NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

********************************************************************************************************************
396

Solvable - Luc Janus

********************************************************************************************************************

Bij het begin van het schooljaar past een eenvoudig wiskundig vraagstukje.

07-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

www.math4all.nl

Deze Nederlandse vernieuwde website heeft heel wat te bieden voor docenten en studenten.

Het beschikbaar materiaal is netjes geordend in diverse rubrieken:

Math4all schenkt ook heel wat aandacht aan wiskundig redeneren en probleemoplossend denken.

Ziehier twee klassieke uitdagende vraagstukjes.

Kan jij ze allebei oplossen?

Oplossingen en meer vraagstukken in bijlage.

Bijlagen:
Probleemoplossend denken Math4all.pdf (321.5 KB)   

De som van de eerste n oneven positieve gehele getallen is een kwadraatgetal (gnomon-formule):

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n².

Hieronder zie je een bewijs zonder woorden van de uitgebreide gnomon-formule:

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) + (2n + 1) + (2n – 1) + ... + 5 + 3 + 1 = n² + (n + 1)².

04-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Factorial! - Luc Janus

EEN MERKWAARDIGE FACULTEITENSOM

Als je weet dat 0! = 1 en 1! = 1 en 2! = 2 en 3! = 6 en 4! = 24 ... en n! = 1 · 2 · 3 · ... ·  n (product van de eerste n positieve gehele getallen),

dan kan je gemakkelijk controleren dat

0 · 0! = 1! – 1

0 · 0! + 1 · 1! = 2! – 1

0 · 0! + 1 · 1!  + 2 · 2!  = 3! – 1

0 · 0! + 1 · 1!  + 2 · 2!  + 3 · 3! = 4! – 1

en in het algemeen geldt dan dat

Maar kan je dat ook bewijzen (via volledige inductie)?

03-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

SOM VAN DE OMGEKEERDE DRIEHOEKS- EN VIERVLAKSGETALLEN

In de driehoek van Pascal ontdek je direct waar de driehoeksgetallen en de viervlaksgetallen staan

en het verband tussen beide soorten getallen toont men gemakkelijk aan via de formule van Stifel - Pascal:

Men kan het verband uiteraard ook rechtstreeks bewijzen als men de somformule kent

voor de eerste n natuurlijke getallen en hun kwadraten:

Meer uitleg staat in de bijlagen.

Naar aanleiding van de bijdrage op mijn blog over de driehoeksgetallen (28-07-2015) 

herinnerde collega Wim Haazen me eraan dat er ook leuke formules bestaan voor de som van de omgekeerden van de driehoeks- en viervlakgetallen.

Hopelijk kunnen de bijlagen rekenen op een beetje enthousiasme!

Bijlagen:
Som omgekeerden van de driehoeksgetallen.pdf (197.3 KB)   
Som omgekeerden van de viervlaksgetallen.pdf (190.5 KB)   
Verband driehoeksgetallen en viervlaksgetallen.pdf (363.3 KB)   

WE DUIMEN VOOR EEN ENTHOUSIASTE START VAN HET NIEUWE SCHOOLJAAR!

Onze (West-Vlaamse !) minister van onderwijs Hilde Crevits wil bij het begin van het nieuwe schooljaar
alle leerlingen (en uiteraard ook de leerkrachten en ouders) een hart onder de riem steken.

Bron: Het Nieuwsblad

Hilde getuigt: “Aan al wie het moeilijk soms moeilijk heeft
en zich afvraagt waar school allemaal goed voor is,
kan ik zeggen: ik heb exact hetzelfde meegemaakt.
Maar laat dat je niet tegenhouden en durf voor je eigen mening op te komen.
Leerlingen hebben het recht om de dingen in vraag te stellen
en leraars moeten daar begrip voor hebben.”

Op de vraag welke leraar haar het meest heeft geïnspireerd en waarom, antwoordt Hilde:
“Mijn leraar wiskunde in het vijfde en zesde middelbaar.
Hij gaf op een heel volwassen manier les.
Ik had dat net nodig, ik snakte naar dat niet-schoolse.
Hij was ook nooit kwaad. De beste straf volgens hem was sociale druk:
als iemand in de klas lastig was, begon hij sneller op het bord te schrijven ..
Een goede manier om leerlingen uit te dagen.”

01-09-2015 om 08:53 geschreven door Luc Gheysens  

Niet alleen wiskunde, maar ook fietsen blijkt gezond te zijn voor het hart.
Op www.ehct.be  verneem je meer over de EURO HEART CYCLING TOUR.

Het doel van de EURO HEART CYCLING TOUR
is om het belang van lichaamsbeweging in het algemeen – en fietsen in het bijzonder – te onderstrepen
in de preventie tegen hart- en vaatziekten.
Een gezonde en evenwichtige levensstijl is immers belangrijk.
In België sterven jaarlijks bijna 40.000 mensen aan hart- en vaatziekten.     
Het gezondheidscharter van de Europese Unie stelt dat fietsen het medium bij uitstek is
voor cardiovasculaire preventie en revalidatie.

Hieronder leg ik je nog vlug even uit hoe je een perfect hartje tekent
met jouw grafische rekenmachine
en dan spring ik vlug op de fiets voor nog enkele boodschappen!

01-09-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Studenten beschikken niet altijd over de nodige parate kennis.

Het is dan belangrijk dat ze kunnen terugvallen op een formularium.

Zelf stelde ik voor mijn studenten voor de laatste twee jaar van het secundair onderwijs enkele formularia op.

Misschien kunnen ze ook nog voor jou of jouw studenten van nut zijn om sommige problemen aan te pakken.

In bijlage: formularia voor goniometrie, afgeleiden, integralen, combinatoriek en analytische ruimtemeetkunde.

Bijlagen:
Formularium voor AFGELEIDEN.doc (70.5 KB)   
Formularium voor ANALYTISCHE RUIMTEMEETKUNDE.doc (157 KB)   
Formularium voor COMBINATORIEK.doc (29 KB)   
Formularium voor GONIOMETRIE.doc (135 KB)   
Formularium voor INTEGRALEN.doc (69 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

********************************************************************************************************************
10801

Men of Science - Luc Janus

********************************************************************************************************************
10801 is een strobogrammatisch getal (een getal dat gelijk blijft als je het over 180° draait).
Het Griekse woord στροβος (strobos) betekent 'rondwerveling'.

10801 = 7 x 1543
Er zijn 7 goede redenen om aan te nemen dat in 1543 een omwenteling begon op wetenschappelijk gebied in Europa.

1543: Nicolaus Copernicus publiceert De revolutionibus orbium caelestium
waarin hij een wiskundige argumentatie geeft voor een heliocentrisch model.

1543: Andreas Vesalius publiceert De humani corporis fabrica
     dat voor een revolutie zorgde in de kijk op de menselijke anatomie.

1543: Robert Recorde publiceert Arithmetic, The Ground of Art,
het eerste tekstboek in Engeland over algebra.
Recorde introduceerde het symbool = (is gelijk aan).

1605: Francis Bacon publiceert Advancement of Learning,
een filosofisch werk waarin hij een nieuwe methode voorstelt
om wetenschappen aan te leren.

1609: Johannes Kepler publiceert Astronomia Nova,
waarin hij de planetenbeweging wetmatig verklaart.

1637: René Descartes publiceert Discours de la Méthode,
een eerste poging tot echt wetenschappelijk onderzoek.

1687: Isaac Newton publiceert Principia Mathematica
       waarin hij de differentiaal- en integraalrekening introduceert.

Ja, in 100 jaar tijd kan er heel wat veranderen!

31-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In 1913 publiceerde Frederico Mariares opmerkelijke formules voor de som van de kwadraten van de eerste n oneven en even getallen.

Hij legde meteen een verband met de driehoeksgetallen.

Hieronder staan de eerste vijf driehoeksgetallen afgebeeld.

Formule van Mariares voor de som van de kwadraten van de eerste n oneven getallen:

Formule van Mariares voor de som van de kwadraten van de eerste n even getallen:

Merk op dat de som van de eerste n driehoeksgetallen ook gelijk is aan het n-de  viervlaksgetal (zie bijlage);

Het is een leuke uitdaging om de geldigheid van de twee formules van Mariares aan te tonen via een bewijs door volledige inductie.

Bijlagen:
C._Althoen_and_C._B._Lacampagne.pdf (128.7 KB)   

DE STELLING VAN MONSKY

 Fred Richman stelde in 1965 in het tijdschrift  the The American Mathematical Monthly de vraag

of het mogelijk is om een vierkant te verdelen in een oneven aantal driehoeken met dezelfde oppervlakte.

Hij vond het (samen met jou wellicht) nogal evident dat het mogelijk is dat te doen in een willekeurig even aantal driehoeken.

Hieronder zie je een oplossing die bijna correct is voor de verdeling in zeven even grote driehoeken.

Pas in 1970 zou  Paul Monsky erin slagen te bewijzen dat de verdeling van een vierkant in een oneven aantal even grote driehoeken onmogelijk is.

Paul Monsky is een Amerikaanse wiskundige en was professor aan de Brandeis University in Waltham (Massachusetts).

Verrassend toch dat de Griekse wiskundigen dit 2000 jaar geleden al niet wisten?

27-08-2015 om 14:36 geschreven door Luc Gheysens  

Triptych - Luc Janus

Af en toe krijg je wel zo een folder of een reclamebrochure in de bus:
een blad dat in drie gelijke delen is gevouwen.

Maar hoe zou jij het aan boord leggen om zelf een A4-blad
op die manier te vouwen zonder een meetlat te gebruiken?

Het antwoord zie je hieronder.

Vouw het blad ABCD (figuur links) eerst dubbel volgens MN en vouw het dan weer open.
Vouw het blad daarna volgens de diagonaal BD en vouw het weer open.
Vouw tenslotte het hoekpunt B naar voren zodat de vouw AN ontstaat.
Het snijpunt P van AN en BD bepaalt dan hoe je het blad in drieën moet vouwen (figuur rechts).
Merk op dat P op één derde van de rechterrand én op één derde van de bovenrand ligt.

Kan je dat analytisch aantonen?

Tip: kies het assenstelsel met D(0,0), C(b,0), B(b,l) en A(0,l)

26-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

******************************************************************************************************************************
144

Mahjong - Luc Janus

******************************************************************************************************************************

144 = 12² is samen met 1 = 1² het enige kwadraatgetal dat ook een Fibonaccigetal is.

Het spel Mahjong wordt gespeeld met 144 stenen.

Een gros is 144 of 12 dozijn.

De (binnen)hoeken van een regelmatige tienhoek zijn hoeken van 144°.

******************************************************************************************************************************

OPGAVE. Plaats op de plaats van de vraagtekens tussen de cijfers 1, 2, 3, 4, 5 en 6  de tekens + (optelling), x (vermenigvuldiging) en/of haakjes en bekom zo 144 als uitkomst.

 ?   ?   ? ?   ?   = 

24-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Dit applet toont aan hoe men op een originele en symmetrische manier

het vierkant rechtsonder in 8 stukken kan verdelen,

waarmee dan de stelling van Pythagoras wordt aangetoond.

Bron: http://mathani.tumblr.com/post/95739040075

En misschien vindt ook jouw oma dit leuk?

21-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE SOFA VAN HAMMERSLEY

In 1966 formuleerde de Oostenrijks-Canadese wiskundige Moser het volgende probleem.

Wat is de oppervlakte van het grootst mogelijke vlak object
dat men door een L-vormige gang met een breedte van 1 meter kan schuiven?

Op de onderstaande animatie zie je de oplossing
die de Britse wiskundige John Hammersley in 1968 vooropstelde.

Animatie door Claudio Rocchini

Hij stelde een ‘sofa’ voor die bestaat uit twee kwartcirkels met straal 1

die grenzen aan een rechthoek met lengte 4/π en breedte 1

waaruit een halve cirkel met straal 2/π  is verwijderd.

Kan je aantonen dat de oppervlakte van deze ‘sofa’ gelijk is aan  π/2 + 2/π ?

Ondertussen heeft men al kunnen aantonen dat er nog grotere oplossingen mogelijk zijn.

Maar hoe groot het grootst mogelijke vlak voorwerp is

dat men door die L-vormige gang kan schuiven blijft een open probleem.

En wellicht lig jij hiervan niet wakker?!

19-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

MIJN ENVELOPPESTELLING

Als Da, Db, Dc en Dd de bissectrices zijn van de hoeken van een willekeurig vierhoek ABCD

en als E, F, G en H resp. de snijpunten zijn de rechtenparen (Da,Db), (Db, Dc), (Dc,Dd) en (Dd, Da)

dan is EFGH een koordenvierhoek, d.w.z. de punten E, F, G en H liggen op een cirkel (op de figuur: met middelpunt M).

Hieronder zie je nog enkele configuraties die de geldigheid van deze stelling bevestigen.

Is het lastig om dit te bewijzen?

Tip. Toon aan (in het geval dat ABCD een convexe vierhoek is) dat  ∠ F + ∠ H = 180°.

Maar vind je ook een bewijs in het geval dat  ABCD een niet-convexe vierhoek is (laatste figuur hierboven)?

Meer uitleg staat in de bijlage.

Bijlagen:
ENVELOPPESTELLING VERKLAARD.pdf (209.6 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal  op een artistieke manier in de kijker.

***********************************************************************************************
1

Ceva - Luc Janus

********************************************************************************************************************

Een van de populaire resultaten uit de vlakke meetkunde is de stelling van Ceva.

Hierbij is de verhouding van de producten van twee keer drie lijnstukken gelijk aan 1.

Een bewijs en enkele toepassingen van deze stelling zitten in bijlage.

*******************************************************************************************************************

Bij de stelling van Ceva leveren zes lijnstukken een verhouding die gelijk is aan 1.

Hieronder dagen we je uit via zes lucifersprobleempjes waarbij je telkens 1 lucifer moet verplaatsen om een gelijkheid te bekomen.

Los jij ze alle zes op? 

 ********************************************************************************************************************

En dan zijn er ook nog de ONE HIT WONDERS uit de popgeschiedenis: groepen die één enkele hit scoorden, die meteen een wereldhit was.

TOP 10 van de ONE HIT WONDERS

10. Nena - "99 Luftballons" (1984) 

9. Gerardo - "Rico Suave" (1990) 

8. a-ha - "Take On Me" (1985)

7. Vanilla Ice - "Ice Ice Baby" (1990) 

6. Baha Men - "Who Let the Dogs Out" (2000)

5. Toni Basil - "Mickey" (1982) 

4. Right Said Fred - "I'm Too Sexy" (1992) 

3. Dexy's Midnight Runners - "Come On Eileen" (1983)

2. Soft Cell - "Tainted Love" (1981)

1. Los Del Rio - "Macarena" (1996)

En misschien kan de "Macarena" je dag een beetje opfleuren!

Bijlagen:
Lucifersproblemen opgelost.pdf (99 KB)   
STELLING VAN CEVA - een eenvoudig bewijs.pdf (216.3 KB)   
Stelling van Ceva - Jan Guichelaar 2014 W&O.pdf (178.4 KB)   

HOEVEEL IS

ANTWOORD

Deze som is gelijk aan 1.

EEN BEWIJS ZONDER WOORDEN ...

En wie hierover zo zijn twijfels heeft, raden we aan de bijlage te lezen.

Bijlagen:
Bewijs van een somformule.pdf (155.9 KB)   

Wie wat vertrouwd is met 'hogere wiskunde'
weet dat de driehoek van Pascal in verband staat met het binomium van Newton.

Maar wist je ook dat er driedimensionale veralgemeningen bestaan van deze driehoek?
Zo heb je bijvoorbeeld de driezijdige piramide van Pascal.
En hieronder zie je een afbeelding van de vierzijdige piramide van Pascal.

Caroline Marien maakte als leerlinge van het Heilige Drievuldigheidscollege in Leuven een eindwerk over de piramide van Pascal.
Je vindt het knap werkje in bijlage. Bron: http://www.wiskundeophdc.be/.
Je verneemt er ook wat het verband is met het multinomium van Pascal.

We laten je tenslotte nog meegenieten van een (Spaans) filmpje
over de eigenschappen van de vierzijdige piramide van Pascal.

Bijlagen:
Eindwerk-Piramide van Pascal - Caroline Marien.pdf (900 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

************************************************************************************

54

 Africa - Luc Janus

***********************************************************************************************

54 = 1² + 2² + 7²    en  54 = 2² + 5² + 5²   en  54 = 3² + 3² + 6²   
Afrika telt 54 landen. Hoeveel kan jij er opnoemen?

Aan de buitenzijde van de kubus van Rubik zijn 54 vlakjes zichtbaar.
 ***********************************************************************************************

Dit getal is precies de helft van het getal van de gulden snede.

Kan je de waarde van sin 54° manueel berekenen?

Enkele tips:  sin (3 x 18°) = cos (2 x 36°) zodat 3sin 18° – 4 sin³ 18° = 1  – 2sin² 18°.
Stel sin 18° = x en los 4x³ – 2x²  –  3x + 1 = 0 op (x = 1 is een oplossing!)

***********************************************************************************************

Hieronder kan je nog een leuk filmpje bekijken
waarin een anamorfose van de kubus van Rubik opduikt.
Een anamorfose is een vertekende afbeelding,
die er slechts gezien vanuit een bepaalde hoek
of onder bepaalde optische voorwaarden realistisch uitziet.

10-08-2015 om 08:56 geschreven door Luc Gheysens