In de fysica duiken heel wat kwadratische verbanden (en parabolen) op.

Voor een eenvoudig en verrassend experiment dat een parabool oplevert heb je enkel een meetlat, enkele muntjes van 10 eurocent en een vlakke bodem nodig.

      

Neem een meetlat van 30 cm en leg muntstukjes van 10 eurocent op regelmatige afstanden langs de lat, bijvoorbeeld telkens op 4 cm van elkaar.

Hou één uiteinde van de lat goed vast en geef de muntstukken met het andere uiteinde een tik door het te laten zwaaien (figuur links).

De muntstukken liggen nu volgens een bepaald patroon.

Deze muntencurve blijkt een parabool te zijn (figuur rechts).

Referentie: W. Peeters, Fysica is cool: experimenteerkit,  Universiteit Antwerpen.

Info over de experimenteerkoffer en de proeven die je ermee kunt uitvoeren vind je op

http://www.fisme.science.uu.nl/woudschotennatuurkunde/verslagen/Vrsl2004/wg21.htm

Wetenschap is COOL!

Bijlagen:
Muntencurve uitleg.pdf (135.3 KB)   

Bijlagen:
Schuine_worp.doc (123.5 KB)   

Via zijn speciale relativiteitstheorie ontketende Albert Einstein in 1905 een revolutie in de fysica.

Zijn formule E = mc² drukt immers de equivalentie uit tussen massa en energie, m.a.w. heel kleine deeltjes dragen een enorme energie in zich.

In feite begon hiermee ook het atoomtijdperk.

De powerpointpresentatie in bijlage bevat een reeks zeldzame foto's van Einstein.

De eerste reeks is voorzien van een Engelstalige tekst en het bij het tweede deel staat een Duitstalige uitleg.

In bijlage zit ook een origineel geluidsfragment met de stem van Einstein, waarin hij het principe van de equivalentie van massa en energie uitlegt.

Hij verwijst hierbij naar het experiment van John Cockcroft en Ernest Walton, die er in 1932 voor de allereerste keer in slaagden een lithiumatoom te splitsen

en via metingen van de vrijgekomen energie de formule E = mc² bevestigden.

Op het onderstaande filmpje kan je zien hoe Einstein zelf de beroemde formule E = mc² toelicht.

En hier kan je nog genieten van een fotoreeks over het leven van Einstein, geïllustreerd met zijn meest beroemde uitspraken.

Bijlagen:
Einstein_zeldzaam.ppt (3.1 MB)   
voice_of_Einstein.wav (1.1 MB)   

Het internet levert al heel wat interactieve gratis software waarmee men in de les aan de slag kan.

We vermelden hier twee bijzonder praktische pakketten: GeoGebra (www.geogebra.org) en Graphmatica (www.grahmatica.com). 

Voor graphmatica, een gratis computerprogramma dat bijzonder geschikt is voor de functieleer, vind je een 'startershandleiding' in bijlage (met dank aan collega Philip Bogaert).

Voor het programma GeoGebra dat zowel voor meetkunde als analyse functioneel kan gebruikt worden,
vind je in bijlage een praktische handleiding voor de eerste en de tweede graad (met dank aan collega Roger Van Nieuwenhuyze). 

Op http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Dutch staat heel wat bruikbaar materiaal voor GeoGebra.

Onderaan die webpagina plaatste collega Pedro Tytgat een handleiding voor de derde graad.

*****************************************************************************************************************************************************
En dan is er nog   http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi .

Op deze website, vind je

• Lesmateriaal en verwijzingen naar diverse onderwerpen.
• Online rekenmachines en functie plotters : getallen, functies, matrices, krommen, oppervlakken, etc.
• Interactieve oefeningen van verschillende stijl en moeilijkheidsgraad.
• Wiskundige ontspanning : puzzels en spelletjes.

Bijlagen:
geogebra_eerste_graad.pdf (1.6 MB)   
geogebra_tweede_graad.pdf (1.6 MB)   
Graphmatica_syllabus.doc (671.5 KB)   

In 1609 - precies 400 jaar geleden - maakte Galileo Galilei voor het eerst gebruik van een telescoop om het heelal te observeren.

Om dit te herdenken heeft men 2009 uitgeroepen tot het Internationaal Jaar van de Sterrenkunde.

In tegenstelling tot wat velen denken is niet de poolster de helderste ster aan de nachtelijke hemel,

maar wel Sirius A, die samen met het zwakke sterretje Sirius B een dubbelster vormt.

 

De dubbelster Sirius, bestaande uit een heldere ster (Sirius A) en een zwakke begeleider (Sirius B).

De schijnbare helderheid I van een ster (zoals wij ze vanop aarde ervaren) hangt hoofdzakelijk af van de hoeveelheid energie die ze uitstraalt en van de afstand. De werkelijke helderheid wordt aangeduid door de magnitude m. Het verband tussen I en m wordt bepaald door de sensatiewet van Fechner: wanneer de prikkels een meetkundige rij vormen, zullen de senasties een rekenkundige rij vormen. Dit betekent dat de sensatie evenredig is met de logaritme van de prikkel.

Deze wet werd in 1850 door Pogson toegepast om een magnitudeschaal op te stellen voor waargenomen sterren en zo kwam hij tot de volgende formule:

Bijlagen:
Spectraaltypes en HRD.pdf (573.8 KB)   

De driehoek van Pascal (1623-1662) was zeker al veel vroeger gekend door de Chinese wiskundigen.
Het was echter de verdienste van Blaise Pascal om de eigenschappen van de getallen uit deze driehoek
(de zogenaamde binomiaalcoëfficiënten) te bestuderen en ze in verband te brengen met de kansrekening.

Voor de diverse eigenschappen van de binomiaalcoëfficiënten kan je o.a. terecht op http://www.wiskundeonline.nl bij Lessen online > De driehoek van Pascal en op http://ptri1.tripod.com .

Je komt hier ongetwijfeld tot enkele verrassende ontdekkingen.

Zo blijken de getallen uit de rij van Fibonacci op een vrij natuurlijke manier te voorschijn te komen door 'diagonaalsgewijs' getallen uit de driehoek van Pascal bij elkaar op te tellen:



Je kan dit ook nalezen in 'De telduivel' van Hans Magnus Enzensberger, een hoofdkussenboek voor iedereen die bang is voor wiskunde.



Voor een wiskundige is het een boeiende uitdaging om dit verband ook te bewijzen!

Hiervoor kan je terecht in de bijlage, een fraaie werktekst van collega Pedro Tytgat,
medewerker aan het vermaarde Vlaamse wiskundetijdschrift Uitwiskeling (http://www.uitwiskeling.be/).

Bijlagen:
Exploraties_in_de_driehoek_van_Pascal.pdf (178.8 KB)   

Op hun populaire blog www.wiskundemeisjes.nl kan iedereen meegenieten van de wiskunde die ze boeiend vinden.

Ir. Ionica werkt aan kettingbreuken, benaderingen en algoritmen.

Daarnaast schrijft ze over wiskunde voor verschillende kranten en tijdschriften.

Drs. Jeanine is bezig met de geschiedenis van de algebra, in het bijzonder met klassificaties van kristalstructuren.

Ook gaat ze al jaren mee als begeleider op de zomerkampen van Vierkant voor Wiskunde en zit ze in de redactie van Pythagoras.

Stiekem houden ze ook allebei van boeken lezen, bandjes kijken, lekker koken,

muziek maken, dansen, mannen, films kijken, theater en andere dingen ...

Bijlagen:
ww 4 wiskundemeisjes.pdf (3.2 MB)   

Vanaf september 2009 werkt men in het eerste jaar van de eerste graad A-stroom met een nieuw leerplan wiskunde.

Vanaf september 2010 komt het ook in voege in het tweede jaar.

Een belangrijk aandachtspunt in het nieuwe leerplan is het probleemoplossend denken.

Het aanbieden van 'het probleem van de week' kan een attractieve manier zijn om de leerlingen hun wiskundekennis te laten toepassen.

De uitgeverijen van wiskundehandboeken schenken hieraan zeker voldoende aandacht

en ook de vragen van de Kangoeroewedstrijd komen hiervoor in aanmerking.

Je vindt de vragen van de Wallabie-editie 2009 voor de eerste graad in bijlage.

Meer informatie tref je aan op www.wiskundekangoeroe.be, waar je ook oefenopgaven vindt van de voorbije edities.
De leerplancommissie stelde een nuttig document beschikbaar met een overzicht van de parate kennis en vaardigheden in de 1ste graad.

Je vindt het in wordformaat in bijlage.

Een ander aandachtspunt in het nieuwe leerplan is het functioneel ICT-gebruik.
Met het dynamisch meetkundeprogramma GeoGebra is er heel wat mogelijk.
De constructie van de rechte van Euler in een willekeurige driehoek (zie onderstaande figuur)

is wellicht de meest uitdagende oefening voor een leerling van de eerste graad.

Als je deze GeoGebra-figuur zelf tekent, kan je de hoekpunten van driehoek ABC verslepen

en vaststellen dat het hoogtepunt H, het middelpunt van de omgeschreven cirkel O en het zwaartepunt Z

steeds op één rechte liggen (de rechte van Euler) en dat |HZ| = 2|ZO|.

Zelf maakte ik deze constructie voor het eerst in 1966 onder de hoede

van mijn gedreven wiskundeleraar Frans Vandendriessche in het toenmalige Sint-Jozefinstituut in Kortrijk.

Frans gaf er meer dan 40 jaar les en leerde generaties studenten rekenen met gehele getallen, met rationale getallen en met lettervormen.

Hij leerde ze op een systematische manier vergelijkingen en vraagstukjes met één onbekende oplossen.

Hij leerde ook aan hoe men met passer en liniaal nauwkeurige meetkundige constructies kan maken

en hoe men een meetkundige stelling bewijst.

In mijn verdere carrière zou ik dan ook verschillende bewijzen voor deze enig mooie stelling van Euler optekenen.

Bijlagen:
De rechte van Euler - bewijs.pdf (109.7 KB)   
Vademecum eerste graad A-stroom.doc (1.3 MB)   
wallabie_2009.pdf (372.3 KB)   

Bijlagen:
DE RECHTE VAN PASCAL.doc (51.5 KB)   
rechte_van_Pascal.ggb (6 KB)   

Paul Allegaert

1944-2003

Zal het ooit wennen,

jouw stem niet meer te horen?

Zoveel hadden wij elkaar nog te vertellen.

Zoveel wou ik je nog vragen.

Het antwoord heet nu stilte …

Jan-Frans Lindemans

**************************************

De Wiskundige Allegaartjes in bijlage

zijn een dankbare herinnering

aan collega Paul.

Bij mijn laatste bezoek bij hem thuis

gaf hij me zijn bundel opdrachten en taken mee

die hij gebruikte voor de leerlingen van het derde jaar.

Hij had ze met heel veel toewijding bijeengesprokkeld.

Ze weerspiegelen zijn vakbekwaamheid

zijn visie op het vak wiskunde,

en zijn bemoedigende aanpak.
 

