Inhoud blog
  • 30 april 2019
  • 29 april 2019
  • 28 april 2019
  • 27 april 2019
  • 26 april 2019
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    16-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Punt van Torricelli

    Evangelista Torricelli was een Italiaans wis- en natuurkundige, die leefde van 1608 - 1647.
    Hij was assistent van Galilei en volgde hem op als mathematicus van de groothertog van Toscane.
    Het meest bekend is Torricelli omwille van de uitvinding van de barometer voor het meten van de luchtdruk.

    In de wiskunde is een bijzonder punt in een willekeurige driehoek naar hem genoemd.
    Het punt van Torricelli is het punt, waarvoor de som van de afstanden
    tot de drie hoekpunten van de gegeven driehoek minimaal is.

    De Franse wiskundige Fermat had dit probleem aan hem voorgelegd.
    Torricelli wist dit probleem op een ingenieuze manier op te lossen.
    Hij ontdekte meteen ook dat dit punt enkele merkwaardige eigenschappen had.

    Hieronder zie je hoe het punt T van Torricelli wordt geconstrueerd.

    Torricelli had zelf al ontdekt dat men vanuit T elk paar hoekpunten van driehoek ABC dan onder een hoek van 120° ziet.

    Constructie van het punt van Fermat/Torricelli

    Construeer drie gelijkzijdige driehoeken naar buiten toe op de drie zijden van de gegeven driehoek ABC.

    Trek een lijn door elk nieuw hoekpunt van de gelijkzijdige driehoeken en het overstaande hoekpunt van driehoek ABC.

    Het snijpunt van de drie lijnen is het punt van Torricelli.


    Je leest alles over het punt van Torricelli in het bijgevoegde document
    dat in het tijdschrift Pythagoras is verschenen.


    Bijlagen:
    Punt van Torricelli.pdf (268.8 KB)   

    16-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    15-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Natuurlijke logaritmen
    NATUURLIJKE LOGARITMEN

    In de wiskunde vinden we nog maar weinig sporen terug van het feit dat de wetenschappelijke taal in West-Europa oorspronkelijk het Latijn was.
    Eén van die sporen is het voorschrift van de functie voor de natuurlijke logaritmen : y = ln x, waarbij ln staat voor logarithmus naturalis.

    Oorspronkelijk sprak men ook van hyperbolische logaritmen omdat men met behulp van dit soort logaritmen
    de oppervlakte kan berekenen onder de hyperbool met als functievoorschrift f(x) = 1/x. 
    Dit zie je afgebeeld op de onderstaande figuur: ln a is het maatgetal van de oppervlakte
    van het gebied tussen de grafiek van de functie met als voorschrift f(x) = 1/x en de x-as tussen x = 1 en x = a (met a > 1).


    De functie met als voorschrift y = ln x heeft  een mooie wiskundige eigenschap.

    Neem een willekeurig punt A op de grafiek van de functie met als voorschrift f(x) = ln x.
    Teken in dat punt de raaklijn aan de grafiek.
    Bepaal het snijpunt B van die raaklijn met de verticale y-as.
    Bepaal ook de loodrechte projectie C van A op de y-as.
    Dan is de afstand van B tot C constant (onafhankelijk van het gekozen punt A op de grafiek) en gelijk aan1.


    Kan je dat bewijzen?

    confused animated GIF

    15-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    14-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskundige logica op Sint-Valentijn


      WISKUNDIGE LOGICA OP SINT-VALENTIJN



    OPTELSOMMEN

      Slimme man + slimme vrouw = romance

    Slimme man + domme vrouw = affaire

    Domme man + slimme vrouw = huwelijk

    Domme man + domme vrouw = ongewenste zwangerschap


    WISKUNDIGE LEVENSDUUR

    Getrouwde mannen leven langer dan vrijgezellen, maar vrijgezellen leven liever.




    WISKUNDIGE WIJZIGING

    Een vrouw trouwt met het idee, dat de man zal veranderen, maar dat doet hij niet.

    Een man trouwt met de hoop, dat de vrouw niet zal veranderen, maar dat doet ze wel.




    LOGICA
     
    Een vrouw zal altijd het laatste woord hebben in een discussie.

    Alles wat de man daarna nog zegt, is per definitie het begin van een nieuwe discussie.




    14-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Op de kalender kan je rekenen


           Op de kalender kan je rekenen (zelfs op Valentijnsdag) ...

    CALENDAR GIRL FEBRUARY top 4

      

    Ziehier drie probleempjes die op een of andere manier te maken hebben met de kalender.
    Kan jij ze oplossen?

    Vraag 1.
    Julius vierde in 1998 zijn achtste verjaardag. Zijn moeder beweerde dat hij in 2006 geboren is.
    Hoe kan dat?

    Vraag 2.
    Waar komt april voor maart?

    Vraag 3.
    Neem een kalenderblad en vraag iemand (die goed kan rekenen) om hierop een willekeurige rechthoek
    met 9 getallen in te selecteren, zoals bijvoorbeeld op de onderstaande figuur.
    Het is de bedoeling nu om ter vlugst de som van de 9 getallen in die rechthoek te bepalen.
    Ga daarvoor zelf als volgt te werk.
    Tel 8 op bij het kleinste getal en vermenigvuldig die som met 9.
    Hier wordt dit dus: (6 + 8) x 9 = 14 x 9 = 126.
    Weet je ook waarom dit klopt?




    Bijlagen:
    Kalendervraagjes.pdf (115.2 KB)   
    Rekenen met een kalender.pdf (218.2 KB)   

    14-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het mooiste meisje van de klas



    HET MOOISTE MEISJE VAN DE KLAS


    Het mooiste meisje van de klas

    Verschikt onwennig bij haar schouder

    Een bandje van haar bustehouder;

    Ze draagt dat rare ding maar pas.

    De meester, achter brillenglas

    Ziet toe, ontroerd, en denkt: Wat zou d’r

    Gebeuren als zij tien jaar ouder

    En ik eens tien jaar jonger was?

    Ach, hij vergeet hoe hij verdorde

    En hoe haar leven net begint.

    In stilte wordt door hem bemind

    De schone vrouw, die zij zal worden.

    Dan praat ze wat, het lieve kind

    En streng roept hij haar tot de orde.

    Driek van Wissen, docent Nederlands

    14-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    13-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Verrassende driehoeken

    Soms botst men in de wiskunde op een verrassend eenvoudige eigenschap of stelling.
    In zijn boekje "Mijn Mooiste Mathe ..." laat Leon van den Broek ons meegenieten met enkele van die pareltjes.

    Dit is één ervan:

    Om een gelijkzijdige driehoek ABC tekent men een rechthoek ADEF zoals op de figuur. 
    Op die manier onstaan de rechthoekige driehoeken CFA, ADB en BEC.
    Dan is opp. Δ CFA + opp. Δ ADB = opp. Δ BEC.




    Voor wie vertrouwd is met goniometrie
    is het bewijs hiervan (zie bijlage)
    een leuke uitdaging.

    In zijn boek geeft Leon een mooi 'bewijs zonder woorden'.

    Bijlagen:
    Verrassende driehoeken.pdf (183.2 KB)   

    13-02-2012 om 19:51 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Ei-raadsel


    EI-RAADSEL


    Een boer met een kleine boerderij heeft een paar kippen.

    Vroeg in de ochtend pakt een mandje en verzamelt hij alle eieren die zijn kippen hebben gelegd
    en gaat naar de markt om deze te verkopen.

    Het is een gekke dag op de markt; de eerste klant komt bij de boer en vraagt:

    "Ik wil de helft van alle eieren die je hebt en een half ei."
    Zo gevraagd… zo verkocht. De klant is immers koning.

    Na een paar minuten komt de tweede klant en vraagt vreemd genoeg hetzelfde: 
    de helft van alle eieren die hij heeft en een half ei.
    Opnieuw is dit geen probleem.

    Nou gekker kan het niet worden, maar ook de derde en laatste klant vraagt hetzelfde als zijn twee voorgangers.
    De boer heeft alle eieren verkocht en heeft geen ei kapot hoeven te maken.

    Hoe kan dat en met hoeveel eieren ging de boer naar de markt?

    Bron: www.rdzl.nl


    egg cracks and chick peeks out animated gif


    Antwoord in bijlage!




    Bijlagen:
    EI-raadsel opgelost.pdf (62.7 KB)   

    13-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.100 en 99



    Een gekend rekenprobleempje (dat je niet door op je vingers te tellen kunt oplossen) is het volgende:

    "Schrijf de cijfers van 1 tot en met 9 in stijgende volgorde achter elkaar
    en schrijf op een aantal plaatsen een plusteken of een minteken tussen deze cijfers.
    Reken de aldus bekomen som uit.
    Kan je ervoor zorgen dat die som precies 100 is?"

    Wij vonden de volgende oplossingen:
    123 –  45 –  67 + 89 = 100
    123 + 4 –  5 + 67 –  89 = 100
    123 + 45 –  67 + 8 –  9 = 100
    1 + 2 + 34 – 5 + 67 –  8 + 9 = 100
    123 –  4 –  5 –  6 – 7 + 8 –  9 = 100.

    Misschien vind jij nog wel een andere oplossing?

    Bij de vragen van de voorbije eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade zat een gelijkaardig vraagje.
    Kan jij het oplossen?

    "Schrijf de cijfers van 1 tot en met 9 in stijgende volgorde achter elkaar
    en schrijf op een aantal plaatsen een plusteken tussen deze cijfers. 
    Reken vervolgens de aldus bekomen som uit. Bijvoorbeeld: 12 + 34 + 5 + 6 + 789 = 846.
    Op hoeveel manieren kunnen de plustekens geplaatst worden zodanig dat de uitkomst 99 is?

    (A) 0     (B)  1     (C)  2     (D)  3     (E) 4

    © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

    Het juiste antwoord vind je in de bijlage!

    Bijlagen:
    VWO-vraag 2012.pdf (47.5 KB)   

    13-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    12-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Rendez-vous met Cardano

    In deze rubriek hebben we rendez- vous met Girolamo Cardano (1501 - 1576), mijn favoriete wiskundige.

    Bestand:Cardano.jpg

    Cardano was een bijzonder kleurrijke figuur die - indien hij nu zou leven - ongetwijfeld heel geregeld op TV zou verschijnen en de sensatiepers zou halen. We zetten enkele van zijn prestaties op een rij.

    - Hij schreef het Liber de ludo aleae, een boekje over het spel met dobbelstenen en was hiermee één van de eerste wiskundigen die iets publiceerde over kansrekenen.

    - Hij was een bijzonder creatieve en gewaardeerde arts en gaf aan diverse Italiaanse universtiteiten medische colleges. De paus en de koning van Denemarken wilden hem als lijfarts, maar hij legde die aanbiedingen naast zich neer. Hij was ook bevriend met Vesalius.

    - Hij was actief bezig met astrologie en stelde o.a. een geboortehoroscoop op voor Jezus Christus. Hij zag hierin heel wat aanduidingen over hoe het leven van Christus zou verlopen.

    - Hij was bezeten van wiskunde en beweerde dat hij meer dan 40 000 belangrijke vraagstukken had opgelost. Hij was bevriend met Rafael Bombelli, die wel eens de ontdekker van de complexe getallen wordt genoemd. De algemene formules voor de oplossing van een derdegraadsvergelijking worden de formules van Cardano genoemd. Meer hierover lees je op http://hhofstede.nl/bewijzen/cardano.htm .

    - Hij vond het zogenaamde cardanrooster uit om boodschappen op een geheime manier door te sturen (cryptografie). Dit rooster is een blad met gaatjes in. De tekst werd door die gaatjes op een onderliggend vel geschreven. Daarna werden de stukjes tekst op dat vel aan elkaar geschreven tot ee doorlopende tekst. men moest dus over zo een rooster beschikken om het op de tekst te leggen en zo de versleutelde boodschap te kunnen lezen. Het meest mysterieuze handschrift dat nog altijd niet ontcijferd is, is het zogenaamde Voynichmanuscript. Men gaat ervan uit dat dit met behulp van een cardanrooster kan geschreven zijn.nformatie vind je o.a. in Wikipedia: http://nl.wikipedia.org/wiki/Voynichmanuscript .

    - Door het feit dat hij zowel met natuurkunde, filosofie, kansrekenen als complexe getallen bezig was, kan hij in feite als een voorloper van de kwantumfysica worden beschouwd.

    - Cardano slaagde erin de correcte datum van zijn overlijden te voorspellen. Naar het schijnt pleegde hij zelfmoord ...

    - Cardano hield zich ook nog bezig met muziek en 'de cardanostijl' doet me soms een beetje denken aan de Belgische inzending voor het Eurovisiesongfestival in München in 1983. Pas de Deux bracht daar het new-wave-nummer 'Rendez-vous'. Hierin zitten zoveel diverse elementen vermengd, dat sommigen het als geniaal beschouwen en ver vooruit op zijn tijd. Heel wat vooraanstaande mensen uit de muziekwereld van de jaren '80 kregen echter bijna zelfmoordneigingen toen ze vernamen dat dit de Belgische inzending zou worden. Oordeel zelf ...



    12-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    11-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunde is ook Grieks

    Greek man speaking 

    In zijn column in het Knack-magazine van 19 april 2000 schreef Gerard Bodifée:

    " De leraren wiskunde hadden ongelijk toen ze niet in de bres sprongen voor het Grieks,
    dat vrijwel uit het middelbaar onderwijs verdreven werd.
    Nu zijn er haast geen leraren Grieks meer om in de bres te springen voor de wiskunde.
    En wat toen al voorspeld kon worden, gebeurt nu: wiskunde ondergaat hetezelfde lot."

    Bodifée wou hiermee niet zeggen dat het reken- en cijferwerk bedreigd was.
    Wat echter wel uit de gunst kwam te liggen was het puur mathematisch denken,
     het spelen met begrippen die de menselijk geest zelf creëert, de logica,
    de schoonheid die in een algemeen bewijs besloten ligt, de theorie van de priemgetallen ...

    De minister van onderwijs oordeelde dat heel veel zaken in het wiskundeonderwijs geen direct maatschappelijk nut hadden.
    En wat heeft de samenleving aan jongeren met nutteloze kennis?
    Geef hen statistiek, wiskunde vanuit toepassingen en financieel rekenwerk.
    Wat telt is populariteit, nuttigheid en kosten-batenanalyses.
    Gelukkig zitten er nog enkele witte merels in onze huidige studentenpopulatie,
    die in eenzame afzondering en stilletjes weten te genieten van het beste wat de wiskunde te bieden heeft.

    Het succes van de Vlaamse Wiskunde Olympiade (www.vwo.be) is hier een levend bewijs van.

    Hieronder kan je even meegenieten van enkele 'Griekse bewijzen'.

    De eerste figuur toont op de typisch Griekse manier, d.w.z. via een meetkundige figuur aan
    dat de 'oneindige som' 1/2 + 1/4 + 1+8 + 1/16 + 1/32 + ... gelijk is aan 1.

    Het vierkant met oppervlakte 1 wordt immers opgevuld met vierhoeken waarvan de oppervlakte gelijk is aan 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 , ... enz.



     Hieronder staan nog twee figuren waarmee men kan aantonen dat de 'oneindige som'
    1/4 + 1+1/16 + 1/64 + ... (waarin elke volgende breuk vier keer kleiner is dan de vorige) gelijk is aan 1/3.
    Bekijk hiervoor telkens de gele figuurtjes.
     Links zijn dit gelijkzijdige driehoeken en rechts vierkanten.
    In feite zouden er op beide tekeningen telkens oneindig veel van die gele figuurtjes moeten voorkomen.

     

    Zie je dit in? Of is dit GriekV voor jou?

    En uiteraard mag hier een 'Grieks bewijs' voor de stelling van Pythagoras niet ontbreken.


    11-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    08-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunde en reclame voor horloges

    Is het je al opgevallen dat in reclamefolders voor uurwerken de wijzers van de (meeste) afgebeelde horloges 10 minuten na 10 uur aanwijzen?

    Als wiskundige kan men zich afvragen of dit toevallig is...

          

    Een eerste reden hiervoor kan zijn dat op die manier de aandacht van de koper gaat naar de merknaam die duidelijk tussen de twee wijzers zichtbaar is.

    Een tweede reden ligt misschien wel in het feit dat de stand van de wijzers doet denken aan een lachend gezichtje (opgetrokken mondhoeken) zoals bij een smiley.

    Of moeten we denken aan een hoefijzer dat door een bijgelovige wordt opgehangen als een geluksbrenger?

    Dan moet je wel het hoefijzer met de opening naar boven ophangen om zo het geluk te vangen! 


    We vermelden hier nog een andere en meer wiskundige reden die verband houdt met het getal phi = (1 + √5)/2 van de gulden snede.

    Volgens een onderzoek van de psycholoog Fechner (zie op mijn blog bij de rechthoeken van Fechner) vinden heel wat mensen de rechthoeken

    waarbij de verhouding van de lengte tot de breedte de waarde van phi benadert, de grootste esthetische waarde hebben.

    Hieronder staat de constructie van zo een 'ideale' gulden rechthoek afgebeeld.

     
     Vertrek van een vierkant waarvan de zijden lengte a hebben.

    Het volstaat dan met een passer de cirkelboog te construeren waarbij de passerpunt in het midden van de onderste zijde van het vierkant wordt geplaatst.

    Zo bekomt men op het verlengde van de onderste zijde van het vierkant een punt waarmee de lengte a + b van de rechthoek bepaald is.

    Men kan eenvoudig narekenen met behulp van de stelling van Pythagoras dat de verhouding van de lengte a + b tot de breedte a van de rechthoek dan gelijk is aan  phi = (1 + √5)/2.

    Bekijk nu de onderstaande figuur. De wijzers van de klok wijzen ongeveer 10 minuten na 10 uur aan.

    10:04

    Nu blijkt de rode rechthoek die door de wijzers wordt 'uitgetekend' wonderwel evereen te komen met een gulden rechthoek.
    Meer hierover lees je op http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html#clockphi .

    Het is een leuke (maar niet zo eenvoudige) onderzoeksopdracht om eens uit te pluizen om hoeveel minuten
    na 10 uur de wijzers precies zo een gulden rechthoek uittekenen op een klok.
    De tekst in bijlage kan je hierbij helpen.

     

    Afbeeldingsresultaten voor love teacher animated gif


    Liefde voor het onderwijs
    doet me denken aan een klok:
    nu eens voel je je getikt,
    dan weer wind je je op.
    Je blijft er toch van in de ban,
    maar wie wordt er wijzer van?


    Bijlagen:
    De gulden rechthoek op horloges.pdf (158.5 KB)   

    08-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    07-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Eratosthenes en de omtrek van de aarde

    Wiskundigen komen vaak tot nieuwe verrassende ontdekkingen via hun kennis en verbeelding.
    Een mooi historisch voorbeeld hiervan is het onderstaande verhaal...

    Eratosthenes (ca. 276 v. Chr. - ca. 194 v. Chr.) was een wiskundige, astronoom en aardrijkskundige uit Alexandrië.
    Hij was de derde hoofdbibliothecaris van de beroemde bibliotheek van Alexandrië
    en is het meest bekend door zijn schatting van de omtrek van de aarde.

    Hij stond bekend om zijn arrogantie want hij beschouwde zichzelf als de op een-na-beste op vele terreinen van wetenschap. Hierdoor noemde hij zichzelf graag bij de naam Bèta (β =tweede).

    In 195 v. Chr. werd hij blind en een jaar later pleegde hij zelfmoord door niets meer te eten.

    Eratosthenes stelde vast dat de zon op 21 juni op haar hoogste punt in Syene (Assoean) geen schaduw wierp.
    In Alexandrië was er wel een schaduw. Hij mat dat deze 7°14' was, ongeveer 1/50-ste van een hele cirkel (360°).


    Op de bovenstaande figuur stelt het lijnstuk [EA] een obelisk voor in Alexandrië.
    Via de schaduw ervan kon Eratosthenes de hoek
    AEF opmeten en die bleek dus ongeveer 7,2° te zijn.
    Nu is die hoek precies gelijk aan de hoek
    AMS (waarbij M het middelpunt van de aarde aanduidt).
    Wiskundigen spreken in dit geval van verwisselende binnenhoeken
    bij de twee evenwijdig invallende zonnestralen en hun snijlijn ME.

    Als we aannemen dat Assoean precies ten zuiden van Alexandrië ligt,
    moet dan de omtrek van de aarde  dus 50 keer de afstand tussen Syene en Alexandrië zijn.
    Eratosthenes schatte deze afstand op 5000 stadiën. 
    Een stadie is de lengte van het stadion van Olympia, ongeveer 180 meter.
    De afstand tussen Syene en Alexandrië werd dus geschat op ongeveer 900 kilometer. 
    Dit betekent dat Eratosthenes voor de omtrek van de aarde ongeveer 45 000 km vond.
    De werkelijke omtrek is ongeveer 40 000 km (vermenigvuldig de aardstraal van 6370 km met 2π).

    Bron: betavak.nl.

    Wellicht kan het onderstaande filmpje een hulp zijn om te begrijpen hoe Eratosthenes de omtrek van de aarde berekende.
     


     

    07-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    05-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Een vierhoek in vier even grote stukken verdelen

    EERLIJK VERDELEN

    Een rijke boer heeft zijn land nagelaten aan zijn 4 zonen.
    Het land heeft de vorm van een convexe vierhoek
    (waarvan de vorm willekeurig kan zijn, dus niet noodzakelijk
    een vierkant, rechthoek, ruit, trapezium of parallellogram).

    De zonen willen het land zodanig in stukken snijden dat elk een even grote oppervlakte krijgt.
    Het land mag best in meer dan 4 stukken verdeeld worden
    (dan krijgt ieder een aantal stukken)
    en de stukken die iemand krijgt hoeven niet per se aan elkaar te grenzen.

    Hoe kunnen zij het land op de makkelijkste manier verdelen?

    Verrassende oplossing.
    Verdeel alle vier de zijden van de vierhoek in vieren
    en verbind de punten op overstaande zijden met elkaar.
    Dat geeft 16 gebieden.
    Als je nu 4 gebieden kiest die niet in dezelfde rij of kolom zitten
    is de oppervlakte van die vier gebieden samen
    precies een kwart van het geheel!

    Zo is op de onderstaande figuur
    telkens de som van de vier stukken in dezelfde kleur
    gelijk aan een kwart van de totale oppervlakte.



    Bron: www.hhofstede.nl/ (waar je ook een bewijs vindt).


    Kan je nu ook vinden op hoeveel manieren dit kan gebeuren?
    En hoe zou de boer dit stuk land gelijk verdelen onder drie zonen?

    20.gif

    05-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    04-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Dominospelletje

    Bestand:Dominomatrix.svg

    Het klassieke dominospel wordt gespeeld met 28 stenen.
    Dominosteentjes zijn een leuke inspiratiebron
    voor het bedenken van wiskundige spelletjes.

    Hieronder stellen we zo een spelletje voor.

    Vraag aan jouw medespeler om een dominosteen te kiezen (zonder dat jij die ziet).
    Geef hem potlood en papier en vraag de onderstaande berekeningen uit te voeren.

    1. Noteer het aantal ogen op de linkerhelft van het gekozen blokje.
    2. Verdubbeld dit getal en tel er 5 bij op.
    3. Vermenigvuldig de uitkomst met 5.
    4. Tel hierbij het aantal ogen van de rechterhelft op.
    5. Vraag de uitkomst op.

    Trek hiervan nu zelf 25 af en je kent meteen het aantal ogen
    op beide helften van de gekozen dominosteen.

    Voorbeeld.
    Dit is de gekozen steen:

    4 x 2 = 8
    8 + 5 = 13
    13 x 5 = 65
    65 + 2 = 67.

    67 – 25 = 42 en dus staan op de gekozen steen 4 en 2 ogen!

    Kan je hiervoor ook een verklaring geven?


    04-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Hoe pak je een wiskundig probleem aan?

    Hoe pak je een wiskundig probleem aan?

    1. Formuleer het probleem zo nauwkeurig mogelijk, m.a.w. omschrijf exact welk doel je wilt bereiken.
    2. Denk na of je eerder een analoog probleem hebt aangepakt of opgelost.
    3. Bedenk een oplossingsstrategie en maak gebruik van heuristieken.
    4. Voer tussentijdse controles uit.
    5. Geef nooit op ...

    Het filmpje hieronder illusteert treffend wat er zoal bij het oplossen van een probleem kan gebeuren!

     

    04-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    02-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het magisch vierkant van Dürer

    In 1514 maakte de grafische kunstenaar Albrecht Dürer zijn beroemd kunstwerk
    MELENCOLIA I,
    waarop een magisch vierkant staat afgebeeld.

    Wat er hier vanuit wiskundig standpunt bekeken zo magisch aan is,
    ontdek je in de powerpointpresentatie in bijlage.

    Bestand:Dürer Melancholia I.jpg

    Bron: Wikipedia.
    Klik op de figuur voor een vergroting.
    Het magisch vierkant staat in de rechterbovenhoek afgebeeld.

    Bijlagen:
    Albrecht_Dürer.pps (1.6 MB)   

    02-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    30-01-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Ramanujan




    Srinivasa Ramanujan (1887-1920)

    . Weinig wiskundigen spreken zo zeer tot de verbeelding als de Indiër Ramanujan.

    Deze autodidact volgende eigenlijk nooit wiskundeles en studeerde tijdens zijn korte leven wiskunde uit boeken
    en volledig geïsoleerd van de wiskundewereld van zijn tijd.
    Hij gaf dan ook op het einde van zijn korte leven (hij stierf aan tuberculose voor hij 33 jaar werd) toe
    dat hij heel veel tijd had verloren door alles zelf te willen uitpluizen.
    Ramanujan wordt soms 'de formulemaker' genoemd.
    Hij slaagde er immers in op eigen houtje een aantal merkwaardige formules op te stellen
    waarmee hij wiskundeprofessoren wist te verbazen.

    Eén van zijn bekendste formules is de somformule die een benadering voor het getal pi oplevert:

     frac{1}{pi} = frac{2sqrt{2}}{9801} sum^infty_{k=0} frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}. 

    Als je namelijk enkel de eerste term uit deze som neemt, bekomt je een benadering voor pi die al tot op 6 decimalen juist is: 

    9801sqrt{2}/4412

    wat gelijk is aan 3,1415927...

    In 1913 stuurde hij brieven naar verschillende Engels universiteiten
    en het was Prof. G. H. Hardy uit Cambridge die direct in de talenten van Ramanujan geloofde.
    Hij haalde hem dan ook naar Cambridge om met hem samen te werken

    Het volgende verhaaltje toont aan welk uitzonderlijk talent voor getallen Ramanujan wel had.
    Toen Prof. Hardy hem ging bezoeken in het ziekenhuis van Putney, vertelde hij hem dat hij naar het ziekenhuis was gekomen met een taxi die het nummer 1729 had.
    "Dat is heel interessant", zei de zieke Ramanujan, "het is immers het kleinste getal dat op twee verschillende manieren te schrijven is als een som van twee derdemachten, nl. 1729 = 1³ + 12³ en 1729 = 9³ + 10³."

    Sedertdien spreken wiskundigen over taxicab numbers. Meer hierover lees je op http://mathworld.wolfram.com/TaxicabNumber.html.



    Zelf heb ik me altijd een beetje verbaasd over kwadraten en derdemachten en verbanden ertussen. Het volgende leuke resultaat mag hier dan ook niet  ontbreken:

    Neem twee natuurlijke getallen. Kwadrateer ze en tel de kwadraten bij elkaar op. Neem hiervan de derdemacht. Het bekomen getal is zelf weer te schrijven als de som van twee kwadraten.

    Enkele voorbeelden.
    a = 1 en b = 2 : (12 + 22)3 = 53 = 125 en 125 = 22 + 112.
    a = 2 en b = 3 : (22 + 32)3 = 133 = 2197  en 2197 = 92 + 462.

    Voor het algemeen bewijs hiervan (in bijlage) gebruikte ik complexe getallen.

    Collega Els Coussement, docente wiskunde aan de Arteveldehogeschool in Gent (Campus Kattenberg) bezorgde me een alternatief en eenvoudig bewijs van deze eigenschap. 

    Merkwaardig genoeg toont ze hiermee aan dat de som van de twee kwadraten niet uniek is. Ziehier het bewijs:

    (a+ b2)3 = (a+ b2) (a2 + b2)= a2 (a2 + b2)2 + b2 (a2 + b2)2 = [a(a2 + b2)]2  + [b(a2 + b2)]2.

    Hiermee vinden we dan voor
    a = 1 en b = 2 : 125 = 52 + 102
    a = 2 en b = 3 : 2197 = 262 + 392.


    row of M&Ms holding hands and doing the wave animated gifrow of M&Ms holding hands and doing the wave animated gifrow of M&Ms holding hands and doing the wave animated gifrow of M&Ms holding hands and doing the wave animated gif

    Bijlagen:
    Kwadraten en derdemachten.pdf (51.1 KB)   

    30-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    29-01-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het parallellogram van Varignon

    DE STELLING VAN VARIGNON

    De Franse wiskundige Pierre Varignon is de ontdekker van een van de meest eenvoudige resultaten uit de vlakke meetkunde:

    De middens van de vier zijden van een willekeurige vierhoek zijn de hoekpunten van een parallellogram.

    Men spreekt in dit verband ook van het parallellogram van Varignon.


    Op de tweede en derde bovenstaande figuur zie je dat het resultaat ook geldig is voor niet-convexe vierhoeken.

    Het bewijs steunt op de gekende eigenschappen van de middenparallel in een driehoek:

    GH is evenwijdig met AC en |GH| = ½ |AC|  en ook EF is evenwijdig met AC en |EF| = ½ |AC| .

    ********************************************************************************************

    Wellicht is het bewijs van de volgende twee eigenschappen voor een convexe vierhoek dan een lachertje?

    De omtrek van het parallellogram van Varignon is gelijk aan de som van de lengten van de diagonalen van de oorspronkelijke vierhoek.

    (TIP. Gebruik de bovenstaande eigenschap van de middenparallel in een driehoek).

    De oppervlakte van het parallellogram van Varignon is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de oorspronkelijke vierhoek.

    (TIP.  Opp. Δ BEF = ¼ Opp. Δ BAC).

    29-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    28-01-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De stelling van Cross

    Wiskundigen over heel de wereld bewijzen haast dagelijks nieuwe stellingen.
    Af en toe zit hierbij ook een stelling die voor 'gewone stervelingen' te begrijpen is.
    Een leuk voorbeeld hiervan is de stelling die door de student David Cross werd ontdekt.


     



    Teken een willekeurige driehoek ABC.
    Construeer op de drie zijden naar buiten toe een vierkant zoals op de onderstaande tekening.
    Teken de driehoeken AEF, CGH en BID.
    Wat blijkt nu?
    Deze driehoeken hebben alle drie dezelfde oppervlakte en die is bovendien gelijk aan de oppervlakte van driehoek ABC.



    En misschien ben je nu ook nog verbaasd over de eenvoud van het bewijs?


    BEWIJS.
    We tonen bijvoorbeeld aan dat driehoek AEF dezelfde oppervlakte heeft als driehoek ABC.
    Voor de twee andere driehoekjes verloopt het bewijs analoog.
    Merk op dat
    BAC + EAH = 180°.
    Als men dus driehoek EAF over 90° draait rond het punt A
    zal het geroteerde punt H samenvallen met C (immers |AF| = |AC|)

    en zal het geroteerde punt E op de rechte AB terecht komen.

    Dan hebben de geroteerde driehoek en driehoek ABC dezelfde basis
    (want
    |EA| = |AB|) en dezelfde hoogte (uit C).

    Bijgevolg hebben ze dezelfde oppervlakte!


    Draw any triangle and construct the squares on the sides. By connecting the outermost points, you’ll get three other triangles, all with the same area as the original one. Can you prove this? The animation shows a hint.Source: Geometría Dinámica.

    TO SEE IS TO BELIEVE!

    28-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    27-01-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Topologie en grafentheorie

    TOPOLOGIE

    In mijn studententijd was TOPOLOGIE een belangrijk wiskundige studieonderwerp
    dat je zelfs in de leerplannen van het secundair onderwijs tegenkwam.

    Topologie is een tak van wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen van objecten die onveranderd blijven bij vervorming:
     uitrekken, draaien, pletten – alles mag zolang ze maar niet scheuren of anderszins ‘kapot’ gaan.
    De grootte van een voorwerp doet dus in de topologie niet ter zake.
    Wel hoeveel gaten er in zitten, of het begrensd is, en het aantal dimensies.

    Twee oppervlakken heten homeomorf als het ene oppervlak via een continue vervorming te verkrijgen is uit het andere.
    Wiskundigen leggen het vaak uit aan de hand van koffiekopjes en donuts:
    het onderstaande plaatje laat zien dat het oppervlak van een koffiekop en dat van een donut homeomorf zijn.


    Een koffiekop en een donut zijn homeomorf: de ene is via een continue vervorming te transformeren in de andere.
    Een topoloog bestudeert geen koffiekopjes en donuts.
    Die voorwerpen gebruiken ze alleen om uit te kunnen leggen waar ze zich ongeveer mee bezig houden.
    Het gaat om abstracte vormen, waarbij het aantal dimensies gerust meer dan drie mag zijn.

    Via het onderstaande applet kan je deze vervorming 'live' meemaken.

    File:Mug and Torus morph.gif

    GRAFENTHEORIE

    In de grafentheorie is het probleem van de zeven bruggen van Koningsbergen voor het eerst opgelost door Leonhard Euler in 1736.

     De zeven bruggen van Koningsbergen.

    In de geschiedenis van de wiskunde is het één van de eerste grafentheoretische problemen.
    Omdat de grafentheorie als een deelveld van de topologie kan worden beschouwd
    vormt dit vraagstuk ook een van de eerste problemen binnen de topologie die formeel geanalyseerd zijn.

    De stad Koningsbergen (heden ten dage Kaliningrad) lag in het oosten van Pruisen aan de rivier de Pregel,
    waarin twee eilanden lagen die door zeven bruggen met elkaar en met de vaste wal verbonden waren;
    dit staat hieronder schematisch afgebeeld.

    De vraag was nu of het mogelijk is om zó te wandelen dat je precies één maal over elke brug loopt en weer op je beginpunt eindigt. 

    In 1736 heeft Euler aangetoond dat dit onmogelijk is.
    Tevens heeft hij laten zien dat het probleem beschouwd kan worden als een probleem op een graaf,
    waarin het vraagstuk over de bruggen van Koningsbergen als volgt geabstraheerd is:

    In de graaf, de rechter afbeelding, wordt elke brug voorgesteld door een lijn, en de eilanden en oevers door een blauw knooppunt.
    De punten die aan een oneven aantal lijnen grenzen, noemen we punten van oneven graad. 
    In de bovenstaande graaf zijn dus alle punten van oneven graad
    (in één punt komen vijf lijnen samen en in de drie andere punten telkens drie lijnen).

    Om een Eulerwandeling of Eulertoer, waarbij men precies één keer over elke lijn loopt,
     mogelijk te maken, moeten er nul of twee punten van oneven graad zijn.
    Zijn er twee punten van oneven graad, dan moet de wandeling starten in het ene oneven punt en eindigen in het andere oneven punt.
    Zijn er geen punten van oneven graad, dan kan de wandeling overal beginnen en eindigt de wandeling waar hij begonnen is.
    Het is dus onmogelijk om een Eulerwandeling over de bruggen Koningsbergen te maken
    omdat de vier knooppunten van oneven graad zijn.

    Het verschil tussen de echte ligging en de schematische weergave van hierboven
     is een goed voorbeeld van het kenmerk dat topologie zich niet bezighoudt met de exacte weergave van zaken,
    maar meer met hun relatieve vorm.

    Bron: wikipedia.

    Een bekend puzzeltje bestaat er in om een bepaalde figuur te tekenen zonder het potlood van het papier te nemen.
    Je mag ook maar één keer over elke lijn gaan.
    Dat puzzeltje is oplosbaar als er hoogstens twee punten zijn waarin een oneven aantal lijnen samenkomt.
    Men moet dan in een van die punten beginnen.

    Kan je het onderstaande huisje in één trek tekenen?


    27-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 29/04-05/05 2019
  • 22/04-28/04 2019
  • 15/04-21/04 2019
  • 08/04-14/04 2019
  • 01/04-07/04 2019
  • 25/03-31/03 2019
  • 18/03-24/03 2019
  • 11/03-17/03 2019
  • 04/03-10/03 2019
  • 25/02-03/03 2019
  • 18/02-24/02 2019
  • 11/02-17/02 2019
  • 04/02-10/02 2019
  • 28/01-03/02 2019
  • 21/01-27/01 2019
  • 14/01-20/01 2019
  • 07/01-13/01 2019
  • 31/12-06/01 2019
  • 24/12-30/12 2018
  • 17/12-23/12 2018
  • 10/12-16/12 2018
  • 03/12-09/12 2018
  • 26/11-02/12 2018
  • 19/11-25/11 2018
  • 12/11-18/11 2018
  • 05/11-11/11 2018
  • 29/10-04/11 2018
  • 22/10-28/10 2018
  • 15/10-21/10 2018
  • 08/10-14/10 2018
  • 01/10-07/10 2018
  • 24/09-30/09 2018
  • 17/09-23/09 2018
  • 10/09-16/09 2018
  • 03/09-09/09 2018
  • 27/08-02/09 2018
  • 20/08-26/08 2018
  • 13/08-19/08 2018
  • 06/08-12/08 2018
  • 30/07-05/08 2018
  • 23/07-29/07 2018
  • 16/07-22/07 2018
  • 09/07-15/07 2018
  • 02/07-08/07 2018
  • 25/06-01/07 2018
  • 18/06-24/06 2018
  • 11/06-17/06 2018
  • 04/06-10/06 2018
  • 28/05-03/06 2018
  • 21/05-27/05 2018
  • 14/05-20/05 2018
  • 07/05-13/05 2018
  • 30/04-06/05 2018
  • 23/04-29/04 2018
  • 16/04-22/04 2018
  • 09/04-15/04 2018
  • 02/04-08/04 2018
  • 26/03-01/04 2018
  • 19/03-25/03 2018
  • 12/03-18/03 2018
  • 05/03-11/03 2018
  • 26/02-04/03 2018
  • 19/02-25/02 2018
  • 12/02-18/02 2018
  • 05/02-11/02 2018
  • 29/01-04/02 2018
  • 22/01-28/01 2018
  • 15/01-21/01 2018
  • 08/01-14/01 2018
  • 01/01-07/01 2018
  • 25/12-31/12 2017
  • 18/12-24/12 2017
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Meer blogs