Inhoud blog
  • 30 april 2019
  • 29 april 2019
  • 28 april 2019
  • 27 april 2019
  • 26 april 2019
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    20-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De cissoïde van Diocles en de verdubbeling van de kubus

    Een van de drie klassieke wiskundeproblemen uit de oudheid die de Griekse wiskundigen probeerden op te lossen, was

    DE VERDUBBELING VAN DE KUBUS.

    Ze probeerden dus bij een lijnstuk met gegeven lengte a met behulp van passer en liniaal een lijnstuk te construeren met lengte x = a maal kubiekwortel 2.

    Om dit te realiseren bedacht Diocles de vlakke kromme die we nu nog kennen als de cissoïde van Diocles met als vergelijking

    Je vindt meer informatie over de cissoïde op mijn blog op 18-10-2015.

    Bijlagen:
    Uitleg verdubbeling kubus via cissoïde.pdf (181.6 KB)   

    20-10-2015 om 09:24 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    19-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (10)

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    *********************************************************************************************************

    10

    That happy feeling - Luc Janus

    *********************************************************************************************************

    10 TIPS OM ELKE DAG EEN BEETJE SLIMMER TE WORDEN

    1. Besteed uw tijd online wijselijk

    Het internet loopt over van interessante dingen.
    U kan bijvoorbeeld nieuwssites bezoeken, uw woordenschat uitbreiden, informatie over personen of gebeurtenissen opzoeken …

    2. Schrijf wat u leert

    Elke dag enkele minuten de tijd nemen om de dingen te noteren die u leerde, helpt uw hersenen ook een handje.
    Bovendien onthoudt u de zaken beter door ze op die manier herhaald te hebben.

    3. Maak een 'gedaan'-lijstje

    Omdat intelligentie ook samenhangt met zelfvertrouwen en geluk, kan het goed zijn om die laatste twee een duwtje in de rug te geven.
    Zo kan u een lijstje maken van de dingen die u bereikt heeft, in plaats van de dingen die u nog te doen hebt,
    wat een voldaan gevoel kan geven.

    4. Speel Scrabble

    Gezelschapsspelen en puzzels zijn niet alleen leuke vrijetijdsbestedingen, maar ook handig om de hersenen te trainen.
    Een klassieker is Scrabble, maar smartphonegebruikers kunnen het populaire woordspelletje 'Ruzzle' downloaden
    en bijvoorbeeld op de trein naar het werk spelen.

    5. Zoek slimme vrienden

    Het kan misschien niet de beste boost zijn voor het zelfvertrouwen, maar zich omringen met mensen die slimmer zijn dan uzelf
    is een van de snelste manieren om bij te leren.Onthoud dat uw IQ het gemiddelde is van de vijf mensen die het dichts bij u staan.

    6. Lees veel

    Veel lezen is essentieel. Wat u precies leest - de krant, fictie of non-fictie - lijkt weinig uit te maken:
    een volgeladen boekenrek is sterk aangeraden.

    7. Leg uit wat u leerde

    Albert Einstein zou ooit gezegd hebben dat 'wie iets niet eenvoudig kan uitleggen, het niet goed genoeg begrijpt'.
    Een manier om na te gaan of wat u heeft geleerd ook werkelijk is blijven hangen, is om het aan anderen te proberen leren.

    8. Doe nieuwe dingen

    We weten nooit op voorhand wat later nuttig kan zijn.
    Daarom kan het geen kwaad om nieuwe dingen te proberen en af te wachten hoe dat in de toekomst zal uitdraaien.

    9. Leer een andere taal

    Een nieuwe taal leren, kan heus op een rustig tempo van thuis uit gebeuren en tegelijk een positief resultaat op vlak van intelligentie leveren.
    Op het internet zijn vele handige en gratis sites te vinden die daarbij helpen, bijvoorbeeld Busuu.

