Ben jij een super-leraar?

Veel wiskundeleraars worstelen met vragen als
 'Hoe geef ik zo efficiënt mogelijk les?'
en  'Hoe kan ik mijn leerlingen motiveren voor een vak als wiskunde?'

Men gaat daarbij dan op zoek naar een evenwicht tussen
een sterke sturing door de leraar en zelfsturing door de leerling
 waarbij de vraag opduikt of men als leraar zelf leerinhouden moet activeren bij de leerling (receptief leren)
of er moet naar streven dat de leerling zelf kennis opbouwt (constructivistisch leren).

 Collega Bart Windels (voormalig docent aan de Karel de Grote-Hogeschool in Antwerpen
en aan de Vrije Universiteit Brussel) experimenteerde met zijn zogenaamd 6E-model,
een praktisch stappenplan voor de leraar
om effectieve en motiverende lessen op te bouwen.
Dit model krijgt een aparte plaats in het 'leerschema':

 

Hoe dit model precies werkt, kan je lezen in het bijgevoegd artikel
dat in december 2012 verscheen in de Nieuwe Wiskrant.

Bijlagen:
6E-model wisk. didactiek Bart Windels.pdf (545.2 KB)   

In het winternummer 2013 van het wiskundetijdschrift Uitwiskeling
maakte collega Michel Roelens me attent
op een merkwaardige rechthoekige driehoek.
Hij kwam op het idee via een dynamisch meetkundefilmpje
dat meer dan 60 jaar geleden werd gemaakt door J.L. Nicolet.

Via dit filmpje wordt de kijker uitgedaagd om een merkwaardige stelling uit de vlakke meetkunde te bewijzen:

Teken in een cirkel een (convexe) regelmatige vijfhoek, zeshoek en tienhoek.
Neem van elk van deze veelhoeken één zijde en vorm hiermee een driehoek. 
Dan is dit een rechthoekige driehoek.

Bekijk eerst eens dit filmpje:



We kunnen dit mooi resultaat via de stelling van Pythagoras ook als volgt in formulevorm vertalen:

Als z₅, z₆ en z₁₀ een zijde is van resp. een (convexe) regelmatige vijfhoek, zeshoek en tienhoek
die ingeschreven zijn in eenzelfde cirkel, dan is

Wanneer men vertrekt van een cirkel met straal 1, vindt men (zie Uitwiskeling)
via een aantal berekeningen in driehoeken de volgende waarden voor de zijden
van de regelmatige veelhoeken:

Hiermee kan men dan de bovenstaande formule bewijzen.

In het onderstaande filmpje dat ik op mijn iPad heb gemaakt via de app Educreations
krijg je een meetkundig bewijs van deze leuke 'vergeten' stelling.

21-01-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

En toch zien sommige 'dingen' er op hun kop helemaal anders uit ...

08-01-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

EDUCREATIONS is een gratis app
waarmee je op een iPad videolessen kunt aanmaken.

We probeerden dit alvast eens uit op een origineel bewijs voor de stelling van Pythagoras.

Zie ook: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Proof80p.shtml 

www.educreations.com

07-01-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

EEUWIGDURENDE KALENDER

Soms krijg je de vraag: op welke dag van de week valt een bepaalde datum dit jaar?

Hieronder leggen we een berekeningswijze uit die je voor elk jaar kunt toepassen.

We illustreren de werkwijze voor enkele data in 2013.

Op welke dag van de week valt in 2013
- 1 januari (nieuwjaar)
- 1 november (Allerheiligen)
- 25 december (Kerstmis)
- 6 december (Sinterklaas)?

Je kunt heel eenvoudig zelf uit het hoofd berekenen op welke dag van de week een willekeurige datum in 2013 valt.
Je gaat hiervoor als volgt te werk.

1.  Neem het dagnummer (voor 31 maart is dat 31, voor Kerstmis is dat 25 ...).

2. Tel hierbij het maandcijfer op.
    Het maandcijfer dat hoort bij elke maand vind je in de onderstaande tabel.

   

                Mits een beetje oefenen, kan je deze rij getallen gemakkelijk van buiten leren.
    Tip: onthou ze in groepjes van drie: 033-614-625-035.

3. Tel hierbij het jaarcijfer op. Voor 2013 is dat het cijfer 1. Dit cijfer verandert elk jaar.

4. Bepaal de rest van de deling van de bekomen som door 7.
 Is de rest 0, dan valt die datum op een zondag. Is de rest 1, dan is het een maandag ... enzovoort tot rest 6 voor een zaterdag.

Voorbeelden.
1. Op welke dag valt 6 december 2013.
Dagnummer = 6, maandcijfer = 5, jaarcijfer = 1.
6 + 5 + 1 = 12.
Rest bij deling van 12 door 7 is 5.
Vijfde dag = vrijdag.

2. Op welke dag valt 1 november 2013.
Dagnummer = 1, maandcijfer = 0, jaarcijfer = 1.
1 + 0 + 1 = 2?
Rest bij deling van 2 door 7 is 2.
Tweede dag = dinsdag.

Merk op. 
Deze berekeningswijze is natuurlijk ook geldig voor elk ander jaar.
De enige wijziging is dan het jaarcijfer. Via een 'testdatum' kan je het jaarcijfer voor elk jaar bepalen!

Opgepast. Voor een schrikkeljaar is het jaarcijfer voor de eerste twee maanden één minder dan in de overige maanden.

Hopelijk geen te harde noot om te kraken?

01-01-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

VOOR 2013
(het jaar van de slang)

Meteen geef ik je een eenvoudig nieuwjaarsrekenraadsel mee.

Vul hieronder op elke stip het getal 20 of 13 in
zodat het product 2013 oplevert.

En met dit rekenwerkje zette collega Odette De Meulemeester het nieuwe jaar in:

2013 = (20 + 13) x ((20 - 13) x 20 - 13 - 20 - 13 - 20 - 13).

01-01-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De Vlaamse striptekenaar Marc Sleen (alias Marcel Neels)
viert vandaag 30-12-2012 zijn 90-ste verjaardag.
DIKKE PROFICIAT!

Zijn meest bekende stripfiguur is ongetwijfeld Nero,
die in 1947 opdook in "De avonturen van detective van Zwam"
en meerbepaald in het album "Het geheim van Matsuoka".

 Geregeld kwam ook een klein beetje wiskunde aan bod in de albums van Nero.

Ontdek jij de fout op het onderstaande plaatje bij de slapende Adhemar, zoon van Nero?
Of kan je toch een waarde vinden voor z waarvoor de vergelijking opgaat?

© Marc Sleen, Het hik-virus

Graag stuur ik Marc Sleen de volgende wiskundelimerick toe als verjaardagsattentie.

Een wiskundeleraar uit Herenveen
kon met deze vraag nergens heen:
"Is het mogelijk om een aap aan te leren
hoe men getallen moet kwadrateren?"
Een antwoord vond hij bij Marc Sleen!

© Marc Sleen, De Kolokieten

30-12-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Op 26 maart 2013 is het precies 100 jaar geleden
dat de excentrieke Hongaarse wiskundige Paul Erdös werd geboren.

Hij was een bijzonder productieve auteur die samen met honderden co-auteurs heeft gewerkt aan vraagstukken
op het gebied van combinatoriek, grafentheorie, getaltheorie, analyse,
numerieke wiskunde, verzamelingenleer en waarschijnlijkheidsrekening.

Omwille van die productiviteit voerden vrienden van hem het Erdösgetal is.
Paul Erdös had zelf Erdösgetal 0.
De wiskundigen met wie hij zelf een publicatie had, kregen Erdösgetal 1.
De wiskundigen die dan met één van deze auteurs samenwerkten
kregen Erdösgetal 2, enzovoort.

Ik was blij verrast toen ik via de Erdöscalculator op  
http://www.ams.org/mathscinet/collaborationDistance.html
de volgende ontdekking deed:

Meer details (o.a. over de publicaties) vind je in de bijlage.

In het januarinummer van het wiskundetijdschrift Pythagoras
verschijnt reeds een eerste bijdrage over het leven van Erdös
in het kader van het Erdösjaar 2013 (zie bijlage).

