste priemgetal is.
In het tijdschrift American Mathematical Monthly van december 2006 publiceerde Filip Saidak, een Slovaakse wiskundige een verrassend eenvoudig nieuw bewijs van de stelling dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Zijn bewijs luidt als volgt. Stel n is een geheel getal groter dan 1. De getallen n en n + 1 verschillen slechts 1 en hebben dus geen gemeenschappelijke priemfactoren. Dat betekent dat het getal N2 = n(n + 1) ten minste twee verschillende priemfactoren heeft. Voor de getallen N2 en N2 + 1 geldt hetzelfde: zij verschillen slechts 1 en moeten dus ten minste twee verschillende priemfactoren hebben. Het getal N3 = N2( N2 + 1) = n(n + 1)[ n(n + 1) + 1] heeft dus minimaal drie verschillende priemfactoren. Dit proces kan eindeloos worden voortgezet: het getal Nk heeft ten minste k priemfactoren. Omdat dit voor elk positief geheel getal k geldt, kan de rij priemgetallen nooit ophouden.
Filip Saidak
3 Bestaat er een algemene formule voor alle priemgetallen? Wellicht niet, maar dit is een open probleem. Leonard Euler merkte op dat p(n) = n² + n + 41 voor de waarden n = 0, 1, 2 ... tot en met 39 een priemgetal oplevert. Dit is niet meer waar voor n = 40 want p(40) = 40² + 40 + 41 = 1681 = 41² .
In de derde eeuw v. Chr. ontwikkelde de Griekse wiskundige Eratosthenes een algoritme waarmee hij een lijst van de priemgetallen kon opstellen. Deze methode staat bekend als de zeef van Eratosthenes. De werkwijze wordt geïllustreerd bovenaan deze pagina. Als men de natuurlijke getallen rangschikt in rijen van 6 (zoals op de onderstaande figuur), dan blijkt dat alle priemgetallen groter dan 3 terug te vinden zijn in de eerste en de vijfde kolom. Elk priemgetal groter dan 3 is immers een zesvoud ± 1.
Ook de Franse monnik Marin Mersenne (1588 1648) zocht naar een formule voor priemgetallen. Hij onderzocht de getallen van de vorm Mp = 2p -1, waarbij p een priemgetal is en merkte op dat M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 en M7 = 127 allemaal priemgetallen zijn. Dit bleek echter niet meer waar voor M11, nl. M11 = 211 - 1 = 2047 = 23 . 89.
Marin Mersenne
Priemgetallen van de vorm 2p - 1, met p een priemgetal, worden Mersenne-priemgetallen genoemd. Via de GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) proberen wiskundigen via de formule van Mersenne steeds grotere priemgetallen te vinden. Deze getallen zijn immers van groot belang voor de cryptografie, de wetenschap die zich bezighoudt met het coderen van gegevens. Meer hierover lees je op http://primes.utm.edu, waar je o.a. het grootst gekende priemgetal kan vinden. Ook jij kan mee helpen zoeken naar een nieuw grootste priemgetal en misschien zo eeuwige roem of 100 000 dollar verwerven. Meer uitleg op http://www.mersenne.org/.
4 Welke open problemen rond priemgetallen houden de wiskundigen bezig? Zoals eerder gemeld zoekt men steeds grotere priemgetallen en blijft het een open vraag of er een algemene formule bestaat voor priemgetallen. Het meest beroemde probleem rond priemgetallen is echter de zogenaamde Goldbach-conjectuur. Christian Goldbach (1690-1764) schreef in 1742 een brief naar Euler waarin hij het vermoeden formuleerde dat elk even getal groter dan 2 de som is van twee priemgetallen. Voor zover men met computers heeft kunnen controleren blijkt dit altijd waar te zijn, maar een algemeen bewijs hiervoor is nog niet gevonden.
Kristof Scheys en Stijn Vermeeren (oudleerlingen van het Sint-Jozefscollege in Aarschot) schreven een boeiend eindwerk bijeen rond priemgetallen. Zie bijlage.
De oplossingen van puzzel 1 en puzzel 2 zitten in bijlage.