    10. Neem tijd voor uzelf

    Onze hersenen hebben ook tijd nodig om te verwerken wat we hebben geleerd.
    Daarom kan het geen kwaad om elke dag even de tijd te nemen enkel en alleen om na te denken.

    Turkey Coma

    Bron: Knack

    *********************************************************************************************************

    Hopelijk word je nu ook een beetje slimmer door de oplossing van de onderstaande puzzel te zoeken.

    Op de bovenstaande tekening hebben twee kinderen de 10 blokken met de cijfers 0, 1, ..., 9 in twee groepen van vijf verdeeld.
    Elk kind heeft hiermee twee getallen gevormd zodat het product telkens gelijk is: 3485 x 2 = 6970 x 1 = 6970.
    Blijkbaar is dit het kleinst mogelijke product.

    Maar hoe moeten ze de blokken verdelen (in twee groepen van vijf)
    en hiermee dan elk twee getallen te vormen om een gelijk product te bekomen dat zo groot mogelijk is?

    Bron (en oplossing!) http://bestforpuzzles.com/bits/canterbury-puzzles/index.html#s93 .

    19-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    18-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Cissoïde van Diocles

    De cissoïde van Diocles (ca. 200 v. Chr.)

    Grieks: κισσóς (kissos) = klimop

    De cissoïde is een vlakke kromme die de verzameling (meetkundige plaats) is van punten met een welbepaalde eigenschap.

    Cartesiaanse vergelijking van de cissoïde van Diocles:

    VERSIE 1

    Laat een parabool (groen) glijden zonder schuiven over een tweede parabool (blauw) zoals op de onderstaande figuur.
    De top van de glijdende parabool beschrijft dan de cissoïde van Diocles (rood).

    Uitwerking: zie bijlage.

    The cissoid of Diocles as a roulette

    VERSIE 2

    Beschouw de cirkel met middelpunt M(a,0) en straal a en de raaklijn t aan de cirkel in A(2a, 0).
    Een variabele halfrechte door de oorsprong O snijdt de cirkel  in P1 en de rechte t in P2.
    Neem op [OP2  het punt P waarbij |OP| = |P1 P2|.
    Als de halfrechte 
    wentelt rond O, beschrijft het punt P de cissoïde van Diocles.

    Uitwerking: zie bijlage.


    MEETKUNDE IS WEER HIP!

    Bijlagen:
    Cissoïde versie 1.pdf (160.9 KB)   
    Cissoïde versie 2.pdf (207.4 KB)   

    18-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    17-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De conchoïde van Nicomedes

    De conchoïde van Nicomedes (ca. 250 v. Chr) - Grieks: κóγχη of Latijn concha betekent schelp.

     

    Een conchoïde is een vlakke kromme die als volgt ontstaat (zie onderstaande figuur).

    Teken een lijnstuk [QR], neem een punt O dat niet op dit lijnstuk ligt en een punt C dat er wel op ligt.

    Verleng nu [OC] met een stuk [CP] dat een vast gekozen lengte k heeft.

    Als C over [QR] beweegt, draait [OP] rond O en beschrijft P een conchoïde.

    Men kan de conchoïde gebruiken om een hoek in drie gelijke delen te verdelen (trisectie).

    Verbaasd? De verklaring lees je in de bijlage.

    Bijlagen:
    Trisectie via de conchoïde - verklaring.pdf (191.7 KB)   

    17-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    16-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De kwadratrix van Hippias

    De kwadratrix van Hippias van Elis (ca. 452 v. Chr.)

    ABCD is een vierkant en het lijnstuk [A'B'] verplaatst zich met een constante snelheid van de positie [DC] naar de positie [AB].
    Tegelijk draait het lijnstuk [AD] met een constante snelheid rond het punt A vanaf de positie [AD] naar de positie [AB].
    Beide bewegingen starten en eindigen op hetzelfde moment en F is het snijpunt van [A'B'] met het wentelende lijnstuk.
    De kromme beschreven door het punt F is de kwadratrix van Hippias.