Bijlagen:
Artikel over Erdös - Pythagoras.pdf (1.8 MB)   
Mijn Erdösgetal is 4.pdf (186.7 KB)   

HET STANDBEELDPROBLEEM

Toen ik onlangs in Brugge rondliep
viel het me op hoe enkele Japanners probeerden het standbeeld
van de beroemde wiskundige Simon Stevin
onder een zo groot mogelijke hoek te fotograferen.

Het bepalen van deze grootste hoek staat bekend als het standbeeldprobleem.
Dit vraagstuk werd oorspronkelijk in de 15de eeuw geformuleerd
door de Duitse astronoom en wiskundige Regiomontanus
als een vraag over een verticaal hangende staaf.

 De klassieke uitwerking van dit probleem via afgeleiden zit in bijlage.

Opmerking. Er is ook een 'synthetisch bewijs' mogelijk (via omtrekshoek, binnen- en buitenomtrekshoek).

Bijlagen:
HET STANDBEELDPROBLEEM.pdf (209.9 KB)   

WISKUNDE IN AMSTERDAM

Tijdens de voorbije dagen gingen we even
de Kerstsfeer opsnuiven in Amsterdam.

Samen met vrouwlief Ingrid
in het Amsterdamse begijnhof.

Meteen nodigde het druilerige winterweer uit
om nog eens een ontspannend wiskundeboek
aan te kopen in boekhandel De Dolfijn:

Auteur Alex Bellos is journalist met een fascinatie voor wiskunde en filosofie.
Hij schrijft sinds jaren columns over alledaagse wiskunde in The Guardian.
Door zijn enthousiaste en originele aanpak
zet hij in dit boek heel wat wetenswaardigheden
 over getalstelsels, formules, symbolen en statistiek
helder en heel bevattelijk op een rij.

In hoofdstuk zes heeft hij het over recreatieve wiskunde.
Hierin vermeld hij de beroemdste strikvraag uit de Engels literatuur:

As I was going to St Ives,
I met a man with seven wives.
Every wife had seven sacks,
every sack had seven cats,
every cat had seven kits.
Kits, cats, sacks and wives,
how many were going to St Ives?

Als wiskundige ben je dan geneigd als volgt te redeneren:
7 vrouwen en 7² zakken en 7³ katten en 7⁴  kittens
geeft een totaal van 7 + 49 + 343 + 2401 = 2800.
Maar dan zie je natuurlijk over het hoofd dat jij in de richting van St Ives gaat
en dat de man met de zeven vrouwen in de tegenovergestelde richting loopt!

In dit hoofdstuk staat ook nog een leuke vondst over kubiekwortels
van de Engelse puzzelfanaat Henry Ernest Dudeney:

En nu we het toch over wortels hebben ...

25-12-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Als wiskundige sta je soms verwonderd stil
bij de eenvoud van een bewijs-zonder-woorden.

In de bijlage zit een ppt-presentatie die ik in 2008 op het VVWL-congres heb voorgesteld.

Hieruit haal ik één van de bewijzen-zonder-woorden die daarin aan bod komen.

GESNAPT???

Bijlagen:
BEWIJS ZONDER WOORDEN.ppt (3.1 MB)   

BEWIJS ZONDER WOORDEN

Aansluitend bij de vorige rubriek geven we hieronder een ander bewijs-zonder-woorden voor de formule

  Arctan (1/3) + Arctan (1/2) = π/4.

Arctan (1/3) + Arctan (1/2) + Arctan (1) = π/2

Dit betekent dat de som van de drie gekleurde hoeken (blauw - rood - groen) gelijk is aan 90°

en bijgevolg is dan de som van de blauwe en de rode hoek gelijk aan 45°.

BEWIJS (op de onderstaande figuur)..

GESNAPT???

19-12-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Vlaamse Wiskunde Kangoeroe 2013

De Kangoeroewedstrijd gaat dit schooljaar door op donderdag 21 maart 2013 voor Springmuis en Koala.
De leerlingen voor de edities Wallaroe en Wallabie nemen deel op donderdag 18 april 2013.

Info op: www.kangoeroe.org .

Voor de leerlingen van de eerste graad A-stroom is er nu een bijzondere
Wallabie-brochure beschikbaar die toelaat te oefenen per thema.

Op 18 losse themablaadjes staan telkens 4 proefvragen
rond een concreet onderwerp uit het leerplan van de eerste graad.

De brochure vind je in bijlage.

Een absolute aanrader om met de leerlingen
te  oefenen in probleemoplossend denken.

Bijlagen:
themablaadjes_wallabie.pdf (2.3 MB)   

EEN TABLET VOOR IEDEREEN?

De opmars van iPads en alle soorten andere tablets in het onderwijs lijkt niet meer tegen te houden.
Dit schooljaar experimenteren reeds heel wat Vlaamse scholen hiermee
en voor volgend schooljaar overwegen nog veel meer scholen
om te starten met een pakket van 10-20 tablets.

Het kiezen van didactisch verantwoorde Apps is hierbij een fundamenteel probleem.

Op de website van de AT-scholen vind je reeds een praktisch overzicht van educatieve Apps voor de iPad:
http://website.atscholen.nl/de_organisatie/ict_innovatie/ipads/Paginas/Ipads_in_het_onderwijs.aspx .

Het is nu al duidelijk dat er heel wat kan en wellicht ook zal veranderen
in de didactiek en het lessenverloop (ook voor het vak wiskunde!).

Maar vergeet niet dat een tablet maar één van de didactische hulpmiddelen is
en dat de rol van de leraar in het gehele leerproces essentieel blijft.

14-12-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

PARADOX

12 = 13

Stel dat een elftal uit 12 spelers mag bestaan.
Wat zou er dan nog verkeerd kunnen gaan?
Het antwoord zie je hierboven al misschien:
eerst waren ze met 12 en toen plots met 13.
Of heb je deze paradox al vlug doorzien?

(op mijn blog geplaatst op de 13de van de 12de maand )

13-12-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Vlaamse leerlingen uit het vierde leerjaar scoren uitstekend voor wiskunde.
Met hun wetenschappelijke kennis en vaardigheden gaat het minder goed.
Dat blijkt uit Trends in Mathematics and Science Study 2011 (TIMMS).
Dat internationale onderzoek vergelijkt de prestaties van leerlingen in wiskunde en (natuur-)wetenschappen.

De gemiddelde wiskundescore van de Vlaamse leerlingen is uitstekend.
Vlaanderen behaalt een zevende plaats en scoort beduidend hoger dan het gemiddelde.
Enkel vijf Aziatische landen (Singapore, Korea, Hong Kong, Taipei en Japan) en Noord-Ierland doen beter.

Vlaamse zijn leerlingen bijzonder sterk in het ‘kennen’, maar een stuk minder in toepassen en redeneren.
Bovendien is er relatief weinig verschil tussen de zwakste en de sterkste leerlingen.

Zo goed als alle Vlaamse leerlingen (99 procent) halen de laagste standaard.
Slechts 10 procent daarentegen behaalt de gevorderde standaard.
Ten opzichte van 2003 zijn de wiskundeprestaties op peil gebleven.

Alleen doen jongens het nu beduidend beter dan meisjes.
In 2003 deden jongens en meisjes het even goed.

In bijlage vind je de vrijgegeven wiskundevragen (met commentaar) uit deze peilproef.
Bron: KLASSE en http://ppw.kuleuven.be/o_en_o/COE/timss2011.
Hoeveel los jij er correct op?

Bijlagen:
TIMMS-wiskundevragen.pdf (6 MB)   

Op woensdag 12 december 2012 (12-12-12)
nam Kim Klijsters definitief afscheid van het tennis.
In haar afscheidswedstrijd in het Antwerps sportpaleis
versloeg ze Venus Williams in twee sets (6-3 en 6-3).

Merci Kim!



Meteen een gelegenheid om hieraan mijn wiskundig lievelingsprobleempje over tennis te koppelen.

Aan een tornooi nemen 128 tennissers deel.
Via loting wordt bepaald wie tegen wie speelt.
Er wordt gespeeld met rechtstreekse uitschakeling:
de winnaar van een duel gaat door naar de volgende ronde
en de verliezer is meteen uitgeschakeld.
Hoeveel wedstrijden zullen er totaal worden gespeeld?

Eerste oplossing.
In de eerste ronde worden er 64 wedstrijden gespeeld
en dan blijven er nog 64 spelers over.
In de tweede ronde zijn er dan 32 wedstrijden
en er blijven dan nog 32 spelers over.
Enzovoort ...
Dit geeft in totaal 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127 wedstrijden.

Tweede (en creatieve!) oplossing.
Na elke wedstrijd valt één speler af.
Aangezien er uiteindelijk één speler over blijft (de winnaar van de finale)
moeten er 127 'afvallers' zijn en dus ook 127 wedstrijden.

Kim demonstreert nog graag eens haar ongeëvenaarde spreidstand.

12-12-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De 'Volgens Bartjens Rekenkalender 2013' is een scheurkalender
met voor elke dag van 2013 een rekenvraagstukje
waarmee je de dag op een wiskundig verantwoorde manier kunt beginnen.

Ziehier de  proefvraag van 23 januari 2013.

Het antwoord en de andere vragen van de maand januari vind je in bijlage.
De rekenkalender kan je (nu met korting!) online bestellen via
http://www.volgens-bartjens.nl .

Bijlagen:
Rekenkalender-2013-januari.pdf (2.9 MB)   

Het allerkleinste: van atoomtheorie tot nanofysica

Wetenschappers stellen wiskundige modellen op waarmee ze proberen te verklaren
waar we vandaan komen en waar we naartoe gaan.

De Oude Grieken stelden zich reeds de vraag wat de kleinste materiedeeltjes konden zijn.
Zo bedacht Demokritos het atoommodel (ἄτομος = ondeelbaar).
In de twintigste eeuw probeerden wetenschappers zoals Niels Bohr 
via de quantummechanica het gedrag te beschrijven van hele kleine deeltjes,
die niet meer de gewone wetten van de fysica volgden die Newton had ontdekt.

Nu ontwikkelt zich de nanofysica die op zoek gaat naar de allerkleinste deeltjes 
(een nanometer is een miljardste deel van een meter;νανος = het Griekse woord voor dwerg)
en waarmee men hoopt een antwoord te vinden op de vraag
wat de donkere materie precies is en hoe de zwaartekracht werkt.
In die context was de ontdekking van het Higgs-deeltje dit jaar wereldnieuws.

In de onderstaande video legt  Robbert Dijkgraaf, een expert op het gebied van de snaartheorie
in 45 minuten en op een aanschouwelijke manier uit
hoe ver de wetenschap staat in de speurtocht naar Het Allerkleinste.

Veel kijkplezier!

30-11-2012 om 16:47 geschreven door Luc Gheysens  

De oerknal: 13,7 miljard jaar in 45 minuten

Wetenschappers stellen wiskundige modellen op waarmee ze proberen te verklaren
waar we vandaan komen en waar we naartoe gaan.

In de 20ste eeuw bestudeerden astronomen het spectrum van sterrenstelsels
en namen hierin een roodverschuiving waar.
Dit wees erop dat sterrenstelsels steeds verder en sneller van elkaar weg zouden bewegen.
Edwin Hubble kwam zo in 1929 tot een bevestiging van het feit dat het heelal zou uitdijen.
Het was de Belgische priester-astronoom Georges Lemaître
die in 1931 het idee lanceerde van de oerknal (Big Bang).

Volgens recente berekeningen zou ons heelal 13,7 miljard jaar oud zijn.
En volgens de snaartheorie is het best mogelijk dat er meer dan één heelal bestaat.

Robbert Dijkgraaf, een gerenommeerde Nederlandse snaartheorist
legt in de onderstaande video op een bevattelijke manier uit
hoe men tot het idee van de oerknal is gekomen.
En uiteraard mag ook Einstein in dit verhaal niet ontbreken.

Veel kijkplezier!

30-11-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens