Een gelijkzijdige driehoek zou ook kunnen,
maar dan zit je met het nadeel dat er weinig ruimte is
om door een driehoekig gat heen te komen.

Het frame rond de ronde riooldeksels is dan wel meestal een vierkant.
De reden hiervoor is dat men gemakkelijker straatstenen
rond een vierkant kan leggen dan rond een cirkel.

Een rond deksel (dat meestal redelijk zwaar is)
heeft bovendien het voordeel
dat het gemakkelijk kan verplaatst worden
door het vooruit te rollen!

Bovendien ligt een rond deksel steeds direct goed,
terwijl er bijvoorbeeld voor een vierkant deksel
slechts vier goede posities zijn
waarbij het deksel de put zou afsluiten.

05-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In de wiskunde is het vaak zo dat voor een bepaalde stelling
door de ontdekker ervan eerst een vrij ingewikkeld bewijs wordt gevonden
en dat iemand dan jaren later met een erg eenvoudig bewijs voor de dag komt.

Een mooi voorbeeld hiervan is de stelling van Viviani:

In 2005 publiceerde Ken-ichiroh Kawasaki hiervoor een bewijs zonder woorden.

Hiermee toonde hij meteen ook aan dat de som van de afstanden van dat punt tot de drie zijden gelijk is aan de hoogte van de gelijkzijdige driehoek.

Referentie: Ken-ichiroh Kawasaki, Proof Without Words: Viviani's Theorem, Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 3 (June 2005), 213.

04-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE STELLING VAN JOHNSON

Sommige stellingen zijn verrassend door hun eenvoud en zijn daardoor vaak niet zo gemakkelijk te bewijzen.

De Amerikaanse meetkundige Roger Arthur Johnson (1890 - 1954) ontdekte zo een stelling.

Als drie even grote cirkels door eenzelfde punt gaan,
dan liggen de drie andere snijpunten van de paren cirkels op eenzelfde cirkel
die even groot is als de drie gegeven cirkels.

Op de bovenstaande figuur staan drie even grote cirkels met als middelpunt resp. P, Q en R en ze gaan alle drie door het punt O.

De punten A, B en C zijn de andere snijpunten van de paren cirkels.

A, B en C blijken op een cirkel te liggen (met middelpunt D) die even groot is als de drie gegeven cirkels!

Een bewijs van deze stelling zit in bijlage.

Bijlagen:
STELLING VAN JOHNSON - bewijs.pdf (98 KB)   

STELLING VAN MORLEY (ontdekt door Frank Morley - 1899)

"De snijpunten van de aanliggende trisectrices van de hoeken van een willekeurige driehoek vormen een gelijkzijdige driehoek".

Op de bovenstaande figuur zie je dat de snijpunten van  aanliggende binnentrisectrices van Δ ABC de gelijkzijdige driehoek PQR bepalen.

Een bewijs zit in bijlage, maar mits wat speurwerk vind je vast een zeker nog andere haalbare bewijzen op het internet.

Op de onderstaande animatie zie je dat dit resultaat blijkbaar ook geldig blijft voor de buitentrisectrices.

  Bron: http://blog.zacharyabel.com/tag/morleys-theorem/

Bijlagen:
Morley's theorem - proof.pdf (59 KB)   

Archimedes van Syracuse (287 v.Chr.– 212 v.Chr.) was erin geslaagd een formule op te stellen
voor de inhoud en de oppervlakte van een bol en een cilinder.
In zijn werk 'Over de bol en de cilinder' bewees hij o.a. een merkwaardige stelling
over de verhouding van de oppervlakte en de inhoud van een cilinder
en een bol die perfect past in die cilinder zoals op de onderstaande figuur.

De inhoud van de bol met straal r is (4/3)πr³ en de oppervlakte van die bol  4πr².
De inhoud van de afgebeelde cilinder met hoogte 2r is 2πr³ 
en de totale zijdelingse oppervlakte van de cilinder is 6πr²
(twee cirkels met straal r en een rechthoek met afmetingen 2πr en 2r).

Hieruit volgt:

Naar het schijnt beschouwde Archimedes dit resultaat als zijn beste wiskundige prestatie
en liet hij daarom de figuur van de bol in de cilinder op zijn graftombe beitelen.

Hieronder vermelden we nog een merkwaardig resultaat.
Beschouw een kegel, een bol en een cilinder met dezelfde breedte en dezelfde hoogte.
Dan verhouden hun inhouden zich als 1 : 2 : 3.
Dit betekent dat de inhoud van de cilinder precies gelijk is
aan de som van de inhouden van de kegel en de bol.

Kan je dit bewijzen?

 

03-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Het geheim van de Italiaanse euro.

Op het Italiaanse euromuntstuk staat de man van Vitruvius afgebeeld.
Deze beroemde tekening van Leonardo da Vinci
was een voorstelling van 'de ideale mens'
volgens de beschrijving van de Romeinse architect Vitruvius (1ste eeuw v. Chr.)

De Vitruviusman staat afgebeeld in een vierkant en in een cirkel.
Wie aandachtig toekijkt,
ziet dat de cirkel onderaan raakt aan de zijde van het vierkant
maar de twee bovenste hoeken van het vierkant springen net iets buiten de cirkel uit.

Da Vinci had hiervoor blijkbaar een goede reden.

Dat lees je in de bijlage
en zo ken je meteen ook het geheim van de Italiaanse euro!

Bijlagen:
Phi en het geheim van de Italiaanse euro.pdf (232.5 KB)   

Op www.ikhebeenvraag.be kan je een vraag stellen aan een wetenschapper.

In het archief vond ik de volgende leuke wiskundevraag die verband houdt met 12.



Kies een willekeurig priemgetal p groter dan 3.
Bereken het getal p² – 1.
Wat blijkt nu? Dit getal is steeds deelbaar door 12.
Hoe verklaar je dit?

Voorbeelden. 
p = 7. Dan is p² – 1 = 48 = 12 x 4.
p = 13. Dan is p² – 1 = 168 = 12 x 14.
p = 67. Dan is p² – 1 = 4488 = 12 x 374. 

Verklaring.

p² – 1 = (p – 1)(p + 1). 

Aangezien er bij drie opeenvolgende natuurlijke getallen  p – 1, p en p + 1 steeds een getal zit dat deelbaar is door 3

en het priemgetal p niet deelbaar is door 3, moet ofwel p – 1, ofwel p + 1 deelbaar zijn door 3.

Omdat elk priemgetal groter dan 2 oneven is, zullen p – 1 en p + 1 allebei even zijn en bijgevolg is p² – 1 ook deelbaar door 4.

Besluit: p² – 1 is deelbaar door 3 en door 4 en dus ook door 12.

Doordenkertje. Waarom zijn al die getallen ook deelbaar door 24?

02-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Mijn twaalf wensen voor 2012

Willen geloven
Leren ontdekken
Mogen ervaren
Durven beginnen
Laten gebeuren
Kunnen loslaten
Willen vernieuwen
Leren wachten
Mogen hopen
Durven liefhebben
Laten dromen
Kunnen zijn wie je bent

Mijn twaalf letterwens:
E - N - T - H - O - U - S - I - A - S - M - E !

En hopelijk werkt het enthousiasme van de Minions en de Beatles ook bij jou aanstekelijk!

De magie van 12:
12 apostelen - 12 maanden in een jaar - 12 tekens van de dierenriem
12 = hoogste waarde op de schaal van Richter
12 stammen van Israël - Jakob had 12 zonen
12 = hoogste toe te kennen score op het Eurovisiesongfestival ("douze points, twelve points")
12 sterren op de Europese vlag - 12 uren op een wijzerklok
12 = hoogste worp met 2 dobbelstenen
12 werken van Herakles - 12 halve toonafstanden in een octaaf
12 = hoogste waarde op de schaal van Beaufort

Doordenkertje : wanneer is de helft van 12 gelijk aan 7?
Hint. 12 = XII

12 of toch 13?

