Niet alleen wiskunde, maar ook fietsen blijkt gezond te zijn voor het hart.
Op www.ehct.be  verneem je meer over de EURO HEART CYCLING TOUR.

Het doel van de EURO HEART CYCLING TOUR
is om het belang van lichaamsbeweging in het algemeen – en fietsen in het bijzonder – te onderstrepen
in de preventie tegen hart- en vaatziekten.
Een gezonde en evenwichtige levensstijl is immers belangrijk.
In België sterven jaarlijks bijna 40.000 mensen aan hart- en vaatziekten.     
Het gezondheidscharter van de Europese Unie stelt dat fietsen het medium bij uitstek is
voor cardiovasculaire preventie en revalidatie.

Hieronder leg ik je nog vlug even uit hoe je een perfect hartje tekent
met jouw grafische rekenmachine
en dan spring ik vlug op de fiets voor nog enkele boodschappen!

01-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Studenten beschikken niet altijd over de nodige parate kennis.

Het is dan belangrijk dat ze kunnen terugvallen op een formularium.

Zelf stelde ik voor mijn studenten voor de laatste twee jaar van het secundair onderwijs enkele formularia op.

Misschien kunnen ze ook nog voor jou of jouw studenten van nut zijn om sommige problemen aan te pakken.

In bijlage: formularia voor goniometrie, afgeleiden, integralen, combinatoriek en analytische ruimtemeetkunde.

Bijlagen:
Formularium voor AFGELEIDEN.doc (70.5 KB)   
Formularium voor ANALYTISCHE RUIMTEMEETKUNDE.doc (157 KB)   
Formularium voor COMBINATORIEK.doc (29 KB)   
Formularium voor GONIOMETRIE.doc (135 KB)   
Formularium voor INTEGRALEN.doc (69 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

********************************************************************************************************************
10801

Men of Science - Luc Janus

********************************************************************************************************************
10801 is een strobogrammatisch getal (een getal dat gelijk blijft als je het over 180° draait).
Het Griekse woord στροβος (strobos) betekent 'rondwerveling'.

10801 = 7 x 1543
Er zijn 7 goede redenen om aan te nemen dat in 1543 een omwenteling begon op wetenschappelijk gebied in Europa.

1543: Nicolaus Copernicus publiceert De revolutionibus orbium caelestium
waarin hij een wiskundige argumentatie geeft voor een heliocentrisch model.

1543: Andreas Vesalius publiceert De humani corporis fabrica
     dat voor een revolutie zorgde in de kijk op de menselijke anatomie.

1543: Robert Recorde publiceert Arithmetic, The Ground of Art,
het eerste tekstboek in Engeland over algebra.
Recorde introduceerde het symbool = (is gelijk aan).

1605: Francis Bacon publiceert Advancement of Learning,
een filosofisch werk waarin hij een nieuwe methode voorstelt
om wetenschappen aan te leren.

1609: Johannes Kepler publiceert Astronomia Nova,
waarin hij de planetenbeweging wetmatig verklaart.

1637: René Descartes publiceert Discours de la Méthode,
een eerste poging tot echt wetenschappelijk onderzoek.

1687: Isaac Newton publiceert Principia Mathematica
       waarin hij de differentiaal- en integraalrekening introduceert.

Ja, in 100 jaar tijd kan er heel wat veranderen!

31-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In 1913 publiceerde Frederico Mariares opmerkelijke formules voor de som van de kwadraten van de eerste n oneven en even getallen.

Hij legde meteen een verband met de driehoeksgetallen.

Hieronder staan de eerste vijf driehoeksgetallen afgebeeld.

Formule van Mariares voor de som van de kwadraten van de eerste n oneven getallen:

Formule van Mariares voor de som van de kwadraten van de eerste n even getallen:

Merk op dat de som van de eerste n driehoeksgetallen ook gelijk is aan het n-de  viervlaksgetal (zie bijlage);

Het is een leuke uitdaging om de geldigheid van de twee formules van Mariares aan te tonen via een bewijs door volledige inductie.

