Tijdens een klasbezoek in het derde jaar secundair onderwijs in een Brugse school gebruikte de lerares een leuk ezelsbruggetje om de leerlingen te helpen bij het oplossen van opgaven over recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden: de OPQR-regel.
Omgekeerd evenredige grootheden > Product is constant Recht evenredige grootheden > Quotiënt is constant
Even testen?
Een ploeg bouwvakkers kan een ruwbouw afwerken in 10 dagen. Als er 8 bouwvakkers meer waren, dan zou het werk in 6 dagen klaar zijn. Hoe groot is de ploeg?
Oplossing. Het gaat hier om omgekeerd evenredige grootheden (constant product): x . 10 = (x + 8) . 6 waaruit volgt dat x = 12. De ploeg bestaat uit 12 arbeiders.
Als we 5 minuten douchen gebruiken we 40 liter water. Hoeveel liter water gebruiken we als we 8 minuten douchen?
Oplossing. Het gaat hier om recht evenredige grootheden (constant quotiënt):
waaruit volgt dat x = 64. Als we 8 minuten douchen gebruiken we 64 liter water.
En dit is logisch voor wie nog de regel van drieën kent want in 1 minuut verbruiken we blijkbaar 8 liter water...
En als één persoon onder de douche 8 liter water gebruikt in een minuut
hoeveel liter water gebruiken twee personen dan onder de douche?
De 17-jarige Vlaming Luca Brecel is de jongste speler ooit die deelnam aan het WK snooker. Ongetwijfeld geeft hij hiermee nieuwe impulsen aan heel wat jonge snookerspelers en biljarters.
Met namen als Raymond Ceulemans, Ludo Dielis, Eddy Merckx, Frédéric Caudron ... heeft België al een heel rijke biljarttraditie opgebouwd.
De link tussen wiskunde en biljarten is trouwens niet ver te zoeken.
Weet jij met hoeveel ballen het snookerspel wordt gespeeld? (Antwoord: 22)
En hoeveel rode ballen zijn er in het spel? (Antwoord: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15)
Wat is de hoogste score die men (zonder toegekende strafpunten) kan behalen bij het snookerspel? (Antwoord: maximum break = 147 punten)
Een snookerprobleem. Hieronder staat een snookertafel afgebeeld. De speler die aan de beurt is moet met bal A proberen de rode bal B te raken. Omdat andere gekleurde ballen hem verhinderen rechtstreeks of via één band naar bal B te spelen, besluit hij via de rechterband en daarna via de bovenste korte band naar B toe te spelen. In de richting van welk punt moet hij dan bal A spelen: P, Q, R of S?
Op een eiland heeft een piraat een schat begraven. Op dat eiland staan drie eiken (op de plaatsen A, B en C). De plaats E waar de piraat de schat heeft begraven heeft hij als volgt bepaald.
Hij wandelde van eik A naar eik B, nam daar een kwartdraai naar rechts en wandelde naar een punt D1 dat even ver van B ligt als A van B. Hij wandelde dan van eik A naar eik C, nam daar een kwartdraai naar links en wandelde naar een punt D2 dat even ver ligt van C als A van C. Hij begroef de schat in het punt E halverwege tussen D1 en D2.
De schat van de zeerover - GeoGebra Dynamisch werkblad
Daarna vertrok de piraat enkele maanden op strooptocht. Toen hij op het eiland terugkeerde om zijn schat op te graven stelde hij vast dat iemand de eik A had omgehakt en er was geen spoor meer te bekennen van de plaats waar hij had gestaan.
Toch slaagde de piraat er in de plaats waar de schat begraven lag exact te bepalen. Hoe deed hij dat?
Tip. Maak de bovenstaande tekening met GeoGebra en versleep dan het punt A.
In zijn Liber Assumptorum bestudeert Archimedes twee merkwaardige figuren die zijn opgebouwd met behulp van halve cirkels: de salinon (Grieks voor zoutschaaltje) en de arbelos (Grieks voor schoenmakersmes).
salinon arbelos
Een salinon is opgebouwd met behulp van 4 halve cirkels en heeft een verticale symmetrieas. Een arbelos is opgebouwd met behulp van 3 halve cirkels.
Archimedes bewees:
1. De oppervlakte van de salinon is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel met als diameter het lijnstuk dat het hoogste en het laagste punt van de salinon verbindt.
2. De oppervlakte van de arbelos is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel met als diameter het lijnstuk [CD] zoals aangeduid op de onderstaande figuur (C is het punt waar de twee kleinere cirkelbogen elkaar ontmoeten, D ligt op de grootste cirkelboog en CD staat loodrecht op AB).
Merk op: een arbelos met een verticale symmetrieas is een bijzonder geval van een salinon.
Graag merken we ook nog de volgende eigenschap op: de totale omtrek van de arbelos hangt niet af van de ligging van C op het lijnstuk [AB].
Kan je de drie vermelde eigenschappen ook bewijzen?
Oplossing in bijlage. Graag zelf eerst even zoeken a.u.b.
Sigiswald wil drie stoelen (gelijk geprijsd), een
tafeltje en een spiegel kopen.
Hij ziet het setje van zijn dromen staan in de WEBA,
maar helaas heeft hij niet genoeg geld bij zich om de 5 artikelen samen te
kopen.
Hij kan wel 4 van de 5 artikelen kopen.
Afhankelijk van zijn keuze kosten 4 artikelen 1264, 1364 of 1800 euro.
Dat kan hij allemaal betalen.
Hoeveel euro kosten de vijf artikelen samen?
Het antwoord en nog veel meer leuke raadsels vind je op http://www.debacker.info/raadsels.asp . Hieronder kan je meteen nog meegenieten van mijn favoriete WEBA-promotieclip.
Pasen doet je ongetwijfeld denken aan paaseieren. Het meest beroemde ei is echter het 'ei van Columbus'.
De anekdote over het ei van Columbus werd voor het eerst opgeschreven in 1565 door de Italiaanse historicus Girolamo Benzoni in zijn boek Historia del Nuevo Mundo (Geschiedenis van de Nieuwe Wereld):
Christoffel Columbus werd na zijn terugkeer uit Amerika (waarvan men toen nog aannam dat het Indië was) bij een diner bij kardinaal Mendoza in 1493 door Spaanse edellieden voorgehouden dat het niet zo moeilijk was geweest om Indië te ontdekken, andere kundige mensen hadden dat ook wel gekund. Columbus antwoordde niet direct, maar vroeg om een ei en wedde met de aanwezigen dat het hen niet zou lukken het ei zonder enige hulp rechtop te laten staan. Ze probeerde het allemaal zonder succes. Columbus pakte toen het ei en maakte één kant plat door het op tafel te tikken. Het ei bleef nu rechtop staan. De aanwezigen begrepen wat Columbus bedoelde: als iemand eenmaal heeft laten zien hoe iets gedaan moet worden, weet iedereen hoe het moet.
Bron: wikipedia.
In het leuke Nederlands wiskundetijdschrift Volgens Bartjens verschijnt elke keer een rubriek met uitdagende probleempjes en wiskundige wetenswaardigheden. Hieronder staat een voorbeeld afgedrukt. Kan jij de uitkomst vinden zonder rekenmachine? En wat is er zo merkwaardig in deze rekensom?
Wist je dat het hoogtepunt van een driehoek de volgende merkwaardige eigenschap heeft: het spiegelbeeld van het hoogtepunt t.o.v. elk van de drie zijlijnen van de driehoek ligt op de omgeschreven cirkel van de driehoek.
Gevolg. De oppervlakte van driehoek ABC is de helft van de oppervlakte van de zeshoek AH"CH'BH'''.
Teken een scherphoekige driehoek ABC. De hoogtelijnen snijden de omgeschreven cirkel een tweede keer in de punten A', B' en C'. Dan is het hoogtepunt van driehoek ABC het middelpunt van de ingeschreven cirkel van driehoek A'B'C'.
Teken een willekeurige driehoek ABC. Trek door elk hoekpunt een rechte evenwijdig met de overstaande zijde. De snijpunten van deze paren rechten bepalen de driehoek A'B'C'. Het hoogtepunt van driehoek ABC is dan het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek A'B'C'.
Probeer dit eens zelf te bewijzen.
Tip: de vierhoeken C'ACB en AB'CB zijn parallellograms en A is dus het midden van [B'C'].
Als H het hoogtepunt is van een scherphoekige driehoek Δ ABC, dan zijn de omgeschreven cirkels van Δ HAB, Δ HBC en Δ HCA even groot als de omgeschreven cirkel van Δ ABC.
Probeer dit eens zelf te bewijzen.
Hint. In Δ ABC en Δ HBC hebben de hoeken ∠CAB en ∠CHB dezelfde sinuswaarde omdat het supplementaire hoeken zijn (waarom?). Maak dan gebruik van de sinusregel in beide driehoeken en meerbepaald van het verband (welk?) dat deze regel heeft met de straal van de omgeschreven cirkel.
In 2008 kregen de deelnemers aan de
IMO-competitie
(IMO = International Mathematical Olympiad)
een pittige eerste meetkundevraag voorgeschoteld.
Ze moesten immers een merkwaardige stellingbewijzen over het hoogtepunt van een scherphoekige driehoek waarbij 4 cirkels een rol spelen. Wij voegden er zelfs nog een vijfde cirkel aan toe.
OPGAVE
Stel dat H het hoogtepunt is van een scherphoekige driehoek ABC. De cirkel met als middelpunt het midden Ma van de zijde [BC] door H snijdt die zijde in twee punten A1 en A2 . De cirkel met als middelpunt het midden Mb van de zijde [AC] door H snijdt die zijde in twee punten B1 en B2 . De cirkel met als middelpunt het midden Mc van de zijde [AB] door H snijdt die zijde in twee punten C1 en C2 . Dan liggen de 6 punten A1 , A2 , B1 , B2 , C1 en C2 op een cirkel. Bovendien is het middelpunt M van die cirkel het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.
De laatste vaststelling is het gevolg van het feit dat de middelloodlijn van [AB], [BC] en [CA] ook de middelloodlijnen zijn van [A1A2], [B1B2] en [C1C2].
Voor een bewijs van de stelling verwijzen we naar de bijlage (zie Geometry - Problem 1).
De Raket, het waterijsje van Ola met de smaken framboos, sinaasappel en ananas, viert dit jaar zijn 50-jarig jubileum. Zon 35 miljoen worden er jaarlijks van verkocht. Al 50 jaar is de raket het meest verkochte waterijsje.
In 1962
startte de productie van het ijsje in België.
De wereld was in dat jaar in de ban van satellieten, raketten en de
ruimtevaart.
De
Russische kosmonaut Joeri Gagarin was immers op 12 april 1961 de eerste man in
de ruimte.
Op 20 februari
1962 vloog John Glenn als eerste Amerikaan in een baan om de aarde.
Reeds op
25 mei 1961 sprak de Amerikaanse president J.F. Kennedy de wens uit
om tegen het einde van de jaren '60 al een mens op de maan te brengen, met de
historische woorden:
" I believe that
this nation should commit itself, to achieving the goal, before this decade is
out,
of landing a man on
the moon and returning him safely to the earth."
Daarmee
was het ruimtetijdperk definitief ingezet.
Het was dus ook helemaal niet toevallig dat het raket-ijsje toen werd
gelanceerd!
Om een raket los te krijgen van de aantrekkingskracht van de aarde,
is het nodig de zogenaamde ontsnappingssnelheid v te kennen.
Dit is de vertreksnelheid die een raket moet krijgen om te ontsnappen aan de
aantrekkingskracht van de aarde.
De formule hiervoor is
met G (de gravitatieconstante) = 6,67 . 10-11 m3/(kg . s2) M (de massa van de aarde) = 5,977 . 1024 kg R (de straal van de aarde) = 6,378 . 106 m.
Reken eens na dat de ontsnappingssnelheid van een raket op aarde ongeveer 11,2 km/s bedraagt. Merk op dat dit ongeveer 40 000 km/h is!
De ontsnappingssnelheid op de maan is ongeveer 2,38 km/s of nagenoeg 8 500 km/h. Zoek eens de waarden op van de straal en de massa van de maan en bepaal hiermee deze ontsnappingssnelheid.
En wist je nog dat er 12 mannen op de maan hebben gewandeld?
Neil Armstrong en Buzz Aldrin - Apollo 11 - 1969 Charles "Pete" Conrad en Alan Bean - Apollo 12 - 1969 Alan Shepard en Edgar Mitchell - Apollo 14 - 1971 David Scott en James Erwin - Apollo 15 - 1971 John Young en Charles Duke - Apollo 16 - 1972 Eugene Cernan en Harrison Schmitt -Apollo 17 - 1972
En dat is ondertussen ook al 40 jaar geleden. Waar blijven de nieuwe moonwalkers?
Neem even jouw rekentoestel erbij en maak de volgende bewerkingen waarin alle cijfers van 0 tot en met 9 één keer worden gebruikt (let op het juiste gebruik van haakjes op het rekentoestel):
Vergelijk het bekomen resultaat dan met de waarde voor π die in jouw rekentoestel voorgeprogrammeerd is!
Hieronder kan je ook nog meegenieten van een leuke pi-clip met zandfiguren.
Wat is het verband tussen de geniale Duitse wiskundige C. F. Gauss (1777 - 1855) en de ondergang van de Titanic (de nacht van 14 april op 15 april 1912)? Antwoord: de maan.
Gauss vond een merkwaardige formule om de datum te berekenen waarop Pasen valt, uitgaande van het jaartal.
°Deel het jaartal door 19. De rest is a. °Deel het jaartal door 4. De rest is b. °Deel het jaartal door 7. De rest is c. °Deel (19a + 23) door 30. De rest is d. °Deel (2b + 4c + 6d + 5) door 7. De rest is e. Indien e = 0 dan moet aan e de waarde 7 toegekend worden.
Dan is de som (d + e) van belang. °Is (d + e) kleiner dan of gelijk aan 9, dan valt Pasen op (22 + d + e) maart. °Is (d + e) groter dan 9 dan valt Pasen op (d + e -9) april.
Gauss berekende ook dat er twee uitzonderingen waren op deze regel, nl. 1954 en 1981 waar men Pasen een week vroeger vierde dan de berekening aantoonde.
We maken even de berekening voor 2012: 2012 : 19 geeft als quotiënt 105 en als rest a = 17. 2012 : 4 geeft als quotiënt 503 en als rest b = 0. 2012 : 7 geeft als quotiënt 287 en als rest c = 3. 19a + 23 = 346 en 346 : 30 geeft als quotiënt 30 en als rest d = 16. 2b + 4c + 6d + 5 = 113 en 113 : 7 geeft als quotiënt 16 en als rest e = 1. d + e = 16 en dus valt Pasen in 2012 op (d + e - 9) = 8 april.
Leuke oefening: reken eens na dat in 1912 Pasen op 7 april viel.
Wat heeft de maan nu te zien met de ondergang van de Titanic?
Twee
Amerikaanse astronomen berekenden dat in 1912 uitzonderlijk dicht bij de
aarde stond.
Op 4 januari 1912 was het volle maan en was getijdenkracht uitzonderlijk groot.
Begin januari is de afstand tussen de zon en de aarde ook het kleinst, waardoor
de getijdenkracht nog kan verhogen.
Wellicht kwamen hierdoor in januari al grote ijsbergen los van
Groenland.
Normaal gezien komen ze vast te zitten in ondiep water tot de zon ze klein
genoeg gemaakt heeft om ze verder te laten drijven.
Maar in 1912 zorgde de springvloed er wellicht voor dat er abnormaal grote
ijsbergen afdreven in de oceaan.
Nog dit: Pasen valt op de eerste zondag die volgt op de eerste volle maan na het begin van de lente (= 20 of 21 maart). Pasen valt daarom ten vroegste op 22 maart en ten laatste op 25 april.
Op www.gratisrijbewijsonline.be staat deze grafiek afgedrukt waarop je de stopafstand van een wagen kunt aflezen bij een droog of een nat wegdek afhankelijk van de snelheid van die wagen.
De stopafstand is de som van de reactieafstand en de remafstand.
De reactieafstand s (in meter) bekomt men blijkbaar door de snelheid (in km/h) te vermenigvuldigen met 0,3: s = 0,3 v.
De remafstand (in meter) is een kwadratische functie van de snelheid (in km/h).
De bovenstaande grafiek is blijkbaar opgemaakt via de volgende functies (sd = de stopafstand in meter bij droog weer, sn = de stopafstand in meter bij nat weer en v = de snelheid in km/h):
Weet jij waar het teken = ('is gelijk aan') vandaan komt?
Robert Recorde was een arts en wiskundige uit Wales die in 1557 in zijn boek 'The Whetstone of Witte' voor het eerst het teken = gebruikte.
Hij schrijft het volgende:
"En om de vervelende herhaling van deze woorden 'is gelijk aan' te vermijden zal ik, zoals ik vaak doe tijdens mijn werk, gebruik maken van een paar parallelle of 'gemowe' lijnen van dezelfde lengte, dus = , omdat geen 2 dingen meer gelijk kunnen zijn." (gemowe = tweeling, denk aan het Latijnse woord 'gemini').
Dit was de allereerste vergelijking waarin Recorde het teken = gebruikte:
Een merkwaardig boek is zonet uit het Engels vertaald door Gerard de Wit en uitgegeven bij Uitgeverij AnkhHermes.
Auteur Malcom Stewart geraakte gefascineerd door de meetkunde in het 'Starcutdiagram' dat op de voorpagina van zijn boek staat afgebeeld.
Dit diagram bezit intrigerende wiskundige verhoudingen en men vindt dit patroon terug in heel wat culturen: bij de piramide van Cheops, in een fresco van Rafaël, op het Vedische vuuraltaar in Azië.
In het register duiken o.a. de volgende trefwoorden op: Archimedes, dodecaëder, Fibonacci, magisch vierkant, platonische lichamen, Pythagoras, Thales, pi, Vitruvius ... en dan weet je als wiskundige wel dat dit boek heel wat verbanden legt met gekende wiskundige topics.
Wist je bijvoorbeeld dat een kubus met een inhoud van 216 cm3 ook een oppervlakte van 216 cm2 heeft ? En dat 216 = 33 + 43 + 53 ? Ook de liefhebbers van getallenmystiek komen met dit boek ongetwijfeld aan hun trekken.
God is de cirkel, het vierkant en de driehoek, het middelpunt en de lijn - alles voor alles.
Terwijl ik deze tekst aan het intypen ben, zijn over heel het Vlaamse land weer honderden studenten ijverig bezig met het oplossen van de 30 vragen van de tweede ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade.
In één van de VWO-vragen duikt op een heel verrassende wijze het getal phi = (1 + √5)/2 van de gulden snede op. We gaan ervan uit dat men werkt met een orthogonaal assenstelsel.
Benieuwd hoeveel deelnemers voor deze uitdagende vraag een correcte oplossing vinden ...
In de bijlage bij deze rubriek vind je twee verschillende oplossingsmethoden.
Het antwoord zit in bijlage.
Oplossing in bijlage.
![](javascript:fotovenster("http://images2-telegraaf.nl/multimedia/archive/00787/raket_787979d.jpg"," "," ",200,106);)
