M-LEARNING

 

KATHO is de eerste hogeschool in de Benelux
met een eigen iTunes U-site

KATHO, de Katholieke Hogeschool Zuid-West-Vlaanderen,
is de grootste instelling voor hoger onderwijs in West-Vlaanderen,
en is de eerste onderwijsinstelling in de Benelux met een eigen iTunes U-site.
iTunes U is een innovatieve manier om hoorcolleges, lessen, podcasts
en nog heel wat meer te distribueren zodat studenten
- maar ook mensen die niet aan de instelling zijn verbonden -
vanaf afstand toegang hebben tot een zeer breed aanbod informatie.

Is het tijdperk van het mobiel leren definitief aangebroken?
Meer informatie op https://www.apple.com/benl/education/real-stories/

Onlangs verdedigde Joke Coens aan de KU Leuven Kulak
haar doctoraatstproefschrift "Mobile learning in higher education. The multitasking issue".
Hierin onderzoekt ze diverse aspecten van het mobiel leren.
Lees in dit verband  het artikel op http://nieuws.kuleuven.be/node/11690 .

Een groep studenten uit Kiel
vond dat stil zitten wat tegenviel.
Met heel wat kabaal
verlieten ze de studiezaal.
Sindsdien leren ze mobiel.

12-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In zijn boek Underweysung der Messung (1525)
schetst Albrecht Dürer een zij-aanzicht van een wenteltrap
en zonder het zelf te beseffen 
tekent hij hiermee wellicht de oudst bekende afbeelding van een sinusoïde.

Dit is één van de vele weetjes uit het genietbare boek
Wiskunde, dat kun je begrijpen!
van de Nederlandse wiskundepioniers
Martin Kindt en Ed de Moor.

Moet je gelezen hebben!

 

In het boek vonden we ook een leuke oefening over driehoeksgetallen.
Op de onderstaande figuur staan de eerste 6 driehoeksgetallen
en ook de formule voor het n-de driehoeksgetal T_n.
Merk op dat T_n = 1 + 2 + 3 + ... + n.


Bron: wikipedia.

Bekijk nu de volgende rij sommen:
1³  = 1, 1³ + 2³ = 9, 1³ + 2³ + 3³ = 36, 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100 enzovoort.
Kan je aantonen dat de uitkomsten 1, 9, 36, 100 ...
telkens het kwadraat zijn van een driehoeksgetal
m.a.w. dat 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)² ?

Tweevoudig bewijs in bijlage.

Bijlagen:
Een visueel bewijs voor de formule.pdf (200.8 KB)   
Formule som van derdemachten.pdf (217.1 KB)   

WISKUNDE MET STRAUSS

Een wiskundestudent uit Meadows
begreep niets van de theorie van Gauss.
Van statistiek werd hij ziek.
Nu studeert hij muziek
en geniet van de walsen van Strauss.

Maar weet jij waarom men de breuk 41/333
het André Rieu-getal noemt?
Je krijgt een Radetzky-mars bedenktijd.
Tip. Bereken eens de breuk met een rekentoestel.

Bron: www.rekenbeter.nl - Doordenker van 13 november 2012

12-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wanneer je aan een student vraagt om een curve met lengte π te tekenen,
dan zal hij wellicht direct denken aan een cirkel met straal 1.
Maar hoe teken je een curve met lengte π² ?

De oplossing is te vinden via een verrassende kromme. 

DE AFWIKKELKROMME

Deze kromme ontstaat door het traject te volgen van het eindpunt van een stuk touw
dat je afwindt van aan cirkelvormige klos waarbij je het touw goed gestrekt houdt.
In wiskundige vaktaal spreekt men van de cirkelevolvente.



Applet - bron: wikipedia

Wanneer de klos een diameter van 4 cm heeft
en je de draad over een hoek van 180° afwindt,
dan beschrijft het eindpunt een curve met lengte π².

Deze figuur met het bijhorend rekenwerk vind je in de bijlage.

Bijlagen:
Parametervergelijkingen van de cirkelevolvente - berekening.pdf (189.8 KB)   

Hoe teken je een curve met lengte π² ?

Wanneer je aan een student vraagt om een curve met lengte π te tekenen,
dan zal hij wellicht direct denken aan een cirkel met straal 1.
Maar hoe teken je een curve met lengte π² ?

De oplossing is te vinden via een verrassende kromme. 

DE AFWIKKELKROMME
ontstaat door het traject te volgen van het eindpunt van een stuk touw
dat je afwindt van aan cirkelvormige klos waarbij je het touw goed gestrekt houdt.
In wiskundige vaktaal spreekt men van de cirkelevolvente.



Applet - bron: wikipedia

Wanneer de klos een diameter van 4 cm heeft
en je de draad over een hoek van 180° afwindt,
dan beschrijft het eindpunt een curve met lengte π².
Hieronder zie je een figuur die ik met de TI-Nspire App heb getekend.
Op de figuur staan de parametervergelijkingen van de curve vermeld.
De curve met lengte π² begint in het punt (2,0) en eindigt in het punt P(-2, 2π)
Het rekenwerk vind je in de bijlage.
 


Via het onderstaande filmpje kan je zien hoe een afwikkelkromme
(in omgekeerde zin) kan getekend worden.

Bijlagen:
Parametervergelijkingen van de cirkelevolvente.doc (102 KB)   

PRIEMGETALLEN BLIJVEN WISKUNDIGEN FASCINEREN

 

Op 25 januari 2013 kwam de melding dat er een nieuw grootste priemgetal was gevonden:

The record is currently held by 2^{57 885 161} − 1 with 17 425 170 digits.
Its discovery resulted from the Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).

Hoe kent men het exacte aantal cijfers van dit immens groot priemgetal p?
Neem de tiendelige logaritme van p+1:
log (p+1) = 57 885 161 . log(2) = 17 425 169,7648...
Als de logaritme van een natuurlijk getal g tussen de twee opeenvolgende gehele waarden k–1  en k ligt,
 betekent dit dat het getal zelf tussen 10^k-1  en 10^k  ligt en bijgevolg heeft het getal g dan k cijfers.

Wat is het cijfer van de eenheden van het grootst gekende priemgetal?
Dat getal eindigt op het cijfer 1.
Verklaring. Als de exponent bij het grondtal 2
een viervoud +1 is, dan eindigt het getal op het cijfer 2.

PRIEMTOETJE
Dit zijn de priemgetallen tot en met 71:
2   3   5   7   11   13   17   19   23   29   31   37   41   43   47   53   59   61   67   71
 De 19 oneven priemgetallen uit dit lijstje (2 is het enige even priemgetal)
kan men in een merkwaardige stervormige figuur plaatsen
 zodat de som van de 5 priemgetallen op elke lijn gelijk is aan 167.
En 167 is zelf weer een priemgetal. Wonderbaar!

MIJN PRIEMGETALLENSTELLING.
Als men 5 optelt bij even macht van een priemgetal groter dan 3
bekomt men steeds een getal dat deelbaar is door 6.

Twee voorbeelden. 
7⁸ + 5 = 5 764 806 en  13⁶ + 5 = 4 826 814 
Dit zijn telkens even getallen waarvan de som van cijfers een 3-voud is.
Ze zijn bijgevolg deelbaar door 6.

Een bewijs zit in bijlage.

Bijlagen:
MIJN PRIEMGETALLENSTELLING.pdf (128.3 KB)   

WISKUNDE EN PERSPECTIEF

Rond de jaren 1500 waren heel wat renaissancekunstenaars op zoek naar technieken
om voorwerpen en taferelen in perspectief te tekenen.
De bovenstaande houtsnede is van de hand van Albrecht Dürer
die als grafisch kunstenaar pionierswerk leverde op het vlak van het perspectieftekenen.

Uiteraard vonden ook heel wat wiskundigen hierin inspiratie
om meetkundige stellingen op papier te zetten.
Eén van de mooiste stellingen over het centrale perspectief
is de zogenaamde STELLING VAN DESARGUES (1641).

Als de verbindingslijnen van de paren overeenkomstige hoekpunten
van twee driehoeken door één punt gaan (de perspectrix),
dan liggen de snijpunten van de paren overeenkomstige zijlijnen
van de twee driehoeken op één rechte (de perspector).

De stelling staat hieronder visueel voorgesteld op figuur 1:
als AA', BB' en CC' door één punt O gaan
dan liggen de punten P (snijpunt van AB en A'B'),
 Q (snijpunt van BC en B'C') en R (snijpunt van AC en A'C')
op eenzelfde rechte lijn. 


Voor deze stelling bestaat een verrassend mooi 'bewijs op zicht'.
Het volstaat namelijk de hele situatie driedimensionaal te bekijken.
Dat bewijs zie je dan op figuur 2,
waar men de driezijdige piramide met top O en grondvlak bepaald door A', B' en C'
doorsnijdt met het vlak bepaald door A, B en C.
De rechte door P, Q en R is dan de snijlijn van dat vlak met het grondvlak van de piramide.

Meer uitleg en een 3D-veralgemening staan vermeld in het artikel in bijlage
dat verscheen in het tijdschrift Pythagoras in april 2006.

Bijlagen:
artikel_Pythagoras_Desargues.pdf (377.5 KB)   

Bijlagen:
Oplossing van twee problemen.pdf (202.1 KB)   

WISKUNDE EN PERSPECTIEF

Rond de jaren 1500 waren heel wat renaissancekunstenaars op zoek naar technieken
om voorwerpen en taferelen in perspectief te tekenen.
De bovenstaande houtsnede is van de hand van Albrecht Dürer
die als grafisch kunstenaar pionierswerk leverde op het vlak van het perspectieftekenen.

Uiteraard vonden ook heel wat wiskundigen hierin inspiratie
om meetkundige stellingen op papier te zetten.
Eén van de mooiste stellingen over het centrale perspectief
is de zogenaamde STELLING VAN DESARGUES (1641).

Als de verbindingslijnen van de paren overeenkomstige hoekpunten
van twee driehoeken door één punt gaan (de perspectrix),
dan liggen de snijpunten van de paren overeenkomstige zijlijnen
van de twee driehoeken op één rechte (de perspector).

De stelling staat hieronder visueel voorgesteld op de linkse figuur
als AA', BB' en CC' door één punt O gaan
dan liggen de punten P (snijpunt van AB en A'B'),
 Q (snijpunt van BC en B'C') en R (snijpunt van AC en A'C')
op eenzelfde rechte lijn. 

Voor deze stelling bestaat een verrassend mooi 'bewijs op zicht'.
Het volstaat namelijk de hele situatie driedimensionaal te bekijken.
Dat bewijs zie je dan op de rechtse figuur,
waar men de driezijdige piramide met top O en grondvlak bepaald door A', B' en C'
doorsnijdt met het vlak bepaald door A, B en C.
De rechte door P, Q en R is dan de snijlijn van dat vlak met het grondvlak van de piramide.

Meer uitleg en een 3D-veralgemening staan vermeld in het artikel in bijlage
dat verscheen in het tijdschrift Pythagoras in april 2006.

Are you really sure that a floor can't also be a ceiling?

M.C. Escher

Bijlagen:
Artikel Pythagoras - stelling van Desargues.pdf (377.5 KB)   

HET NUT VAN LOGARITMEN

Tot in de jaren '70 gebruikten we in het onderwijs logaritmentafels
om berekeningen uit te voeren met heel grote getallen.
De bovenstaande afbeelding is een stukje uit een logaritmentafel
en laat bijvoorbeeld toe te weten dat log(2013) = 3,30384... .
De wijzer (geheel gedeelte) is 3 omdat 2013 ligt tussen 10³ en 10⁴.
De mantisse (5 cijfers na de komma) staat in de tabel (vind je die?).

Logaritmen werden rond 1600 ontdekt door de Schotse wiskundige John Napier
en rond 1615 verbeterde de Engelse professor Henry Briggs dit rekenwerk
door tabellen op te stellen voor decimale logaritmen.
Hij hielp hiermee Kepler die o.a. voor de berekening van de banen van de planeten
met astronomisch grote getallen moest kunnen rekenen.

Probeer eens met een rekentoestel de volgende berekening uit te voeren tot op 5 decimalen nauwkeurig:

2²⁶⁷³⁷⁷ gedeeld door 10⁸⁰⁴⁸⁸.

Door gebruik te maken van logaritmen (zie bijlage) kan je aantonen dat

TOEMAATJE
Kan je de volgende droedel oplossen?

roll: oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Logaritmen en pi.pdf (169.4 KB)   

Mathematics of Planet Earth 2013 (MPE2013)
is een wereldwijd initiatief
waarbij men de rol van de wiskunde in de kijker wil stellen
bij allerlei problemen die te maken hebben met onze aarde.

Enkele voorbeelden.
Hoe bepaalt men de leeftijd van onze aarde?
Hoe voorspelt men een tsunami of een aardbeving?
Hoe bepaalt men de daglengte?
Welke aardrijkskundige kaarten zijn het meest betrouwbaar?
Welk model gebruikt men om de opwarming van de aarde te bestuderen?
Hoe verloopt de drift van de continenten?
Welk effect hebben zonnestormen op het satellietverkeer?
Hoe verspreidt een epidemie zich op aarde?

Persoonlijk was ik het meest aangesproken door de vraag: hoe werkt het GPS-systeem?
Blijkbaar gebruikt men hiervoor 24 satellieten
die zich in zes vlakken bewegen
die een hoek van 55° maken met het evenaarsvlak.
Zonder de relativiteitstheorie van Einstein
zou het systeem niet hebben bestaan. 
Het GPS-systeem is in feite de triomf van de samenwerking tussen
fysica, wiskunde, aardrijkskunde en technologie.
 
    

Info op http://mpe2013.org/

In het kader van MPE2013
komt Prof. Dr. Stefaan Poedts op woensdag 22 mei 2013
op de proclamatie van de Vlaamse Wiskunde Olympiade
een voordracht geven over 'Zonnestormen en Ruimteweer'.

Info op www.vwo.be .

08-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Straks nemen weer heel wat jongeren deel
aan het toelatingsexamen voor de Koninklijke Militaire School.

Op http://www.rma.ac.be/nl/index.html vind je alle informatie.

In bijlage hebben we een aantal inspirerende vragen verzameld
voor het toelatingsexamen wiskunde.
In de vragenreeks viel mijn oog op deze opgave:

Bepaal twee positieve reële getallen waarvan
de som gelijk is aan het product en aan het verschil van de kwadraten.

Het kleinste getal blijkt dan gelijk te zijn aan het getal van de gulden snede:

 
Voor de Faculteit Polytechnische is er een aparte
en heel wat moeilijkere reeks vragen.
Daar vonden we onze inspiratie voor deze leuke oneigenlijke integraal
die een verband legt tussen 0, 1, 2, 4, e (het getal van Euler), ∞ en π.
Je kan de integraal berekenen via de substitutie t = e^x/4.

Bijlagen:
Toelatingsexamen KMS - Faculteit Polytechnische.pdf (380.1 KB)   
Toelatingsexamen KMS - wiskundevragen.pdf (1.4 MB)   

DE VIER-KWADRATEN-STELLING

In 1770 bewees de Italiaanse wiskundige Joseph-Louis Lagrange
(die vaak als een Fransman wordt aanzien omdat hij geruimde tijd in Parijs doceerde)
een merkwaardige stelling:

"Elk natuurlijk getal kan geschreven worden als de som van vier kwadraten."

Merk op: in veel gevallen is deze schrijfwijze niet uniek
en ook moet men soms 0² toelaten als één van de vier termen van de som.

Zo is bijvoorbeeld
49 = 1² + 4² + 4² + 4²
   = 0² + 2² +3² + 6²
    = 2² + 2² + 4² + 5²
    = 0² + 0² + 0² + 7².

De Griekse wiskundigen interpreteerden kwadraten als vierkanten
en bijgevolg zouden ze op zoek zijn gegaan naar een meetkundige voorstelling.
Hieronder zie je een 'Griekse' oplossing (dissectie in 5 stukken) waaruit blijkt dat 7² = 2² + 3² + 6².

Op http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM
staat een applet dat een willekeurig getal
schrijft als de som van vier kwadraten
(0² moet je er soms zelf bij denken).

Op 10 april 2013 is het precies 200 jaar geleden dat Lagrange is overleden.
Als eerbetoon werd hij begraven in het Panthéon in Parijs
en is zijn naam één van de 72 namen van eminente Franse wetenschappers
die gegraveerd staan op de Eiffeltoren.
Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/72_namen_op_de_Eiffeltoren .

Fiat lux!

07-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Straks nemen weer heel wat jongeren deel
aan het toelatingsexamen voor de Koninklijke Militaire School.

Op http://www.rma.ac.be/nl/index.html vind je alle informatie.

In bijlage hebben we een aantal inspirerende vragen verzameld
voor het toelatingsexamen wiskunde.
In de vragenreeks viel mijn oog op deze opgave:

Bepaal twee positieve reële getallen waarvan
de som gelijk is aan het product en aan het verschil van de kwadraten.

Het kleinste getal blijkt dan gelijk te zijn aan het getal van de gulden snede:

 
Voor de Faculteit Polytechnische is er een aparte
en heel wat moeilijkere reeks vragen.
Daar vonden we onze inspiratie voor deze leuke oneigenlijke integraal
die een verband legt tussen 0, 1, 2, 4, e (het getal van Euler), ∞ en π.
Je kunt de integraal berekenen via de substitutie t = e^x/4 :

Bijlagen:
Toelatingsexamen KMS - Faculteit Polytechnische.pdf (380.1 KB)   
Toelatingsexamen KMS - wiskundevragen.pdf (1.4 MB)   

MERKWAARDIGE CIRKELS

Als de grootste cirkel op deze figuur een straal van 6 cm heeft,
hoe groot is dan de straal van de groene, gele en blauwe cirkels?

Antwoord: 3 cm, 2 cm en 1 cm.
Dit is een leuke oefening op de stelling van Pythagoras.

Voor een uitgeschreven oplossing
en nog veel meer mooie opgaven
verwijzen we naar http://mathafou.free.fr/ .

07-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

HEURIST is een woord dat blijkbaar niet in 
Van Dale's Groot woordenboek van de Nederlandse taal is opgenomen.

Nochtans zou elke wiskundeleraar een HEURIST moeten zijn
die zijn leerlingen allerlei HEURISTIEKEN (zie bijlage) aanleert.

Zelf zou ik een HEURIST definiëren als iemand die
(bijna dagelijks) bezig is met probleemoplossend denken
 en op een creatieve manier allerlei oplossingsstrategieën toepast.

HEURIST is ook een zeven-letterwoord dat verwijst naar
HUMOR, waarmee je jouw lessen kruidt
EXPERTISE, wat elke leerling op de eerste plaats van de leraar verwacht
UITDAGING, waarmee je jouw leerlingen prikkelt
REFLECTIE, bij foutenanalyse en controle van een resultaat
INTERACTIE, via variatie in werkvormen (doceren, groepswerk, ICT...)
SUCCESERVARING, het allerbelangrijkste voor de leerling (en de leraar)
TOEPASSINGEN en Theorie, een gezond evenwicht!

In de figuur zit een mooie stelling verborgen
die in de literatuur bekend staat als
de stelling van de zeven cirkels (1974).

Kan je zelf ontdekken wat die stelling uit de vlakke meetkunde beweert?
Info op http://mathworld.wolfram.com/SevenCirclesTheorem.html .

Bijlagen:
HEURISTIEKEN.pdf (63.5 KB)   

DE KWADRATUUR VAN HET KLAVERTJE VIER



Is het mogelijk een vierkant te construeren
dat dezelfde oppervlakte heeft als de gekleurde figuur hierboven
die is opgebouwd met vier even grote cirkels die door eenzelfde punt gaan
(het witte gedeelte niet meegerekend)?

Als de vier cirkels een straal r hebben
dan is de gekleurde oppervlakte gelijk aan
4πr²  –  16(πr²/4  – r²/2) = 8r².
Dit is gelijk aan de oppervlakte van een vierkant met zijden 2√2 r.

En ja hoor, de kwadratuur lukt perfect zoals uit de twee onderstaande figuren blijkt!

        

05-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

CIRKELPROBLEEM

Een verrassend eenvoudig bewijs vind je in de bijlage.
Graag zelf eerst even zoeken a.u.b.

Bijlagen:
Cirkelprobleem opgelost.pdf (140.3 KB)   

De Amerikaanse amateurwiskundige Sam Loyd (1841-1911)
bedacht een aantal schitterende puzzels
die hij telkens in een verhaaltje wist in te kleden.

Deze Guido-mozaïek-puzzel bestaat er in een vierkant van 5 x 5 vakjes
in zo weinig mogelijk stukken te verdelen
waarmee je dan een vierkant van 4 x 4 vakjes
en een vierkant van 3 x 3 vakjes kunt vormen.

Dit is in feite een mooie variatie op de stelling van Pythagoras
die garandeert dat 3² + 4² = 5².

Met GeoGebra hebben we de onderstaande oplossing uitgetekend.



De puzzels van Sam Loyd vind je op www.samloyd.com 

03-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

HOOGTEPUNT DEEL 2

Teken eens een driehoek ABC waarvan de drie hoekpunten op de eenheidscirkel liggen
(de cirkel met de oorsprong als middelpunt en met een straal gelijk aan 1).
Als de hoekpunten van de driehoek de volgende coördinaten hebben
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) en C(x₃, y₃)
dan is de coördinaat van het hoogtepunt H van driehoek ABC
bepaald door H(x₁ + x₂ + x₃, y₁ + y₂ + y₃).

Hieronder staat een voorbeeld ter illustratie (getekend met GeoGebra).

Je kunt het rekenwerk gemakkelijk controleren aangezien H nagenoeg (0, - 0,5) als coördinaat heeft.

Een bewijs zit in bijlage.

Bijlagen:
Hoogtepunt driehoek en eenheidscirkel.pdf (201.8 KB)