    Als we het assenstelsel kiezen met A(0,0), B(1, 0), C(1, 1) en D(0, 1) en F(x, y)
    en als α de hoek is tussen AB en AF, dan is 

    en bijgevolg heeft de kwadratrix als vergelijking

    Merk op dat deze kromme dan geen snijpunt heeft met de x-as
    en dat de limietwaarde van x voor y → 0 gelijk is aan 2/π.

    Hoe kan men nu de kwadratrix gebruiken om een scherpe hoek ∠BAE in drie gelijke delen te verdelen?

    Als F het snijpunt is van de kwadratrix met AE en als A' de loodrechte projectie is van F op AD,

    dan volstaat het om op AA' het punt H te construeren zodat |AH| =  (1/3) ·|AA'|.

    Als K het punt is op de kwadratrix waarbij HK evenwijdig is met AB, dan ∠BAK = (1/3 ) · ∠BAE.

    Duidelijk?

    16-10-2015 om 09:29 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    15-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Delfts blauw

    Delft Blue - Luc Janus



    Dave Berry zong het al 50 jaar geleden (1965) - song geschreven door Ray Davies (The Kinks)

    15-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen. Spiraal van Archimedes en kwadratuur van de cirkel

     

    De spiraal van Archimedes is een vlakke kromme die wordt beschreven door een punt P
    dat met een constante snelheid beweegt op een halfrechte met beginpunt O die met een constante snelheid draait rond O.

    Wellicht is deze kromme een vondst van Conon van Samos (250 v. Chr), een vriend van Archimedes.

     De poolvergelijking van de spiraal van Archimedes is r = aθ
    (r = de voerstraal of de afstand van P tot O, θ =  de rotatiehoek in radialen en a is een constante).

    Op de markt van Covent Garden in Londen kocht ik dit klokje dat werkt via de spiraal van Archimedes.

    Het is een ontwerp van Robert Darwen en meer info vind je op www.ideasintime.co.uk.

    Het klokje duidt hier het tijdstip 6:44 uur aan.

    Met behulp van de spiraal van Archimedes kan men de kwadratuur van de cirkel realiseren.

    Hierboven staat een cirkel met middelpunt O en straal a afgebeeld en de spiraal met als poolvergelijking r = aq.

    Als het punt P bepaald is door de middelpuntshoek q0, dan is is de lengte van de cirkelboog van A tot P gelijk aan aq0
    en ook de lengte van het lijnstuk [OP] en dan gelijk aan aq0, want dit is precies de voerstraal van de spiraal voor q = q0.

    Dan zal voor q = p/2 de lengte van [OQ] gelijk zijn aan pa/2 (een kwartcirkel met straal a)
    en bijgevolg is de oppervlakte van de cirkel met straal a gelijk aan
    pa² = 2a·|OQ|.

    De zijde z van het vierkant met oppervlakte pa² bekomt men dan door de middelevenredige te construeren van 2a en |OQ|.

     

    Merk op: als r = 2, dan is |OQ|= p.


    Gesnapt of toch een beetje verrast?


    Archimedes' spiral - Part 2 - Luc Janus

    15-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    14-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Spiraal van Archimedes en trisectie van een hoek

     

    De spiraal van Archimedes is een vlakke kromme die wordt beschreven door een punt P
    dat met een constante snelheid beweegt op een halfrechte met beginpunt O die met een constante snelheid draait rond O.

    Wellicht is deze kromme een vondst van Conon van Samos (250 v. Chr), een vriend van Archimedes.

     De poolvergelijking van de spiraal van Archimedes is r = aθ
    (r = de voerstraal of de afstand van P tot O, θ =  de rotatiehoek in radialen en a is een constante).

    Op de markt van Covent Garden in Londen kocht ik dit klokje dat werkt via de spiraal van Archimedes.

    Het is een ontwerp van Robert Darwen en meer info vind je op www.ideasintime.co.uk.

    Het klokje duidt hier het tijdstip 9:14 uur aan.

    Archimedes gebruikte die spiraal om de driedeling van een hoek uit te voeren.

    Stel dat |OP| = aq0 met q0 de (te verdelen) hoek tussen de positieve x-as en de halfrechte [OP.
    We verdelen eerst het lijnstuk [OP] in drie gelijke delen via de punten P1 en P2.
    We tekenen daarna de cirkels met middelpunt O en straal |OP1|en|OP2|.
    Die cirkels snijden de spiraal respectievelijk in de punten Q1 en Q2.
    Dan verdelen de halfrechten [OQ1 en [OQ2 de hoek q0 in drie gelijke delen.

    Gesnapt of toch een beetje verrast?

    Archimedes' spiral - Part 1 - Luc Janus

    14-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    13-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Fibonaccidriehoeken

    Fibonacci Triangles - Luc Janus

    **********************************************************************************************

    Wie droomt er als wiskundige niet van om een nieuwe eigenschap van de Fibonaccigetallen te bewijzen?

    Het lukte me de voorbije week!

    Als F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) voor n = 3, 4, 5 ... de rij van de Fibnaccigetallen  is,
    dan definieer ik een Fibonaccidriehoek als een driehoek
    waarvan de coördinaten van elk hoekpunt een paar opeenvolgende Fibonaccigetallen zijn.

    Over dit soort driehoeken formuleer ik hier drie eigenschappen.
    Eigenschap 2 is een bijzonder geval van eigenschap 3
    en eigenschap 1 is dan weer een speciaal geval van eigenschap 2.





    Bewijs in bijlage.

    Bijlagen:
    Fibonaccidriehoeken - bewijs eig 1.pdf (280.5 KB)   
    Fibonaccidriehoeken - bewijs eig 2 en eig 3..pdf (774.5 KB)   

    13-10-2015 om 19:32 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    12-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (108)

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    *********************************************************************************************************

    108

    Uno - Luc Janus

    *********************************************************************************************************

    Het kaartspel UNO wordt gespeeld met 108 kaarten:

    19 blauwe, rode, gele en groene kaarten genummerd van 0 tot 9

    8 kaarten “+2”, twee van elke kleur

    8 kaarten “keer om”, twee van elke kleur

    8 kaarten “sla beurt over”, twee van elke kleur

    4 kaarten “joker”

    4 kaarten “+4”

    ********************************************************************************************************

    Een regelmatige vijfhoek heeft (binnen)hoeken van 108°.

    108 is de hyperfactor van 3 omdat 108 = 11 x 22 x 33.

    Een Harshadgetal  is dus een geheel getal dat deelbaar is door de som van zijn cijfers.

    108 is bijgevolg een Harshadgetal want het is deelbaar door 1 + 0 + 8 = 9.

    Het woord harshad komt uit het Sanskriet en betekent 'grote vreugde'

    OPGAVE. Kan je nu zelf eens natellen hoeveel Harshadgetallen er liggen tussen 18 en 81?

    cats

    12-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    09-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (57)

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    ************************************************************

    57



    Brilliant - Luc Janus

    ********************************************************************************************

      

    Een briljant is een ronde diamant die geslepen is in 57 facetten.




    In 1896 bedacht Henry John Heinz uit Pittsburg (Pennsylvania) de slogan '57 Varieties'.
    Of er echt 57 variëteiten van ketchup waren weet ik niet,
    maar blijkbaar koos Henry het getal 57
    omdat 5 zijn geluksgetal was en 7 dat van zijn vrouw.

    ****************************************************************************************
    57 = 292 –  282

    57 = 112 – 82

    Een hoek van 1 radiaal is een heel klein beetje groter dan een hoek van 57°

    57 is een Leylandgetal omdat het te schrijven is als xy + yx, met x en y gehele getallen groter dan 1.
    Deze getallen zijn genoemd naar de Britse getaltheoreticus Paul Leyland.

    Kan je verklaren waarop x en y niet mogen gelijk zijn aan 1?

    Kan je de vijf Leylandgetallen vinden kleiner dan 100?
    Merk op dat 100 zelf een Leylandgetal is, nl.  100 = 26 + 62.

    Hopelijk heb je hiermee minder moeite dat met het uit de fles kloppen van het laatste beetje ketchup!

    explosion animated GIF

    09-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    08-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (888 888)

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij bij op 8 okto-ber een bijzonder getal op een artistieke manier in de kijker.

    *********************************************************************************************************

    888 888

    Octuples - Luc Janus

    **********************************************************************************************

    GETALSPELLETJE

    We vermenigvuldigen 888 888 achtereenvolgens met 18, 19, 20, ..., 26.

    We splitsen de bekomen producten telkens in twee groepjes:

    het getal gevormd door de eerste twee cijfers en het getal gevormd door de laatste zes cijfers.

    We tellen nu telkens de twee bekomen getallen bij elkaar op.

    Kijk maar wat er gebeurt!

    888 888 x 18 = 15 999 984 en 15 + 999 984 = 999 999

    888 888 x 19 = 16 888 872 en 16 + 888 872 = 888 888

    888 888 x 20 = 17 777 760 en 777 760 + 17 = 777 777

    888 888 x 21 = 18 666 648 en 18 + 666 648 = 666 666

    888 888 x 22 = 19 555 536 en 19 + 555 536 = 555 555

    888 888 x 23 = 20 444 424 en 20 + 444 424 = 444 444

    888 888 x 24 = 21 333 312 en 21 + 333 312 = 333 333

    888 888 x 25 = 22 222 200 en 22 + 222 200 = 222 222

    888 888 x 26 = 23 111 088 en 23 + 111 088 = 111 111

    Neem er even een rekenmachine bij en doe nu zelf verder met 888 888 x 27 tot en met 888 888 x 35.


    08-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    05-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (26)

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    *********************************************************************************************************

    26

    Hexagram - Luc Janus 

    *********************************************************************************************************

    26 is een vrij uniek getal omdat het precies tussen een kwadraat en een derdemacht ligt, nl.  52 < 26 < 33

    Zwitserland is opgedeeld in 26 kantons.

    Bij het dartsspel is de 'funny score'  26 = 20 + 5 + 1 (bij een speler die de intentie had 3 keer in het vak van 20 te gooien).

    *********************************************************************************************************

    Een magische ster van orde n is een stervormig figuur met n punten,
    waar op deze punten en op de n snijpunten getallen worden ingevuld,
    zodanig dat langs elke lijn de getallen een vaste som (= de magische constante) hebben.

    Wanneer de ingevulde getallen 1 tot en met 2n zijn,
    dan wordt de magische ster normaal genoemd
     en is de magische constante gelijk aan 4n+2.

    Een ster met minder dan 5 punten valt niet te tekenen
     en een magisch pentagram bestaat niet,
    zodat de kleinste magische ster een hexagram is, dus met zes punten.
    In dat geval is n = 6 en is de magische constante 26.

    OPGAVE. 
     Kan je nu ook de ontbrekende getallen invullen bij deze magische achthoek?

    Oplossing op http://nl.wikipedia.org/wiki/Magische_ster

    Hexagram Vortex Animation by Aimee-Valentine-Artyes animated GIFHexagram Vortex Animation by Aimee-Valentine-Art

    05-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    01-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunde is (een beetje) oorlog

    WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG

    Onder dit motto nodigt de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd.

    Deze competitie heeft op de eerste plaats als doel het probleemoplossend denken aan te moedigen.

    De wedstrijd zal vier edities kennen (van 2014 tot 2018 – met een knipoogje naar de herdenking van Wereldoorlog I).

    HET VERLOOP VAN DE WEDSTRIJD

    De tien opgaven van deze tweede editie (genummerd van 11 tot en met 20) en de schiftingsvraag zitten hier in bijlage, samen met het antwoordformulier.

    Hoofdprijs: een grafisch rekentoestel TI-84 Plus Color, geschonken door Texas Instruments.

    Tien winnaars ontvangen een boekje uit de Zebrareeks of de reeks Unimath, geschonken door uitgeverij die Keure (keuzelijst in bijlage - keuze aanduiden op het antwoordformulier a. u. b.).

    De opgaven en het antwoordformulier verschijnen ook in het tijdschrift Wiskunde & Onderwijs nr. 164 (oktober 2015) en op de website van de Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars www.vvwl.be .

    Het is de bedoeling bij elke opgave een constante te bepalen. Het vinden van een bewijs voor elk van deze opgaven zien we eerder als een uitdaging voor de leraren en zeker ook voor de leerlingen.

    Antwoordformulier uiterlijk tegen 6 december 2015 doormailen naar vvwl1418@gmail.com.

    Idee en uitwerking: dr. Luc Gheysens en Daniël Tant.

    Deelname aan deze wedstrijd is gratis. Met dank aan de sponsors.

               

    Bijlagen:
    2015-2016 lijst zebra en unimath.pdf (1.2 MB)   
    Constanten deel 2 (2015-16) - GNOMON.pdf (312.3 KB)   
    Constanten deel 2 (2015-16) - antwoordformulier.docx (77.9 KB)   

    01-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    30-09-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De nautilusschelp en de gulden snede

    DE GULDEN SNEDE EN DE NAUTILUSSCHELP

    In heel wat boeken staat er blijkbaar verkeerde informatie
    over het verband tussen de spiraalvormige structuur bij een nautilusschelp
    en de rij van Fibonacci (gulden rechthoeken en het getal van de gulden snede).

    We gingen dan maar zelf uit op onderzoek met een aangespoelde schelp.


       

    Links zie je hoe de klassieke gulden spiraal ontstaat via gulden rechthoeken
    en waarbij men telkens naar een grotere rechthoek overgaat via een rotatie over 90°.
    Op de figuur daarnaast zie je duidelijk dat de ontstane spiraal niet overeenkomt
    met de spiraalvormige structuur bij een nautilusschelp.

    Dat het groeipatroon van de nautilusschelp toch in verband staat met het getal ϕ van de gulden snede
    zie je op de bovenstaande figuur. De afstand van het centrum van de spiraal tot het punt A gelijk is aan 1,
    dan zijn de afstanden van het centrum tot de punten B, C en D (bij benadering) respectievelijk gelijk aan ϕ, ϕ2 en ϕ3.

    Nautilus shell showing Golden Ratio proportions

    Hierboven laat men de schelp telkens over een hoek van 30° draaien
    en dan blijkt op de afgebeelde meetlat het verdeelpunt tussen het blauw en het wit gedeelte
    het punt te zijn dat de gulden snede aanbrengt op die meetlat.

    Uiteraard is dit niet helemaal perfect zo en het groeipatroon van elke schelp is ook lichtjes verschillend.
    Daarom is het aangewezen om hier statistiek in te schakelen
    en dan blijken de gemiddelde waarden wel heel goed die van de gulden snede te benaderen.

    Bron: http://www.goldennumber.net/nautilus-spiral-golden-ratio/

    30-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    28-09-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (23)

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    *********************************************************************************************************

    23

    Basketball Star - Luc Janus

    *********************************************************************************************************

    23 is een priemgetal en beide cijfers 2 en 3 en hun som 5 zijn eveneens priemgetallen.

    Het getal 23571113 dat wordt gevormd door de zes eerste priemgetallen na elkaar op te schrijven is deelbaar door 23.

    23 = 12 + 11 = 122  –  112

    Volgens de verjaardagsparadox is er bij een willekeurige bijeenkomst vanaf 23 personen

    meer dan 50% kans dat er minstens twee van hen op dezelfde dag verjaren.

    Julius Caesar zou door 23 messteken om het leven zijn gebracht.

    Het bioritme van een man heeft een periode van 23 dagen.

