Soms botst men in de wiskunde op een verrassend eenvoudige eigenschap of stelling.
In zijn boekje "Mijn Mooiste Mathe ..." laat Leon van den Broek ons meegenieten met enkele van die pareltjes.

Dit is één ervan:

Om een gelijkzijdige driehoek ABC tekent men een rechthoek ADEF zoals op de figuur. 
Op die manier onstaan de rechthoekige driehoeken CFA, ADB en BEC.
Dan is opp. Δ CFA + opp. Δ ADB = opp. Δ BEC.

Voor wie vertrouwd is met goniometrie
is het bewijs hiervan (zie bijlage)
een leuke uitdaging.

In zijn boek geeft Leon een mooi 'bewijs zonder woorden' (zie bijlage).

Leon overleed precies twee jaar geleden heel onverwacht aan een hartaanval.

Bijlagen:
Bewijs van Leon van den Broek.pdf (103.7 KB)   
Verrassende driehoeken.pdf (183.2 KB)   

HET SINTERKLAASPROBLEEM

Zoals je wellicht (niet?) weet heeft de echte sint al zijn pieten genummerd.
Hier zie je hem in het gezelschap van piet 1, piet 3 en piet 6.

Op de foto vormen de pieten het getal 136.
Ze beweren echter dat ze zo naast elkaar kunnen gaan staan
dat het getal van drie cijfer dat ze dan vormen een veelvoud van 7 is.

Sint, die geen wiskundeknobbel bezit
kan dit pietenraadsel niet oplossen.

Kan jij hem hierbij helpen?

 Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Sinterklaasprobleem opgelost.pdf (20.4 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zt hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

88

Only the lonely - Luc Janus

Op 6 december '88 (vandaag precies 27 jaar geleden) overleed de Amerikaanse country- en rockzanger Roy Orbison.

In 1960 werd hij een wereldster met zijn rockballad Only the lonely waarvan er meer dan 2 miljoen exemplaren werden verkocht.
Roy Orbison werd in 1936 geboren en toevallig is  1937²  –  1935² = 88² = 4 x 1936.

********************************************************************************************************************

88 = 2 + 5 + 11 + 23 + 47 : de som van vijf priemgetallen waarbij elk ervan één meer is dan het dubbele is van zijn voorganger.

88 = 17 + 71 : de som van twee priemgetallen die elkaars spiegelbeeld zijn.

88² = 7744

Een piano heeft 88 toetsen.

88 verwijst voor de neonazi's naar de groet 'Heil Hitler' omdat H de achtste letter is van het alfabet.

********************************************************************************************************************

ASTRONOMISCH WEETJE

Daar sta je zelf misschien ook van te kijken !?

********************************************************************************************************************

Roy Orbison and Friends, A Black and White Night was een TV-special die op 3 januari 1988 werd uitgezonden.

Droom nog even weg bij het ultieme en broze optreden van Roy Orbison.

In Dreams

A candy-colored clown they call the sandman
Tiptoes to my room every night
Just to sprinkle star dust and to whisper
“Go to sleep, everything is all right”

I close my eyes then I drift away
Into the magic night, I softly say
A silent prayer like dreamers do
Then I fall asleep to dream my dreams of you

In dreams I walk with you
In dreams I talk to you
In dreams you're mine all the time
We're together in dreams, in dreams

But just before the dawn
I awake and find you gone
I can't help it, I can't help it if I cry
I remember that you said goodbye

Too bad it only seems
It only happens in my dreams
Only in dreams
In beautiful dreams.

06-12-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Hieronder illustreren we visueel dat het product van twee kwadraatgetallen zelf een kwadraatgetal is:

a² b² = (ab)² .

Kan je nu zelf de figuur bedenken die logischerwijze na de drie bovenstaande figuren komt?

02-12-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

************************************************************
17 en 21

Spring - Luc Janus

Het getal 21 doet me denken aan het begin van de lente (21 maart) en aan groene blaadjes

net zoals de leeftijd van 17 me doet denken aan de prille jeugdjaren ...

*********************************************************************************************

17 = 9²  –  8²  en 21 = 11²  –  10²

17 = 4 x 4 + 1 en 21 = 5 x 4 + 1

17 = 5²  –  2³ en 21 = 5²  –  2²

(3,5,7) is de unieke priemdrieling en 357 = 17 x 21

21 is het totaal aantal ogen op een dobbelsteen

17 is in Italië een ongeluksgetal omdat de Romeinen dit getal schreven als XVII
en dit was een anagram van het Latijnse woord VIXI (= ik heb geleefd of m.a.w. ik ben dood)

********************************************************************************************

1 - 2 - 3 - 4

Well, she was just 17

You know what I mean ...

Dit is het begin van de songtekst van 'I saw her standing there' van The Beatles (1963).

UITDAGING. Kan je met de cijfers 1, 2, 3 en 4 via de vier hoofdbewerkingen 17 en 21 vormen?

Geniet ondertussen nog even mee van het enthousiasme van de jongens uit Liverpool.

30-11-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet vandaag een passend getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

333333

How much is the fish? - Luc Janus

Vandaag 29 november is de 333ste dag van het jaar en meteen ook de 33ste dag gerekend vanaf het einde van het jaar!

Daarom zetten we via een getalspelletje het getal 333333 even in de kijker.

GETALSPELLETJE

Neem er even een rekenmachine bij.

Kies een geheel getal n tussen 1 en 100.
Vermenigvuldig het gekozen getal met 9 en tel 4 op bij het bekomen product.
Vermenigvuldig nu het bekomen getal met 333333.
Splits de uitkomst op in twee delen:
het getal gevormd door de laatste 6 cijfers (vanaf rechts)
en het getal gevormd door de overige cijfers.
Tel tenslotte beide getallen bij elkaar op. Wat stel je vast … ?

Voorbeeld.
We kiezen n = 47.
47 x 9 + 4 = 427.
427 x 333333 = 142333191.
Opsplitsen in 142 en 333191.
142 + 333191 = ?

29-11-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

81


Hells Angels - Luc Janus

***************************************************************************************************************

Het getal 81 (en de kleuren rood en wit) wordt geassocieerd met de Hells Angels
omdat H en A respectievelijk de achtste letter en de eerste letter zijn van het alfabet.

***************************************************************************************************************

De getallen 81, 1458 en 1729 zijn de enige drie getallen met de volgende merkwaardige eigenschap:

* Voor 81:  8 + 1 = 9 en dit getal achterstevoren gelezen is weer 9 zodat 9 x 9 = 81.

* Voor 1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18 en 18 x 81 = 1458.

* Voor 1729: 1 + 7 + 2 + 9 = 19 en 19 x 91 = 1729.

*************************************************************************************************************** 
8 + 1 = 9 en 9² = 81  

1/81 = 0,012345679... (en de periode die uit alle cijfers behalve 8 bestaat, herhaalt zich achter de komma)

De aarde is 81 keer zwaarder dan de maan.

In 2011 nam de levensverwachting bij de geboorte voor Vlaanderen de kaap van 81 jaar.

In 1934 verscheen Donald Duck voor het eerst in de tekenfilm The wise little hen. Dat is precies 81 jaar geleden!

23-11-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

106


Palindrome - Luc Janus

 ***************************************************************************************************************

Palindromen: je kent ze wel, woorden of getallen die achterstevoren gelezen gelijk blijven.

Het woord palindroom komt van het Grieks πάλιν , "opnieuw" en δρόμος, "(door)lopen".

Palindroomwoorden zijn bijvoorbeeld lepel, negen, kajak, lol, racecar en koortsmeetsysteemstrook.

Palindroomgetallen zijn bijvoorbeeld 5, 626, 2002, 14541 en 12345678987654321.

Je hebt ook palindroompriemgetallen zoals 11, 101, 131, 151 en palindroomkwadraten zoals 9, 121, 484, 676, 10201 en 12321.

Kan je zelf drie palindroomderdemachten vinden (buiten de evidente voorbeelden 1 en 8) ?

 ***************************************************************************************************************

OPEN VRAAG. 

Ik heb het getal 106 vermenigvuldigd met een palindroomgetal dat enkel de cijfers 2 en 4 bevat
en vond dat de uitkomst altijd (?) weer een palindroomgetal opleverde.

106 x 2 = 212 en 106 x 4 = 424

106 x 242 = 25652 en 106 x 424 = 44944

106 x 22422 = 2376732 en 106 x 44244 = 4689864

106 x 24242 = 2569652 en 106 x 42424 = 4496944

Is dat altijd zo?

21-11-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Omdat we vandaag een bijzonder optreden meemaken in het Antwerpse Sportpaleis

schakelen we heel even over naar een vleugje POP'ART.