31-12-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE PERFECTE  
        

De getallen π en φ (getal van de gulden snede) spelen een belangrijke rol in de wiskunde.

Op de bovenstaande figuur zie je hoe de rode cirkel wordt geconstrueerd
met de merkwaardige eigenschap dat de omtrek ervan gelijk is aan πφ.

Is dit de perfecte cirkel ?

Het wiskundig bewijs van deze eigenschap lees je in de bijlage. 

Collega Michel Roelens zorgt voor een alternatief bewijs zonder goniometrie (zie bijlage).

Bijlagen:
Alternatieve bewijs van Michel Roelens.pdf (166.2 KB)   
De perfecte cirkel - uitleg.pdf (188.8 KB)   

Kan je ervoor zorgen dat de onderstaande berekening klopt
door één cijfer van plaats te veranderen?
Opgelet. Je mag de tekens ( - en = ) niet wijzigen en ook niet van plaats veranderen!

35 - 24 = 19

Tip. Exponent.

28-12-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

MET DE F VAN FACEBOOK

Gisteren konden we weer genieten van de Nationale Wetenschapsquiz.
De Nationale Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (NWO) en de Nederlandse omroep VPRO
organiseerden hiermee de 18de versie van deze leerrijke quiz.

Vraag 3 legde een verband tussen wiskunde en Facebook.

Je kunt op Facebook heel goed zien hoeveel vrienden jouw vrienden hebben.
Hebben mensen op Facebook net zoveel vrienden als hun vrienden?
 A. Ja                                                                                     
            B. Nee, gemiddeld hebben hun vrienden meer vrienden dan zij.   
            C. Nee, gemiddeld hebben hun vrienden minder vrienden dan zij.



Je leest het (verrassende?) antwoord in bijlage.

Vragen uit de vorige edities van deze quiz vind je op 
http://www.nwo.nl/actueel/evenementen/nationale+wetenschapsquiz/archief .

Bijlagen:
Wiskunde en Facebook.pdf (120.5 KB)   

Op de jaarlijkse paasfoor in Kortrijk zag ik een paar jaar geleden een leuke wiskundige kermisattractie.

Je moest er proberen met vijf gelijke kleine schijven een grotere schijf volledig te bedekken.
De grote schijf lag op een vaste horizontale plank en je moet de kleinere schijven er vanop een zekere hoogte op laten vallen.
Eenmaal een kleine schijf op de grote lag, mocht je die niet meer aanraken om ze te verplaatsen.
Je won een prijs als je hierin slaagde.
De man die deze attractie voorstelde, deed het eerst eens voor
zodat je overtuigd was dat het werkelijk mogelijk was om dit probleem op te lossen.

Hieronder zie je een 'modeloplossing' afgebeeld waarbij de vijf kleinere schijven symmetrisch geplaatst zijn t.o.v. het middelpunt van de grote schijf.
Ik vroeg me af hoeveel de verhouding van de stralen R van de grote cirkel en r van de kleine cirkel dan zou zijn.

Na enig rekenwerk (zie bijlage) kwam ik tot de verassende conclusie
dat je voor de verhouding R/r precies het getal f van de gulden snede uitkomt:

Dit betekent dan ook dat de verhouding dat r/R ongeveer gelijk is aan 0,618.

Bij de kermisattractie bleek de oplossing echter niet zo eenvoudig te zijn
omdat de kleine schijven net iets kleiner waren: r/R was namelijk gelijk aan 0,608.

Je kunt dit spelletje online spelen op
 http://www.puzzles.com/puzzleplayground/CoverTheRedCircle/CoverTheRedCircle.htm 
Druk op 'Restart' om het opnieuw te proberen,
want ongetwijfeld lukt het je niet onmiddellijk!
Druk op 'Explanation' voor wat uitleg en een oplossing.
Er zit ook een afdrukbare versie bij (zie bijlage).

Bijlagen:
Vijfschijvenprobleem opgelost.pdf (199.9 KB)   
Vijfschijvenprobleem.pdf (231.7 KB)   

Kristel, Lucie en Marie zijn drie zusjes die elke dag naar school fietsen.
Ze vertrekken gelijktijdig.
Gedurende de voorbije 30 dagen kwam Kristel vaker eerder op school aan dan Lucie.
Lucie kwam de voorbije 30 dagen vaker eerder op school aan dan Marie.
Marie beweert dat ze de voorbije 30 dagen vaker eerder op school arriveerde dan Kristel.

Hoe kan dat?

Neem drie minuten de tijd om dit op te lossen (en open dan pas de bijlage).
Da's precies de tijd om te luisteren naar de Beach Boys.
Ze brengen live 'God only knows', een meesterwerkje van het muzikaal genie Brian Wilson.
Dit optreden vond plaats in 1969 in Amsterdam.
Dit lied was ook de favoriete Beach Boys song van Paul McCartney.
Het werd uitgebracht op het studioalbum Pet Sounds op 16 mei 1966.
Dit album is ongetwijfeld één van de meest invloedrijke albums uit de popmuziek.
Meteen ook mijn favoriete muziek om even bij weg te dromen ...

Bijlagen:
HET RAADSEL VAN DE FIETSENDE ZUSJES.pdf (10.1 KB)   

 

Oplossingen in bijlage.

Bijlagen:
DE MYSTERIES VAN MR POULET.pdf (70.7 KB)   

Vanop welke plaats kan een voetbalspeler het gemakkelijkst een doelpunt scoren, vanop positie A of positie B?
Hou er rekening mee dat enkel de doelwachter (en dus geen verdediger) nog in het doel staat.



Statistisch bekeken zal een voetbalspeler vanop positie A haast nooit scoren en op positie B zo goed als altijd.
Maar wat is de waarde van statistieken?

Bekijk maar eens het doelpunt dat Roberto Carlos in de Copa del Rey (1997-1998) met Real Madrid scoorde tegen Tenerife en de misser van David Villa met de Spaanse ploeg tegen Litouwen (8 oktober 2010).





Op de voorbije Dag van de Wiskunde aan de Kulak in Kortrijk op 26 november 2011 gaf collega Antoon Verleye een uiteenzetting over 'voetbal in de wiskundeles'.

In bijlage kan je meegenieten van zijn werktekst, die meteen een uitdaging kan vormen voor een leuke onderzoeksopdracht. 

Bijlagen:
Voetbal in de wiskundeles - Antoon Verleye.pdf (387.2 KB)   

Met lucifers kan je leuke probleempjes bedenken.
Hieronder staan er drie afgedrukt.
Kan jij ze allemaal oplossen?

De oplossingen vind je in bijlage, maar eerst zelf proberen natuurlijk!

PROBLEEM 1



Verplaats één lucifer zodat deze berekening klopt. Je mag het gelijkheidsteken (=) niet veranderen in ≠ .

PROBLEEM 2

Verplaats twee lucifers zodat er 4 vierkanten van dezelfde grootte overblijven.

PROBLEEM 3



Dit figuurtje stelt een stier voor met 2 horens en een staart die naar links kijkt.
Verplaats twee lucifers zodat je dezelfde stier bekomt, die echter naar rechts kijkt.

Meer leuke problemen vind je op de website van Jim Loy: http://www.jimloy.com/puzz/match.htm .

Bijlagen:
WISKUNDIGE LUCIFERSPROBLEMEN.pdf (202.1 KB)   

"Er zijn 10 soorten mensen: zij die de binaire schrijfwijze van getallen begrijpen en zij die ze niet begrijpen."

Met het onderstaande filmpje demonsteert Matthias Wandel met zijn houten telmachine hoe de optelling van getallen in binaire schrijfwijze verloopt.

Collega Ferdinand Develter stuurde me een powerpointpresentatie door die hij op het internet vond en waarbij de computer erin slaagt te ontdekken welk geheim getal jij kiest.

In bijlage vind je dit truukje dat in feite gebaseerd is op de binaire schrijfwijze van getallen. Zeker eens proberen!

In bijlage zitten ook 'binaire goochelkaartjes' om af te drukken.

Bijlagen:
Binaire goochelkaartjes.pdf (78.5 KB)   
Truukje.ppt (1.8 MB)   

Als je houdt van wiskundige raadsels, puzzels en breinbrekers dan is Het Grote Breinbreker Boek van Ivan Moscovich een must!

Wat was er eerst: de kip of het ei?
Hoeveel snijpunten kunnen vijf lijnen maximaal hebben?
Hoeveel koeien en struisvogels zijn er als je 35 koppen en 94 poten hebt geteld?
En waarom zijn putdeksels rond?

Het grote breinbreker boek bundelt de 1000 beste puzzels
- absolute klassiekers en nooit eerder gepubliceerde breinbrekers -
in uiteenlopende categorieën zoals meetkunde, patronen, getallen,
logica, kansberekening, topologie, wetenschap en waarneming.

Zet je schrap voor uren denkplezier en breinkost voor het hele gezin,
dankzij een handig beoordelingssysteem van niveau 1 (opwarmertjes) tot 10 (zeer moeilijk).

Dit puzzelboek telt meer dan 400 pagina's en is uitgegeven bij Lannoo.

TEST-BREINBREKERTJE.
Een hond is via een touw met een lengte van 3 meter vastgebonden aan een paal.
Een etensbakje staat op 5 meter van de hond verwijderd.
Hoe slaagt de hond er toch in probleemloos naar zijn etensbakje toe te wandelen?

TIP. Hoe ver staat het paaltje van het etensbakje verwijderd?

Bijlagen:
BREINBREKERTJE.pdf (135.5 KB)   

Wist je dat het perfect mogelijk is om vlak te rijden op een fiets met vierkante wielen?
Op de onderstaande foto laat professor Stan Wagon van het Macalester College in Minnesota zien dat het geen enkel probleem is.
Je moet er dan enkel voor zorgen dat de ondergrond de vorm heeft van een reeks omgekeerde identieke kettinglijnen.

 

In de wiskunde is een kettinglijn een kromme die gevormd wordt door een hangende ketting. 
Een dergelijke boog zie je bijvoorbeeld bij een lichtjes doorhangende waslijn.
Als die omgekeerde bogen in het wegdek elkaar onder de juiste hoek ontmoeten
zodat de rechte hoek van de vierkante wielen er juist in past,
kan het midden van de wielen een vlakke baan blijven volgen.

Meer hierover lees je o.a. in Professor Stewart's verzameling van wiskundige raadsels.
Nederlandstalige uitgave: Roularta Books, 2011.

 

In Technopolis in Mechelen kan je zelf eens een ritje maken met een voertuig met vierkante wielen.
https://www.technopolis.be/

20-11-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Voor wie houdt van leuke wiskundepuzzels zijn de twee lijvige en luxueus uitgegeven boeken van Fabrice Mazza een absolute aanrader.
Je vindt hierin heel wat gekende raadsels en puzzels (met oplossingen) en zeker ook enkele verrassende nieuwe zoekertjes.
Nederlandstalige uitgave: Uitgeverij Terra Lannoo BV - www.terralannoo.nl

Twee voorbeeldvraagjes (in een aangepaste versie):

 Pater Amatus vraagt zich af hoe vaak je 7 kan aftrekken van 100. Weet jij het antwoord?
     
                        

Zuster Benilda heeft een rode roos in haar tuintje staan. Zij beweert dat de roos 20 cm hoog is plus de helft van haar lengte. Hoe hoog is die roos dan?



Voor wie wat last heeft met deze problemen, zijn dit hier de oplossingen:

Eén keer, want als je 7 aftrekt van 100, heb je geen 100 meer over.
40 cm.

20-11-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens