Bijlagen:
Oplossing van twee problemen.pdf (202.1 KB)   

WISKUNDE EN PERSPECTIEF

Rond de jaren 1500 waren heel wat renaissancekunstenaars op zoek naar technieken
om voorwerpen en taferelen in perspectief te tekenen.
De bovenstaande houtsnede is van de hand van Albrecht Dürer
die als grafisch kunstenaar pionierswerk leverde op het vlak van het perspectieftekenen.

Uiteraard vonden ook heel wat wiskundigen hierin inspiratie
om meetkundige stellingen op papier te zetten.
Eén van de mooiste stellingen over het centrale perspectief
is de zogenaamde STELLING VAN DESARGUES (1641).

Als de verbindingslijnen van de paren overeenkomstige hoekpunten
van twee driehoeken door één punt gaan (de perspectrix),
dan liggen de snijpunten van de paren overeenkomstige zijlijnen
van de twee driehoeken op één rechte (de perspector).

De stelling staat hieronder visueel voorgesteld op de linkse figuur
als AA', BB' en CC' door één punt O gaan
dan liggen de punten P (snijpunt van AB en A'B'),
 Q (snijpunt van BC en B'C') en R (snijpunt van AC en A'C')
op eenzelfde rechte lijn. 

Voor deze stelling bestaat een verrassend mooi 'bewijs op zicht'.
Het volstaat namelijk de hele situatie driedimensionaal te bekijken.
Dat bewijs zie je dan op de rechtse figuur,
waar men de driezijdige piramide met top O en grondvlak bepaald door A', B' en C'
doorsnijdt met het vlak bepaald door A, B en C.
De rechte door P, Q en R is dan de snijlijn van dat vlak met het grondvlak van de piramide.

Meer uitleg en een 3D-veralgemening staan vermeld in het artikel in bijlage
dat verscheen in het tijdschrift Pythagoras in april 2006.

Are you really sure that a floor can't also be a ceiling?

M.C. Escher

Bijlagen:
Artikel Pythagoras - stelling van Desargues.pdf (377.5 KB)   

HET NUT VAN LOGARITMEN

Tot in de jaren '70 gebruikten we in het onderwijs logaritmentafels
om berekeningen uit te voeren met heel grote getallen.
De bovenstaande afbeelding is een stukje uit een logaritmentafel
en laat bijvoorbeeld toe te weten dat log(2013) = 3,30384... .
De wijzer (geheel gedeelte) is 3 omdat 2013 ligt tussen 10³ en 10⁴.
De mantisse (5 cijfers na de komma) staat in de tabel (vind je die?).

Logaritmen werden rond 1600 ontdekt door de Schotse wiskundige John Napier
en rond 1615 verbeterde de Engelse professor Henry Briggs dit rekenwerk
door tabellen op te stellen voor decimale logaritmen.
Hij hielp hiermee Kepler die o.a. voor de berekening van de banen van de planeten
met astronomisch grote getallen moest kunnen rekenen.

Probeer eens met een rekentoestel de volgende berekening uit te voeren tot op 5 decimalen nauwkeurig:

2²⁶⁷³⁷⁷ gedeeld door 10⁸⁰⁴⁸⁸.

Door gebruik te maken van logaritmen (zie bijlage) kan je aantonen dat

TOEMAATJE
Kan je de volgende droedel oplossen?

roll: oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Logaritmen en pi.pdf (169.4 KB)   

Mathematics of Planet Earth 2013 (MPE2013)
is een wereldwijd initiatief
waarbij men de rol van de wiskunde in de kijker wil stellen
bij allerlei problemen die te maken hebben met onze aarde.

Enkele voorbeelden.
Hoe bepaalt men de leeftijd van onze aarde?
Hoe voorspelt men een tsunami of een aardbeving?
Hoe bepaalt men de daglengte?
Welke aardrijkskundige kaarten zijn het meest betrouwbaar?
Welk model gebruikt men om de opwarming van de aarde te bestuderen?
Hoe verloopt de drift van de continenten?
Welk effect hebben zonnestormen op het satellietverkeer?
Hoe verspreidt een epidemie zich op aarde?

Persoonlijk was ik het meest aangesproken door de vraag: hoe werkt het GPS-systeem?
Blijkbaar gebruikt men hiervoor 24 satellieten
die zich in zes vlakken bewegen
die een hoek van 55° maken met het evenaarsvlak.
Zonder de relativiteitstheorie van Einstein
zou het systeem niet hebben bestaan. 
Het GPS-systeem is in feite de triomf van de samenwerking tussen
fysica, wiskunde, aardrijkskunde en technologie.
 
    

Info op http://mpe2013.org/

In het kader van MPE2013
komt Prof. Dr. Stefaan Poedts op woensdag 22 mei 2013
op de proclamatie van de Vlaamse Wiskunde Olympiade
een voordracht geven over 'Zonnestormen en Ruimteweer'.

Info op www.vwo.be .

08-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Straks nemen weer heel wat jongeren deel
aan het toelatingsexamen voor de Koninklijke Militaire School.

Op http://www.rma.ac.be/nl/index.html vind je alle informatie.

In bijlage hebben we een aantal inspirerende vragen verzameld
voor het toelatingsexamen wiskunde.
In de vragenreeks viel mijn oog op deze opgave:

Bepaal twee positieve reële getallen waarvan
de som gelijk is aan het product en aan het verschil van de kwadraten.

Het kleinste getal blijkt dan gelijk te zijn aan het getal van de gulden snede:

 
Voor de Faculteit Polytechnische is er een aparte
en heel wat moeilijkere reeks vragen.
Daar vonden we onze inspiratie voor deze leuke oneigenlijke integraal
die een verband legt tussen 0, 1, 2, 4, e (het getal van Euler), ∞ en π.
Je kan de integraal berekenen via de substitutie t = e^x/4.

Bijlagen:
Toelatingsexamen KMS - Faculteit Polytechnische.pdf (380.1 KB)   
Toelatingsexamen KMS - wiskundevragen.pdf (1.4 MB)   

DE VIER-KWADRATEN-STELLING

In 1770 bewees de Italiaanse wiskundige Joseph-Louis Lagrange
(die vaak als een Fransman wordt aanzien omdat hij geruimde tijd in Parijs doceerde)
een merkwaardige stelling:

"Elk natuurlijk getal kan geschreven worden als de som van vier kwadraten."

Merk op: in veel gevallen is deze schrijfwijze niet uniek
en ook moet men soms 0² toelaten als één van de vier termen van de som.

Zo is bijvoorbeeld
49 = 1² + 4² + 4² + 4²
   = 0² + 2² +3² + 6²
    = 2² + 2² + 4² + 5²
    = 0² + 0² + 0² + 7².

De Griekse wiskundigen interpreteerden kwadraten als vierkanten
en bijgevolg zouden ze op zoek zijn gegaan naar een meetkundige voorstelling.
Hieronder zie je een 'Griekse' oplossing (dissectie in 5 stukken) waaruit blijkt dat 7² = 2² + 3² + 6².

Op http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM
staat een applet dat een willekeurig getal
schrijft als de som van vier kwadraten
(0² moet je er soms zelf bij denken).

Op 10 april 2013 is het precies 200 jaar geleden dat Lagrange is overleden.
Als eerbetoon werd hij begraven in het Panthéon in Parijs
en is zijn naam één van de 72 namen van eminente Franse wetenschappers
die gegraveerd staan op de Eiffeltoren.
Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/72_namen_op_de_Eiffeltoren .

Fiat lux!

07-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Straks nemen weer heel wat jongeren deel
aan het toelatingsexamen voor de Koninklijke Militaire School.

Op http://www.rma.ac.be/nl/index.html vind je alle informatie.

In bijlage hebben we een aantal inspirerende vragen verzameld
voor het toelatingsexamen wiskunde.
In de vragenreeks viel mijn oog op deze opgave:

Bepaal twee positieve reële getallen waarvan
de som gelijk is aan het product en aan het verschil van de kwadraten.

Het kleinste getal blijkt dan gelijk te zijn aan het getal van de gulden snede:

 
Voor de Faculteit Polytechnische is er een aparte
en heel wat moeilijkere reeks vragen.
Daar vonden we onze inspiratie voor deze leuke oneigenlijke integraal
die een verband legt tussen 0, 1, 2, 4, e (het getal van Euler), ∞ en π.
Je kunt de integraal berekenen via de substitutie t = e^x/4 :

Bijlagen:
Toelatingsexamen KMS - Faculteit Polytechnische.pdf (380.1 KB)   
Toelatingsexamen KMS - wiskundevragen.pdf (1.4 MB)   

MERKWAARDIGE CIRKELS

Als de grootste cirkel op deze figuur een straal van 6 cm heeft,
hoe groot is dan de straal van de groene, gele en blauwe cirkels?

Antwoord: 3 cm, 2 cm en 1 cm.
Dit is een leuke oefening op de stelling van Pythagoras.

Voor een uitgeschreven oplossing
en nog veel meer mooie opgaven
verwijzen we naar http://mathafou.free.fr/ .

07-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

HEURIST is een woord dat blijkbaar niet in 
Van Dale's Groot woordenboek van de Nederlandse taal is opgenomen.

Nochtans zou elke wiskundeleraar een HEURIST moeten zijn
die zijn leerlingen allerlei HEURISTIEKEN (zie bijlage) aanleert.

Zelf zou ik een HEURIST definiëren als iemand die
(bijna dagelijks) bezig is met probleemoplossend denken
 en op een creatieve manier allerlei oplossingsstrategieën toepast.

HEURIST is ook een zeven-letterwoord dat verwijst naar
HUMOR, waarmee je jouw lessen kruidt
EXPERTISE, wat elke leerling op de eerste plaats van de leraar verwacht
UITDAGING, waarmee je jouw leerlingen prikkelt
REFLECTIE, bij foutenanalyse en controle van een resultaat
INTERACTIE, via variatie in werkvormen (doceren, groepswerk, ICT...)
SUCCESERVARING, het allerbelangrijkste voor de leerling (en de leraar)
TOEPASSINGEN en Theorie, een gezond evenwicht!

In de figuur zit een mooie stelling verborgen
die in de literatuur bekend staat als
de stelling van de zeven cirkels (1974).

Kan je zelf ontdekken wat die stelling uit de vlakke meetkunde beweert?
Info op http://mathworld.wolfram.com/SevenCirclesTheorem.html .

Bijlagen:
HEURISTIEKEN.pdf (63.5 KB)   

DE KWADRATUUR VAN HET KLAVERTJE VIER



Is het mogelijk een vierkant te construeren
dat dezelfde oppervlakte heeft als de gekleurde figuur hierboven
die is opgebouwd met vier even grote cirkels die door eenzelfde punt gaan
(het witte gedeelte niet meegerekend)?

Als de vier cirkels een straal r hebben
dan is de gekleurde oppervlakte gelijk aan
4πr²  –  16(πr²/4  – r²/2) = 8r².
Dit is gelijk aan de oppervlakte van een vierkant met zijden 2√2 r.

En ja hoor, de kwadratuur lukt perfect zoals uit de twee onderstaande figuren blijkt!

        

05-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

CIRKELPROBLEEM

Een verrassend eenvoudig bewijs vind je in de bijlage.
Graag zelf eerst even zoeken a.u.b.

Bijlagen:
Cirkelprobleem opgelost.pdf (140.3 KB)   

De Amerikaanse amateurwiskundige Sam Loyd (1841-1911)
bedacht een aantal schitterende puzzels
die hij telkens in een verhaaltje wist in te kleden.

Deze Guido-mozaïek-puzzel bestaat er in een vierkant van 5 x 5 vakjes
in zo weinig mogelijk stukken te verdelen
waarmee je dan een vierkant van 4 x 4 vakjes
en een vierkant van 3 x 3 vakjes kunt vormen.

Dit is in feite een mooie variatie op de stelling van Pythagoras
die garandeert dat 3² + 4² = 5².

Met GeoGebra hebben we de onderstaande oplossing uitgetekend.



De puzzels van Sam Loyd vind je op www.samloyd.com 

03-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

HOOGTEPUNT DEEL 2

Teken eens een driehoek ABC waarvan de drie hoekpunten op de eenheidscirkel liggen
(de cirkel met de oorsprong als middelpunt en met een straal gelijk aan 1).
Als de hoekpunten van de driehoek de volgende coördinaten hebben
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) en C(x₃, y₃)
dan is de coördinaat van het hoogtepunt H van driehoek ABC
bepaald door H(x₁ + x₂ + x₃, y₁ + y₂ + y₃).

Hieronder staat een voorbeeld ter illustratie (getekend met GeoGebra).

Je kunt het rekenwerk gemakkelijk controleren aangezien H nagenoeg (0, - 0,5) als coördinaat heeft.

Een bewijs zit in bijlage.

Bijlagen:
Hoogtepunt driehoek en eenheidscirkel.pdf (201.8 KB)   

VIERKANTSWORTELS EN VWO

 © 2008 Peter Grabarchuk. All Rights Reserved.

Peter Grabarchuk is de auteur van deze eenvoudige (?) puzzel met vierkantswortels.
De som van de getallen op twee van de vier puzzelstukjes is gelijk. 
Kan jij ontdekken over welke twee puzzelstukjes het hier gaat? 

Meer puzzels van Peter Grabarchuk op PeterPuzzle.com

En ook op de voorbije Vlaamse Wiskunde Olympiade
doken twee meerkeuzevragen op over vierkantswortels.
(die niet zo goed werden beantwoord!)

Vind jij de juiste antwoorden?

02-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

EI-TANGRAM

Voor wie rond Pasen eens een passende tekening wil maken met GeoGebra
is dit ei alvast een leuke uitdaging.
Het ei is geconstrueerd aan de hand van 4 cirkelbogen
(met als middelpunt respectievelijk D, C, B en A)
en vertrekkend van een gelijkbenige rechthoekige driehoek ABC.

Als |AB| = |AC| = 2, kan je dan bewijzen dat de oppervlakte van dit ei
gelijk is aan 6π – 2π√2 – 2 ?

Op www.puzzles.com vonden we een afdrukklare versie van een gekend ei-tangram
waarmee je met de puzzelstukjes allerlei vogels kunt vormen.
Je vindt de puzzel in bijlage.

Bijlagen:
Ei_van_Columbus_tangram.pdf (233.7 KB)   

Boeken rangschikken en faculteit  (!)



Men kan gemakkelijk inzien dat er 6 verschillende manieren zijn
om 3 boeken naast elkaar te rangschikken in een boekenkast.

De Franse wiskundige Christian Kramp bedacht hiervoor rond 1808 het faculteitsteken (!).
Zo is 3! = 3 x 2 x 1 = 6.



Het aantal manieren om 10 boeken naast elkaar te rangschikken is dan gelijk aan 10!
(lees dit als 'tien faculteit'), wat gelijk is aan
10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3 628 800.

Dit is precies gelijk aan het aantal seconden in 6 weken.
Maar hoeveel is dit in werkelijkheid?

Stel dat je alle mogelijke rangschikkingen voor deze 10 boeken wilt uitvoeren
en dat elke rangschikking 1 minuut tijd vraagt.
Dan ben je hier 3 628 000 minuten = 60 480 uren mee bezig.
Als je dit 8 uur per dag doet, ben je hiermee 7 560 dagen bezig.
Een schooljaar telt ongeveer 180 lesdagen.
Je zou dus 42 schooljaren nodig hebben voor alle mogelijke volgorden.
Wanneer je hieraan dus begint als je 23 jaar bent,
kan je de klus net afronden wanneer je aan 65 jaar op pensioen gaat!

27-03-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Conic sections - Bron: http://calc101.com/animations/

Lang voor de analytische meetkunde was uitgevonden
bestudeerden de Grieken rond 200 v. Chr. al kegelsneden.
 Apollonius van Perga verrichtte op dit vlak baanbrekend werk.

Zoals je op de bovenstaande animatie kunt zien
is een kegelsnede niets anders dan de doorsnede
 van een dubbele kegel met een plat vlak.

Zo kan je een ellips (met als bijzonder geval een cirkel),
een parabool of een hyperbool bekomen.
Maar het kan ook een paar snijdende rechten of zelfs een punt zijn.

Een paar jaar geleden schreef ik samen met collega Geert Delaleeuw
een beknopte tekst over 'Kegelsneden met GeoGebra' (zie bijlage).
Misschien vind je hierin nog een leuke nostalgische uitdaging
nu de studie van kegelsneden geen vast leerplanonderdeel meer is. 

Bijlagen:
KEGELSNEDEN.doc (772.5 KB)   

WISKUNDEBLOG VAN UITGEVERIJ PLANTYN

Uitgeverijen bedenken creatieve manieren om wiskundige ideetjes
en informatie over wiskundehandboeken tot bij de leraren en de leerlingen te brengen.

Probeer eens de wiskundeblog http://wiskunde.plantyn.com/

Daar ontdek je bruikbare apps, leuke weetjes, het probleem van de week ... en ook deze vraagstukjes.

Een meetkundig probleem - A-stroom

In een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek in A beschouwt men

op de schuine zijde de punten D en E zodat |AC| = |CD| en |AB| = |BE|. 

 Bepaal de grootte van de hoek DAE.

Bereken de waarde van x en y op basis van de gegevens op de tekening. Vind jij een oplossing?


 

Oplossingen in bijlage.

Bijlagen:
Twee problemen opgelost - Plantyn.pdf (108.4 KB)   

  Belgisch genie wint de 'Nobelprijs voor Wiskunde'

 
© ap. 
                

20-03-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Rekenen met Mickey Mouse

Vandaag heeft Mickey Mouse op school geleerd hoe je twee getallen bij elkaar optelt.
Voor de twee bovenstaande sommen kreeg hij 10 op 10.
Kan je dat verklaren?


Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
De sommen van Mickey Mouse opgelost.pdf (131.7 KB)