Simply Red - Luc Janus

******************************************************************************************************

Simply Red is een Britse band bestaande uit leadzanger Mick Hucknall en verschillende achtergrondmusici.
De naam ('Simpelweg Rood') van de band komt deels van Hucknalls passie voor de voetbalclub Manchester United.
De naam is ook een verwijzing naar Hucknalls krullerige rode haardos, als ook zijn politiek linkse voorkeur.

Met Holding Back the Years scoorde Simply Red in 1986 een nummer-1-hit in Amerika en dit jaar vieren ze hun 30-jarig jubileum.

Geniet je even mee van de jeugdige Mick Hucknall ?!

18-11-2015 om 10:19 geschreven door Luc Gheysens  

 NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

42

Perfect score - Luc Janus

***************************************************************************************************************

42 is de zogenaamde 'perfecte score' die iemand kan behalen op de Internationale Wiskunde Olympiade

Dat kan door op de 6 open vragen telkens de maximale score van 7 te behalen.

IMO = International Mathematical Olympiad

***************************************************************************************************************

42 is een zogenaamd primair pseudoperfect getal omdat het voldoet aan de volgende eigenschap:

ontbind 42 in priemfactoren: 42 = 2 x 3 x 7,

tel dan de breuken bij elkaar op die de inverse zijn van de gevonden priemfactoren en tel hier nog het inverse van 42 op.

Dan blijkt de som gelijk te zijn aan 1:  1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1.

Je kunt gemakkelijk nagaan dat ook 2 en 6  primaire pseudoperfecte getallen zijn. 

Het eerstvolgende getal na 42 dat hieraan voldoet is 1806. Reken je dit even na?

***************************************************************************************************************

42 is een Harshadgetal, dit is een getal dat deelbaar is door de som van zijn cijfers.

42 wordt ingesloten door de priemtweeling (41, 43). 

Hieronder staat een magische kubus afgebeeld met als magische constante 42:

dit is de som van de drie getallen op elke rij en elke kolom van elk zijvlak en op de vier lichaamsdiagonalen.

16-11-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet vandaag (11-11) een passend getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

1111

Chains - Luc Janus

***********************************************************************************

56² – 45² = 1111 was de aanleiding om de volgende 'getallenkettingen' te vormen.

6² – 5² = 11

56² – 45² = 1 111

556² – 445² = 111 111

5556² – 4445² = 11 111 111

...

7² – 4² = 33

67² – 34² = 3 333

667² – 334² = 333 333

6667² – 3334² = 33 333 333

...

En wellicht kan je nu zelf verder aanvullen?

11-11-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

11

Aurora - Luc Janus

********************************************************************************************************

Het poollicht is een lichtverschijnsel in de aardatmosfeer dat bij duisternis kan worden waargenomen.
Men ziet het vooral op hoge geografische breedtes en dat betekent dat het verschijnsel vooral 's winters zichtbaar is.
Andere namen zijn noorderlicht (aurora borealis) en zuiderlicht (aurora australis).

Het poollicht wordt veroorzaakt door de zonnewind.
De kans op poollicht is het grootst in jaren met grote activiteit op het oppervlak van de zon.
Om de elf jaar maakt de zon zo'n actieve periode door (het laatst in 2013), wat zich uit in een groter aantal zonnevlekken.

11-11-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wellicht ken je het spelletje steen, papier, schaar (ook wel blad, steen, schaar genoemd)?
Dit is een voorbeeld van een niet-transitief spel.
Hiermee bedoelen we dat bij elke keuze van speler A er een betere keuze mogelijk is voor speler B:
steen wint van schaar wint van papier wint van steen.

Dit is 'wiskundige gezien' een beetje paradoxaal omdat bij getallen de relatie 'is kleiner dan' wel transitief is:
a < b en b < c impliceert dat a < c is.

Het is echter best mogelijk in de kansrekening
dat de kans dat A wint groter is dan de kans dat B wint,
dat de kans dat B wint groter is dan de kans dat C wint
en dat toch de kans dat C wint groter is dan de kans dat A wint.

We illustreren dit aan de hand een eenvoudig KOP of MUNT spelletje.

Op tafel liggen 8 kaartjes waarop de volgende lettercombinaties staan:

KKK – KKM – KMK – MKK – KMM – MKM – MMK – MMM.

Speler A mag eerst een kaartje kiezen en speler B (dat ben jij) maakt daarna zijn keuze.
Stel bijvoorbeeld dat speler A het kaartje met KKM kiest en dat speler B het kaartje met MKK kiest.
We komen overeen om een munt een aantal keer na elkaar op te gooien
en telkens het resultaat van de worp (K of M) te noteren.
Zo ontstaat dus een rijtje van de vorm MKMMKMKKMKMMMK ….
De speler van wie de gekozen lettercombinatie het eerst voorkomt in dit rijtje wint het spel.
In het voorbeeld komt MMK eerder voor dan KKM, wat betekent dat speler B het spelletje zou winnen.

Nu blijkt dat bij elke keuze van speler A er een keuze mogelijk is voor speler B met een hogere winstkans.
Dit kan je aflezen op het onderstaande schema.

Merk op dat er centraal weer een niet-transitief schema voorkomt:
KKM wint van KMM wint van MMK wint van MKK wint van KKM.

Hoe kan jij (als speler B) eenvoudig onthouden welke keuze je best maakt eens dat speler A een kaartje heeft gekozen?

Kies het kaartje waarop de eerste letter verschillend is
van de tweede letter op het kaartje van speler A
en waarbij de tweede en derde letter dezelfde zijn
als de eerste twee letter op het kaartje van A.

Voorbeeld. A kiest KKM, dan kies jij best MKK.

Een wiskundige verklaring hiervoor vind je in het artikel in bijlage.

Bron: http://www.wiskundeophdc.be (met dank aan de collega's van het Heilige Drievuldigheidscollege in Leuven).

Bijlagen:
Paradoxale munten.pdf (141.6 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

33

Pisces - Luc Janus

***************************************************************************************************************

Volgens de overlevering stierf Jezus toen hij 33 jaar oud was. Het verband tussen Jezus en 'vis' wordt gelegd via een Grieks woord.

Ichthus (Grieks:  ἰχθύς - "vis") heeft in het christendom een symbolische waarde gekregen.

Iedere letter in het woord ἰχθύς is een afkorting voor een woord.

Die woorden tezamen vormen de zin (vertaald): Jezus Christus, Gods zoon, (en / de) Redder

Merk op. Als je elke letter in het woord AMEN vervangt door zijn plaatsnummer in het alfabet bekom je 1 + 13 + 5 + 14 = 33.

Tong is ook een vis...

****************************************************************************************************************

33 = 17²  – 16²  

33 = 1⁵ + 2⁵ = 1! + 2! + 3! + 4!

33² = 1089 en dit getal achterstevoren gelezen is 9801 = 9 x 33²

************************************************************************************************************
J.F. Kennedy werd op 22 - 11 - 1963 (22 + 11 = 33) vermoord in Dallas, een stad die op de 33^ste breedtegraad ligt.
Een amateurcameraman schoot hierbij 'de beelden van zijn leven'.

02-11-2015 om 10:26 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Met Halloween (31-10) zet hij - just for fun - het getal 3110 op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

3110

Pumpkins 1 - Luc Janus

Halloweensfeer bij ons thuis!

Pumpkins  2 - Luc Janus

31-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Volgens Van Dale Groot woordenboek van de Nederlandse taal is een anomalie een onregelmatigheid, een afwijking van een regel of wet.

Hieronder staan vijf vijfhoeken afgebeeld. Welke figuur hoort er volgens jou niet bij?

Klaarblijkelijk is dat figuur 4, want het is de enige niet-convexe vijfhoek.
Maar misschien koos je wel figuur 3 omdat die in het groen gekleurd is?
Of koos je figuur 5 omdat die veel kleiner is dan de andere?
Of figuur 2 omdat de rand ervan een andere kleur heeft dan de vijfhoek zelf?
De figuur die er dus blijkbaar niet bij hoort is figuur 1 omdat die geen afwijkingen vertoont.
Hierdoor wijkt deze figuur af van de overige vier!

Stelling (anomaliestelling)
Als in een verzameling alle objecten op één na een afwijking vertonen,
dan is het afwijkende object in die verzameling het enige object dat geen afwijking vertoont.

31-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Deze week zet hij twee getallen op een artistieke manier in de kijker.

**********************************************************************************

24 en 42

For your eyes only - Luc Janus

**********************************************************************************************

De SPECTRE R42 is een legendarische Britse raceauto waarvan er slechts 25 exemplaren werden gebouwd.
Hij werd in 1993 in de autoshow in Londen voorgesteld en speelde in het jaar 2000 een rol in de film RPM.
Wegens te hoge productiekosten werd het project na enkele jaren al opgedoekt.

SPECTRE is ook de naam van de 24ste James Bondfilm.

Het is de naam van een geheimzinnige organisatie waarmee James Bond (Daniel Craig) moet afrekenen.
De naam dook voor het eerst op in het boek Thunderball
en de organisatie speelde een rol in de Bondfilm Diamonds are forever.

De film SPECTRE beleeft vandaag 26 oktober 2015 zijn première in Londen.
Releasedatum voor België en Nederland is 4 november 2015.

Luister in afwachting nog eens mee naar het verleidelijke For your eyes only
de titelsong van de 12de James Bondfilm (1981) die werd gezongen door Sheena Easton.

26-10-2015 om 09:54 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Vandaag is er een bijzondere reden om een groot kunstenaar even in de kijker te plaatsen 

*********************************************************************************************************

1881

Cubism - Luc Janus

Op 25 oktober 1881 - vandaag precies 134 jaar geleden - werd Pablo Picasso geboren.

Hij was de zoon van José Ruiz Blasco en Maria Picasso López

en gebruikte dus de eerste achternaam van zijn moeder als artiestennnaam.

*******************************************************************************************************

Pablo Picasso kende een blauwe periode (1901 - 1904) en een roze periode (1904 - 1906).

Hieronder zie je een 'geanimeerde versie' van één van zijn beroemdste schilderijen

waarmee hij meteen zijn kubistische periode inzette.

Les Demoiselles d'Avignon, 1906 - 1907

Van de 19e-eeuwse schilder Paul Cézanne, een voorloper van het kubisme,
is de uitspraak dat alle vormen in de natuur in feite zijn opgebouwd
uit een aantal oervormen zoals bol, kegel, cilinder en kubus.
Pablo Picasso's spraakmakende Les Demoiselles d'Avignon
was een van de eerste werken van het kubisme in de schilderkunst.
Volgens de dichter Max Jacob zou het kubisme uitgevonden zijn op een avondje bij Matisse,
waar deze aan Picasso een Afrikaans beeldje toonde dat hij in zijn bezit had.

Het belangrijkste - en vernieuwendste - aspect van het kubisme is
dat het in eerste instantie om een nieuwe manier van kijken gaat.
De oude vragen: 'Hoe leg ik mijn waarnemingen vast?'
en 'Hoe geef ik een driedimensionale ruimte weer op een tweedimensionaal vlak?',
die ooit tot de ontdekking van het meetkundig perspectief leidden,
werden nu gevolgd door nieuwe vragen:
'Kan ik volstaan met weer te geven wat ik door één oog zie?'
en 'Kan ik mijn waarneming vertrouwen?'

Bron: Wikipedia.

25-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

1811

Electricity - Luc Janus

********************************************************************************************************

Sir Humphry Davy (1778 - 1829) was een Britse professor chemie

die in 1811 bij experimenten met elektrolyse toevallig de eerste vorm van elektrisch licht ontdekte.

Hij gaf hierover een letterlijk verblindende lezing voor een groep geleerden in Londen.

In 1815 vond hij een lamp uit waarmee gevaarlijke gassen in mijnen konden gedetecteerd worden.

Die lamp werd naar hem de Davylamp genoemd (afbeelding hieronder).

Op 21 oktober 1879, vandaag precies 136 jaar geleden, liet Edison de eerste gloeilamp branden.

LAMPENRAADSEL

Bij levering van een aantal gloeilampen blijkt dat 5 % ervan defect is.

Als men lukraak 10 van die gloeilampen test, hoe groot is dan de kans dat

1) er juist één defecte lamp bij is?

2) er precies twee defecte lampen bij zijn?

3) er geen enkele defecte lamp bij is?

OPLOSSING

1) 31,51 %    2) 7,46 %    3) 59,87 %

21-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Dat er een verband bestaat tussen de getallen in de driehoek van Pascal (de binomiaalcoëfficiënten)

en de getallen uit de rij van Fibonacci zal je wel weten.

Hieronder zie je dit verband nog eens visueel voorgesteld.

In een artikel van Martin Kindt (zie bijlage) kom je ook te weten waarom dat zo is

en bovendien krijg je een formule waarmee je de n-de term T_n uit de rij van Fibonacci

kunt berekenen als een som van binomiaalcoëfficiënten:

Je moet hierbij dus telkens een som berekenen waarbij x en y natuurlijke getallen zijn 

die alle mogelijk waarden aannemen waarvoor 2x + y = n

(n is het rangnummer van de term in de rij van Fibonacci).

In de onderstaande tabel geven we de berekening voor de eerste 6 termen.

Kan je nu zelf de volgende drie termen berekenen?

Bijlagen:
Maarten Kindt - WTBW 45 - Freudenthal Instituut.pdf (293.2 KB)