Bijlagen:
C._Althoen_and_C._B._Lacampagne.pdf (128.7 KB)   

DE STELLING VAN MONSKY

 Fred Richman stelde in 1965 in het tijdschrift  the The American Mathematical Monthly de vraag

of het mogelijk is om een vierkant te verdelen in een oneven aantal driehoeken met dezelfde oppervlakte.

Hij vond het (samen met jou wellicht) nogal evident dat het mogelijk is dat te doen in een willekeurig even aantal driehoeken.

Hieronder zie je een oplossing die bijna correct is voor de verdeling in zeven even grote driehoeken.

Pas in 1970 zou  Paul Monsky erin slagen te bewijzen dat de verdeling van een vierkant in een oneven aantal even grote driehoeken onmogelijk is.

Paul Monsky is een Amerikaanse wiskundige en was professor aan de Brandeis University in Waltham (Massachusetts).

Verrassend toch dat de Griekse wiskundigen dit 2000 jaar geleden al niet wisten?

27-08-2015 om 14:36 geschreven door Luc Gheysens  

Triptych - Luc Janus

Af en toe krijg je wel zo een folder of een reclamebrochure in de bus:
een blad dat in drie gelijke delen is gevouwen.

Maar hoe zou jij het aan boord leggen om zelf een A4-blad
op die manier te vouwen zonder een meetlat te gebruiken?

Het antwoord zie je hieronder.

Vouw het blad ABCD (figuur links) eerst dubbel volgens MN en vouw het dan weer open.
Vouw het blad daarna volgens de diagonaal BD en vouw het weer open.
Vouw tenslotte het hoekpunt B naar voren zodat de vouw AN ontstaat.
Het snijpunt P van AN en BD bepaalt dan hoe je het blad in drieën moet vouwen (figuur rechts).
Merk op dat P op één derde van de rechterrand én op één derde van de bovenrand ligt.

Kan je dat analytisch aantonen?

Tip: kies het assenstelsel met D(0,0), C(b,0), B(b,l) en A(0,l)

26-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

******************************************************************************************************************************
144

Mahjong - Luc Janus

******************************************************************************************************************************

144 = 12² is samen met 1 = 1² het enige kwadraatgetal dat ook een Fibonaccigetal is.

Het spel Mahjong wordt gespeeld met 144 stenen.

Een gros is 144 of 12 dozijn.

De (binnen)hoeken van een regelmatige tienhoek zijn hoeken van 144°.

******************************************************************************************************************************

OPGAVE. Plaats op de plaats van de vraagtekens tussen de cijfers 1, 2, 3, 4, 5 en 6  de tekens + (optelling), x (vermenigvuldiging) en/of haakjes en bekom zo 144 als uitkomst.

 ?   ?   ? ?   ?   = 

24-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Dit applet toont aan hoe men op een originele en symmetrische manier

het vierkant rechtsonder in 8 stukken kan verdelen,

waarmee dan de stelling van Pythagoras wordt aangetoond.

Bron: http://mathani.tumblr.com/post/95739040075

En misschien vindt ook jouw oma dit leuk?

21-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE SOFA VAN HAMMERSLEY

In 1966 formuleerde de Oostenrijks-Canadese wiskundige Moser het volgende probleem.

Wat is de oppervlakte van het grootst mogelijke vlak object
dat men door een L-vormige gang met een breedte van 1 meter kan schuiven?

Op de onderstaande animatie zie je de oplossing
die de Britse wiskundige John Hammersley in 1968 vooropstelde.

Animatie door Claudio Rocchini

Hij stelde een ‘sofa’ voor die bestaat uit twee kwartcirkels met straal 1

die grenzen aan een rechthoek met lengte 4/π en breedte 1

waaruit een halve cirkel met straal 2/π  is verwijderd.

Kan je aantonen dat de oppervlakte van deze ‘sofa’ gelijk is aan  π/2 + 2/π ?

Ondertussen heeft men al kunnen aantonen dat er nog grotere oplossingen mogelijk zijn.

Maar hoe groot het grootst mogelijke vlak voorwerp is

dat men door die L-vormige gang kan schuiven blijft een open probleem.

En wellicht lig jij hiervan niet wakker?!

19-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

MIJN ENVELOPPESTELLING

Als Da, Db, Dc en Dd de bissectrices zijn van de hoeken van een willekeurig vierhoek ABCD

en als E, F, G en H resp. de snijpunten zijn de rechtenparen (Da,Db), (Db, Dc), (Dc,Dd) en (Dd, Da)

dan is EFGH een koordenvierhoek, d.w.z. de punten E, F, G en H liggen op een cirkel (op de figuur: met middelpunt M).

Hieronder zie je nog enkele configuraties die de geldigheid van deze stelling bevestigen.

Is het lastig om dit te bewijzen?

Tip. Toon aan (in het geval dat ABCD een convexe vierhoek is) dat  ∠ F + ∠ H = 180°.

Maar vind je ook een bewijs in het geval dat  ABCD een niet-convexe vierhoek is (laatste figuur hierboven)?

Meer uitleg staat in de bijlage.

Bijlagen:
ENVELOPPESTELLING VERKLAARD.pdf (209.6 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal  op een artistieke manier in de kijker.

***********************************************************************************************
1

Ceva - Luc Janus

********************************************************************************************************************

Een van de populaire resultaten uit de vlakke meetkunde is de stelling van Ceva.

Hierbij is de verhouding van de producten van twee keer drie lijnstukken gelijk aan 1.

Een bewijs en enkele toepassingen van deze stelling zitten in bijlage.

*******************************************************************************************************************

Bij de stelling van Ceva leveren zes lijnstukken een verhouding die gelijk is aan 1.

Hieronder dagen we je uit via zes lucifersprobleempjes waarbij je telkens 1 lucifer moet verplaatsen om een gelijkheid te bekomen.

Los jij ze alle zes op? 

 ********************************************************************************************************************

En dan zijn er ook nog de ONE HIT WONDERS uit de popgeschiedenis: groepen die één enkele hit scoorden, die meteen een wereldhit was.

TOP 10 van de ONE HIT WONDERS

10. Nena - "99 Luftballons" (1984) 

9. Gerardo - "Rico Suave" (1990) 

8. a-ha - "Take On Me" (1985)

7. Vanilla Ice - "Ice Ice Baby" (1990) 

6. Baha Men - "Who Let the Dogs Out" (2000)

5. Toni Basil - "Mickey" (1982) 

4. Right Said Fred - "I'm Too Sexy" (1992) 

3. Dexy's Midnight Runners - "Come On Eileen" (1983)

2. Soft Cell - "Tainted Love" (1981)

1. Los Del Rio - "Macarena" (1996)

En misschien kan de "Macarena" je dag een beetje opfleuren!

Bijlagen:
Lucifersproblemen opgelost.pdf (99 KB)   
STELLING VAN CEVA - een eenvoudig bewijs.pdf (216.3 KB)   
Stelling van Ceva - Jan Guichelaar 2014 W&O.pdf (178.4 KB)   

HOEVEEL IS

ANTWOORD

Deze som is gelijk aan 1.

EEN BEWIJS ZONDER WOORDEN ...

En wie hierover zo zijn twijfels heeft, raden we aan de bijlage te lezen.

Bijlagen:
Bewijs van een somformule.pdf (155.9 KB)   

Wie wat vertrouwd is met 'hogere wiskunde'
weet dat de driehoek van Pascal in verband staat met het binomium van Newton.

Maar wist je ook dat er driedimensionale veralgemeningen bestaan van deze driehoek?
Zo heb je bijvoorbeeld de driezijdige piramide van Pascal.
En hieronder zie je een afbeelding van de vierzijdige piramide van Pascal.

Caroline Marien maakte als leerlinge van het Heilige Drievuldigheidscollege in Leuven een eindwerk over de piramide van Pascal.
Je vindt het knap werkje in bijlage. Bron: http://www.wiskundeophdc.be/.
Je verneemt er ook wat het verband is met het multinomium van Pascal.

We laten je tenslotte nog meegenieten van een (Spaans) filmpje
over de eigenschappen van de vierzijdige piramide van Pascal.

Bijlagen:
Eindwerk-Piramide van Pascal - Caroline Marien.pdf (900 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

************************************************************************************

54

 Africa - Luc Janus

***********************************************************************************************

54 = 1² + 2² + 7²    en  54 = 2² + 5² + 5²   en  54 = 3² + 3² + 6²   
Afrika telt 54 landen. Hoeveel kan jij er opnoemen?

Aan de buitenzijde van de kubus van Rubik zijn 54 vlakjes zichtbaar.
 ***********************************************************************************************

Dit getal is precies de helft van het getal van de gulden snede.

Kan je de waarde van sin 54° manueel berekenen?

Enkele tips:  sin (3 x 18°) = cos (2 x 36°) zodat 3sin 18° – 4 sin³ 18° = 1  – 2sin² 18°.
Stel sin 18° = x en los 4x³ – 2x²  –  3x + 1 = 0 op (x = 1 is een oplossing!)

***********************************************************************************************

Hieronder kan je nog een leuk filmpje bekijken
waarin een anamorfose van de kubus van Rubik opduikt.
Een anamorfose is een vertekende afbeelding,
die er slechts gezien vanuit een bepaalde hoek
of onder bepaalde optische voorwaarden realistisch uitziet.

10-08-2015 om 08:56 geschreven door Luc Gheysens  

Magic square - Luc Janus

In Macau, een vroegere Portugese kolonie, die nu net als Honghong een speciale administratieve regio is van de Volksrepubliek China
verschenen op 9 oktober 2014 twee opmerkelijke postzegelblaadjes rond het thema 'magische vierkanten'.

Op het eerste blaadje staat het beroemde Lo Shu magisch vierkant afgebeeld.

Het tweede blaadje bevat 6 postzegels die respectievelijk een waarde van 4, 9, 2, 3, 5 en 7 patace hebben.

Deze getallen vormen dan samen met de getallen 8, 1 en 6 van de onderste rij weer het Lo Shu vierkant.

Op de postzegel van 4 pataca staat het magisch vierkant van op de houtsnede Melencolia 1 van Albrecht Dürer (1514)

Op de postzegel van 9 pataca staat de methode uitgelegd van de Franse diplomaat Simon de la Loubière (17de eeuw)
om een magisch vierkant te ontwerpen met een oneven aantal rijen en kolommen.

Op de postzegel van 2 pataca lees je horizontaal en verticaal de Latijnse palindroom-zin
SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS
(de zaaier Arepo houdt door zijn arbeid de wielen draaiend).

Deze magische tekst kwam in de oudheid vaak voor
en heeft men o.a. teruggevonden op ruïnes in Pompeii.

Op de postzegel van 3 patace heeft men het magisch vierkant afgedrukt van Benjamin Franklin (1737),
een gekend Amerikaans staatsman en wetenschapper.

De magische constante is 260. Ze komt echter niet voor als som van de getallen op de diagonalen.

De postzegel van 5 patace bevat een palindroomgedicht van de Chinese dichteres Su Hui (4de eeuw).
Elk van de 15 x 15 vakjes bevat een Chinees karakter en zo is in diverse richtingen het gedicht te lezen
dat Su Hui schreef voor haar man nadat hij haar had verlaten voor een andere vrouw
Na het lezen van het gedicht zou hij blijkbaar bij haar teruggekeerd zijn.
Het afgedrukt vierkant is het centrale deel van een vierkant van 29 x 29 vakjes
waarin het gehele palindroomgedicht stond afgedrukt.

Op de postzegel van 7 patace zie je een geomagisch vierkant, ontworpen door Lee Swallows,
een Britse amateurwiskundige die in Nederland woont.
Centraal staat een 3 x 3 magisch vierkant, waarbij de drie puzzelstukjes
uit de drie rijen, de drie kolommen en op de twee diagonalen op diverse manieren kunnen samengevoegd worden
tot een 4 x 4 vierkant waarin één klein vierkantje ontbreekt.
De mogelijke samenvoegingen staan rond het centrale vierkant afgedrukt.

09-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Vandaag is het 8-8-2015 (en 2 + 0 + 1 + 5 = 8).

Een grondige reden om het cijfer 8 in dit NUM'ART-project even in de kijker te plaatsen.

2³ = 8  – Luc Janus

Tik even de breuk 1/81 in op jouw rekentoestel
en je zult een verrassende vaststelling doen
in verband met de (periode van de) decimalen na de komma:

Om dit te verklaren doen we een beroep op een Maclaurinreeks.

08-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

When Conway meets Mondriaan - Luc Janus

STELLING

Als men in elk hoekpunt van een willekeurige driehoek de twee zijden die er samenkomen verlengt met een lijnstuk

waarvan de lengte gelijk is aan de lengte van de overstaande zijde, bekomt men zes punten die op één cirkel liggen. 

Dit is de zogenaamde cirkel van Conway.

Op de bovenstaande figuur is |AB| = |CA_C| = | CB_C| , |BC| = |AB_A| = |AC_A| en |CA| = |BA_B| = |BC_B|.

Als de zijden van de driehoek ABC als lengte a, b en c hebben en als r de straal is van de ingeschreven cirkel van de driehoek,

dan is de straal R van de cirkel van Conway gelijk aan

Bij een rechthoekige driehoek waarvan de zijden lengte 3, 4 en 5 hebben,

heeft de ingeschreven cirkel als oppervlakte π en de cirkel van Conway heeft als oppervlakte 37π.

06-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Divisible by 17- Luc Janus

Hoe controleer je of een getal deelbaar is door 17?

Voorbeeld.

Is N = 96594 deelbaar door 17?

4 x 5 = 20 en 9659 – 20 = 9639

9 x 5 = 45 en 963 – 45 = 918

8 x 5 = 40 en 91 – 40 = 51.

51 is deelbaar door 17, dus is ook 96595 deelbaar door 17.

VERKLARING.

Stel N = 10n + e.

Als n – 5e deelbaar is door 17, is n – 5e = 17q.

Dan is N = 10(n – 5e) + 51e = 170q + 51e = 17(10q + 3e) en dus is N zelf deelbaar door 17. 

*******************************************************************************************

Kan je nu ook nog dit 17-probleem oplossen?

Vier personen willen een brug oversteken die echter over 17 minuten zal instorten.

Om over te steken loopt elk van hen op een verschillend tempo.

Ze hebben respectievelijk 1, 2, 5 en 10 minuten nodig, maar de brug kan maar twee personen tegelijk aan.

Aangezien ze telkens per twee oversteken, doen ze dat samen in de tijd van de traagste.

Bovendien steken ze 's nachts over en er is maar één zaklamp.

Die moet telkens als er twee zijn overgestoken door één van hen worden teruggebracht.

Hoe slagen ze er in om alle vier binnen de 17 minuten over te steken?

En kunnen ze ook binnen de 17 minuten veilig aan de overkant geraken

als ze respectievelijk 2, 3, 5 en 6 minuten nodig hebben?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Oplossing oversteekprobleem.pdf (109.1 KB)   

NIEUW!

Het tweede grote breinbreker boek

Een geschiedenis van de wiskunde in meer dan 315 puzzels.

Het magnum opus van puzzelgrootmeester Ivan Moscovich.

Prijs: € 24,99

Uitgeverij Lannoo, Tielt, 2015.

Wiskunde was nog nooit zo leuk: aan de hand van 315 klassieke breinbrekers
krijg je inzicht in de belangrijkste wiskundige vraagstukken aller tijden.

Puzzels en raadsels hebben de mens altijd al mateloos geïntrigeerd:
van het Ishangobeentje (het oudste telraam ter wereld, ca. 22.000 v.C.),
over Zeno's paradox van de haas en de schildpad (400 v.c.) tot de Rubiks kubus (1974):
in zijn nieuwe boek verzamelt puzzelicoon Ivan Moscovich
de beroemdste en beruchtste raadsels uit de geschiedenis van de wiskunde.

Dit prachtig geïllustreerde boek staat garant voor uren puzzelplezier!

**************************************************************************************

Een voorproefje.

Een gebouw telt 18 verdiepingen.

In de lift zitten echter maar twee knoppen:

een groene knop die je 7 verdiepingen hoger brengt

en een rode knop die je 9 verdiepingen lager brengt.

De lift staat momenteel op het gelijkvloers (= verdieping 0).

Je kunt gemakkelijk nagaan dat men 7 keer op een knop moet drukken

om op de eerste verdieping te kunnen uitstappen:

7 + 7 – 9 + 7 – 9 + 7 – 9 = 1.

Maar hoeveel keer moet men (minstens) op een knop drukken om op verdieping 18 uit te stappen?

**************************************************************************************

In dit puzzelboek mocht natuurlijk ook een puzzel van Sam Loyd niet ontbreken.
Deze beroemde Amerikaanse puzzelontwerper tekende rond 1900 een kaart met kanalen op de planeet Mars.
De opgave luidt: maak een toer door de kanalen zodat je elke letter één keer tegen komt op jouw weg.
Welke (Nederlandse) zin kan je dan lezen?

Hopelijk kan wiskunde ook jou bekoren?

04-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal (en voor deze ene keer zelfs drie getallen) op een artistieke manier in de kijker.

***********************************************************************************************************

47 en 74 en 87

Libra - Luc Janus 

4 + 7 = 11 en de 11^de letter uit het Griekse alfabet is λ (lambda)

Het valutateken voor de Britse pond is £. In dat symbool is de letter L te herkennen, de eerste letter van het Latijnse woord libra, dat pond betekent.

*****************************************************************************************************************************

 De AK-74  is de verbeterde versie van het Russische AK-47-geweer en werd ontwikkeld in 1974.

 De nieuwste variant, de AK-74M, is het standaardwapen van het Russische leger sinds het begin van de jaren negentig.

***********************************************************************************************************

GETALLENSPELLETJE

47 + 74 = 121

121 : 0,125 = 968

968 – (4 + 7) = 957 en 957 is deelbaar door 87.

Kies nu zelf eens een getal van twee cijfers.

Tel er het getal bij op dat je bekomt door de twee cijfers van plaats te verwisselen.

Deel de som door 0,125 en trek van de uitkomst tenslotte de beide cijfers van het gekozen getal af.

Waarom is het bekomen getal deelbaar door 87?

***********************************************************************************************************

Lambda - Luc Janus 

***********************************************************************************************************

De Junkers Ju 87 was een tactische duikbommenwerper van de Duitse Luftwaffe in de Tweede Wereldoorlog.

 Hij is vooral bekend als Stuka, deze benaming is formeel de afkorting van het Duitse woord Sturzkampfflugzeug (duikbommenwerper)

maar werd meestal specifiek gebruikt om de Ju 87 aan te duiden. Hij werd gebouwd door de firma Junkers.

03-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens