HOEVEEL IS

ANTWOORD

Deze som is gelijk aan 1.

EEN BEWIJS ZONDER WOORDEN ...

En wie hierover zo zijn twijfels heeft, raden we aan de bijlage te lezen.

Bijlagen:
Bewijs van een somformule.pdf (155.9 KB)   

Wie wat vertrouwd is met 'hogere wiskunde'
weet dat de driehoek van Pascal in verband staat met het binomium van Newton.

Maar wist je ook dat er driedimensionale veralgemeningen bestaan van deze driehoek?
Zo heb je bijvoorbeeld de driezijdige piramide van Pascal.
En hieronder zie je een afbeelding van de vierzijdige piramide van Pascal.

Caroline Marien maakte als leerlinge van het Heilige Drievuldigheidscollege in Leuven een eindwerk over de piramide van Pascal.
Je vindt het knap werkje in bijlage. Bron: http://www.wiskundeophdc.be/.
Je verneemt er ook wat het verband is met het multinomium van Pascal.

We laten je tenslotte nog meegenieten van een (Spaans) filmpje
over de eigenschappen van de vierzijdige piramide van Pascal.

Bijlagen:
Eindwerk-Piramide van Pascal - Caroline Marien.pdf (900 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

************************************************************************************

54

 Africa - Luc Janus

***********************************************************************************************

54 = 1² + 2² + 7²    en  54 = 2² + 5² + 5²   en  54 = 3² + 3² + 6²   
Afrika telt 54 landen. Hoeveel kan jij er opnoemen?

Aan de buitenzijde van de kubus van Rubik zijn 54 vlakjes zichtbaar.
 ***********************************************************************************************

Dit getal is precies de helft van het getal van de gulden snede.

Kan je de waarde van sin 54° manueel berekenen?

Enkele tips:  sin (3 x 18°) = cos (2 x 36°) zodat 3sin 18° – 4 sin³ 18° = 1  – 2sin² 18°.
Stel sin 18° = x en los 4x³ – 2x²  –  3x + 1 = 0 op (x = 1 is een oplossing!)

***********************************************************************************************

Hieronder kan je nog een leuk filmpje bekijken
waarin een anamorfose van de kubus van Rubik opduikt.
Een anamorfose is een vertekende afbeelding,
die er slechts gezien vanuit een bepaalde hoek
of onder bepaalde optische voorwaarden realistisch uitziet.

10-08-2015 om 08:56 geschreven door Luc Gheysens  

Magic square - Luc Janus

In Macau, een vroegere Portugese kolonie, die nu net als Honghong een speciale administratieve regio is van de Volksrepubliek China
verschenen op 9 oktober 2014 twee opmerkelijke postzegelblaadjes rond het thema 'magische vierkanten'.

Op het eerste blaadje staat het beroemde Lo Shu magisch vierkant afgebeeld.

Het tweede blaadje bevat 6 postzegels die respectievelijk een waarde van 4, 9, 2, 3, 5 en 7 patace hebben.

Deze getallen vormen dan samen met de getallen 8, 1 en 6 van de onderste rij weer het Lo Shu vierkant.

Op de postzegel van 4 pataca staat het magisch vierkant van op de houtsnede Melencolia 1 van Albrecht Dürer (1514)

Op de postzegel van 9 pataca staat de methode uitgelegd van de Franse diplomaat Simon de la Loubière (17de eeuw)
om een magisch vierkant te ontwerpen met een oneven aantal rijen en kolommen.

Op de postzegel van 2 pataca lees je horizontaal en verticaal de Latijnse palindroom-zin
SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS
(de zaaier Arepo houdt door zijn arbeid de wielen draaiend).

Deze magische tekst kwam in de oudheid vaak voor
en heeft men o.a. teruggevonden op ruïnes in Pompeii.

Op de postzegel van 3 patace heeft men het magisch vierkant afgedrukt van Benjamin Franklin (1737),
een gekend Amerikaans staatsman en wetenschapper.

De magische constante is 260. Ze komt echter niet voor als som van de getallen op de diagonalen.

De postzegel van 5 patace bevat een palindroomgedicht van de Chinese dichteres Su Hui (4de eeuw).
Elk van de 15 x 15 vakjes bevat een Chinees karakter en zo is in diverse richtingen het gedicht te lezen
dat Su Hui schreef voor haar man nadat hij haar had verlaten voor een andere vrouw
Na het lezen van het gedicht zou hij blijkbaar bij haar teruggekeerd zijn.
Het afgedrukt vierkant is het centrale deel van een vierkant van 29 x 29 vakjes
waarin het gehele palindroomgedicht stond afgedrukt.

Op de postzegel van 7 patace zie je een geomagisch vierkant, ontworpen door Lee Swallows,
een Britse amateurwiskundige die in Nederland woont.
Centraal staat een 3 x 3 magisch vierkant, waarbij de drie puzzelstukjes
uit de drie rijen, de drie kolommen en op de twee diagonalen op diverse manieren kunnen samengevoegd worden
tot een 4 x 4 vierkant waarin één klein vierkantje ontbreekt.
De mogelijke samenvoegingen staan rond het centrale vierkant afgedrukt.

09-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Vandaag is het 8-8-2015 (en 2 + 0 + 1 + 5 = 8).

Een grondige reden om het cijfer 8 in dit NUM'ART-project even in de kijker te plaatsen.

2³ = 8  – Luc Janus

Tik even de breuk 1/81 in op jouw rekentoestel
en je zult een verrassende vaststelling doen
in verband met de (periode van de) decimalen na de komma:

Om dit te verklaren doen we een beroep op een Maclaurinreeks.

08-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

When Conway meets Mondriaan - Luc Janus

STELLING

Als men in elk hoekpunt van een willekeurige driehoek de twee zijden die er samenkomen verlengt met een lijnstuk

waarvan de lengte gelijk is aan de lengte van de overstaande zijde, bekomt men zes punten die op één cirkel liggen. 

Dit is de zogenaamde cirkel van Conway.

Op de bovenstaande figuur is |AB| = |CA_C| = | CB_C| , |BC| = |AB_A| = |AC_A| en |CA| = |BA_B| = |BC_B|.

Als de zijden van de driehoek ABC als lengte a, b en c hebben en als r de straal is van de ingeschreven cirkel van de driehoek,

dan is de straal R van de cirkel van Conway gelijk aan

Bij een rechthoekige driehoek waarvan de zijden lengte 3, 4 en 5 hebben,

heeft de ingeschreven cirkel als oppervlakte π en de cirkel van Conway heeft als oppervlakte 37π.

06-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Divisible by 17- Luc Janus

Hoe controleer je of een getal deelbaar is door 17?

Voorbeeld.

Is N = 96594 deelbaar door 17?

4 x 5 = 20 en 9659 – 20 = 9639

9 x 5 = 45 en 963 – 45 = 918

8 x 5 = 40 en 91 – 40 = 51.

51 is deelbaar door 17, dus is ook 96595 deelbaar door 17.

VERKLARING.

Stel N = 10n + e.

Als n – 5e deelbaar is door 17, is n – 5e = 17q.

Dan is N = 10(n – 5e) + 51e = 170q + 51e = 17(10q + 3e) en dus is N zelf deelbaar door 17. 

*******************************************************************************************

Kan je nu ook nog dit 17-probleem oplossen?

Vier personen willen een brug oversteken die echter over 17 minuten zal instorten.

Om over te steken loopt elk van hen op een verschillend tempo.

Ze hebben respectievelijk 1, 2, 5 en 10 minuten nodig, maar de brug kan maar twee personen tegelijk aan.

Aangezien ze telkens per twee oversteken, doen ze dat samen in de tijd van de traagste.

Bovendien steken ze 's nachts over en er is maar één zaklamp.

Die moet telkens als er twee zijn overgestoken door één van hen worden teruggebracht.

Hoe slagen ze er in om alle vier binnen de 17 minuten over te steken?

En kunnen ze ook binnen de 17 minuten veilig aan de overkant geraken

als ze respectievelijk 2, 3, 5 en 6 minuten nodig hebben?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Oplossing oversteekprobleem.pdf (109.1 KB)   

NIEUW!

Het tweede grote breinbreker boek

Een geschiedenis van de wiskunde in meer dan 315 puzzels.

Het magnum opus van puzzelgrootmeester Ivan Moscovich.

Prijs: € 24,99

Uitgeverij Lannoo, Tielt, 2015.

Wiskunde was nog nooit zo leuk: aan de hand van 315 klassieke breinbrekers
krijg je inzicht in de belangrijkste wiskundige vraagstukken aller tijden.

Puzzels en raadsels hebben de mens altijd al mateloos geïntrigeerd:
van het Ishangobeentje (het oudste telraam ter wereld, ca. 22.000 v.C.),
over Zeno's paradox van de haas en de schildpad (400 v.c.) tot de Rubiks kubus (1974):
in zijn nieuwe boek verzamelt puzzelicoon Ivan Moscovich
de beroemdste en beruchtste raadsels uit de geschiedenis van de wiskunde.

Dit prachtig geïllustreerde boek staat garant voor uren puzzelplezier!

**************************************************************************************

Een voorproefje.

Een gebouw telt 18 verdiepingen.

In de lift zitten echter maar twee knoppen:

een groene knop die je 7 verdiepingen hoger brengt

en een rode knop die je 9 verdiepingen lager brengt.

De lift staat momenteel op het gelijkvloers (= verdieping 0).

Je kunt gemakkelijk nagaan dat men 7 keer op een knop moet drukken

om op de eerste verdieping te kunnen uitstappen:

7 + 7 – 9 + 7 – 9 + 7 – 9 = 1.

Maar hoeveel keer moet men (minstens) op een knop drukken om op verdieping 18 uit te stappen?

**************************************************************************************

In dit puzzelboek mocht natuurlijk ook een puzzel van Sam Loyd niet ontbreken.
Deze beroemde Amerikaanse puzzelontwerper tekende rond 1900 een kaart met kanalen op de planeet Mars.
De opgave luidt: maak een toer door de kanalen zodat je elke letter één keer tegen komt op jouw weg.
Welke (Nederlandse) zin kan je dan lezen?

Hopelijk kan wiskunde ook jou bekoren?

04-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal (en voor deze ene keer zelfs drie getallen) op een artistieke manier in de kijker.

***********************************************************************************************************

47 en 74 en 87

Libra - Luc Janus 

4 + 7 = 11 en de 11^de letter uit het Griekse alfabet is λ (lambda)

Het valutateken voor de Britse pond is £. In dat symbool is de letter L te herkennen, de eerste letter van het Latijnse woord libra, dat pond betekent.

*****************************************************************************************************************************

 De AK-74  is de verbeterde versie van het Russische AK-47-geweer en werd ontwikkeld in 1974.

 De nieuwste variant, de AK-74M, is het standaardwapen van het Russische leger sinds het begin van de jaren negentig.

***********************************************************************************************************

GETALLENSPELLETJE

47 + 74 = 121

121 : 0,125 = 968

968 – (4 + 7) = 957 en 957 is deelbaar door 87.

Kies nu zelf eens een getal van twee cijfers.

Tel er het getal bij op dat je bekomt door de twee cijfers van plaats te verwisselen.

Deel de som door 0,125 en trek van de uitkomst tenslotte de beide cijfers van het gekozen getal af.

Waarom is het bekomen getal deelbaar door 87?

***********************************************************************************************************

Lambda - Luc Janus 

***********************************************************************************************************

De Junkers Ju 87 was een tactische duikbommenwerper van de Duitse Luftwaffe in de Tweede Wereldoorlog.

 Hij is vooral bekend als Stuka, deze benaming is formeel de afkorting van het Duitse woord Sturzkampfflugzeug (duikbommenwerper)

maar werd meestal specifiek gebruikt om de Ju 87 aan te duiden. Hij werd gebouwd door de firma Junkers.

03-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Apollonios van Perga (Grieks: Ἀπολλώνιος) (ongeveer 262–190 v.Chr.)

was een Grieks meetkundige en astronoom, die beroemd is vanwege zijn werken over kegelsneden.

Hij zou een leerling van de volgelingen van Euclides zijn geweest.

*********************************************************************************************

Hij vond als eerste een oplossing voor het volgende raakprobleem:

hoeveel cirkels kan men in het algemeen construeren die raken aan drie gegeven cirkels?

Op de bovenstaande figuur zie je dat er 8 oplossingen zijn.

De zwarte cirkels (c1, c2 en c3) zijn de drie gegeven cirkels.

Bij elke oplossing hebben we genoteerd welke cirkel(s) inwendig raakt (raken) aan de gezochte cirkel.

Zie je ook het verband met een rij getallen uit de driehoek van Pascal?

01-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Blue Moon A - Luc Janus

Blauwe maan

Vanavond 31 juli 2015 is de blauwe maan te zien is.
De maan verandert echter niet van kleur, de term verwijst immers
naar de zeldzame gebeurtenis van twee volle manen in één kalendermaand
(deze maand op 2 en 31 juli). 
Omdat een maancyclus ongeveer 29,5 dagen in beslag neemt
terwijl een maand gemiddeld genomen 30,5 dagen telt,
komt het om de twee 2 à 3 jaar voor dat een jaar dertien maancyclussen bevat.
De volgende blauwe maan valt op 31 januari 2018.
In maart 2018 is er dan weer sprake van een blauwe maan,
aangezien er in februari geen volle maan zal zijn.

Wat heeft dit te maken met de kleur blauw?

Een roodachtige maan komt regelmatig voor, bij een maansverduistering
wanneer het zonlicht eerst door de atmosfeer van de aarde gaat voordat het de maan bereikt.
Een blauwachtige maan is echter veel zeldzamer.
Volgens NASA zorgt de aanwezigheid van rook- of stofdeeltjes ervoor
dat de maan een blauwachtige schijn krijgt.
Zo werd er een blauwachtige maan gemeld na de uitbarsting van de Krakatoa in 1883,
maar ook na zware bosbranden in Zweden (in 1950) en Canada (in 1951).
De kleine deeltjes reflecteren de rode kleur van het zonnespectrum,
waardoor de maan een blauwe, of soms zelfs groene schijn, krijgt.

De blauwachtige maan heeft dus niet veel te maken met de blauwe maan.
De exacte oorsprong van de term is onduidelijk,
maar een mogelijk verklaring is te vinden in het Oudengelse term
‘belewe moon’,ofwel de ‘valse maan’.
Dat was de benaming voor de tweede maan.
Het is mogelijk dat ‘belewe’ na verloop van tijd verbasterd is naar ‘blue.’

Bijgeloof

Er heerst heel wat bijgeloof rond de volle maan.
Denk bijvoorbeeld maar aan kinderen die onrustiger zouden zijn
of weerwolven die veranderen bij volle maan.
Bij de tweede volle maan op een maand is superstitie dan ook niet ver weg. 
Zo zou een wens die onder een blauwe maan gemaakt wordt echt uitkomen.

Blue Moon B - Luc Janus

31-07-2015 om 11:45 geschreven door Luc Gheysens  

  

Tempora mutantur, nos et mutamur in illis
(de tijden veranderen en wij veranderen mee)

 En je vindt er nog veel meer:
een test om jouw reactiesnelheid te meten,
info over behamaten,
jouw gewicht op andere planeten,
remafstanden van wagens,
jouw ideale gewicht,
en heel veel nuttige rubrieken over wiskunde ...

Dergelijke websites houden je (mentaal) fit!

29-07-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Three is the first odd prime number - Luc Janus

Ziehier drie minder gekende resultaten over priemgetallen. Het bewijs van de eerste twee stellingen behoort tot de 'hogere rekenkunde' ...

De (4n+1)-stelling van Pierre de Fermat
Elk priemgetal van de vorm 4n + 1 (een viervoud plus één) is gelijk aan de som van de kwadraten van twee positieve gehele getallen.

Enkele voorbeelden.
13 = 2² + 3²
61 = 5² + 6²
89 = 5² + 8².

De (6n+1)-stelling van Leonhard Euler
Elk priemgetal van de vorm 6n + 1 (een zesvoud plus één) is gelijk aan de som x² + 3y², waarbij x en y twee positieve gehele getallen. zijn.

Enkele voorbeelden.
13 = 1² + 3 . 2²
28 = 1² + 3 . 3²
     = 4² + 3 . 2²
     = 5² + 3 . 1²

De (a² – b²)-stelling van Lucianus
Elk priemgetal groter dan 2 is te schrijven als een verschil a² – b², waarbij a en b twee positieve gehele getallen zijn.

Bewijs.
Elk priemgetal p groter dan 2 is een oneven getal en kan dus geschreven worden als de som a + b, waarbij a en b twee opeenvolgende natuurlijke getallen zijn met a > b. 
Dan is a – b = 1 zodat p = (a + b) . (a – b) = a² – b². 

Enkele voorbeelden.
13 = 7 + 6 = (7 + 6).(7 - 6) = 7² – 6²
2011 = 1006 + 1005 = (1006 + 1005).(1006 – 1005) = 1006² – 1005².

28-07-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal (en soms ook twee getallen) op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

6 en 9

Foetus - Luc Janus

 

Na 6 maanden gaan de neusgaten bij een foetus open en begint hij voor het eerst wat te ademen.
Ook duimzuigen is vanaf nu een vaak voorkomende activiteit.
Men kan vanaf de zesde maand ook duidelijk de hartslag horen.
Dat de toekomstige moeder tussen de 6^de en 9^de maand van de zwangerschap in beweging blijft,
komt het kind alleen maar ten goede.

De gemiddelde zwangerschap duurt 38 weken of ongeveer 9 maanden (of 'negen manen').
Op http://www.24baby.nl/zwanger/ben-ik-zwanger/uitgerekende-datum-berekenen/
kan je de vermoedelijke datum van de geboorte berekenen.

26-07-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

Via een eenvoudige rekensom leiden we (in 2015) jouw leeftijd af
uit het aantal pralines dat je eet!

STAP 1.  Hoeveel pralines zou jij nu kunnen opeten? Noteer het aantal (een getal van 1 tot en met 9).
STAP 2. Vermenigvuldig dit getal met 2 en noteer de uitkomst.

STAP 3. Tel hier eerst 5 bij op en vermenigvuldig daarna het resultaat met 50. Noteer de uitkomst.

STAP 4. Tel hierbij 1765 op als je dit jaar reeds jarig bent geweest. Tel 1764 op als je verjaardag nog moet komen.
STAP 5. Trek nu van het bekomen getal jouw geboortejaar af.

26-07-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Casper en Hobbes © Bill Watterson

Veel mensen geraken gefascineerd door vaak eenvoudige spelletjes
waarbij de 'goochelaar' er schijnbaar probleemloos in slaagt een getal of een symbool te raden dat iemand in gedachten heeft genomen.
Op het internet circuleren een aantal dergelijke goocheltruuks.

We presenteren er hier eentje via een Franstalige powerpointpresentatie.

PS. Een Nederlandstalige versie hiervan zit in bijlage.

Men vraagt je verschillende keren na elkaar een getal van twee cijfers in gedachten te nemen en hiervan de som van de cijfers af te trekken.
Kies je bijvoorbeeld 43, dan bereken je 43 – (4 + 3) = 43 – 7 = 36.
Dan toont de Grote Kissetou een tabel met getallen en Egyptische symbolen en vraagt je het symbool te onthouden dat correspondeert met het getal 36.
En blijkbaar slaagt de Grote Kissetou er keer op keer in het gekozen symbool te raden!

Bijlagen:
De grote Kissetou.ppt (2 MB)   

Vandaag 22/7 dringt een acute vraag zich op:

is π groter of kleiner dan 22/7?

Een verrassend antwoord krijg je via de berekening van een bepaalde integraal.
We maakten de berekening via de 'definite integral calculator' van Wolfram
die je vindt op http://www.wolframalpha.com/widgets/gallery/ (bij de rubriek 'Mathematics').

Aangezien de functie die hier wordt geïntegreerd strikt positief is (f(x) > 0 in [0,1]), is ook 22/7 –  π > 0.

Voor de onbepaalde integraal vond ik de volgende uitdrukking:

22-07-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

Op onze Belgische Nationale Feestdag kan er een speciale bijdragen van af!  

********************************************************************************************************************
21

Fuzzy - Luc Janus

********************************************************************************************************************

21 is een driehoeksgetal (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21)

en 21 is het aantal stippen op een gewone dobbelsteen

********************************************************************************************************************

GETALSPELLETJE MET 21

Kies een geheel getal tussen 11 en 99 en vermenigvuldig het met 21.

Laat van de uitkomst het laatste cijfer weg.

Vermenigvuldig het bekomen getal met 11 en trek van de uitkomst het eerder weggelaten cijfer af.

De uitkomst is steeds deelbaar door 21.

Voorbeeld.  59 x 21 = 1239  >>>  123 x 11 = 1353  >>>  1353  –  9 = 1344 >>> 1344 : 21 = 64.

Heb jij een verklaring?

********************************************************************************************************************

Voor wie op 21 juli wat meer wil te weten komen over de complexe politieke structuur van BELGIË
hebben we hier de volgende verklarende bijdrage geplaatst.

Geniet ervan! Profitez-en! Genießen Sie es! Enjoy!

21-07-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal (en soms ook twee getallen) op een artistieke manier in de kijker.

*******************************************************************************************************************

28 en 86

Padovan - Luc Janus

28 en 86 zijn twee niet-opeenvolgende getallen uit de rij van Padovan en ook hun som 114 is een getal uit deze rij.

De rij van Padovan is een rij gehele getallen (P_n) die gedefinieerd wordt

door de beginvoorwaarden: P₀ = P₁ = P₂ = 1 en de recursiebetrekking P_n = P_n-2 + P_n-3 .

De eerste termen uit deze rij zijn 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, ...

De rij is genoemd naar de architect en schrijver Richard Padovan, die zijn ontdekking toeschreef aan de Nederlandse architect Hans van der Laan.

De rij is beschreven door de Britse wiskundige Ian Stewart in zijn column Mathematical Recreations in Scientific American van juni 1996.

Hieronder zie je hoe gelijkzijdige driehoeken, waarvan de zijden de getallen zijn uit de rij van Padovan, een spiraal bepalen.

Bron: Wikipedia.

"De beste manier om chaos te veroorzaken is alles te regelen"

Karel Boullart, filosoof en docent aan de UGent

20-07-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

17-07-2015 om 14:33 geschreven door Luc Gheysens