Bij het maken van redeneringen kan je botsen op een zogenaamde vicieuze cirkel. Hieronder staat een leuk voorbeeld dat we vonden op de website www.mobielvlaanderen.be : :
Ook in de wiskunde duiken dergelijke redeneringen geregeld op. Hieronder zie je bijvoorbeeld een bewijs voor de fameuze stelling van Pythagoras via de grondformule van de goniometrie, die zelf weer een gevolg is van de stelling van Pythagoras.
Deze redenering was de aanleiding om samen met college Koen De Naeghel te zoeken naar een alternatief en nieuw bewijs voor de stelling van Pythagoras door gebruik te maken van lineaire algebra.
Het bewijs vind je in bijlage in een Nederlandstalige en een Engelstalige versie.
Is dit een geldig bewijs of zit hierin een vicieuze cirkel verscholen? Wie zegt het ons???
Waarom heeft de regenboog de vorm van een cirkelboog?
De regeldruppels weerkaatsen via een bepaalde breking het licht van de zon.
Opdat een regendruppeltje bijdraagt tot het feit dat u een regenboog ziet, moet de hoek tussen de zon en uzelf, gezien vanuit de druppel 42° zijn.
De druppels die daaraan voldoen liggen dan blijkbaar vanuit uw standpunt gezien in een cirkel aan de hemel. Prof.dr. Paul Hellings, hoogleraar toegepaste wiskunde (groep T - Leuven) geeft u een meer gedetailleerde uitleg op http://www.ikhebeenvraag.be/vraag/26205 .
In feite ziet iedereen die naar een regenboog kijkt een 'persoonlijke regenboog'.
De regenboog lijkt zich daarom ook samen met de waarnemer te verplaatsen zodat ze dus 'een bewegende optische illusie' is.
Vanuit een vliegtuig of vanop een hoog torengebouw kunt u een regenboog als een volledige cirkel zien, zoals blijkt uit het onderstaande youtube-filmpje.
In de bijlage kunt u genieten van een powerpointpresentatie met o.a. enkele bewegende optische illusies.
De schijngestalten van de maan en een sinusfunctie
De schijngestalten van de maan zijn welbekend: nieuwe maan, eerste kwartier, volle maan, laatste kwartier en terug nieuwe maan.
Een cyclus duurt 28 dagen. Bij eerste en laatste kwartier is 25 % van de maan zichtbaar verlicht, bij volle maan is dat 100 % en bij nieuwe maan 0 %. Als we de cyclus laten starten bij nieuwe maan (dag 0), dan kan een wiskundige zich de vraag stellen hoeveel procent van de maan zichtbaar verlicht is na 3,5 dagen, na 10,5 dagen, na 17,5 dagen en na 24,5 dagen (zie onderstaande figuur).
Voor de oplossing maken we gebruik van een algemene sinusfunctie met als voorschrift
f(x) = 50 sin [(π/14)( x 7)] + 50.
Jouw wiskundeleraar kan je ongetwijfeld uitleggen hoe ik aan dit voorschrift kom!
Dan levert f(3,5) = f(24,5) de waarde 14,64 % op en f(10,5) = f(17,5) geeft 85,36 %.
Controleer zelf de waarden van f(0), f(7), f(14), f(21) en f(28).
Na hoeveel dagen is een kwart van de maan zichtbaar verlicht?
Voor de liefhebbers van integralen: bereken eens de bepaalde integraal van de bovenstaande functie tussen de grenzen 0 en 28. Verklaar het gevonden resultaat.
Een oudere vent uit Ploegsteert had nooit graag wiskunde gestudeerd. Hij kende toch in elk geval een mooie eigenschap van ieder getal. Was hij dan toch getallen-teerd?
STELLING. Elk natuurlijk getal heeft een speciale eigenschap.
Bewijs uit het ongerijmde. Stel dat V de verzameling is van de natuurlijke getallen zijn die geen speciale eigenschap hebben. Als deze verzameling niet leeg is, dan zit hierin een kleinste natuurlijk getal. Dit getal heeft dan de speciale eigenschap dat het het kleinste natuurlijk getal is zonder speciale eigenschap. Dit is meteen een contradictie met het feit dat het in de verzameling V zit. Q.E.D.
************** Je kunt je bijvoorbeeld afvragen welke bijzondere eigenschap het getal 176 heeft. Het antwoord zit in een magische vierkant, waarin we de digitale cijfertypes gebuiken.
In het magisch vierkant 1 is de som van de vier getallen in elke horizontale rij, in elke verticale kolom en op de twee diagonalen gelijk aan 176. Dit getal noemt men dan de magische constante van het vierkant. Wanneer je nu dit vierkant op zijn kop zet (ondersteboven houdt) bekom je het magisch vierkant 4. Merkwaardig genoeg is de magische constante opnieuw 176. Door op het vierkant 1 een andere meetkundige transformatie uit te voeren (weet je ook welke?) bekom je de magische vierkanten 3 en 4. Wat is hier de magische constante?
En als je toch nog twijfels hebt over het feit dat elk natuurlijk getal een speciale eigenschap heeft, kijk dan eens op een van de volgende websites:
Slechts twee Belgische wiskundigen hebben in België een standbeeld gekregen.
In Brugge staat het standbeeld van Simon Stevin. In Brussel staat Adolphe Quetelet. Aan hem hebben we o.a. het woord 'wiskunde' te Hij is voornamelijk bekend voor danken. Hij verving immers 'mathematica' door het invoeren van de Body Mass Index, die het Nederlandse woord 'wiskonst'. ook wel de Quetelet-index wordt genoemd.
Slechts twee Belgische wiskundigen wonnen ooit de prestigieuze Fields-medaille. Omdat er geen Nobelprijs is voor wiskunde, kan men deze onderscheiding als de tegenhanger ervan beschouwen. Kwatongen beweren dat er geen Nobelprijs voor wiskunde is omdat de vrouw van Alfred Nobel een affaire had met de Zweedse wiskundige Gosta Mittag-Leffler. Dat het hier om een roddel gaat valt niet te betwijfelen: Alfred Nobel is immers nooit getrouwd geweest... De Fields-medaille is genoemd naar een Canadese wiskundige en ze wordt om de vier jaar uitgereikt aan wiskundigen die niet ouder zijn dan 40 jaar en een bijzondere verdienste hebben op het vlak van de wiskunde.
Pierre Deligne (geboren in Brussel in 1944) ontving de Fields-medaille in 1978.
Jean Bourgain (geboren in Oostende in 1954) ontving de Fields-medaille in 1994.
Beide professoren werkten aan de bijzonder hoog aangeschreven School of Mathematics van het Institute for Advanced Study in Princeton.
In de eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade editie 2011-2012 dook een verrassend vraagstukje op waarbij er op het eerste gezicht te weinig gegevens zijn om het te kunnen oplossen:
In de etalage van een juwelier ligt een collectie ringen die alle uit zowel goud als zilver bestaan, telkens in een andere samenstelling. De ringen zijn even zwaar. De mooiste ring, volgens mijn persoonlijke smaak, bevat één vijfde van de totale massa aan goud in de collectie en één zevende van de totale massa aan zilver. Hoeveel ringen liggen er in de etalage?
Het duikt op in de bijbel: "Simon Petrus ging weer aan boord en sleepte het net aan land. Het was vol grote vissen, honderdrieënvijftig stuks, en ofschoon het er zo veel waren, scheurde het net niet." (Joh. 21, 11)
153 = 13 + 53 + 33 En op basis van deze eigenschap kan je een leuk cijferspelletje spelen. Neem er even een rekenmachientje bij!
Start met een willekeurig getal met 3 verschillende cijfers. Maak vervolgens de som van de derdemachten van deze drie cijfers. Herhaal dit procédé met de cijfers van de bekomen som. Ga zo door ... tot de som niet meer verandert.
Voorbeeld. We starten met 231. 23 + 33 + 13 = 36 33 + 63 = 243 23 + 43 + 33 = 99 93 + 93 = 1458 13 + 43 + 53 + 83 = 702 73 + 03 + 23 = 351 33 + 53 + 13 = 153 en dan verandert het resultaat niet meer.
Zoekertje: kan je een startgetal van 3 cijfers kiezen zodat dit procédé eindigt op 370, 371 of 407? Deze getallen hebben immers dezelfde merkwaardige eigenschap: 370 = 33 + 73 + 03 371 = 33 + 73 + 13 407 = 43 + 03 + 73.
Men noemt ze narcistische getallen. Dit zijn getallen die gelijk zijn aan de som van hun cijfers tot de macht het aantal cijfers van het getal.
Hier heb je een narcistisch getal met 4 cijfers: 1634
1634 = 14 + 64 + 34 + 44
PS. Volgens de Griekse mythologie was Narcissus een beeldschone jongeling die verliefd was op zijn eigen spiegelbeeld. Meteen had hij ook te maken met een onmogelijke liefde.
In een perfecte wereld ... zou het bewijs van heel wat wiskundige stellingen veel eenvoudiger moeten zijn.
Daarom stellen we hier een nieuw bewijs voor van de stelling van Pythagoras.
De vlieger van Pythagoras
Op de linkse figuur staat een vierhoek afgebeeld die men een vlieger noemt. Deze vlieger bestaat uit twee rechthoekige driehoeken. Wanneer je deze twee driehoeken op een andere manier tegen elkaar plaatst, bekom je de rechtse figuur, die een gelijkbenige driehoek is. Uiteraard hebben beide figuren dezelfde oppervlakte.
Een gekende formule voor de oppervlakte van een driehoek is de volgende: "De oppervlakte van een willekeurige driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek".
Door deze formule op beide figuren toe te passen, bekom je een vrij eenvoudig bewijs van de stelling van Pythagoras.
Eigenschap van de fibonaccigetallen zonder woorden
De rij van de Fibonaccigetallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... blijft heel veel wiskundigen fascineren.
Geregeld duiken nieuwe verbanden op tussen deze getallen. Als we deze rij getallen voorstellen met F0, F1, F2, ... , Fn , ... dan kan men in het algemeen bewijzen dat
Zo is bijvoorbeeld voor n = 3: 1² + 1² + 2² + 3² = 3 . 5 en voor n = 4: 1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 . 8
Hieronder zien we een bewijs voor n = 7. Zie jij dit ook? En zie je in dat je aan de hand van zo een tekening eigenlijk ook een algemeen 'bewijs zonder woorden' kunt geven?
Gaspard Monge (1746 - 1818) was een eminente Franse wiskundige die de beschrijvende meetkunde op punt stelde.
Aan hem danken we één van de mooiste stellingen uit de vlakke meetkunde, waarin drie cirkels voorkomen. Ze worden daarom ook wel de cirkels van Monge genoemd.
Teken in een vlak drie cirkels met een verschillende straal en teken ook de uitwendige raaklijnen aan elk paar van deze cirkels. Noem A, B en C de snijpunten van deze paren raaklijnen. Dan liggen A, B en C op één rechte lijn.
In bijlage vind je twee bewijzen voor deze stelling.
Het eerste bewijs is een eenvoudig '3D-bewijs' waarbij de cirkels bekeken worden als de doorsnede van een vlak met drie bollen.
Het tweede bewijs maakt gebruik van de stelling van Thales.
Op zijn website http://fabpedigree.com/james/mathmen.htm onderneemt James Dow Allen een poging om een top-100 op te stellen van de grootste wiskundigen aller tijden.
Hieronder staat zijn top-12. Ik kan me best vinden in zijn keuze. Ken jij (vanuit de wiskundelessen) de verdiensten van elk van hen?
Klik op een naam voor meer Engelstalige informatie over die wiskundige.
Merk op: Alexander Grothendieck (geboren in Berlijn in 1928) is de enige uit
deze top-12 die momenteel nog in leven is.
Hij wordt algemeen aanzien als één van de grootste wiskundigen van de 20ste
eeuw.
Vierkanten blijken heel wat wiskundigen (en niet-wiskundigen) te fascineren.
Ze duiken bijvoorbeeld op in optische illusies. Op de bovenstaande figuur staan geen kromme lijnen. Neem even een latje erbij en overtuig jezelf van het feit dat de horizontale en verticale lijnen in de figuur recht zijn.
Ook kunstenaars zoals Piet Mondriaan en Victor Vasarely gebruikten vaak vierkanten in hun abstracte composities.
Hieronder staat het vierkant afgebeeld dat mij als wiskundige het meest fascineert.
1
De rechthoekszijden van de rode driehoek ABO hebben als lengte 2 en 4. Het vierkant ABCD wordt door de rechten OA en OB in vier stukken verdeeld met als oppervlakte 1, 4, 4 en 11.
De punten E en F liggen in het midden van een zijde van het vierkant.
De lijnstukken [AF] en [BE] worden door het punt O in stukken verdeeld met als lengte 1, 2, 3 en 4.
En waar zit 5? Dit is uiteraard de lengte van [AF] en van [BE] maar ook de gemiddelde oppervlakte van de vier gekleurde delen van het vierkant!
Van de Belgische kinderen tussen de 10 en de 12 jaar heeft 21 procent overgewicht. Zo'n 6 procent heeft extreem overgewicht. België scoort daarmee na Noorwegen het best van zeven onderzochte Europese landen. Dat meldde het academisch ziekenhuis van de Vrije Universiteit Amsterdam. Bron: Het Nieuwsblad 26/04/2012
Om na te gaan of een volwassen persoon al dan niet overgewicht heeft, kan men de zogenaamde Body Mass Index (BMI) berekenen. De BMI werd geïntroduceerd in de 19deeeuw door de Belgische statisticus Adolphe Quetelet, en wordt daarom in Nederland en België ook vaak Queteletindex(QI) genoemd.
De BMI van een volwassen persoon wordt als volgt berekend (en om helemaal correct te zijn zou er in de teller van de formule moeten 'lichaamsmassa' staan):
Op http://www.voedingswaardetabel.nl/bereken/bmi/ staan er naast de afbeelding van Quetelet twee schuifknoppen, waar je door te klikken op het minteken (-) of het plusteken (+) jouw lichaamsgewicht en jouw lichaamslengte kunt instellen. Meteen ken je dan jouw BMI en weet je of je eventueel overgewicht hebt. Een normale BMI-waarde ligt tussen 18 en 25.
Als je bij een constante BMI-waarde de lichaamsmassa (in kg) uitdrukt in functie van de lichaamslengte (in m), bekom je een kwadratische functie met als grafiek een parabool. Hieronder staan er 4 dergelijke parabolen afgebeeld, nl. voor de BMI-waarden 18, 25, 30 en 40. Bron: wikipedia.
In bijlage vind je twee eenvoudige problemen in verband met de BMI.
Tijdens een klasbezoek in het derde jaar secundair onderwijs in een Brugse school gebruikte de lerares een leuk ezelsbruggetje om de leerlingen te helpen bij het oplossen van opgaven over recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden: de OPQR-regel.
Omgekeerd evenredige grootheden > Product is constant Recht evenredige grootheden > Quotiënt is constant
Even testen?
Een ploeg bouwvakkers kan een ruwbouw afwerken in 10 dagen. Als er 8 bouwvakkers meer waren, dan zou het werk in 6 dagen klaar zijn. Hoe groot is de ploeg?
Oplossing. Het gaat hier om omgekeerd evenredige grootheden (constant product): x . 10 = (x + 8) . 6 waaruit volgt dat x = 12. De ploeg bestaat uit 12 arbeiders.
Als we 5 minuten douchen gebruiken we 40 liter water. Hoeveel liter water gebruiken we als we 8 minuten douchen?
Oplossing. Het gaat hier om recht evenredige grootheden (constant quotiënt):
waaruit volgt dat x = 64. Als we 8 minuten douchen gebruiken we 64 liter water.
En dit is logisch voor wie nog de regel van drieën kent want in 1 minuut verbruiken we blijkbaar 8 liter water...
En als één persoon onder de douche 8 liter water gebruikt in een minuut
hoeveel liter water gebruiken twee personen dan onder de douche?
De 17-jarige Vlaming Luca Brecel is de jongste speler ooit die deelnam aan het WK snooker. Ongetwijfeld geeft hij hiermee nieuwe impulsen aan heel wat jonge snookerspelers en biljarters.
Met namen als Raymond Ceulemans, Ludo Dielis, Eddy Merckx, Frédéric Caudron ... heeft België al een heel rijke biljarttraditie opgebouwd.
De link tussen wiskunde en biljarten is trouwens niet ver te zoeken.
Weet jij met hoeveel ballen het snookerspel wordt gespeeld? (Antwoord: 22)
En hoeveel rode ballen zijn er in het spel? (Antwoord: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15)
Wat is de hoogste score die men (zonder toegekende strafpunten) kan behalen bij het snookerspel? (Antwoord: maximum break = 147 punten)
Een snookerprobleem. Hieronder staat een snookertafel afgebeeld. De speler die aan de beurt is moet met bal A proberen de rode bal B te raken. Omdat andere gekleurde ballen hem verhinderen rechtstreeks of via één band naar bal B te spelen, besluit hij via de rechterband en daarna via de bovenste korte band naar B toe te spelen. In de richting van welk punt moet hij dan bal A spelen: P, Q, R of S?
Op een eiland heeft een piraat een schat begraven. Op dat eiland staan drie eiken (op de plaatsen A, B en C). De plaats E waar de piraat de schat heeft begraven heeft hij als volgt bepaald.
Hij wandelde van eik A naar eik B, nam daar een kwartdraai naar rechts en wandelde naar een punt D1 dat even ver van B ligt als A van B. Hij wandelde dan van eik A naar eik C, nam daar een kwartdraai naar links en wandelde naar een punt D2 dat even ver ligt van C als A van C. Hij begroef de schat in het punt E halverwege tussen D1 en D2.
De schat van de zeerover - GeoGebra Dynamisch werkblad
Daarna vertrok de piraat enkele maanden op strooptocht. Toen hij op het eiland terugkeerde om zijn schat op te graven stelde hij vast dat iemand de eik A had omgehakt en er was geen spoor meer te bekennen van de plaats waar hij had gestaan.
Toch slaagde de piraat er in de plaats waar de schat begraven lag exact te bepalen. Hoe deed hij dat?
Tip. Maak de bovenstaande tekening met GeoGebra en versleep dan het punt A.
In zijn Liber Assumptorum bestudeert Archimedes twee merkwaardige figuren die zijn opgebouwd met behulp van halve cirkels: de salinon (Grieks voor zoutschaaltje) en de arbelos (Grieks voor schoenmakersmes).
salinon arbelos
Een salinon is opgebouwd met behulp van 4 halve cirkels en heeft een verticale symmetrieas. Een arbelos is opgebouwd met behulp van 3 halve cirkels.
Archimedes bewees:
1. De oppervlakte van de salinon is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel met als diameter het lijnstuk dat het hoogste en het laagste punt van de salinon verbindt.
2. De oppervlakte van de arbelos is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel met als diameter het lijnstuk [CD] zoals aangeduid op de onderstaande figuur (C is het punt waar de twee kleinere cirkelbogen elkaar ontmoeten, D ligt op de grootste cirkelboog en CD staat loodrecht op AB).
Merk op: een arbelos met een verticale symmetrieas is een bijzonder geval van een salinon.
Graag merken we ook nog de volgende eigenschap op: de totale omtrek van de arbelos hangt niet af van de ligging van C op het lijnstuk [AB].
Kan je de drie vermelde eigenschappen ook bewijzen?
Oplossing in bijlage. Graag zelf eerst even zoeken a.u.b.
Sigiswald wil drie stoelen (gelijk geprijsd), een
tafeltje en een spiegel kopen.
Hij ziet het setje van zijn dromen staan in de WEBA,
maar helaas heeft hij niet genoeg geld bij zich om de 5 artikelen samen te
kopen.
Hij kan wel 4 van de 5 artikelen kopen.
Afhankelijk van zijn keuze kosten 4 artikelen 1264, 1364 of 1800 euro.
Dat kan hij allemaal betalen.
Hoeveel euro kosten de vijf artikelen samen?
Het antwoord en nog veel meer leuke raadsels vind je op http://www.debacker.info/raadsels.asp . Hieronder kan je meteen nog meegenieten van mijn favoriete WEBA-promotieclip.
:
In de bijlage kunt u genieten van een powerpointpresentatie met o.a. enkele bewegende optische illusies.
De oplossing vind je in de bijlage.
Lees de bijlage!
1
Oplossing in bijlage.
