EEN SOMFORMULE

Via de formule voor de som van een meetkundige reeks (hier met reden 1/4) bewijs je dat

Hieronder zie je een bewijs zonder woorden.

GEZIEN?

25-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

********************************************************************************************************************
8

Eggs  - Luc Janus

********************************************************************************************************************

21-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Op XIX september viert men het naamfeest van Januarius (Janus).

Voor deze gelegenheid zet Luc Janus even Janus op een artistieke manier in de kijker

*********************************************************************************************************

XIX

Janus - Luc Janus

*************************************************************************************************************

Januarius (+ 304) is een van de bekendste patroonheiligen van de stad Napels en heeft zijn naamfeest op 19 september.

19-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In 1665 - precies 350 jaar geleden - publiceerde Blaise Pascal zijn Traité du triangle arithmétique,

waarin de getallendriehoek werd bestudeerd die we nu kennen als de driehoek van Pascal.

Voor die gelegenheid publiceren we hier twee toepassingen met de getallen uit de driehoek (binomiaalcoëfficiënten).

Pascal's Triangle A - Luc Janus

TOEPASSING 1

Op de website www.cut-the-knot.org staat ook een bewijs voor deze formule (zie bijlage).

Merk op dat al er twee speciale gevallen hiervan op mijn blog aan bod kwamen op 2-9-2015.

*******************************************************************************************

Pascal's Triangle B - Luc Janus

TOEPASSING 2

Kan je deze formule bewijzen?

TIP. Pas het binomium van Newton toe op (1  –  x)ⁿ  en bereken dan van beide uitdrukkingen de bepaalde integraal in [0, 1].

Bijlagen:
Bewijs som inverse binomiaalcoëfficiënten.pdf (37 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

********************************************************************************************************************
96

Square Matches - Luc Janus

********************************************************************************************************************

Bewijs eens dat dit GEEN stelling is.

Kies een geheel getal G van 1 tot en met 100 en vermenigvuldig het met 96. Noem het product P.

Bepaal dan het kwadraatgetal N² (het kwadraat van een geheel getal N) dat net groter is dan of gelijk aan P.

Bepaal het verschil V = N² – P.

Dan is P zelf weer een kwadraatgetal.

ENKELE TESTGETALLEN.

G = 1. Dan is P = 1 x 96 = 96 en N² = 100 en V = 4 = 2².

G = 17. Dan is P = 17 x 96 = 1632 en N² = 1681 = 41² en V = 49 = 7².

G = 72. Dan is P = 72 x 96 = 6912 en N² = 7056 = 84²  en V = 144 = 12².

G = 100. Dan is P = 9600 en N² = 9604 = 98²  en V = 4 = 2².

En toch is dit geen stelling. Waarom niet ???

14-09-2015 om 08:30 geschreven door Luc Gheysens  

LEEFTIJDENRAADSEL

Marie is even oud als haar dochters Louise en Sara samen.

Drie jaar geleden was Marie dubbel zo oud als Louise.

Bij de geboorte van Louise was Marie zo oud als Sara nu is.

Hoe oud is Marie nu?

Mother and Child Reunion A - Luc Janus

Wellicht kan je het bovenstaande raadsel nu  nog niet oplossen. Vandaar deze twee extra-tips.

Drie jaar geleden was Louise zo oud als Sara nu is

en over drie jaar zal Marie dubbel zo oud zijn als Sara.

Mother and Child Reunion B - Luc Janus

En mocht het je nog niet lukken om het vraagstuk op te lossen, dan geef ik graag nog één tip:

de som van hun huidige leeftijden is deelbaar door 23.

En terwijl je verder naar het antwoord zoekt, kan je even meeluisteren naar Paul Simon.

14-09-2015 om 08:25 geschreven door Luc Gheysens  

 NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

Dit keer komen twee getallen in Romeinse cijfers aan de beurt.

*********************************************************************************************************

IX XI

The Crusaders - Luc Janus

De Kruistochten begonnen in de XI^de eeuw en er zouden in totaal IX Kruistochten doorgaan.

IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI

XI – IX = II  en  XI + IX = XX

IX XI verwijst naar 9-11 en vandaag is het precies 15 jaar geleden

dat er terroristische aanslagen werden gepleegd in Amerika waarbij de Twin Towers van het World Trade Center sneuvelden.

Het is een merkwaardige vaststelling dat de Jezuïeten in de 17^de eeuw ringen droegen waarop het symbool IXXI voorkwam.

IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI

IXXI (ixxi) is een webshop die je mogelijkheden biedt om jouw eigen decoratie te ontwerpen met vierkante wandprenten.

Info op www.ixxidesign.com 

IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI-IXXI

The Crusaders was een Amerikaanse band die begin de jaren '70 succesvol was.

Hun muziek was een geslaagde mix van soul, R&B, pop en jazz.

Ze scoorden in 1979 een wereldhit 'Street Life' met Randy Crawford als zangeres.

11-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

999

All Ways - Luc Janus 

*************************************************************************************

Om diverse redenen is 999 een merkwaardig getal.

Het is de kleinst mogelijke som van drie driecijferige priemgetallen
waarin alle cijfers van 1 tot en met 9 precies één keer voorkomen:

149 + 263 + 587 = 999.

999² = 998 001 en 998 + 001 = 999

999 = 27 x 37 en 1/27 = 0,037037... en 1/37 = 0,027027...

************************************************************************************

GETALSPELLETJE

Bereken (met een rekenmachientje) een veelvoud van 999.

Verdeel het bekomen product in groepjes van drie cijfers te beginnen vanaf rechts.

Tel de bekomen getallen bij elkaar op.

Voorbeeld. 45891 x 999 = 45845109. Verdeling: 45 | 845 | 109 en 45 + 845 + 109 = 999.

Bekom je zo altijd weer 999 als som?

09-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

********************************************************************************************************************
396

Solvable - Luc Janus

********************************************************************************************************************

Bij het begin van het schooljaar past een eenvoudig wiskundig vraagstukje.

07-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

www.math4all.nl

Deze Nederlandse vernieuwde website heeft heel wat te bieden voor docenten en studenten.

Het beschikbaar materiaal is netjes geordend in diverse rubrieken:

Math4all schenkt ook heel wat aandacht aan wiskundig redeneren en probleemoplossend denken.

Ziehier twee klassieke uitdagende vraagstukjes.

Kan jij ze allebei oplossen?

Oplossingen en meer vraagstukken in bijlage.

Bijlagen:
Probleemoplossend denken Math4all.pdf (321.5 KB)   

De som van de eerste n oneven positieve gehele getallen is een kwadraatgetal (gnomon-formule):

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n².

Hieronder zie je een bewijs zonder woorden van de uitgebreide gnomon-formule:

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) + (2n + 1) + (2n – 1) + ... + 5 + 3 + 1 = n² + (n + 1)².

04-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Factorial! - Luc Janus

EEN MERKWAARDIGE FACULTEITENSOM

Als je weet dat 0! = 1 en 1! = 1 en 2! = 2 en 3! = 6 en 4! = 24 ... en n! = 1 · 2 · 3 · ... ·  n (product van de eerste n positieve gehele getallen),

dan kan je gemakkelijk controleren dat

0 · 0! = 1! – 1

0 · 0! + 1 · 1! = 2! – 1

0 · 0! + 1 · 1!  + 2 · 2!  = 3! – 1

0 · 0! + 1 · 1!  + 2 · 2!  + 3 · 3! = 4! – 1

en in het algemeen geldt dan dat

Maar kan je dat ook bewijzen (via volledige inductie)?

03-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

SOM VAN DE OMGEKEERDE DRIEHOEKS- EN VIERVLAKSGETALLEN

In de driehoek van Pascal ontdek je direct waar de driehoeksgetallen en de viervlaksgetallen staan

en het verband tussen beide soorten getallen toont men gemakkelijk aan via de formule van Stifel - Pascal:

Men kan het verband uiteraard ook rechtstreeks bewijzen als men de somformule kent

voor de eerste n natuurlijke getallen en hun kwadraten:

Meer uitleg staat in de bijlagen.

Naar aanleiding van de bijdrage op mijn blog over de driehoeksgetallen (28-07-2015) 

herinnerde collega Wim Haazen me eraan dat er ook leuke formules bestaan voor de som van de omgekeerden van de driehoeks- en viervlakgetallen.

Hopelijk kunnen de bijlagen rekenen op een beetje enthousiasme!

Bijlagen:
Som omgekeerden van de driehoeksgetallen.pdf (197.3 KB)   
Som omgekeerden van de viervlaksgetallen.pdf (190.5 KB)   
Verband driehoeksgetallen en viervlaksgetallen.pdf (363.3 KB)   

WE DUIMEN VOOR EEN ENTHOUSIASTE START VAN HET NIEUWE SCHOOLJAAR!

Onze (West-Vlaamse !) minister van onderwijs Hilde Crevits wil bij het begin van het nieuwe schooljaar
alle leerlingen (en uiteraard ook de leerkrachten en ouders) een hart onder de riem steken.

Bron: Het Nieuwsblad

Hilde getuigt: “Aan al wie het moeilijk soms moeilijk heeft
en zich afvraagt waar school allemaal goed voor is,
kan ik zeggen: ik heb exact hetzelfde meegemaakt.
Maar laat dat je niet tegenhouden en durf voor je eigen mening op te komen.
Leerlingen hebben het recht om de dingen in vraag te stellen
en leraars moeten daar begrip voor hebben.”

Op de vraag welke leraar haar het meest heeft geïnspireerd en waarom, antwoordt Hilde:
“Mijn leraar wiskunde in het vijfde en zesde middelbaar.
Hij gaf op een heel volwassen manier les.
Ik had dat net nodig, ik snakte naar dat niet-schoolse.
Hij was ook nooit kwaad. De beste straf volgens hem was sociale druk:
als iemand in de klas lastig was, begon hij sneller op het bord te schrijven ..
Een goede manier om leerlingen uit te dagen.”

01-09-2015 om 08:53 geschreven door Luc Gheysens  

Niet alleen wiskunde, maar ook fietsen blijkt gezond te zijn voor het hart.
Op www.ehct.be  verneem je meer over de EURO HEART CYCLING TOUR.

Het doel van de EURO HEART CYCLING TOUR
is om het belang van lichaamsbeweging in het algemeen – en fietsen in het bijzonder – te onderstrepen
in de preventie tegen hart- en vaatziekten.
Een gezonde en evenwichtige levensstijl is immers belangrijk.
In België sterven jaarlijks bijna 40.000 mensen aan hart- en vaatziekten.     
Het gezondheidscharter van de Europese Unie stelt dat fietsen het medium bij uitstek is
voor cardiovasculaire preventie en revalidatie.

Hieronder leg ik je nog vlug even uit hoe je een perfect hartje tekent
met jouw grafische rekenmachine
en dan spring ik vlug op de fiets voor nog enkele boodschappen!

01-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Studenten beschikken niet altijd over de nodige parate kennis.

Het is dan belangrijk dat ze kunnen terugvallen op een formularium.

Zelf stelde ik voor mijn studenten voor de laatste twee jaar van het secundair onderwijs enkele formularia op.

Misschien kunnen ze ook nog voor jou of jouw studenten van nut zijn om sommige problemen aan te pakken.

In bijlage: formularia voor goniometrie, afgeleiden, integralen, combinatoriek en analytische ruimtemeetkunde.

Bijlagen:
Formularium voor AFGELEIDEN.doc (70.5 KB)   
Formularium voor ANALYTISCHE RUIMTEMEETKUNDE.doc (157 KB)   
Formularium voor COMBINATORIEK.doc (29 KB)   
Formularium voor GONIOMETRIE.doc (135 KB)   
Formularium voor INTEGRALEN.doc (69 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

********************************************************************************************************************
10801

Men of Science - Luc Janus

********************************************************************************************************************
10801 is een strobogrammatisch getal (een getal dat gelijk blijft als je het over 180° draait).
Het Griekse woord στροβος (strobos) betekent 'rondwerveling'.

10801 = 7 x 1543
Er zijn 7 goede redenen om aan te nemen dat in 1543 een omwenteling begon op wetenschappelijk gebied in Europa.

1543: Nicolaus Copernicus publiceert De revolutionibus orbium caelestium
waarin hij een wiskundige argumentatie geeft voor een heliocentrisch model.

1543: Andreas Vesalius publiceert De humani corporis fabrica
     dat voor een revolutie zorgde in de kijk op de menselijke anatomie.

1543: Robert Recorde publiceert Arithmetic, The Ground of Art,
het eerste tekstboek in Engeland over algebra.
Recorde introduceerde het symbool = (is gelijk aan).

1605: Francis Bacon publiceert Advancement of Learning,
een filosofisch werk waarin hij een nieuwe methode voorstelt
om wetenschappen aan te leren.

1609: Johannes Kepler publiceert Astronomia Nova,
waarin hij de planetenbeweging wetmatig verklaart.

1637: René Descartes publiceert Discours de la Méthode,
een eerste poging tot echt wetenschappelijk onderzoek.

1687: Isaac Newton publiceert Principia Mathematica
       waarin hij de differentiaal- en integraalrekening introduceert.

Ja, in 100 jaar tijd kan er heel wat veranderen!

31-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In 1913 publiceerde Frederico Mariares opmerkelijke formules voor de som van de kwadraten van de eerste n oneven en even getallen.

Hij legde meteen een verband met de driehoeksgetallen.

Hieronder staan de eerste vijf driehoeksgetallen afgebeeld.

Formule van Mariares voor de som van de kwadraten van de eerste n oneven getallen:

Formule van Mariares voor de som van de kwadraten van de eerste n even getallen:

Merk op dat de som van de eerste n driehoeksgetallen ook gelijk is aan het n-de  viervlaksgetal (zie bijlage);

Het is een leuke uitdaging om de geldigheid van de twee formules van Mariares aan te tonen via een bewijs door volledige inductie.

Bijlagen:
C._Althoen_and_C._B._Lacampagne.pdf (128.7 KB)   

DE STELLING VAN MONSKY

 Fred Richman stelde in 1965 in het tijdschrift  the The American Mathematical Monthly de vraag

of het mogelijk is om een vierkant te verdelen in een oneven aantal driehoeken met dezelfde oppervlakte.

Hij vond het (samen met jou wellicht) nogal evident dat het mogelijk is dat te doen in een willekeurig even aantal driehoeken.

Hieronder zie je een oplossing die bijna correct is voor de verdeling in zeven even grote driehoeken.

Pas in 1970 zou  Paul Monsky erin slagen te bewijzen dat de verdeling van een vierkant in een oneven aantal even grote driehoeken onmogelijk is.

Paul Monsky is een Amerikaanse wiskundige en was professor aan de Brandeis University in Waltham (Massachusetts).

Verrassend toch dat de Griekse wiskundigen dit 2000 jaar geleden al niet wisten?

27-08-2015 om 14:36 geschreven door Luc Gheysens  

Triptych - Luc Janus

Af en toe krijg je wel zo een folder of een reclamebrochure in de bus:
een blad dat in drie gelijke delen is gevouwen.

Maar hoe zou jij het aan boord leggen om zelf een A4-blad
op die manier te vouwen zonder een meetlat te gebruiken?

Het antwoord zie je hieronder.

Vouw het blad ABCD (figuur links) eerst dubbel volgens MN en vouw het dan weer open.
Vouw het blad daarna volgens de diagonaal BD en vouw het weer open.
Vouw tenslotte het hoekpunt B naar voren zodat de vouw AN ontstaat.
Het snijpunt P van AN en BD bepaalt dan hoe je het blad in drieën moet vouwen (figuur rechts).
Merk op dat P op één derde van de rechterrand én op één derde van de bovenrand ligt.

Kan je dat analytisch aantonen?

Tip: kies het assenstelsel met D(0,0), C(b,0), B(b,l) en A(0,l)

26-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens