POLYGONE RING



Onder een polygone ring versta ik het vlak gebied
ingesloten tussen twee concentrische regelmatige veelhoeken
zoals op de bovenstaande figuur.

De oppervlakte A van een dergelijke ring met breedte h begrensd door twee regelmatige n-hoeken met zijden z en Z
is uiteraard gelijk aan de som van de oppervlakten van n trapeziums en is bijgevolg gelijk aan

en dit is precies de halve breedte h van de ring vermenigvuldigd met de som van de omtrekken van beide veelhoeken.

OPGAVE

25-06-2015 om 15:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*******************************************************************************
35

Wrong sum - Luc Janus

Zelfs Philippe Muyters, voormalig Vlaams minister van Financiën en Begroting wist dat 35 + 72 = 117.

*********************************************************************************

35 is een viervlaksgetal (1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35)

*********************************************************************************

Er zijn 35 verschillende hexomino's.

Weet jij hoeveel van deze figuren tot een kubus kunnen gevouwen worden? 

22-06-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In the summertime - Luc Janus

21-06 : het begin van de zomer en wellicht voor heel veel studenten ook (bijna) het einde van de examens.

Tijd dus voor een zomers telprobleempje.

Op de onderstaande figuur zie je dat 1 cirkel het vlak in 2 gebieden verdeelt
en dat 2 cirkels het vlak in 4 gebieden kunnen verdelen
en dat 3 cirkels het vlak in 8 gebieden kunnen verdelen
en dat 4 cirkels het vlak in 14 gebieden kunnen verdelen.

Maar hoeveel gebieden kunnen er ontstaan bij 5 cirkels?

Tel dit even na, luister ondertussen naar de zomerse hit van Hobby Horse
en vergelijk dan jouw oplossing met de formule in de bijlage.

Bijlagen:
Formule van Euler voor een samenhangende graf.pdf (48.1 KB)   

VIERKANTEN EN CIRKELS IN DE KUNST

Op mijn blog vind je heel wat opgaven en toepassingen met cirkels en vierkanten.

Deze twee vlakke meetkundige figuren blijven me immers fascineren.

Daarom zet ik hier graag ook eens 4 = 2 + 2 = 2 x 2 = 2² 'passende' kunstwerken in de kijker.

Sandy Seated in a Square, Richard McDermott Miller (1967)

Several Circles, Wassily Kandinsky (1926)

Spiegelingen, een kunstwerk van Peter Raedschelders in de stijl van M.C. Escher.                        
 http://raedschelders.webs.com/

 4! (lees: vier-faculteit) van wiskunstenaar Wim van den Camp.
http://wimvdcamp.exto.org/
Kan je de titel van zijn werk verklaren? 

Digital Art by Zach Saucier

20-06-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

  

Wat zoekt een student op een examen wiskunde
wanneer hij naar boven kijkt?
INSPIRATIE

Wat zoekt een student op een examen wiskunde
wanneer hij naar beneden kijkt?
CONCENTRATIE

En wat zoekt een student op een examen wiskunde
wanneer hij naar links of naar rechts kijkt?
INFORMATIE

  

16-06-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*****************************************************************************

0

Null vector - Luc Janus

*********************************************************************************************

Als je de vier zijden van een willekeurige convexe vierhoek met een vector voorstelt (zie figuur),

dan blijkt de som van deze vier vectoren altijd gelijk te zijn aan de  nulvector.

*********************************************************************************************

Waarom is 0! (nul-faculteit) gelijk aan 1?

Voor een positief geheel getal n is n! (n-faculteit) gelijk aan n(n – 1)!

Stel hierin n = 1 dan blijkt dat 1! = 1 x 0! en aangezien 1! = 1 is 0! = 1.

**********************************************************************************************

In de tempel van Gwalior in India vinden we de oudste afbeelding van het cijfer 0.

Je ziet het middenin de bovenstaande foto in het getal 270.

************************************************************************************************ 

15-06-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Vlaamse wiskundige Stefaan Vaes neem de Francqui-prijs in ontvangst

Vandaag 9 juni 2015 heeft wiskundige Stefaan Vaes (KU Leuven) in Brussel de Francqui-Prijs 2015
uit handen van koningin Mathilde ontvangen voor zijn grensverleggende onderzoek naar von Neumannalgebra’s.

Professor Stefaan Vaes (39) focust in zijn werk op de structuur en classificatie van operatorenalgebra’s.
Hij slaagde erin krachtige oplossingen te bereiken in de classificatie van wiskundige structuren die ontstaan zijn vanuit de kwantummechanica.
Hij bracht ze op een niveau waar ze een impact hebben op andere fundamentele domeinen van de wiskunde.

Koningin Mathilde overhandigde het diploma en graaf Frédéric Francqui de medaille.
Ook minister Alexander De Croo (Open Vld), Senaatsvoorzitter Christine Defraigne (MR)
en rector Rik Torfs van de KU-Leuven woonden de plechtigheid in het Paleis der Academiën bij.

Na de ontvangst benadrukte professor Vaes het nut van de wiskunde in het begin van de lange innovatieketen,
terwijl de toegepaste wetenschappen aan het einde meer zichtbaarheid krijgen.
De laureaat dankte de koningin voor de eer en verwees ook naar het belang dat de koninklijke familie
en in het bijzonder koning Albert I steeds geschonken hebben aan de wetenschappen.

Elk jaar reikt de Francqui-Stichting een bedrag van 250 000 euro uit,
beurtelings aan een wetenschapper uit de exacte wetenschappen,
de humane wetenschappen en de biologische en medische wetenschappen.

09-06-2015 om 14:24 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*****************************************************************************

100 en 1 

Foxes and cats - Luc Janus

**************************************************************************************************

 ***************************************************************************************************

De vos en de kat is een sprookje van de gebroeders Grimm.
De oorspronkelijke naam is Der Fuchs und die Katze.
Wellicht kwam dit verhaal al voor in de Latijnse literatuur (fabels van Aesopus).

Moraal van het verhaal: beter één uitvoerbaar plan dan honderd theoretische plannen.

08-06-2015 om 11:24 geschreven door Luc Gheysens  

MENSEN IS MISSELIJK

Een wiskundeleraar uit Cadzand
maakte fouten aan de lopende band.
Toen een collega bij hem informeerde
of hij soms miskunde doceerde
liep het aardig uit de hand.
                                                   

WISKUNDE of MISKUNDE?

De examens staan weer voor de deur en er zal wellicht weer aan de lopende band gezondigd worden tegen rekenregels.

Vraag eens aan jouw leerlingen of ze  alle juiste uitdrukkingen in het onderstaande lijstje kunnen aanstippen.
Benieuwd ...

Een afdrukversie hiervan zit in bijlage.

Een wiskundestudent uit Drachten
maakte rekenfouten met karrenvrachten.
Zijn sommen lukten nog aardig
maar al zijn producten waren merkwaardig:
hij leerde nooit rekenen met machten.

     

Bijlagen:
Foutenanalyse.pdf (85.4 KB)   

DOBBELSTEENRAADSELTJE

Weet jij hoeveel ogen er zichtbaar zijn
op de middelste dobbelsteen
zodat er hier een logisch patroon ontstaat?

Hint. a + b = c.

06-06-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Mijn studenten hadden heel wat moeite om de formules te onthouden
voor de manteloppervlakte van een kegel en een afgeknotte kegel.
Nochtans blijkt er een verrassende overeenkomst te zijn
tussen die twee formules en de formules voor de oppervlakte
van een driehoek en een trapezium
waarin de hoogte wordt vervangen door het apothema
en waarbij voor de (kleine en grote) basis de omtrek van een cirkel wordt genomen.

Merk op.
Bij een kegel met hoogte h is a² = h² + r²
en bij een afgeknotte kegel met hoogte h is a² = h² + (r₂ - r₁)².

't Is maar hoe je het bekijkt!

05-06-2015 om 09:38 geschreven door Luc Gheysens  

Dat het in de vlakke meetkunde wemelt
van de mooie stellingen en eigenschappen
kan je zelf gaan ontdekken op www.gogeometry.com .

Graag presenteren we hier een verrassende eigenschap
die verband houdt met het hoogtepunt van een willekeurige driehoek
en waarvan het bewijs vrij eenvoudig is.

De hoogtelijnen van een  driehoek ABC
verdelen de driehoek in zes driehoeken.
Als a, b , c, d , e en f de stralen zijn van de ingeschreven cirkels
van deze zes driehoeken (zoals op de figuur)
dan is a.b.c = d.e.f.

© Antonio Gutierrez

Bewijs.
De driehoeken AFH en CDH zijn gelijkvormig (waarom?).
Daarom is a : d = |AH| : |CH|
Om een analoge reden is dan b : e = |BH| : |AH| en c : f = |CH| : |BH|.
Hieruit volgt dan direct dat (a.b.c) : (d.e.f) = 1.

04-06-2015 om 09:27 geschreven door Luc Gheysens  

COCKTAILRAADSEL

Op een cocktailparty laat men 50 studenten geblinddoekt proeven van 4 verschillende cocktails.
Er wordt hen vooraf gezegd dat één ervan op basis van rum is, één op basis van gin,
één op basis van vodka en één op basis van whisky.
Na het proeven blijkt dat elke student minstens één keer juist heeft geraden;
 10% van de studenten heeft precies één keer juist geraden
en 20% van de studenten heeft precies twee keer juist geraden.
Weet jij  nu ook hoeveel studenten precies 3 keer juist hebben geraden
en hoeveel ze alle 4 juist hebben geraden?

TIP: de oplossing is niet 30% en 40%.

02-06-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*******************************************************************************
73

The Best Number - Luc Janus

*************************************************************************************

Schrijf een getal op van 4 cijfer en schrijf dit getal er nog eens achter

zodat je een getal bekomt van de vorm abcdabcd.

Dit getal is altijd deelbaar door 73.

Voorbeeld. 13571357 : 73 = 185909

Weet je ook waarom zo'n getal steeds deelbaar is door 73?

TETRAËDERGETALLEN

Een tetraëder is een vierzijdige piramide.
Op de bovenstaande afbeelding zie je hoe men dan komt tot de rij van de tetraëdische getallen of tetraëdergetallen
die een uitbreiding zijn van de diehoeksgetallen 1, 3, 6, 10 ... (zie elders mijn blog).

Merk op dat het n-de tetraëdergetal de som is van de eerste n driehoeksgetallen:

1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 6 = 10
1 + 3 + 6 + 10 = 20
enzovoort ...

De driehoekgetallen en de tetraëdergetallen duiken ook op in de driehoek van Pascal.
Het n-de driehoeksgetal D_n en het n-de tetraëdergetal T_n 
zijn immers gelijk aan een binomiaalcoëfficiënt:

In de bijlage leiden we de formule voor T_n af uit het feit dat
T_n = D₁ + D₂ + ... + D_n .

Bijlagen:
Bewijs van de formule voor het n-de tetraëdergetal.pdf (155.7 KB)   

DRIEHOEKSGETALLEN EN KWADRATEN

Hieronder staan de eerste zes driehoeksgetallen afgebeeld
en de algemene formule voor het n-de driehoeksgetal.

Hiermee bewijzen we een eenvoudige eigenschap:
het achtvoud van een driehoeksgetal vermeerderd met één is gelijk aan het kwadraat van een oneven getal.

Kan je dit algebraïsch bewijzen?
Hint.  8T_n + 1 = (2n + 1)²

Hieronder stellen we een 'Grieks' bewijs voor 'zonder woorden'.

Gezien?

28-05-2015 om 10:22 geschreven door Luc Gheysens  

Kan het dat  ½ = 1 ?

Wie zei daar ook weer dat biologie de enige wetenschap is
waarvoor delen hetzelfde is als vermenigvuldigen?

27-05-2015 om 10:28 geschreven door Luc Gheysens  

Stelling van Ptolemaeus en formule voor sin (α + β)

Hieronder zie je hoe de formule voor sin (α + β) direct volgt uit de stelling van Ptolemaeus.

Gesnapt?

27-05-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

FORMULE VOOR sin(α + β)

Hieronder staat een 'bewijs zonder woorden' voor de somformule

Is dit een algemeen bewijs (d.w.z. voor willekeurige hoeken α en β) ?

Gezien?

26-05-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal  op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************
181

Crickets - Luc Janus

*********************************************************************************************************

In 1913 botste Ramanujan, het wiskundig genie uit India op een merkwaardige Diofantische vergelijking:

2ⁿ  – 7 = x².

Een diofantische vergelijking is een vergelijking waarbij men zoekt naar positieve gehele oplossingen.

In 1948 loste de Noorse wiskundige Trygve Nagell deze vergelijking op en toonde aan
dat er geen oplosssing voor x bestaat die groter is dan 181.
Hij toonde meteen aan dat er slechts vijf koppels (n, x) aan de vergelijking voldoen:

(3, x₁), (4, x₂), (5, x₃), (7, x₄) en (15, x₅).

Kan je telkens de bijhorende x-waarde bepalen?

*********************************************************************************************************

181 is een palindroompriemgetal (een priemgetal dat achterstevoren gelezen gelijk blijft).

Met 179 vormt 181 een priemtweeling.

181 = 91² – 90² = 9² + 10²

181 =  29 + 31 + 37 + 41 + 43 (de som van vijf opeenvolgende priemgetallen)

*********************************************************************************************************

Een klaslokaal (zie onderstaande figuur) heeft een oppervlakte van 181 m².
Kan je de (gehele) waarde van x bepalen zonder rekentoestel?

*********************************************************************************************************

The Crickets (De Krekels) was de begeleidingsgroep van het rock-'n-rollfenomeen Buddy Holly.
De groep had na het wegvallen van Buddy Holly enkele bescheiden hits waaronder dit 'vergeten' My little girl (1963).
The Beatles (beetle = kever) werden bij de naamkeuze van hun groep geïnspireerd door The Crickets, die ze erg bewonderden.
Paul McCartney kocht in 1976 trouwens de rechten op van alle Holly-composities.

25-05-2015 om 10:33 geschreven door Luc Gheysens