L.G.

oktober 2003

Bijlagen:
Goniometrie 4.doc (54 KB)   
Goochelen met getallen.doc (37.5 KB)   
Grafische voorstelling van problemen.doc (138 KB)   
Last minutes 1.doc (31.5 KB)   
Merkwaardige producten.doc (46.5 KB)   
Ongelijkheden-Stelsels ongelijkheden.doc (31.5 KB)   
Paradox 1 uit de meetkunde.doc (559 KB)   
Toepassingen in de ruimte.doc (47.5 KB)   
VWO-tjes 1.doc (80.5 KB)   
Wortels .doc (279 KB)   

Bijlagen:
PROGRAMMEREN OP EEN GRAFISCHE REKENMACHINE.doc (66.5 KB)   

Via de werkopdracht in bijlage kan je heel wat leren over hoe men in de voorbije eeuwen getallen noteerde en hoe men hiermee probeerde op een systematische manier te rekenen.

Volgende onderwerpen komen aan bod:
- het Ishangobeentje
- het vigesimaal talstelsel bij de Maya's
- het hexagesimaal talstelsel bij de Babyloniërs en de Sumeriërs
- de hiëroglyfennotatie bij de Egyptenaren
- de acrofonische getallen bij de Oude Grieken
- de Romeinse cijfers en chronogrammen
- het binair talstelsel
- rekenen met een abacus
- een Arabisch rekenschema
- het verband tussen googol en Google.

De vedische wiskunde (wat?) leert je om op een eenvoudige manier getallen te kwadrateren 
Bekijk hiervoor het volgende filmpje.

Bijlagen:
Werkopdracht over talstelsels en telsystemen.doc (207 KB)   

Wie herkent niet de hoed van Napoleon?

Maar wist je dat er in de wiskunde ook een ‘Stelling van Napoleon’ bestaat?

In de opdracht in bijlage maak je kennis met 6 minder gekende stellingen.

Koppel elke stelling aan de juiste naam.

Kan je (op het internet) een bewijs vinden voor deze stellingen?

Bijlagen:
De hoed van Napoleon.doc (991 KB)   

William van Ockham ca. 1285-1349

Pluralitas non est ponenda sine necessitate

(vrij vertaald : “Kies steeds de eenvoudigste oplossing” )

Dit principe staat bekend als ‘Het scheermes van Ockham’ 

en kan ook toegepast worden op het bewijs

van wiskundige eigenschappen of stellingen.

Voor heel wat problemen uit de meetkunde, algebra en goniometrie

bestaat er ‘een oplossing op zicht’,

waarbij men de oplossing ‘ziet’ op een figuur.

OPGAVE

In de bijlage staat een lijstje met 12 eigenschappen/stellingen

en 12 figuren die in feite  ‘bewijzen zonder woorden’ zijn.

Koppel de LETTER die bij deze bewijzen staat

aan het CIJFER van de overeenkomstige eigenschap/stelling.

Kan je ook telkens een verklaring geven? 

Bijlagen:
Het scheermes van Ockham.doc (1.1 MB)   

Bijlagen:
DavidCopperfield.ppt (192 KB)   

Dit was de eerste wiskundepuzzel die ik als kind (in het eerste leerjaar) in handen kreeg en kon oplossen .
Deze puzzel was een uitdaging door zijn eenvoud.
Wereldwijd zijn honderden versies ervan opgedoken.

Je kunt de puzzel online proberen op te lossen op http://mypuzzle.org/sliding .

De geschiedenis van de 15-puzzel.  

Het was heel lang onduidelijk wie de eerste schuifpuzzel heeft uitgevonden of gemaakt. Wel leek lange tijd vast te staan dat in 1878 Sam Loyd, Amerika's grootste puzzel-expert, de "hele wereld gek maakte" met zijn "nieuw ontdekte" 14-15-puzzel. Dit was een variant op de "Puzzel van 15" die al minstens 8 jaar eerder werd gemaakt en verkocht door de Embossing Company uit New York. Die bestond uit 15 genummerde vierkante blokjes die men in een vierkant raam dat groot genoeg was voor 16 blokjes heen en weer kon schuiven.

Het was niet zo verbazingwekkend dat de hele wereld "gek" werd gemaakt door Sam Loyd's variant op de puzzel van 15. Het probleem dat hij stelde was namelijk onmogelijk op te lossen. Wanneer men deze 14-15 puzzel kocht, bevond het lege vakje zich rechts onderaan, en de blokjes waren in volgorde genummerd van links naar rechts en van boven naar beneden. Alleen de 14 en de 15 waren verwisseld. Men moest de puzzel helemaal op volgorde zien te krijgen, en de lege plaats moest rechtsonder blijven. Voor de oplossing werd een prijs van 1000 dollar uitgeloofd, maar die werd nooit opgeëist. Een schuifpuzzel is namelijk alleen oplosbaar als het aantal verwisselingen dat nodig is om de puzzel kloppend te maken even is. De 14-15 puzzel genoot een wereldwijde belangstelling die alleen te vergelijken is met de Kubus van Rubik die de wereld 100 jaar later overspoelde.

Citaat uit  Cyclopedia of Puzzles van Sam Loyd:

"De oudere inwoners van Puzzelland zullen zich herinneren hoe ik in het begin van de jaren 70 de hele wereld gek heb gemaakt met een klein doosje met bewegende blokjes, dat later bekend werd onder de naam "14-15-puzzel". De vijftien blokjes lagen in hun normale volgorde geordend in het doosje, alleen de 14 en 15 waren verwisseld, zoals u in de figuur hiernaast kunt zien. De puzzel bestond eruit dat de blokjes een voor een verplaatst moesten worden om ze uiteindelijk weer allemaal in hun oorspronkelijke positie te brengen behalve dan dat de "fout" bij de 14 en 15 ongedaan gemaakt moest zijn. De prijs van $ 1000, die was uitgeloofd voor de eerste correcte oplossing voor dit probleem is nooit opgeëist."

Enkele enthousiaste studenten van het Junior College van Utrecht hebben de verklaring waarom de puzzel niet oplosbaar is op papier gezet:
http://www.exo.science.ru.nl/bronnen/wiskunde/puzzels.html

In 2006 hebben Jerry Slocum en Dic Sonneveld een boek gepubliceerd met als titel The 15 Puzzle. Hierin lezen we o.a.: "Sam Loyd heeft de 15 puzzel niet uitgevonden en heeft ook niets te maken met het populariseren van deze puzzel. De puzzelgekte die ontstond rond de 15-puzzel begon in januari 1880 in Amerika en in april in Europa. De gekte eindigde in juli 1880 en Sam Loyd’s eerste artikel over de 15-puzzel werd pas 16 jaar later gepubliceerd, nl. in januari 1896. Loyd beweerde voor het eerst in 1891 dat hij de puzzel had uitgevonden en hij hield deze leugen vol tot aan zijn dood 20 jaar later. De echte uitvinder was Noyes Chapman, een postbeambte uit New York, die al een patent aanvroeg in maart 1880."

23-06-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wist je dat je met een balans alle gewichten van 1 kg tot en met 40 kg kunt afwegen als je beschikt over gewichtjes van 1 kg, 3 kg, 9 kg en 27 kg?

Zo kan je 33 kg afwegen door hierbij het gewicht van 3 kg te plaatsen en op de andere schaal van de balans de gewichten van 27 kg en 9 kg te plaatsen.

Voor 20 kg ga je als volgt te werk: plaats hierbij de gewichten van 9 kg en 1 kg  en zet op de andere schaal de overige twee gewichten van 27 kg en 3 kg.

Op dit principe is de goocheltoer met de onderstaande vier kaartjes gebaseerd. Je vindt deze kaartjes afdrukklaar in bijlage.

Vraag aan een toeschouwer om een getal van 1 tot en met 40 in gedachten te nemen.

Vraag hem dan telkens op welk van de vier kaartjes het getal staat en of dit in Arabische of in Romeinse cijfers is.

Na het vierde kaartje kan je precies zeggen welk getal hij gekozen heeft.

Verklaring.

Ken aan het eerste kaartje het sleutelgetal 1 toe,
aan het tweede kaartje het getal 3,
aan het derde het getal 9 en aan het vierde het getal 27.

Als de toeschouwers zegt dat zijn getal in Arabische cijfers op een kaartje staat,
reken je het corresponderende sleutelgetal positief aan.
Als het in Romeinse cijfers staat, reken je het negatief aan.
De som van de getallen die je zo bekomt, is meteen gelijk aan het gekozen getal.

Voorbeelden.
Het getal 33 staat op het derde en vierde kaartje in Romeinse cijfers.
Dit geeft 9 + 27 = 36.
Op het tweede kaartje staat het in Romeinse cijfers en dit levert -3 op.
36 - 3 = 33.
Het getal 20 staat op het tweede en vierde kaartje in Romeinse cijfers.
Dit geeft 3 + 27 = 30.
Op beide andere kaartjes staat het in Romeinse cijfers, wat -1 - 9 = -10 oplevert.
30 - 10 = 20.

*************************************************************************************************

Met dank aan collega Job van de Groep, wiskundedocent en amateurgoochelaar,
die in 2007 te gast was op de Dag van de Wiskunde in Kortrijk.

Hij verzamelde een aantal wiskundige goocheltrucs voor in de les
in zijn boekje 'Gegoochel met getallen'. ISBN 90 11 09944 3

Bijlagen:
Arabische_en_Romeinse_cijfers.doc (97 KB)   

Als ik geen wiskundige was geworden, dan was ik nu zeker een goochelaar!

Met dank aan :

Principe van het laatste spelletje: als je van een getal van twee cijfers de som van de beide cijfers aftrekt, bekom je altijd een veelvoud van negen.
Immers: 10a + b - (a + b) = 9a.

23-06-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Edouard Zeckendorf (1901-1983)

Deze truc steunt op de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 ... en de stelling van Edouard Zeckendorf.

Die stelling zegt dat elk natuurlijk getal op slechts één manier kan geschreven worden als een som van niet-opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci.

Als het getal zelf een Fibonacci-getal is, dan bestaat de “som” maar uit één term: het getal zelf.

E. Zeckendorf was een Belgische amateur-wiskundige, geboren in Luik in 1901 en er overleden in 1983. Hij was dokter in het Belgisch leger.

Kaart 1   1, 4, 6, 9, 12, 14, 17, 19, 22, 25, 27, 30, 33, 35, 38, 40, 43, 46, 48, 51,53,56, 59, 61,64, 67,69, 72, 74	Kaart 2   2, 7, 10, 15, 20, 23, 28, 31, 36, 41,44, 49, 54, 57, 62, 65, 70, 75	Kaart 3   3, 4, 11, 12, 16,17, 24, 25, 32, 33, 37, 38, 45, 46, 50, 51, 58, 59, 66, 67, 71, 72
Kaart 4   5, 6, 7, 18, 19, 20, 26, 27, 28, 39,40, 41, 52, 53, 54, 60, 61, 62, 73, 74,75	Kaart 5   8, 9, 10, 11, 12, 29, 30, 31, 32, 33, 42, 43, 44, 45, 46,63, 64, 65, 66, 67	Kaart 6   13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 68, 69, 70,71,72, 73, 74, 75
Kaart 7   21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33	Kaart 8   34, 35, 36, 37, 38,39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54	Kaart 9   55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69,70, 71, 72, 73,74,75

Bijlagen:
Fibonaccikaartjes.doc (22.5 KB)   

Principe: elk positief geheel getal is op een unieke manier te schrijven als een som van machten van 2 (binaire schrijfwijze).

Zo is de binaire schrijfwijze van 43 : 101011.

Bijlagen:
Binaire getallenkaartjes.doc (22.5 KB)