    Zowel de basketbalster Michael Jordan (bij de Chicago Bulls) als de voetbalspeler David Beckham (bij Real Madrid) droegen het nummer  23.

      

    In 1974 werd de zogenaamde Arecibo-boodschap de ruimte ingestuurd door de ruimtetelescoop in Arecibo (Puerto Rico).

    De boodschap bevat 1679 bits in 73 kolommen en 23 rijen. Men koos bewust voor twee priemgetallen (1679 is een semi-priemgetal).

                        


    28-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    25-09-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Somformule : bewijs zonder woorden

    EEN SOMFORMULE

    Via de formule voor de som van een meetkundige reeks (hier met reden 1/4) bewijs je dat

    Hieronder zie je een bewijs zonder woorden.

    GEZIEN?

    25-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    21-09-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (8)

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    ********************************************************************************************************************
    8

    Eggs  - Luc Janus

    ********************************************************************************************************************

    EIERRAADSEL

    Boer Otto neemt een aantal eieren mee naar de markt.
    Zijn eerste klant koopt de helft van alle eieren en een half ei.
    De tweede klant koopt de helft van de resterende eieren en een half ei.
    De derde klant koopt de helft van de resterende eieren en een half ei.
    En zo gaat het weer verder tot en met de achtste klant.
    Nu blijkt dat boet Otto meteen alle eieren heeft verkocht en bovendien heeft hij geen enkel ei in twee moeten breken.

    Hoeveel eieren nam boer Otto mee naar de markt?

    TIP. Begin bij de laatste klant en tel zo verder tot bij de eerste.

    ********************************************************************************************************************

    TRUC MET 8 KAARTEN

    Bekijk eens dit filmpje waarin 'The card trick teacher' een goocheltoer toont met acht kaarten.

    Hij legt daarna ook uit hoe de truc werkt. Had jij dit direct door?

    21-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    19-09-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (XIX)


    Op XIX september viert men het naamfeest van Januarius (Janus).

    Voor deze gelegenheid zet Luc Janus even Janus op een artistieke manier in de kijker

    *********************************************************************************************************

    XIX

    Janus - Luc Janus

    *************************************************************************************************************

    Januarius (+ 304) is een van de bekendste patroonheiligen van de stad Napels en heeft zijn naamfeest op 19 september.

    De Zuid-Italiaanse steden Benevento en Napels strijden om de eer dat zij Januarius als bisschop hadden.
    Tijdens de christenvervolgingen onder keizer Diocletianus (284-305)
    werd hij door stadhouder Timotheus opgepakt en aan folteringen blootgesteld.
    Er wordt verteld dat Januarius in gloeiende vuuroven werd gedompeld.
    Maar dat hem dat niet deerde; sterker nog: midden in de vlammen begon de heilige hardop Gods lof te zingen.

    Zijn bloed wordt bewaard in een hermetisch afgesloten flesje in de San Gennarokapel in Napels.
    Drie keer per jaar - op de zaterdag voor de eerste zondag van mei,
    op 19 september en op 16 december vindt hier het bloedwonder plaats.
    Voor de ogen van duizenden pelgrims en nieuwsgierigen
    wordt de ampul met Januarius' gestolde bloed geschud,
    waarop de inhoud vloeibaar wordt. 

    Er is nog altijd geen natuurlijke verklaring gevonden voor het verschijnsel.

    *************************************************************************************************************

    Janus behoort tot de oudste van de Romeinse goden, maar hij heeft geen Grieks equivalent.

    In de Romeinse mythologie was Janus de god van het begin en het einde, van het openen en het sluiten.

    De deur (Latijn: ianua) droeg daarom zijn naam.

    Daarom draagt ook de maand januari zijn naam

    en werd hij aangeroepen aan het begin van het zaai- en oogstseizoen, alsmede bij huwelijken en geboortes.

    Op de eerste dag van januari vermeed men alles wat een kwade betekenis kon hebben voor de toekomst.

    Bovendien gaf men dan, om de vriendschappelijke verhouding te bevestigen, elkaar kleine geschenken.


    Bron: Wikipedia.




    19-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    15-09-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Twee toepassingen met de driehoek van Pascal

    In 1665 - precies 350 jaar geleden - publiceerde Blaise Pascal zijn Traité du triangle arithmétique,

    waarin de getallendriehoek werd bestudeerd die we nu kennen als de driehoek van Pascal.

    Voor die gelegenheid publiceren we hier twee toepassingen met de getallen uit de driehoek (binomiaalcoëfficiënten).


    Pascal's Triangle A - Luc Janus

    TOEPASSING 1

    Op de website www.cut-the-knot.org staat ook een bewijs voor deze formule (zie bijlage).

    Merk op dat al er twee speciale gevallen hiervan op mijn blog aan bod kwamen op 2-9-2015.

    *******************************************************************************************

    Pascal's Triangle B - Luc Janus

    TOEPASSING 2

    Kan je deze formule bewijzen?

    TIP. Pas het binomium van Newton toe op (1  –  x)n  en bereken dan van beide uitdrukkingen de bepaalde integraal in [0, 1].

    mindwa animated GIF

    Bijlagen:
    Bewijs som inverse binomiaalcoëfficiënten.pdf (37 KB)   

    15-09-2015 om 16:04 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (1)


    Archief per week
  • 29/04-05/05 2019
  • 22/04-28/04 2019
  • 15/04-21/04 2019
  • 08/04-14/04 2019
  • 01/04-07/04 2019
  • 25/03-31/03 2019
  • 18/03-24/03 2019
  • 11/03-17/03 2019
  • 04/03-10/03 2019
  • 25/02-03/03 2019
  • 18/02-24/02 2019
  • 11/02-17/02 2019
  • 04/02-10/02 2019
  • 28/01-03/02 2019
  • 21/01-27/01 2019
  • 14/01-20/01 2019
  • 07/01-13/01 2019
  • 31/12-06/01 2019
  • 24/12-30/12 2018
  • 17/12-23/12 2018
  • 10/12-16/12 2018
  • 03/12-09/12 2018
  • 26/11-02/12 2018
  • 19/11-25/11 2018
  • 12/11-18/11 2018
  • 05/11-11/11 2018
  • 29/10-04/11 2018
  • 22/10-28/10 2018
  • 15/10-21/10 2018
  • 08/10-14/10 2018
  • 01/10-07/10 2018
  • 24/09-30/09 2018
  • 17/09-23/09 2018
  • 10/09-16/09 2018
  • 03/09-09/09 2018
  • 27/08-02/09 2018
  • 20/08-26/08 2018
  • 13/08-19/08 2018
  • 06/08-12/08 2018
  • 30/07-05/08 2018
  • 23/07-29/07 2018
  • 16/07-22/07 2018
  • 09/07-15/07 2018
  • 02/07-08/07 2018
  • 25/06-01/07 2018
  • 18/06-24/06 2018
  • 11/06-17/06 2018
  • 04/06-10/06 2018
  • 28/05-03/06 2018
  • 21/05-27/05 2018
  • 14/05-20/05 2018
  • 07/05-13/05 2018
  • 30/04-06/05 2018
  • 23/04-29/04 2018
  • 16/04-22/04 2018
  • 09/04-15/04 2018
  • 02/04-08/04 2018
  • 26/03-01/04 2018
  • 19/03-25/03 2018
  • 12/03-18/03 2018
  • 05/03-11/03 2018
  • 26/02-04/03 2018
  • 19/02-25/02 2018
  • 12/02-18/02 2018
  • 05/02-11/02 2018
  • 29/01-04/02 2018
  • 22/01-28/01 2018
  • 15/01-21/01 2018
  • 08/01-14/01 2018
  • 01/01-07/01 2018
  • 25/12-31/12 2017
  • 18/12-24/12 2017
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Meer blogs