DE VIER-KWADRATEN-STELLING

In 1770 bewees de Italiaanse wiskundige Joseph-Louis Lagrange
(die vaak als een Fransman wordt aanzien omdat hij geruimde tijd in Parijs doceerde)
een merkwaardige stelling:

"Elk natuurlijk getal kan geschreven worden als de som van vier kwadraten."

Merk op: in veel gevallen is deze schrijfwijze niet uniek
en ook moet men soms 0² toelaten als één van de vier termen van de som.

Zo is bijvoorbeeld
49 = 1² + 4² + 4² + 4²
   = 0² + 2² +3² + 6²
    = 2² + 2² + 4² + 5²
    = 0² + 0² + 0² + 7².

De Griekse wiskundigen interpreteerden kwadraten als vierkanten
en bijgevolg zouden ze op zoek zijn gegaan naar een meetkundige voorstelling.
Hieronder zie je een 'Griekse' oplossing (dissectie in 5 stukken) waaruit blijkt dat 7² = 2² + 3² + 6².

Op http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM
staat een applet dat een willekeurig getal
schrijft als de som van vier kwadraten
(0² moet je er soms zelf bij denken).

Op 10 april 2013 is het precies 200 jaar geleden dat Lagrange is overleden.
Als eerbetoon werd hij begraven in het Panthéon in Parijs
en is zijn naam één van de 72 namen van eminente Franse wetenschappers
die gegraveerd staan op de Eiffeltoren.
Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/72_namen_op_de_Eiffeltoren .

Fiat lux!

07-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Straks nemen weer heel wat jongeren deel
aan het toelatingsexamen voor de Koninklijke Militaire School.

Op http://www.rma.ac.be/nl/index.html vind je alle informatie.

In bijlage hebben we een aantal inspirerende vragen verzameld
voor het toelatingsexamen wiskunde.
In de vragenreeks viel mijn oog op deze opgave:

Bepaal twee positieve reële getallen waarvan
de som gelijk is aan het product en aan het verschil van de kwadraten.

Het kleinste getal blijkt dan gelijk te zijn aan het getal van de gulden snede:

 
Voor de Faculteit Polytechnische is er een aparte
en heel wat moeilijkere reeks vragen.
Daar vonden we onze inspiratie voor deze leuke oneigenlijke integraal
die een verband legt tussen 0, 1, 2, 4, e (het getal van Euler), ∞ en π.
Je kunt de integraal berekenen via de substitutie t = e^x/4 :

Bijlagen:
Toelatingsexamen KMS - Faculteit Polytechnische.pdf (380.1 KB)   
Toelatingsexamen KMS - wiskundevragen.pdf (1.4 MB)   

MERKWAARDIGE CIRKELS

Als de grootste cirkel op deze figuur een straal van 6 cm heeft,
hoe groot is dan de straal van de groene, gele en blauwe cirkels?

Antwoord: 3 cm, 2 cm en 1 cm.
Dit is een leuke oefening op de stelling van Pythagoras.

Voor een uitgeschreven oplossing
en nog veel meer mooie opgaven
verwijzen we naar http://mathafou.free.fr/ .

07-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

HEURIST is een woord dat blijkbaar niet in 
Van Dale's Groot woordenboek van de Nederlandse taal is opgenomen.

Nochtans zou elke wiskundeleraar een HEURIST moeten zijn
die zijn leerlingen allerlei HEURISTIEKEN (zie bijlage) aanleert.

Zelf zou ik een HEURIST definiëren als iemand die
(bijna dagelijks) bezig is met probleemoplossend denken
 en op een creatieve manier allerlei oplossingsstrategieën toepast.

HEURIST is ook een zeven-letterwoord dat verwijst naar
HUMOR, waarmee je jouw lessen kruidt
EXPERTISE, wat elke leerling op de eerste plaats van de leraar verwacht
UITDAGING, waarmee je jouw leerlingen prikkelt
REFLECTIE, bij foutenanalyse en controle van een resultaat
INTERACTIE, via variatie in werkvormen (doceren, groepswerk, ICT...)
SUCCESERVARING, het allerbelangrijkste voor de leerling (en de leraar)
TOEPASSINGEN en Theorie, een gezond evenwicht!

In de figuur zit een mooie stelling verborgen
die in de literatuur bekend staat als
de stelling van de zeven cirkels (1974).

Kan je zelf ontdekken wat die stelling uit de vlakke meetkunde beweert?
Info op http://mathworld.wolfram.com/SevenCirclesTheorem.html .

Bijlagen:
HEURISTIEKEN.pdf (63.5 KB)   

DE KWADRATUUR VAN HET KLAVERTJE VIER



Is het mogelijk een vierkant te construeren
dat dezelfde oppervlakte heeft als de gekleurde figuur hierboven
die is opgebouwd met vier even grote cirkels die door eenzelfde punt gaan
(het witte gedeelte niet meegerekend)?

Als de vier cirkels een straal r hebben
dan is de gekleurde oppervlakte gelijk aan
4πr²  –  16(πr²/4  – r²/2) = 8r².
Dit is gelijk aan de oppervlakte van een vierkant met zijden 2√2 r.

En ja hoor, de kwadratuur lukt perfect zoals uit de twee onderstaande figuren blijkt!

        

05-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

CIRKELPROBLEEM

Een verrassend eenvoudig bewijs vind je in de bijlage.
Graag zelf eerst even zoeken a.u.b.

Bijlagen:
Cirkelprobleem opgelost.pdf (140.3 KB)   

De Amerikaanse amateurwiskundige Sam Loyd (1841-1911)
bedacht een aantal schitterende puzzels
die hij telkens in een verhaaltje wist in te kleden.

Deze Guido-mozaïek-puzzel bestaat er in een vierkant van 5 x 5 vakjes
in zo weinig mogelijk stukken te verdelen
waarmee je dan een vierkant van 4 x 4 vakjes
en een vierkant van 3 x 3 vakjes kunt vormen.

Dit is in feite een mooie variatie op de stelling van Pythagoras
die garandeert dat 3² + 4² = 5².

Met GeoGebra hebben we de onderstaande oplossing uitgetekend.



De puzzels van Sam Loyd vind je op www.samloyd.com 

03-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

HOOGTEPUNT DEEL 2

Teken eens een driehoek ABC waarvan de drie hoekpunten op de eenheidscirkel liggen
(de cirkel met de oorsprong als middelpunt en met een straal gelijk aan 1).
Als de hoekpunten van de driehoek de volgende coördinaten hebben
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) en C(x₃, y₃)
dan is de coördinaat van het hoogtepunt H van driehoek ABC
bepaald door H(x₁ + x₂ + x₃, y₁ + y₂ + y₃).

Hieronder staat een voorbeeld ter illustratie (getekend met GeoGebra).

Je kunt het rekenwerk gemakkelijk controleren aangezien H nagenoeg (0, - 0,5) als coördinaat heeft.

Een bewijs zit in bijlage.

Bijlagen:
Hoogtepunt driehoek en eenheidscirkel.pdf (201.8 KB)   

VIERKANTSWORTELS EN VWO

 © 2008 Peter Grabarchuk. All Rights Reserved.

Peter Grabarchuk is de auteur van deze eenvoudige (?) puzzel met vierkantswortels.
De som van de getallen op twee van de vier puzzelstukjes is gelijk. 
Kan jij ontdekken over welke twee puzzelstukjes het hier gaat? 

Meer puzzels van Peter Grabarchuk op PeterPuzzle.com

En ook op de voorbije Vlaamse Wiskunde Olympiade
doken twee meerkeuzevragen op over vierkantswortels.
(die niet zo goed werden beantwoord!)

Vind jij de juiste antwoorden?

02-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

EI-TANGRAM

Voor wie rond Pasen eens een passende tekening wil maken met GeoGebra
is dit ei alvast een leuke uitdaging.
Het ei is geconstrueerd aan de hand van 4 cirkelbogen
(met als middelpunt respectievelijk D, C, B en A)
en vertrekkend van een gelijkbenige rechthoekige driehoek ABC.

Als |AB| = |AC| = 2, kan je dan bewijzen dat de oppervlakte van dit ei
gelijk is aan 6π – 2π√2 – 2 ?

Op www.puzzles.com vonden we een afdrukklare versie van een gekend ei-tangram
waarmee je met de puzzelstukjes allerlei vogels kunt vormen.
Je vindt de puzzel in bijlage.

Bijlagen:
Ei_van_Columbus_tangram.pdf (233.7 KB)   

Boeken rangschikken en faculteit  (!)



Men kan gemakkelijk inzien dat er 6 verschillende manieren zijn
om 3 boeken naast elkaar te rangschikken in een boekenkast.

De Franse wiskundige Christian Kramp bedacht hiervoor rond 1808 het faculteitsteken (!).
Zo is 3! = 3 x 2 x 1 = 6.



Het aantal manieren om 10 boeken naast elkaar te rangschikken is dan gelijk aan 10!
(lees dit als 'tien faculteit'), wat gelijk is aan
10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3 628 800.

Dit is precies gelijk aan het aantal seconden in 6 weken.
Maar hoeveel is dit in werkelijkheid?

Stel dat je alle mogelijke rangschikkingen voor deze 10 boeken wilt uitvoeren
en dat elke rangschikking 1 minuut tijd vraagt.
Dan ben je hier 3 628 000 minuten = 60 480 uren mee bezig.
Als je dit 8 uur per dag doet, ben je hiermee 7 560 dagen bezig.
Een schooljaar telt ongeveer 180 lesdagen.
Je zou dus 42 schooljaren nodig hebben voor alle mogelijke volgorden.
Wanneer je hieraan dus begint als je 23 jaar bent,
kan je de klus net afronden wanneer je aan 65 jaar op pensioen gaat!

27-03-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Conic sections - Bron: http://calc101.com/animations/

Lang voor de analytische meetkunde was uitgevonden
bestudeerden de Grieken rond 200 v. Chr. al kegelsneden.
 Apollonius van Perga verrichtte op dit vlak baanbrekend werk.

Zoals je op de bovenstaande animatie kunt zien
is een kegelsnede niets anders dan de doorsnede
 van een dubbele kegel met een plat vlak.

Zo kan je een ellips (met als bijzonder geval een cirkel),
een parabool of een hyperbool bekomen.
Maar het kan ook een paar snijdende rechten of zelfs een punt zijn.

Een paar jaar geleden schreef ik samen met collega Geert Delaleeuw
een beknopte tekst over 'Kegelsneden met GeoGebra' (zie bijlage).
Misschien vind je hierin nog een leuke nostalgische uitdaging
nu de studie van kegelsneden geen vast leerplanonderdeel meer is. 

Bijlagen:
KEGELSNEDEN.doc (772.5 KB)   

WISKUNDEBLOG VAN UITGEVERIJ PLANTYN

Uitgeverijen bedenken creatieve manieren om wiskundige ideetjes
en informatie over wiskundehandboeken tot bij de leraren en de leerlingen te brengen.

Probeer eens de wiskundeblog http://wiskunde.plantyn.com/

Daar ontdek je bruikbare apps, leuke weetjes, het probleem van de week ... en ook deze vraagstukjes.

Een meetkundig probleem - A-stroom

In een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek in A beschouwt men

op de schuine zijde de punten D en E zodat |AC| = |CD| en |AB| = |BE|. 

 Bepaal de grootte van de hoek DAE.

Bereken de waarde van x en y op basis van de gegevens op de tekening. Vind jij een oplossing?


 

Oplossingen in bijlage.

Bijlagen:
Twee problemen opgelost - Plantyn.pdf (108.4 KB)   

  Belgisch genie wint de 'Nobelprijs voor Wiskunde'

 
© ap. 
                

20-03-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Rekenen met Mickey Mouse

Vandaag heeft Mickey Mouse op school geleerd hoe je twee getallen bij elkaar optelt.
Voor de twee bovenstaande sommen kreeg hij 10 op 10.
Kan je dat verklaren?


Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
De sommen van Mickey Mouse opgelost.pdf (131.7 KB)   

DE PAUS DIE ONS LEERDE REKENEN

Op woensdag 13 maart 2013 iets na 7 uur 's avonds
kwam de mededeling dat er een nieuwe paus was gekozen:
de Argentijnse aartsbisschop Jorge Mario Bergoglio, die zichzelf de pausnaam Franciscus gaf.
Bergoglio studeerde blijkbaar in zijn jonge jaren chemie aan de universiteit van Buenos Aires
en is dus wel een beetje vertrouwd met wiskunde en wetenschappen

Maar wist je dat de wiskundepaus bij uitstek Sylvester II was.
Hij werd geboren als Gerbert van Aurillac en was paus van 999 tot 1003.
Hij zag als een van de eersten het nut in van het rekenen met Arabische cijfers,
die zich veel vlotter lieten manipuleren dan de Romeinse cijfers.
Zo bedacht hij rekenschema's om twee getallen op te telllen, af te trekken,
met elkaar te vermenigvuldigen of door elkaar te delen.

Hieronder staan een paar voorbeelden uitgewerkt.
Je herkent hierin ongetwijfeld het rekenschema
dat we nu nog zelf gebruiken bij het cijferrekenen.

Bron: http://www.defimath.ca/mathadore/vol2num71.html

       
  Sloot paus Sylvester II via zijn belangstelling voor astrologie
en zijn zonderlinge rekenschema's een pact met de duivel?
Tekening uit 1460. Bron: wikipedia.

17-03-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

I LOVE PI - Luc Janus (artistieke impressie naar aanleiding van pi-dag)

Cirkels inspireren zelfs meubelmakers om te zoeken
hoe men een tafel kan ineen knutselen
die men gemakkelijk dubbel zo groot kan maken.

Weet jij hoeveel procent de straal van een cirkel moet toenemen om een cirkel te bekomen  die dubbel zo groot is? 

En weet je wat een wiskundige doet als hij niet in slaap geraakt?

14-03-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE LAATSTE STELLING VAN FERMAT

STELLING.
De vergelijking xⁿ + yⁿ = zⁿ heeft geen oplossingen 
waarbij  x, y en z gehele getallen zijn verschillend van nul
als n een geheel getal is groter dan 2.

Rond het jaar 1630 krabbelde Pierre de Fermat in de kantlijn van een boek dat hij een bewijs had gevonden
voor deze wiskundige stelling, maar dat dit bewijs niet in diezelfde kantlijn paste.
Hij nam echter het geheim in zijn graf mee
en men zal nooit weten of hij ook werkelijk een eenvoudig bewijs had gevonden.

Eeuwenlang probeerden wiskundigen een bewijs voor deze stelling te vinden.
Uiteindelijk was het de Engelse wiskundige Andrew Wiles die in 1994
met  ingewikkelde wiskundige technieken de zogenaamde laatste stelling van Fermat bewees.

In 1995 dook echter een merkwaardig animatiefilmpje op in de reeks The Simpsons.
In de aflevering Treehouse of Horror VI komt Homer in een vreemde 3D-wereld terecht
waarin allerlei wiskundige objecten en vergelijkingen rondzweven.

Daar verschijnt plots de uitdrukking
1782¹² + 1841¹² = 1922¹²
die blijkbaar een tegenvoorbeeld oplevert voor de stelling van Fermat.

Weet jij wat er hier aan de hand is? Reken dit eens na met jouw rekentoestel!

12-03-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Een leuke papieren puzzel om zelf te maken

Ik ontdekte in 1982 tijdens een studieverblijf in Engeland
een merkwaardige collectie meetkundige puzzels
in het boek 'Sam Loyd's Cyclopedia of Puzzles'.

Je vindt deze puzzels nu online op
http://www.jwstelly.org/CyclopediaOfPuzzles/CyclopediaOfPuzzles.php.

Hieronder zie je meteen mijn favoriete puzzel uit deze collectie.
Als je jouw leerlingen wilt laten kennismaken met verschillende vlakke meetkundige figuren
dan zal deze puzzel zeker een uitdaging vormen.

 

Teken de vierhoek die er vrij willekeurig uitziet over op papier of karton
(of beter nog: teken hem na met GeoGebra)
en knip hem in 5 stukken zoals aangegeven op de figuur.
De uitdaging bestaat er nu in met deze 5 puzzelstukjes achtereenvolgens
een kruis, een vierkant, een parallellogram,
een rechthoek en een rechthoekige driehoek te vormen.

Je kunt best gebruik maken van de uitvergrote versie in bijlage.

De oplossing vind je op de hierboven vermelde website.

TIP. Kijk ook eens op de magistrale pentominowebsite van Odette De Meulemeester:
http://pentomino.classy.be/versnijdensamloyd.html

Zo zie je maar dat papier nog een toekomst heeft in dit digitaal tijdperk
waarin door het gebruik van tablets straks
heel wat papieren documenten zullen verdwijnen!

Bijlagen:
Sam Loyd puzzel.pdf (56.5 KB)   

Goniometrie is bij heel wat studenten niet zo populair.

In de huidige leerplannen beperkt men zich meestal
tot het oplossen van elementaire goniometrische vergelijkingen.
Ook de cyclometrische functies behoren niet meer tot de basisleerstof
maar kregen het statuut 'verdieping'.

Wie toch wat meer wil
kan zich verdiepen in de bijgevoegde werkopdrachten - deel 1.

Bijlagen:
BZL-gonio1.doc (81 KB)   
BZL-gonio2.doc (86.5 KB)   
BZL-gonio3.doc (92.5 KB)   
BZL-gonio4.doc (106.5 KB)