WISKUNDE IN AMSTERDAM

Tijdens de voorbije dagen gingen we even
de Kerstsfeer opsnuiven in Amsterdam.

Samen met vrouwlief Ingrid
in het Amsterdamse begijnhof.

Meteen nodigde het druilerige winterweer uit
om nog eens een ontspannend wiskundeboek
aan te kopen in boekhandel De Dolfijn:

Auteur Alex Bellos is journalist met een fascinatie voor wiskunde en filosofie.
Hij schrijft sinds jaren columns over alledaagse wiskunde in The Guardian.
Door zijn enthousiaste en originele aanpak
zet hij in dit boek heel wat wetenswaardigheden
 over getalstelsels, formules, symbolen en statistiek
helder en heel bevattelijk op een rij.

In hoofdstuk zes heeft hij het over recreatieve wiskunde.
Hierin vermeld hij de beroemdste strikvraag uit de Engels literatuur:

As I was going to St Ives,
I met a man with seven wives.
Every wife had seven sacks,
every sack had seven cats,
every cat had seven kits.
Kits, cats, sacks and wives,
how many were going to St Ives?

Als wiskundige ben je dan geneigd als volgt te redeneren:
7 vrouwen en 7² zakken en 7³ katten en 7⁴  kittens
geeft een totaal van 7 + 49 + 343 + 2401 = 2800.
Maar dan zie je natuurlijk over het hoofd dat jij in de richting van St Ives gaat
en dat de man met de zeven vrouwen in de tegenovergestelde richting loopt!

In dit hoofdstuk staat ook nog een leuke vondst over kubiekwortels
van de Engelse puzzelfanaat Henry Ernest Dudeney:

En nu we het toch over wortels hebben ...

25-12-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Als wiskundige sta je soms verwonderd stil
bij de eenvoud van een bewijs-zonder-woorden.

In de bijlage zit een ppt-presentatie die ik in 2008 op het VVWL-congres heb voorgesteld.

Hieruit haal ik één van de bewijzen-zonder-woorden die daarin aan bod komen.

GESNAPT???

Bijlagen:
BEWIJS ZONDER WOORDEN.ppt (3.1 MB)   

BEWIJS ZONDER WOORDEN

Aansluitend bij de vorige rubriek geven we hieronder een ander bewijs-zonder-woorden voor de formule

  Arctan (1/3) + Arctan (1/2) = π/4.

Arctan (1/3) + Arctan (1/2) + Arctan (1) = π/2

Dit betekent dat de som van de drie gekleurde hoeken (blauw - rood - groen) gelijk is aan 90°

en bijgevolg is dan de som van de blauwe en de rode hoek gelijk aan 45°.

BEWIJS (op de onderstaande figuur)..

GESNAPT???

19-12-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Vlaamse Wiskunde Kangoeroe 2013

De Kangoeroewedstrijd gaat dit schooljaar door op donderdag 21 maart 2013 voor Springmuis en Koala.
De leerlingen voor de edities Wallaroe en Wallabie nemen deel op donderdag 18 april 2013.

Info op: www.kangoeroe.org .

Voor de leerlingen van de eerste graad A-stroom is er nu een bijzondere
Wallabie-brochure beschikbaar die toelaat te oefenen per thema.

Op 18 losse themablaadjes staan telkens 4 proefvragen
rond een concreet onderwerp uit het leerplan van de eerste graad.

De brochure vind je in bijlage.

Een absolute aanrader om met de leerlingen
te  oefenen in probleemoplossend denken.

Bijlagen:
themablaadjes_wallabie.pdf (2.3 MB)   

EEN TABLET VOOR IEDEREEN?

De opmars van iPads en alle soorten andere tablets in het onderwijs lijkt niet meer tegen te houden.
Dit schooljaar experimenteren reeds heel wat Vlaamse scholen hiermee
en voor volgend schooljaar overwegen nog veel meer scholen
om te starten met een pakket van 10-20 tablets.

Het kiezen van didactisch verantwoorde Apps is hierbij een fundamenteel probleem.

Op de website van de AT-scholen vind je reeds een praktisch overzicht van educatieve Apps voor de iPad:
http://website.atscholen.nl/de_organisatie/ict_innovatie/ipads/Paginas/Ipads_in_het_onderwijs.aspx .

Het is nu al duidelijk dat er heel wat kan en wellicht ook zal veranderen
in de didactiek en het lessenverloop (ook voor het vak wiskunde!).

Maar vergeet niet dat een tablet maar één van de didactische hulpmiddelen is
en dat de rol van de leraar in het gehele leerproces essentieel blijft.

14-12-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

PARADOX

12 = 13

Stel dat een elftal uit 12 spelers mag bestaan.
Wat zou er dan nog verkeerd kunnen gaan?
Het antwoord zie je hierboven al misschien:
eerst waren ze met 12 en toen plots met 13.
Of heb je deze paradox al vlug doorzien?

(op mijn blog geplaatst op de 13de van de 12de maand )

13-12-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Vlaamse leerlingen uit het vierde leerjaar scoren uitstekend voor wiskunde.
Met hun wetenschappelijke kennis en vaardigheden gaat het minder goed.
Dat blijkt uit Trends in Mathematics and Science Study 2011 (TIMMS).
Dat internationale onderzoek vergelijkt de prestaties van leerlingen in wiskunde en (natuur-)wetenschappen.

De gemiddelde wiskundescore van de Vlaamse leerlingen is uitstekend.
Vlaanderen behaalt een zevende plaats en scoort beduidend hoger dan het gemiddelde.
Enkel vijf Aziatische landen (Singapore, Korea, Hong Kong, Taipei en Japan) en Noord-Ierland doen beter.

Vlaamse zijn leerlingen bijzonder sterk in het ‘kennen’, maar een stuk minder in toepassen en redeneren.
Bovendien is er relatief weinig verschil tussen de zwakste en de sterkste leerlingen.

Zo goed als alle Vlaamse leerlingen (99 procent) halen de laagste standaard.
Slechts 10 procent daarentegen behaalt de gevorderde standaard.
Ten opzichte van 2003 zijn de wiskundeprestaties op peil gebleven.

Alleen doen jongens het nu beduidend beter dan meisjes.
In 2003 deden jongens en meisjes het even goed.

In bijlage vind je de vrijgegeven wiskundevragen (met commentaar) uit deze peilproef.
Bron: KLASSE en http://ppw.kuleuven.be/o_en_o/COE/timss2011.
Hoeveel los jij er correct op?

Bijlagen:
TIMMS-wiskundevragen.pdf (6 MB)   

Op woensdag 12 december 2012 (12-12-12)
nam Kim Klijsters definitief afscheid van het tennis.
In haar afscheidswedstrijd in het Antwerps sportpaleis
versloeg ze Venus Williams in twee sets (6-3 en 6-3).

Merci Kim!



Meteen een gelegenheid om hieraan mijn wiskundig lievelingsprobleempje over tennis te koppelen.

Aan een tornooi nemen 128 tennissers deel.
Via loting wordt bepaald wie tegen wie speelt.
Er wordt gespeeld met rechtstreekse uitschakeling:
de winnaar van een duel gaat door naar de volgende ronde
en de verliezer is meteen uitgeschakeld.
Hoeveel wedstrijden zullen er totaal worden gespeeld?

Eerste oplossing.
In de eerste ronde worden er 64 wedstrijden gespeeld
en dan blijven er nog 64 spelers over.
In de tweede ronde zijn er dan 32 wedstrijden
en er blijven dan nog 32 spelers over.
Enzovoort ...
Dit geeft in totaal 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127 wedstrijden.

Tweede (en creatieve!) oplossing.
Na elke wedstrijd valt één speler af.
Aangezien er uiteindelijk één speler over blijft (de winnaar van de finale)
moeten er 127 'afvallers' zijn en dus ook 127 wedstrijden.

Kim demonstreert nog graag eens haar ongeëvenaarde spreidstand.

12-12-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De 'Volgens Bartjens Rekenkalender 2013' is een scheurkalender
met voor elke dag van 2013 een rekenvraagstukje
waarmee je de dag op een wiskundig verantwoorde manier kunt beginnen.

Ziehier de  proefvraag van 23 januari 2013.

Het antwoord en de andere vragen van de maand januari vind je in bijlage.
De rekenkalender kan je (nu met korting!) online bestellen via
http://www.volgens-bartjens.nl .

Bijlagen:
Rekenkalender-2013-januari.pdf (2.9 MB)   

Het allerkleinste: van atoomtheorie tot nanofysica

Wetenschappers stellen wiskundige modellen op waarmee ze proberen te verklaren
waar we vandaan komen en waar we naartoe gaan.

De Oude Grieken stelden zich reeds de vraag wat de kleinste materiedeeltjes konden zijn.
Zo bedacht Demokritos het atoommodel (ἄτομος = ondeelbaar).
In de twintigste eeuw probeerden wetenschappers zoals Niels Bohr 
via de quantummechanica het gedrag te beschrijven van hele kleine deeltjes,
die niet meer de gewone wetten van de fysica volgden die Newton had ontdekt.

Nu ontwikkelt zich de nanofysica die op zoek gaat naar de allerkleinste deeltjes 
(een nanometer is een miljardste deel van een meter;νανος = het Griekse woord voor dwerg)
en waarmee men hoopt een antwoord te vinden op de vraag
wat de donkere materie precies is en hoe de zwaartekracht werkt.
In die context was de ontdekking van het Higgs-deeltje dit jaar wereldnieuws.

In de onderstaande video legt  Robbert Dijkgraaf, een expert op het gebied van de snaartheorie
in 45 minuten en op een aanschouwelijke manier uit
hoe ver de wetenschap staat in de speurtocht naar Het Allerkleinste.

Veel kijkplezier!

30-11-2012 om 16:47 geschreven door Luc Gheysens  

De oerknal: 13,7 miljard jaar in 45 minuten

Wetenschappers stellen wiskundige modellen op waarmee ze proberen te verklaren
waar we vandaan komen en waar we naartoe gaan.

In de 20ste eeuw bestudeerden astronomen het spectrum van sterrenstelsels
en namen hierin een roodverschuiving waar.
Dit wees erop dat sterrenstelsels steeds verder en sneller van elkaar weg zouden bewegen.
Edwin Hubble kwam zo in 1929 tot een bevestiging van het feit dat het heelal zou uitdijen.
Het was de Belgische priester-astronoom Georges Lemaître
die in 1931 het idee lanceerde van de oerknal (Big Bang).

Volgens recente berekeningen zou ons heelal 13,7 miljard jaar oud zijn.
En volgens de snaartheorie is het best mogelijk dat er meer dan één heelal bestaat.

Robbert Dijkgraaf, een gerenommeerde Nederlandse snaartheorist
legt in de onderstaande video op een bevattelijke manier uit
hoe men tot het idee van de oerknal is gekomen.
En uiteraard mag ook Einstein in dit verhaal niet ontbreken.

Veel kijkplezier!

30-11-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Op deze foto zie je Felix Baumgartner
net voor zijn sprong op 14 oktober 2012 vanop ongeveer 39 km hoogte
uit een capsule die bevestigd is aan een heliumballon.

Deze Oostenrijkse skydiver ging toen als eerste mens
tijdens een sprong door de geluidsbarrière.

Maar kan jij (met behulp van een rekenmachientje) het volgende vraagstukje oplossen?

Dit was vraag 7 uit de finale van het 'Bartjens Rekendictee 2012'.
De andere uitdagende en actuele vragen met de oplossingen vind je in de bijlage.

Bron: http://www.bartjensrekendictee.nl/

Bijlagen:
Finale Bartjens Rekendictee 2012 vragen en antwoorden.pdf (72.2 KB)   

SCHUIFKNOPPEN EN FUNCTIES

Voor iPadgebruikers is er nu de gebruiksvriendelijke App 'Math Flyer'
die toelaat de invloed van parameters in functievoorschriften te bestuderen.
Hieronder zie je een demo waarbij men de invloed onderzoekt van m en b 
in de algemene vergelijking y = mx + b van een rechte.

Met Math Flyer kan je ook de oplossingenverzameling van ongelijkheden visualiseren.

Leuk en erg gebruiksvriendelijk!



Meer info op http://www.shodor.org/mathflyer/

25-11-2012 om 12:21 geschreven door Luc Gheysens  

www.desmos.com


DESMOS is een grafische rekenmachine die je gratis en online kunt gebruiken op jouw computer of tablet.
Reeds in 169 landen zijn er gebruikers van deze praktische en eenvoudig te bedienen rekenmachine.

Op de voorbije Dag van de Wiskunde van 24 november 2012 aan de KU Leuven Kulak te Kortrijk
gaf collega Björn Carreyn hierover een werkwinkel.
Hij toonde aan hoe men hiermee kan werken aan een leerlijn over functies
via coördinaten, evenredige verbanden, eerstegraadsfuncties, tweedegraadsfuncties ...

De mogelijkheden van DESMOS zijn onbeperkt.
Bekijk maar eens het onderstaande (Engelstalige) introductiefilmpje.

In bijlage vind je een syllabus die als introductie kan dienen. Met dank aan Björn!
Contactgegevens: bjorn.carreyn@me.com

Bijlagen:
desmos_syllabus (Björn Carreyn).pdf (5.7 MB)   

HET PLOBLEEM VAN DE DLIE CHINEZEN

Ziehier een doordenkertje
voor wie houdt van logische problemen.

Op de foto staan de Chinezen Chen, Li en Huang.
Chen nooit liegt, Li liegt soms en Huang liegt altijd.
Wie is dan de Chinees die in het midden staat?

Oplossing.
Aangezien Chen nooit liegt, kan hij niet in het midden of rechts op de foto staan.
Chen staat dus links en Li in het midden.

Dit probleem en veel andere leuke denkoefeningen (met de oplossingen!)
vind je op
http://aalst.kahosl.be/projecten/probleemoplossend-denken-wiskunde/werkbladenoplossingenindexderdegraad.htm  .

Met dank aan Tim Schamp en Kenny Van Nieuwenhove.

25-11-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

MICROSOFT MATHEMATICS

http://www.microsoft.com/nl-nl/download/details.aspx?id=15702

Wist je dat Microsoft een CAS-systeem (computer algebra systeem) heeft ontwikkeld
met een aantrekkelijke lay-out die doet denken aan een grafisch rekentoestel?

Het programma is gratis en erg gebruiksvriendelijk.
De mogelijkheden zijn zeer ruim:
- alle soorten wiskundig rekenwerk;
- oplossen van vergelijkingen;
- oplossen van driehoeken;
- beschrijvende statistiek en kansrekenen;
- differentiaal- en integraalrekenen;
- grafieken in cartesische en poolcoördinaten zowel 2D als 3D;
- en nog veel meer ...

Op de voorbije Dag van de Wiskunde van 17 november 2012 aan de KU Leuven Kulak in Kortrijk
gaf collega Paul Decuypere hierover een werkwinkel.

Zijn syllabus vind je in bijlage.
Met dank aan de auteur!

Bijlagen:
Syllabus Microsoft Wiskundehulp.pdf (1.9 MB)   

Wist je dat er een verband bestaat tussen het getal pi
en de kans dat een roosterpunt
zichtbaar is vanuit de oorsprong?

Een roosterpunt is een punt P(x, y) in het vlak waarbij x en y gehele getallen zijn.
Zo is bijvoorbeeld het punt A(2,3) zichtbaar vanuit de oorsprong O(0,0)
maar de punten B(4,6) en C(-3,-9) niet
omdat ze worden 'afgeschermd' door het punt A.

Een roosterpunt is bijgevolg zichtbaar vanuit O
als zijn twee coördinaatgetallen x en y onderling ondeelbaar zijn
(een doordenkertje!).

Nu is de kans dat twee willekeurig gekozen gehele getallen onderling ondeelbaar zijn gelijk aan 6/π².
Dit is een direct gevolg van een geniale formule van Euler
die had ontdekt dat er een verband bestaat tussen de Riemann-zèta-functie en priemgetallen.
Je leest alles hierover in de Engelstalige bijlage.

In het onderstaande filmpje van de hand van Prof. Tom M. Apostol
leer je nog een paar leuke dingen over pi.
In het laatste deel van het filmpje komt het verband tussen pi en de roosterpunten aan bod.

Bijlagen:
Pi en zichtbare roosterpunten - bewijs.pdf (120.7 KB)   

Het pakket YENKA (gratis voor thuisgebruik) bestaat uit verschillende modules.
Naast onderdelen voor informatica en wetenschappen zijn er ook enkele modules voor wiskunde:
meetkunde, ruimtemeetkunde, gebruik van coördinaten, statistiek en kansrekenen.

Het pakket is vrij eenvoudig in gebruik en heeft bovendien een aantrekkelijke lay-out.
Het richt zich voornamelijk tot leerlingen van de eerste en de tweede graad (12 tot 16 jaar).



© 2010 Crocodile Clips Ltd


Vooral het onderdeel ruimtemeetkunde biedt ruime mogelijkheden
die niet in andere (gratis) programma's voorkomen.

Een syllabus over Yenka (met dank aan collega Paul Decuypere) zit in bijlage.



Info op http://www.yenka.com/ 
en
http://www.yenka.com/nl/Home/ (Nederlandstalig)

Bijlagen:
Syllabus Yenka.pdf (1.2 MB)   

Het probleemoplossend denken is een belangrijk aandachtspunt
in de eerste graad van het secundair onderwijs.

Vanuit de leerplannen komt dan ook de aanbeveling
om bijvoorbeeld te werken met een PROBLEEM VAN DE WEEK.

Op de website http://aalst.kahosl.be/projecten/probleemoplossend-denken-wiskunde/index.htm
verzamelden Tim Schamp en Kenny Van Nieuwenhove
in het kader van hun studies voor onderwijzer Lager Onderwijs aan de Kaho Sint-Lieven te Aalst
een aantal haalbare probleempjes voor alle graden van het lager onderwijs.

De probleempjes voor de derde graad kunnen we meteen ook aanbevelen
voor de leerlingen van de eerste graad secundair onderwijs.
Hieronder staat een voorbeeld uit hun collectie.

Suske en Wiske

 Op het prentje zie je Wiske rennen.
Hoeveel keer groter zou ze in werkelijkheid zijn?

A: minder dan 34 keer.

B: tussen 34 en 40 keer.

C: tussen 40 en 46 keer.

D: tussen 46 en 52 keer.

E: meer dan 52 keer.

15-11-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De grafische kunstenaar M.C. Escher was op het tijdstip van mijn geboorte
bezig met het afwerken van zijn litho 'Relativiteit'
die later heel wat kunstenaars zou inspireren.

Dit is meteen ook mijn favoriete Eschertekening.



© The M.C. Escher Company B.V. -Baarn-Holland

Hierover gaf Escher de volgende toelichting:

'Drie zwaartekrachten werken hier loodrecht op elkaar.
Drie aardoppervlakken snijden elkaar rechthoekig en op elk van hen leven mensen.
Twee bewoners van verschillende werelden kunnen niet op eenzelfde vloer lopen, zitten of staan,
want hun noties van wat horizontaal en wat vertikaal is, zijn niet dezelfde.
Maar wel kunnen zij samen dezelfde trap benutten.
 Op de bovenste hier afgebeelde trap bewegen twee personen zich naast elkaar in dezelfde richting voort.
Toch daalt de ene naar beneden en klimt de andere naar boven.
Contact tussen beiden is uitgesloten, omdat zij in verschillende werelden leven en dus niet van elkaars bestaan kunnen afweten.'


De tekening deed me meteen denken aan de relativiteitstheorie van Einstein 
en aan de tekst van Leonardo da Vinci
waarmee Godfried Bomans zijn boekje 'Erik of Het klein insectenboek' begint:

‘Noi tutti siamo asiliati, viventi entro la cornici di uno strano quadro. Chi sa questo, viva da grande. Gli altri sono insetti.’
‘Wij zijn alle ballingen, levend binnen de lijsten van een vreemd schilderij. Wie dit weet, leeft groot. De overige zijn insecten.’
 
Beweeg je (via de muisbesturing) even mee in een vreemde Escheriaans 3D-wereld?



Bron: http://www.360cities.net/nl/image/tribute-to-escher#707.92,90.00,110.0

11-11-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens