Een wiskundeleraar uit Turijn bleek in de ban van het getal pi te zijn. Zijn beide zonen waren alvast hierdoor een beetje erfelijk belast: de ene was pi-loot, de andere ka-pi-tein.
L. G.
Hieronder staat een pandigitale benadering voor het getal pi. Pandigitaal betekent dat alle cijfers van 1 tot en met 9 precies één keer voorkomen in de uitdrukking. Reken dit maar eens uit met jouw rekenmachine.
Ik was wellicht 8 of 9 jaar toen een oudere vriend me de onderstaande beroemde goocheltoer met 21 speelkaarten leerde.
Laat jouw tegenspeler een kaart kiezen uit een spel van 21 kaarten en laat hem daarna de kaart terug tussen de andere kaarten stoppen. Hierna leg je drie keer na elkaar de 21 kaarten op tafel neer in drie kolommen van 7 kaarten. Laat jouw tegenspeler telkens aanwijzen in welke kolom de gekozen kaart ligt. Verzamel telkens de kaarten in 3 stapeltjes, maar stop de 7 kaarten uit de aangeduide kolom in het midden van de 3 stapeltjes. Nadat je dit 3 keer hebt herhaald, zal de gekozen kaart op de 11de positie van de gehele stapel terecht komen.
Toen ik in het zesde leerjaar zat, leerde iemand me de volgende truc met getallen.
Laat jouw tegenspeler een geheel getal van 5 cijfers opschrijven, waarvan het eindcijfer (cijfer van de eenheden) minstens 2 is. Laat hem daaronder nog een geheel getal van 5 cijfers schrijven. Dan kom jij aan de beurt: schrijf hieronder het getal van 5 cijfers zodat de som van het tweede getal en jouw getal gelijk is aan 99 999. Laat jouw tegenspeler een vierde getal opschrijven. Dan kom jij weer aan de beurt: schrijf hieronder een vijfde getal zodat de som van het vierde en het vijfde getal weer 99 999 is.
Daag dan jouw tegenspeler uit om zo snel mogelijk de 5 getallen bij elkaar op te tellen. Dat is erg eenvoudig voor jou: neem het eerste getal; zet hiervoor een cijfer 2 en verminder het cijfer van de eenheden met 2. Dat is meteen de juiste uitkomst!
Voorbeeld. 72 934 Het eerste getal schrijft de tegenspeler op. 31 904 Het tweede getal schrijft de tegenspeler op. 68 095 Dit getal schrijf jij op: 31 904 + 68 095 = 99 999 23 831 Dit getal schrijft de tegenspeler op. + 76 168 Dit getal schrijf jij op: 23 831 + 76 168 = 99 999 ------------ 272 932 Deze som kan je nu snel berekenen. Neem het eerste getal (72 934), zet een 2 ervoor en trek 2 af van het eindcijfer 4.
Zonet zijn we terug thuisgekomen na een uitgebreide vakantietrip naar Barcelona en omstreken. De sangria, paella, tapas en vooral de Sagrada Familia nodigden uit tot enkele zonnige wiskundige mijmeringen.
Het magisch vierkant van de
Sagrada Familia
Het magisch vierkant gesculpteerd in de gevel Het magisch vierkant in de bronzen toegangsdeur van de kathedraal naast het beeld van de Judaskus (Marcus 14, 45)
Op 310 verschillende manieren kan je 4 getallen kiezen uit het vierkant zodat hun som gelijk is aan 33, de leeftijd waarop Jezus aan het kruis is gestorven.
De getallen 10 en 14 komen in het vierkant twee keer voor. De verklaring hiervoor is te vinden in de numerologie. 10 + 10 + 14 + 14 = 48. De lettercombinatie INRI (Iesus Nazarenus Rex Iudaeorum) verwijst naar Jezus. Bekijk nu even het Latijns alfabet: A B C D E F G H I K L M N O P Q R S T V X. Hierin vind je op positie 9 de letter I op de positie 13 de letter N en op positie 17 de letter R. INRI geeft precies weer 9 + 13 + 17 + 9 = 48.
Ziehier enkele manieren om 33 te vormen als som van 4 getallen uit het magisch vierkant.
Tijdens onze vakantiereis in Spanje genoten we van de kunst van Gaudi, Picasso en Miro
en we namen ook even de tijd voor een bezoek aan Camp Nou,
het legendarische voetbalstadion van FC Barcelona.
In de clubshop gingen de truitjes van de sterspelers Messi, Iniesta en Xavi vlot van de hand.
Momenteel hebben de volgende spelers de rugnummers van 1 tot en met 11: 1. Valdés (doelwachter) 2. Alves 3. Piqué 4. Fàbregas 5. Puyol. 6. Xavi 7. Villa 8. Iniesta 9. Alexis 10. Messi 11. Thiago
Stel dat deze 11 spelers willekeurig één van de 11 truitjes nemen waarop de rugnummers van 1 tot en met 11 staan. Hoe groot is dan de kans dat minstens één speler zijn eigen truitje neemt?
Antwoord. Ongeveer 71,5 %.
Dit probleem werd voor het eerst bestudeerd door Montmort in 1708 en staat bekend als het garderobeprobleem.
Meer hierover en over het verrrasend verband dat dit probleem heeft met het getal e ≈ 2,71828 ... (getal van Euler) lees je in de beide bijlagen.
Tijdens onze vakantietrip naar Barcelona maakten we tijd voor een zomerse cultuurinjectie. Met werken van Gaudi, Miró en Picasso binnen wandelbereik was dit niet echt een probleem.
Gaudi in Park Güell Fundació Joan Miró Picasso langs de straten van Barcelona
Hoe is het gesteld met jouw kennis over deze drie beroemde kunstenaars? We doen even de test aan de hand van 4 meerkeuzevragen.
Vraag 1. Waar werd Pablo Picasso geboren? A. Málaga B. Barcelona C. Madrid D. Valencia
Vraag 2. Waar werd Joan Miró geboren? A. Málaga B. Barcelona C. Madrid D. Valencia
Vraag 3. Welk gebouw in Barcelona is niet van de hand van Gaudi? A. Palau Reial B. Palau Güell C. Casa Battló D. Casa Milà
Vraag 4. Wanneer is men begonnen met de bouw van de Sagrada Familia? A. 1831 B. 1854 C. 1882 D. 1891
Hieronder staat de formule waarmee men meestal de score bij meerkeuzevragen berekent. Per juist antwoord: +1 Blanco: 0 Foutief antwoord: - 1/(N 1) waarbij N het aantal keuzemogelijkheden is per vraag. Deze laatste waarde is de zogenaamde giscorrectie. Hiermee wil men het gokken tegengaan.
Wie op de vier bovenstaande vragen telkens gokt, zal volgens de kansberekening (gemiddeld) één juist antwoord hebben. De behaalde score is dan S = 1 3/(4 1) = 1 1 = 0. Logisch ?!
Hij heeft een houten vierkant bord van 5 meter op 5 meter dat in 25 vakjes van 1 meter op 1 meter verdeeld is. Men vraagt hem nu het bord langs de lijnen in vier stukken te zagen waarmee hij dan een vierkant van 3 op 3 meter en een vierkant van 4 op 4 meter moet vormen. Piet beweert dat hij deze klus gemakkelijk kan klaren omdat 3² + 4² = 5².
Weet jij hoe Piet Agoras dit probleem zal oplossen?
Je krijgt 3 minuten tijd om dit probleem op te lossen.
Luister ondertussen naar één van de vele hits van The Carpenters en geniet mee van de briljante stem van Karen die in 1983 op 32-jarige leeftijd stierf aan de gevolgen van anorexia nervosa.
Ik kwam bijna 50 jaar geleden voor het eerst in contact met de binaire getallen toen onze meester van het zesde leerjaar ons uitlegde hoe de oude Egyptenaren twee getallen met elkaar vermenigvuldigden. Hieronder zie je hoe ze 25 x 31 met een eenvoudig rekenschema oplosten. Voor wie wil weten wat het verband is met de binaire schrijfwijze van getallen: lees de bijlage.
In bijlage zitten ook binaire goochelkaartjes en een ppt-presentatie over 'binair goochelen'.
Heel wat wiskundige paradoxen hebben te maken met het begrip 'oneindig'.
Volgens de paradox van Zeno kan de loper Achilles een schildpad die enkele meters voor hem uit loopt nooit inhalen. Kijk maar even mee naar het volgende filmpje.
En als je wilt bewijzen dat 1 = 2, dan kan dit als volgt.
1 + ∞ = ∞ en 2 + ∞ = ∞ dus 1 + ∞ = 2 + ∞. Trek nu van beide leden ∞ af, dan is 1 = 2.
Een torus is een driedimensionaal omwentelingslichaam dat ontstaat door een cirkel te laten wentelen rond een rechte die zich in het vlak van de cirkel bevindt en waarbij de cirkel deze rechte niet snijdt.
Een (opgepompte) binnenband van een fiets en een donut hebben de vorm van een torus.
Het is een klassieke oefening van integraalrekenen om de oppervlakte A en het volume V van een torus te berekenen.
Spijtig genoeg vinden we in de huidige wiskundehandboeken geen bewijs meer van de regels van Guldin, die toelaten de oppervlakte en het volume van een torus op een eenvoudige manier te berekenen.
Regels van Guldin
De eerste regel van Guldin,
vernoemd naar de Zwitserse wiskundige en astronoom Paul Guldin (1577-1643),
stelt dat de oppervlakte van een omwentelingslichaam
gelijk is aan de omtrek van de om te wentelen figuur maal de lengte van de
cirkel die het zwaartepunt van deze figuur aflegt.
De regel kwam al eerder voor in de
Synagoge van Pappos van Alexandrië (4e eeuw)
en wordt daarom ook wel regel van Pappus genoemd.
De oppervlakte van een torus met omwentelingsstraal van het middelpunt R en straal van de om te wentelen cirkel r is dus
.
De tweede regel van Guldin
stelt dat de inhoud van een omwentelingslichaam
gelijk is aan de oppervlakte van de om te wentelen figuur maal de lengte van de
cirkel die het zwaartepunt van deze figuur aflegt.
De inhoud van de zojuist beschreven
torus kan dus worden gevonden met
.
Doordenkertje: men kan een torus ook bekijken als het ruimtelijk lichaam dat men bekomt door de twee uiteinden van een cilinder samen te voegen. Bereken dan eens de oppervlakte en de inhoud van deze 'genererende' cilinder. Ze blijken exact dezelfde waarde te hebben als bij de torus die eruit ontstaat!
Zoals ik op een andere pagina op mijn blog al liet weten is de cardioïde of hartlijn mijn favoriete vlakke meetkundige kromme.
Op http://users.telenet.be/jci/limacon/cardioide.html vind je een uitgebreide studie van de cardioïde.
Hieronder vind je twee verrassende manieren om een hartlijn te voorschijn te 'toveren'.
WERKWIJZE 1
Teken een cirkel en verdeel de omtrek
in een aantal even lange bogen.
Op de onderstaande tekening zijn dat 30 bogen.
Nummer de verdeelpunten van 0 tot en met 29.
Verbind nu punt 0 met punt 15, punt 2 met punt 16, punt 3 met punt 17 ..
enzovoort.
De omhullende van die verzameling
koorden is dan een cardioïde.
WERKWIJZE 2
Vertrek van een vaste cirkel met
middelpunt A (rood) en neem daarop een punt P.
Neem een vast punt C buiten de
cirkel.
Teken nu de cirkel met middelpunt P die door het vast punt C gaat.
Als P de gegeven cirkel doorloopt, dan is
de omhullende kromme
van die verzameling cirkels precies een
cardioïde.
Wie houdt van wiskundige spelletjes, houdt ongetwijfeld ook van het getal 21.
Wist je dat bij het spel BLOKUS elke speler 21 spelblokjes krijgt?
Bij het casinospel BLACKJACK is het de bedoeling dichter bij 21 te komen dan de bank.
Een dobbelsteen heeft 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 ogen.
Er zijn 21 manieren om koorden te tekenen tussen 5 punten op een cirkel zodat de koorden elkaar niet snijden. Hierbij rekenen wiskundigen ook de 'triviale manier' (geen koorde tekenen). Daarom is 21 een Motzkingetal.
21 komt voor in de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... en in de rij van Padovan: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21 ....
We nodigen je tenslotte uit voor een wiskundige rekenspelletje. Neem er alvast een rekenmachientje bij!
1. Kies een willekeurig geheel getal (voorbeeld 217) 2. Vermenigvuldig dit getal met 21 (217 x 21 = 4 557) 3. Laat het laatste cijfer van dit getal weg (je bekomt nu 455) 4. Vermenigvuldig het bekomen getal met 11 (455 x 11 = 5 005) 5. Trek hiervan het weggelaten cijfer (bij stap 3) af (5 005 - 7 = 4 998) DE UITKOMST IS DAN ALTIJD DEELBAAR DOOR 21 (4998 : 21 = 238).
Droom je ook nog even weg bij het Andante uit het pianoconcerto Nr. 21 van Wolfgang Amadeus Mozart (muziek uit de film Elvira Madigan)?
Het plastisch getal, aangeduid met de Griekse letter ψ (psi), hoort thuis in de verhoudingenleer binnen de architectuur, die werd ontwikkeld door de priester en architect Dom Hans van der Laan (1904-1991). Je kunt dit getal aanzien als het driedimensionale equivalent van het gulden getal φ (phi, het getal van de gulden snede). Het getal ψ voldoet aan de wiskundige vergelijking
Zoals het gulden getal de limiet is van de verhouding van twee opeenvolgende termen in de rij van Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8 ...), zo is het plastisch getal de limiet van de verhouding van twee opeenvolgende termen in de rij van Padovan (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21 ...).
Deze rij getallen P0 ,P1, P2, P3 , P4, ..., Pn, ... is bepaald door P0 =P1 = P2 = 1 en Pn+3 = Pn + Pn+1. Deze rij is genoemd naar de architect Richard Padovan.
Je kunt deze getallen beschouwen als de lengten van zijden van gelijkzijdige driehoeken die zo een spiraal bepalen (zie onderstaande figuur).
Een balkvormige doos met lengte l, breedte b en hoogte h waarbij l : b = h : l = (b + l) : h kan je volgens deze theorie beschouwen als 'de doos met de ideale afmetingen' zoals blijkt uit het rekenwerk in de bijlage, want dan is l = ψb en h = ψl = ψ²b.
De waarde voor ψ (= 1,3247...) werd hier afgerond op 4/3 en de waarde voor ψ² (= 1,7548...) op 7/4.
Galileo Galilei verrichtte rond 1600
baanbrekend werk op het gebied van de kinematica.
Hij wilde weten hoe voorwerpen vallen.
Maar een steen of een metalen kogel valt zó snel dat je dit met het
blote oog nauwelijks kunt volgen
en in die korte tijd zeker geen valtijd kunt opmeten.
Om die val te vertragen werkte hij met een soort valgeul, een licht hellend
vlak waarin hij een ronde kogel omlaag liet rollen.
Hij bouwde een goot, ongeveer vier meter lang, die hij min of meer schuin kon
zetten om die kogel te laten rollen.
Over die goot bracht hij kleine belletjes aan die rinkelden als ze een tik
kregen van de voorbij rollende bal.
Hij verschoof die onderling tot het rinkelen heel regelmatig was: de bal deed
er dan even veel tijd over om van elke bel tot de volgende te rollen.
Hij vond dat de opeenvolgende afstanden tussen de bellen veelvouden waren van
de eerste afstand (die tussen bel 1 en bel 2 dus)
en wel zo dat ze zich verhielden als 3, 5, 7, 9 .. d.w.z. zoals de oneven
getallen dus.
Dat bewees dat de bal, gemeten vanaf de oorsprong (bel 1), afstanden aflegden
die waren zoals
1
1+3 = 4
1+3+5 = 9
1+3+5+7 = 16
enz... dus zoals de kwadraten van de tijden.
En zo kwam hij op de valwet: de valafstand is evenredig met het kwadraat
van de tijd
of in formulevorm s = ½ gt², waarbij g de valversnelling is (ongeveer 9,81
m/s² op aarde).
Stikt genomen geldt de wet enkel in vacuüm, maar bij een zwaar lichaam, zoals
een loden kogel
en afstanden van enkele tientallen meter is de afremming door de lucht te
verwaarlozen.
Galilei sprak ook Aristosteles tegen, die beweerde dat de snelheid van een
vallend voorwerp afhangt van zijn massa.
Zo voorspelde Galilei dat, wanneer men een veer en een hamer tegelijkertijd zou
laten vallen in het luchtledige,
ze terzelfdertijd op de grond zouden neerkomen.
Dit experiment werd door astronaut David Scott in 1971 trouwens uitgevoerd op
de maan
tijdens de missie van Apollo XV, zoals je in het volgende filmpje kunt zien.
Je kan een eigentijdse replica van de valgeul van Galilei zien op de site van het museum voor de geschiedenis van de wetenschappen te Firenze.
Zo zie
je maar dat het soms jaren duurt vooraleer belangrijke wetenschappelijke
vondsten
die met behulp van wiskundige formules werden voorspeld ook daadwerkelijk
experimenteel kunnen aangetoond worden.
En vandaag 4 juli 2012 is het weer zo ver. Het bestaan van het zogaamde
higgsboson is bevestigd!
De
Belgische professoren François Englert en Robert Brout (Université Libre de Bruxelles)
hadden het bestaan ervan reeds in 1964 voorspeld.
Het deeltje werd echter vernoemd naar Peter Higgs,
die enkele weken na Englert en Brout een soortgelijke theorie puliceerde.
Deze Babylonische kleitablet van rond 1800 v. Chr. werd in 1921 in Irak gevonden en heeft het nummer 322 in de catalogus van George A. Plimpton, die ze schonk aan de Columbia University.
De tablet bevat een aantal merkwaardige getallenreeksen in spijkerschrift.
Op lijn 5 staat bijvoorbeeld 1:05 en 1:37. Omdat het hier om het zestigdelig talstelsel van de Babyloniërs gaat, lezen we dit als 1 x 60 + 5 = 65 en 1 x 60 + 37 = 97. Nu is 97² 65² = 5184 en dat is zelf weer een kwadraatgetal, nl. 72².
Op lijn 3 staat 1:16:41 en 1:50:49. Als we dit omzetten naar ons tiendelig talstelsel vinden we 1 x 60² + 16 x 60 + 41 = 4601 en 1 x 60² + 50 x 60 + 49 = 6649. Nu is 6649² 4601² = 23 040 000 = 4800².
Op de tablet staan dus blijkbaar kopppels natuurlijke getallen (c,a) zodat a² c² = b² waarbij b ook weer een natuurlijk getal is. Drietallen natuurlijke getallen (b, c, a) met a² = b² + c² noemt men Pythagoreïsche drietallen omdat ze als lengten kunnen dienenvoor de drie zijden van een rechthoekige driehoek.
Dit is meteen het bewijs dat de Babyloniërs de stelling van Pythagoras kenden lang voordat deze Griekse wiskundige leefde (rond 500 v. Chr.).
Formule voor Pythagoreïsche drietallen: a = u² + v², b = 2uv, c = u² v² (met u en v twee positieve gehele getallen) dan is (u² v²)² + (2uv)² = (u² + v²)²
Meer details over de getallenreeksen op de Plimpton 322 vind je in de bijlage.
De cardioïde (hartlijn) is mijn favoriete vlakke kromme.
Deze
kromme kan men op verschillende manieren construeren:
(1) als een voetpuntskromme (door een vast punt op een cirkel loodrecht te
projecteren op een veranderlijke raaklijn aan deze cirkel);
(2) als een bijzondere epicycloïde (waarbij men de baan volgt van een vast punt
op een cirkel met straal a
die rolt zonder glijden over een vaste cirkel met dezelfde straal);
(3) als omhullende van een familie cirkels. Vertrek hiervoor van een cirkel met
middelpunt O en kies een vast punt B op deze cirkel.
Beschouw nu alle cirkels met middelpunt A op deze cirkels die door B gaan.
De omhullende van deze familie cirkels is de cardioïde.
In de drie bijlagen vind je de technische uitwerking van de drie verschillende manieren om een cardioïde als een meetkundige plaats te bekomen.
We stellen hierbij diverse soorten vergelijkingen op van de cardioïde: parametervergelijkingen, poolvergelijking en cartesiaanse vergelijking.
Later op mijn blog verschijnen trouwens nog drie bijdragen over de cardioïde.
Op de onderstaande tekening zie je hoe men wiskunde heeft toegepast voor het ontwerp van het euroteken. Het gekozen symbool is ontworpen door de Belg Alain Billiet (verklaart dit misschien de naam 'bankbiljet'?).
Ook de tekening op de Europese zijde van de euromunten is een ontwerp van een Belg namelijk van Luc Luycx, een computeringenieur die werkt bij de Koninklijke Munt van België. Zijn initialen (LL) staan op elke euromunt onder de letter O van EURO.
Dat euromuntstukken de vorm hebben van cirkels zal ook geen toeval zijn: geld moet rollen!
Heel wat leuke weetjes over de euro en hoe de euro ons geld is geworden lees je in de bijlage.
Het moiré-effect is een gekende optische illusie (eigenlijk een interferentie-effect) die ontstaat als twee doorzichtige stoffen met lijnen over elkaar heen gelegd worden onder een iets verschillende hoek of wanneer de afstand tussen de lijnen op twee stoffen lichtjes verschilt.
De term komt van het Franse moiré, wat oorspronkelijk een soort zijde was.
Dit effect neem je ook soms waar bij een TV-programma wanneer de presentator een streepjeshemd draagt waarbij de lijnen interfereren met de lijnen op het TV-scherm.
Hieronder kan je meegenieten van een youtube-filmpje dat het moiré-effect op een verrassende manier illustreert.
STRIMKO is een leuk uitdagend logisch cijferspelletje dat wat lijkt op sudoku. Een STRIMKO is een vierkant rooster met n x n cirkeltjes waarin de cijfers van 1 tot en met n moeten ingevuld worden.
Er zijn drie eenvoudige spelregels: - in elke rij moeten alle cijfers één keer voorkomen - in elke kolop moeten alle cijfers één keer voorkomen - in een STRIMKO komen zogenaamde 'streams' voor. Dit zijn verbindingen tussen n cirkeltjes waarin ook alle cijfers één keer moeten voorkomen.
In de onderstaande STRIMKO moet je in de lege cirkeltjes de cijfers van 1 tot en met 4 invullen overeenkomstig de bovenstaande spelregels.
Probeer je eens?
Deze opgave (met de oplossing) en vier andere STRIMKO's vind je in bijlage.
Als kind was ik gefascineerd door de spirograaf, een plastieken sjabloon met een setje tandwieltjes waarmee je fascinerende geometrische figuren kon tekenen.
Pas veel jaren later zou ik ontdekken dat het hier om vlakke meetkundige krommen ging die allemaal een exotische naam hadden en door eminente wiskundige waren ontdekt en bestudeerd. Ik verwijs hiervoor o.a. naar de website http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml.
Op http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/ de wiskundeblog van collega Didier Müller, kwam ik zo een hypotrochoïde tegen. De kromme onstaat op de onderstaande figuur door een punt op het uiteinde van een vast staafje met lengte 5 te volgen dat vastzit in het midden van een tandwiel met straal 3 dat rolt binnen een cirkel met straal 5. Merk op dat de binnenste cirkel dan 3 toeren moet afleggen om de volledige grafiek te beschrijven en dat er dan op de grafiek 5 'toppen' verschijnen.
En blijkbaar is een ellips een bijzonder geval hiervan. Kijk maar (ook in de bijlage voor de wiskundige verklaring)!
![BARCA: Blaugrana flag and team crest [Animated GIF, open thumbnail for animation]](https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/originals/92/aa/ff/92aaff33b2b0e80853ee7f5c76d75c3d.jpg)
Oplossing van het probleem in bijlage.
.
.
