"Dat niemand hier binnentrede
zonder kennis van de geometrie."

Dit opschrift stond boven de ingang van de Academie die Plato in 387 v. Chr. in Athene oprichtte.
Dit was in feite de eerste universiteit ter wereld.
De leerlingen kregen er onderricht in de filosofie en de wiskunde
die in die tijd voornamelijk meetkundig geïnspireerd was.
In feite bewezen de oude Grieken ook heel wat eigenschappen uit de getallenleer
op een louter meetkundige manier;

Hieronder vermelden we een voorbeeld met een typisch voorbeeld met een 'Grieks' bewijs.

De alternerende kwadratensommen (in het linkerlid) leveren blijkbaar de driehoeksgetallen op:

1² = 1
2² –  1² = 4 – 1 = 3
3² – 2² + 1² = 9 – 4 + 1 = 6
4² – 3² + 2² – 1² = 16 – 9 + 4 – 1 = 10
5² – 4² + 3² – 2² + 1² = 25 – 16 + 9 – 4 + 1 = 15
...

De getallen 1, 3, 6, 10, 15 ... zijn inderdaad de driehoeksgetallen

ALGEMENE FORMULE VOOR DE ALTERNERENDE KWADRATENSOM:

BEWIJS
 

Zie je het?

16-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Onmogelijke figuren en getrukeerde foto's hebben een magische uitstraling.
Met behulp van computerprogramma's slaagt nu haast iedereen erin te 'fotoshoppen'.

In het Nederlands wiskundetijdschrift Pythagoras
verschenen regelmatig leuke knutselfiguren.

Hieronder staan twee gekende onmogelijke figuren afgebeeld.

De linkse figuur is gemaakt uit een rechthoekig stuk papier
dat ik met een schaar enkele keren heb ingeknipt.
Kan je die namaken?

De rechtse vlakke figuur bestaat uit twee verschillende vierkanten
die enkele keren zijn ingeknipt en dan in elkaar geschoven.
Merk op dat er geen losse stukjes bij zijn.
Probeer die maar eens na te maken!



Oplossingen vind je o.a. in het boek De Pythagoras Code
(Uitgeverij Bert Bakker, Amsterdam, 2011).

 

16-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) (598 – 668) was een Indiase wiskundige en astronoom.
Hij wordt gezien als de uitvinder van het getal nul.
Hij hield zich o.a. bezig met het oplossen van vergelijkingen van de eerste en tweede graad
en gebruikte hiervoor algebraïsch rekenwerk.
Hij paste ook als eerste algebra toe om problemen uit de astronomie op te lossen.
Bron: wikipedia.

Hij is vooral bekend voor het bewijs van de formule voor de oppervlakte van een koordenvierhoek:

waarbij s gelijk is aan de halve omtrek van de koordenvierhoek, d.w.z.

 De formule van Brahmagupta veralgemeent de formule van Heron voor de oppervlakte van een driehoek.
Zie hiervoor: http://nl.wikipedia.org/wiki/Formule_van_Heron.

Brahmagupta bewees nog een andere merkwaardige stelling voor een koordenvierhoek.

In bijlage zit een bewijs van deze stelling
en van de formule voor de oppervlakte van een koordenvierhoek.
Hopelijk val je van de elegantie hiervan niet achterover!

Bijlagen:
De stelling van Brahmagupta.pdf (127.3 KB)   
Formule van Brahmagupta voor de oppervlakte K van een koordenvierhoek.pdf (214.3 KB)   

Doordat de Griekse wiskundigen eeuwen geleden zochten naar een oplossing
voor de kwadratuur van de cirkel, zochten ze meteen ook op een aantal aanverwante problemen.

In mijn eigen schooltijd leerden we bijvoorbeeld nog hoe je een vierkant construeert
(met passer en liniaal) dat dezelfde oppervlakte heeft als een gegeven veelhoek.

STAP 1.
Construeer een (n-1)-hoek met dezelfde oppervlakte als een gegeven n-hoek.
We illusteren dit aan de hand van de constructie van een driehoek CDE
die dezelfde oppervlakte heeft als de gegeven vierhoek ABCD.
Kan je uitleggen hoe deze constructie verloopt en waarom ze correct is?

Door deze stap n-3 keer na elkaar toe te passen kan je dan
 een n-hoek omvormen tot een driehoek met dezelfde oppervlakte.

STAP 2
Construeer een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een gegeven driehoek.
Hieronder heeft het vierkant PQRS dezelfde oppervlakte als de driehoek ABC.
Kan je verklaren waarom deze constructie correct is?

13-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wie er 35 euro voor over heeft, krijgt van in het pretpark Walibi een Speedy Pass, waarmee hij elke wachtrij mag voorbijlopen.
Wouter Rogiest van de UGent rekende uit welke invloed de speedy pass heeft op de wachttijd voor de gewone bezoeker.

Met de hulp van de wachtlijntheorie berekende hij dat de wachttijd voor de gewone bezoeker zou verdubbelen als de helft van de bezoekers van Walibi een speedy pass zou nemen.

Ziehier de formules waarmee je de gemiddelde wachtiijd aan een attractie kunt berekenen:



De eerste formule levert de gemiddelde wachttijd van een willekeurige klant, in een systeem dat werkt zonder pasje, W₀.

De tweede en derde formule gelden in een systeem met pasje, en leveren de gemiddelde wachttijd van een klant mét (W₁) en een klant zonder pasje (W₂). In de formules komen drie variabelen voor.

· a, 0<a<1, de fractie van bezoekers met een pasje, bijv. 0,10 als 1 op de 10 een pasje heeft.
· r, 0≤r<1, de bezettingsgraad van de attractie, bijv. 0,95 voor een attractie die 95% van de tijd gebruikt wordt.
· S, S>0, de vaste bedieningstijd per klant, bijv. 6 seconden, voor een attractie die om de drie minuten 30 bezoekers bedient.

Op de onderstaande grafiek kan je zien hoe de wachttijd van de gewone bezoeker toeneemt naarmate er meer bezoekers over een pasje beschikken.
 


Indien minder dan 10 procent van de bezoekers een speedy pass heeft, dan blijft de extra wachttijd voor de bezoekers zonder speedy pass echter beperkt.

Problematisch zou het wel worden als bezoekers met een speedy pass een bepaalde attractie verschillende keren na mekaar doen.

Walibi liet eerder al verstaan dat het maximum 500 speedy passen per dag zou verkopen, dus wellicht blijft de hinder eerder beperkt.

Bron: http://eoswetenschap.eu

13-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Heel wat studenten blijken problemen te hebben met partiële integratie.
Zeker wanneer deze techniek enkele keren na elkaar moet toegepast worden.
Er bestaat echter een eenvoudig rekenschema waarmee je deze problemen omzeilt.

De methode kan toegepast worden in twee gevallen:
1) bij integratie van het product van een veeltermfunctie en een functie met als voorschrift f(x) = sin ax of f(x) = cos ax;
2) bij integratie van het product van een veeltermfunctie en een functie met als voorschrift f(x) = e^ax.
Hierbij is a een reëel getal.

WERKWIJZE
1. Maak twee kolommen.
   In de linkse kolom leid je de veeltermfunctie verschillende keren na elkaar af tot je 0 bekomt.
   In de rechtse kolom integreer je de andere functie evenveel keer na elkaar.
2. Trek diagonaalsgewijze pijlen (zie onderstaande voorbeelden).
    Hiermee weet je welke term uit de linkse en de rechtse kolom je met elkaar moet vermenigvuldigen:
    de eerste uit de linkse met de tweede uit de rechtse enzovoort.
3. Zet bij die pijlen afwisselend een plusteken en een minteken.
   Een plusteken geeft aan dat je het teken van het gemaakte product behoudt.
   Een minteken geeft aan dat je het teken verandert.
4. Tel de bekomen producten samen.

Twee eenvoudige voorbeelden illustreren deze werkwijze.

12-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Zopas kocht ik dit boek van Herman Boel aan.
De titel alleen al (666 is het bijbelse getal van het beest) daagde me uit.
Ik wou wel eens willen weten of er ook leugens bij waren die verwijzen naar getallen.
En ja hoor!

Zo blijkt het aantal poten van een duizendpoot te variëren tussen 20 en 382.
Het aantal paar poten van een duizendpoot is blijkbaar steeds oneven.

We hebben geen twee neusgaten, maar vier waarvan er twee uitwendig zichtbaar zijn.
De andere twee zitten in onze neus!

Men zegt wel eens dat een hondenjaar of een kattenjaar telt voor zeven mensenjaren.
Ook dit is niet juist. 
Kleinere honden leven doorgaans langer dan grote honden
en gemiddeld gezien leeft een kat langer dan een hond.
De onderstaande tabel geeft correctere informatie over de leeftijd van katten.

Bron: Dierenkliniek Vrieselaar

En wil je weten waarom de kans op kop en munt niet gelijk is bij het opgooien van een muntstuk?
Koop dan vlug dit leuke boek aan!

10-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Een wiskundige formule voor geluk: de werkelijkheid gedeeld door verwachtingen.

Wiskundige formules hebben vaak een magische uitstraling althans voor wie ze begrijpt.

Hieronder stel ik een zelfbedachte formule voor, die ik om diverse redenen merkwaardig vind:
ze bevat de bewerkingen optellen, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffing en worteltrekking.
De getallen 0, 1, π, e en i komen erin voor.
De wiskundige functies sin en ln (sinus en logarithmus naturalis) worden toegepast.
Beide functies verwijzen nog naar de tijd dat het Latijn de taal van de wetenschappers was.
Het getal 666 (het bijbelse getal van het beest) duikt hierin op.
Over de merkwaardige eigenschappen van dit getal
lees je meer op mijn blog via de zoekopdracht getallen in de bijbel.

Om een duistere reden kan je de geldigheid van deze formule
niet controleren met een grafisch rekentoestel zoals de TI-84.
Met de TI-Nspire en door gewoon een beetje na te denken lukt het dan weer wel!

    

En ken je deze formule om het volume van een pizza te berekenen?

09-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

RECHTHOEK, DRIEHOEK en PHI

In de onderstaande opgave komt het getal φ (gulden snede) op een verrassende manier te voorschijn.

In een rechthoek ABCD wordt de driehoek BFE getekend waarbij E op [AD] ligt  en F op [CD]
en zo dat ΔABE, ΔBCF en ΔFDE dezelfde oppervlakte hebben.
Als |CF| = a en |FD| = b, toon dan aan dat b/a = φ.

Stappenplan.

1. Toon aan dat uit het gegeven en met de notaties op de figuur geldt dat
(a + b)d = a(c + d) = bc.
2. Toon aan dat dit de volgende twee vergelijkingen oplevert:
bd = ac  en bc = a(c + d).
3. Substitueer c = bd/a in de tweede vergelijking en toon aan dat
b² = ab + a².
4. Maak hiervan een vierkantsvergelijking in b/a en los op.

Merk op: dan is ook c/d = φ.



Collega Marco Swaen uit Amsterdam
bezorgde onlangs een originele oplossing (in bijlage).

Bijlagen:
Bewijs van Marco.pdf (82 KB)   

'GRIEKSE' ONEINDIGE SOM

Hieronder zie je twee 'bewijzen zonder woorden' voor de formule die onder de figuren staat vermeld.
Een 'Griekse manier' van bewijzen.
WISKUNDE ZIE JE!

GEZIEN?

03-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE FIBONACCIDRIEHOEK

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
De beroemde rij van Fibonacci komt op een verrassende manier te voorschijn
in de zogenaamde Fibonaccidriehoek die hieronder staat afgebeeld.

Het rooster bestaat uit gelijkzijdige driehoekjes waarvan de zijden lengte 1 hebben.

De lengte van de zijden van de gele ruiten zijn de opeenvolgende getallen uit de rij van Fiboancci.
Bij elk gelijkbenig trapezium (in het rood op de linkse figuur) zijn de lengtes van de kleine basis,
van de twee opstaande zijden en van de grote basis drie opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci.

             
       

Elk gelijkbenig trapezium is de som van een parallellogram en een gelijkzijdige driehoek.
Men ziet direct dat de lengte van de grote basis van elk trapezium
de som is van twee opeenvolgende Fibonaccigetallen en bijgevolg zelf een Fibonaccigetal is.

f_n + f_n+1 = f_n+2 .
 

Bron: http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci_Triangle/Fibonacci_Triangle.htm

                                      

03-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

FROBENIUSGETAL



Ferdinand Georg Frobenius (1849 - 1917) was een Duitse wiskundige
die het volgende probleem formuleerde:

Stel dat er slechts muntstukken met twee verschillende waarden in omloop zijn.
Wat is dan het grootste bedrag dat je NIET kunt betalen in muntstukken?

Neem het voorbeeld van een fictief land waar men enkel met muntstukken van 4 en van 5 cent kan betalen.
Dan blijkt dat men de waarden van 1, 2, 3, 6, 7 en 11 cent niet kan betalen.
Bovendien is 11 cent het hoogste bedrag dan men met die twee soorten munten niet kan betalen!
11 is het zogenaamde Frobeniusgetal voor de twee getallen 4 en 5.



Het was de Engelse wiskundige James Joseph Sylvester (1814 - 1897) die in 1884
de volgende formule bewees voor dit probleem:

Als a en b geen gemeenschappelijke priemfactor hebben
dan is het Frobeniusgetal voor a en b gelijk aan ab – (a + b).

Met a = 4 en b = 5 komt men zo aan  4 x 5 – (4 + 5) = 11.



Een leuk probleem om zelf eens over na te denken is het volgende.

Bij McDonald's verkoopt men Chicken McNuggets is drie verschillende verpakkingen:
pakjes met 6 nuggets, met 9 nuggets en met 20 nuggets.
Wat is dan het grootste aantal nuggets dat men niet kan bestellen
via pakjes van deze drie verschillende soorten?

Wie snel de oplossing wil weten, bekijkt best direct het onderstaande filmpje.

02-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Vandaag ontving ik het schitterend geïllustreerde geschenkboek Wiskunde in beeld.
Met dank aan de organisatoren van de Vlaamse Wiskunde Olympiade!

Daarin viel mij oog op een eenvoudig probleem uit de vlakke meetkunde dat ook een verrassende oplossing heeft.

Vertrek van twee elkaar snijdende cirkels.
Waar liggen de middelpunten van de cirkels die aan beide cirkels raken
en die ook volledig binnen één van de twee gegeven cirkels gelegen zijn?

Blijkbaar ligt het middelpunt M van elk van deze cirkels op een ellips
die de middelpunten A en B van de twee gegeven cirkels als brandpunten heeft.

Het bewijs is vrij eenvoudig als je weet dat de verzameling van de punten uit het vlak
waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten constant is, een ellips is.

Bij dit probleem is |AM| + |BM| = |AC| + |CM| + |BM| = |AC| + |DM| + |MB| = |AC| + |BD|
en dit is precies gelijk aan de som van de stralen van de twee gegeven cirkels!

31-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

WISKUNDE EN DE HIMALAYA



Op 29 mei 1953 (precies 60 jaar geleden) bereikte de Nieuw-Zeelandse bergbeklimmer
Edmund Hillary samen met de sherpa Tenzing Norgay als eerste de top van de Himalaya.

Meteen een reden om even stil te staan bij het begrip stijgingspercentage.



Bij een helling van 10 % stijgt het wegdek 10 meter op een afstand van 100 meter.
Op de bovenstaande figuur is dan Δh/d = 10/100.
In de praktijk is de horizontale afstand d echter moeilijk op te meten
zodat men dan beter zijn toevlucht kan nemen tot de afstand l die men op het wegdek aflegt.
Voor kleinere stijgingsprecentages geeft dit geen groot verschil voor de bijhorende hellingshoek α:

Δh/d = 10/100 = tan α   → α = 5,71°
Δh/l = 10/100 = sin α  → α = 5,74 °.


Stijgingspercentages met de bijkhorende hellingshoeken.
Bron: wikipedia.

WEETJE.
Wist je dat de Himalaya niet de hoogste berg is op aarde?
Alles hangt er immers van af hoe men de meting uitvoert.
De Himalaya steekt 8 848 meter uit boven het zeeniveau.
Wanneer men echter de hoogte van een berg opmeet vanaf de voet tot aan de top,
dan blijkt de Mauna Kea met de eerste prijs weg te lopen!

De Mauna Kea is een slapende vulkaan en gelegen in de grote oceaan op Hawaï.
Vanaf zeeniveau meet deze berg 4 205 meter, maar gerekend vanaf de zeebodem meet hij 10 203 meter.
Hiermee is de Mauna Kea de hoogste berg totalitair gezien op aarde.

29-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

STELLING VAN DE GEBROKEN KOORDE

Aan Archimedes wordt de volgende 'vergeten stelling'
uit de vlakke meetkunde toegeschreven.

De lijnstukken [AC] en [CB] vormen een gebroken koorde in een cirkel (met |AC| > |CB|).
Als P het midden is van de boog ACB en als M het voetpunt is van de loodlijn uit P op [AC]
dan is M ook het midden van de gebroken koorde.

Op het eerste gezicht is dit een vrij logisch resultaat
maar het bewijs ervan vraagt toch wat creativiteit!

Misschien geraak je wel enthousiast over deze stelling als je de twee bewijzen ervan in bijlage bekijkt ?!

Bijlagen:
STELLING VAN DE GEBROKEN KOORDE.pdf (193 KB)   

MAGISCHE SUDOKU
Bron: http://www.multimagie.com/

Dit is ongetwijfeld het meest verbluffende magische vierkant
dat bovendien de eigenschappen heeft van een sudoku!

In dit vierkant staan alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 81.
De som van de 9 getallen op elke horizontale rij, in elke vertikale kolom 
en op de twee diagonalen is gelijk aan 369.
De som van de 9 getallen in elk 3x3-deelvierkant (geel of blauw) is 369.

Als men alle getallen in dit vierkant kwadrateert,
bekomt men opnieuw een magisch vierkant 
dat weer dezelfde eigenschappen heeft als het vierkant zelf!
De som van de 9 kwadraatgetallen op elke horizontale rij, in elke vertikale kolom 
en op de twee diagonalen is gelijk aan 20 049.
De som van de 9 kwadraatgetallen in elk 3x3-deelvierkant (geel of blauw) is 20 049.



MAGIC!

26-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

REP-TILES

Een vlakke meetkundige figuur die je kunt verdelen in kleinere even grote figuren
die allemaal gelijkvormige zijn met de oorspronkelijk figuur noemt men 
(met een Engelse term) een rep-tile (rep = repetitief, herhaald, tile = tegel).
Hierboven staan een collectie rep-tiles afgebeeld.
Bron: wikipedia.

Wanneer men dan elke deelfiguur op dezelfde manier weer gaat opdelen
in nog kleinere gelijkvormige deelfiguren ontstaat een fractal.
Hieronder illustreren we dit aan de hand van een gelijkzijdige driehoek
die eerst wordt opgedeeld in vier kleinere gelijkzijdige driehoeken.
Als men dit procédé blijft herhalen op de deelfiguren
onstaat de zogenaamde Sierpinski-fractal.



Weetje. Tot op heden is er slechts één vijfhoekige reptile gevonden: de zogenaamde sphinx.

21-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

GULDEN RECHTHOEK

Een gulden rechthoek is een rechthoek waarvan de verhouding van de lengte tot breedte
gelijk is aan het getal  φ van de gulden snede.

De gulden rechthoek speelt een bijzondere rol in de kunst.
Zo blijkt de voorgevel van het Parthenon perfect te passen binnen een gulden rechthoek.
De Griekse letter φ (phi) zou dan ook verwijzen naar Phidias, de bouwheer van deze tempel.



       

Voor de constructie met passer en liniaal van een gulden rechthoek
verwijzen praktisch alle bronnen naar de bovenstaande linkse figuur.
Ik vraag me af waarom men het niet doet volgens de rechtse figuur
die vertrekt van een rechthoekige driehoek waarvan de zijden lengte 1, 2 en √5 hebben.
Toch veel eenvoudiger?

Een dergelijke rechthoekige driehoek kan je bovendien 'opvullen'
met vijf kleinere congruente driehoeken die gelijkvormig zijn met de grote driehoek, zoals je op de bovenstaande figuur ziet..
We hebben hier dus een mooi voorbeeld van een rep-tile (zie voorgaande rubriek op mijn blog).
              

18-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Hoe ver ligt de horizon als je kijkt vanop een toren met hoogte h?



Stel dat h jouw ooghoogte is en dat we voor de gemiddelde aardstraal R de waarde 6 370 km nemen.
Via de stelling van Pythagoras kunnen we dan hiermee berekenen hoe ver je kunt zien
(d.w.z. op welke afstand D de horizon ligt):

D² = (h + R)² – R² zodat D² = 2Rh + h².

Hierbij is h² verwaarloosbaar klein ten opzichte van de term 2Rh, zodat D ≈  √(2Rh).

Rekening houdend met de waarde van R kunnen dan bij benadering stellen dat D = 3,6 . √h
waarbij de ooghoogte h in meter is uitgedrukt en D in kilometer.

Begin mei 2013 werd op het One World Trade Center in New York
(op de plaats waar de Twin Towers stonden) als sluitstuk een antenne geplaatst.
De toren werd hiermee 541,325 meter hoog.
Als je weet dat 1 voet overeenkomt met 0,3048 meter dan blijkt dat de toren 1776 voet hoog is.
En 1776 is niet toevallig het jaar van de Amerikaanse onfhankelijkheidsverklaring!

Kan je nu ook berekenen hoe ver de arbeiders konden zien toen ze die antenne plaatsten?
En hoe ver ziet een persoon de horizon als zijn ooghoogte 1,70 meter bedraagt?

16-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Phi en de regelmatige vijfhoek

Hieronder is een regelmatige vijfhoek getekend.

Waarom is de verhouding van de lengte van de diagonalen tot de lengte van de zijden  gelijk aan het getal φ (gulden snede)?

Dit betekent m.a.w. dat de diagonalen lengte φ hebben als de zijden lengte 1 hebben!

Gebruik hiervoor de onderstaande figuur en de gekende goniometrische waarde (zie bijlage)

En wist je dat er in een icosaëder (regelmatig twintigvlak)
drie gulden rechthoeken verscholen zitten.
Dit zijn rechthoeken waarvan de verhouding van de lengte tot de breedte gelijk is aan φ.

Zie bijvoorbeeld: http://www.goldennumber.net/geometry/

Bijlagen:
Berekening cos 36°.pdf (173.7 KB)