Op 21 juli 2013 wordt Filip (ou Philippe pour les Wallons) de zevende koning der Belgen. Tijd om even te spelen met het volmaakte cijfer 6.
Kan je zelf de ontbrekende som vinden (6 vormen met 3 keer het cijfer 6)?
We maakten hierbij enkele keren gebruik van het faculteitsteken (!). Dit wiskundig symbool werd in 1808 ingevoerd door de Franse wiskundige Christian Kramp.
Per definitie is voor elk natuurlijk getal n het getal n! (lees: n-faculteit) gelijk aan het product van de getallen van 1 tot en met n: n! = n.(n 1).(n 2). ... . 2.1. Zo is bijvoorbeeld 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
Men stelt per definitie 0! = 1. Hiervoor is er uiteraard een verklaring. Het aantal manieren om een groep van k personen te kiezen uit een groep van n is
Voor k = n is er 1 selectie mogelijk, nl. de gehele groep kiezen! Dan staat er in de noemer van de formule n!(n n)! = n!0! = n! (want 0! = 1) wat precies gelijk is aan de teller.
Thomas Carlyle (1795 - 1881) bracht op een creatieve manier een cirkel in verband met de oplossingen van een willekeurige vierkantsvergelijking.
Stel dat x1 en x2 de twee reële oplossingen zijn ax² + bx + c = 0. We noemen s de som en p het product van de oplossingen: s = x1+ x2 en p = x1. x2 . In het vierde jaar van het middelbaar onderwijs leert men dan dat x1 en x2 meteen ook de oplossingen zijn van de vergelijking x² sx + p = 0.
Carlyle ontdekte dat de cirkel die in een rechthoekig assenstelsel als middellijn [AB] heeft met A(0,1) en B(s,p) de x-as snijdt in de punten met als abscis x1 en x2.
Op het onderstaande voorbeeld is s = 6 en p = 8.
Kan je aantonen dat de cirkel van Carlyle (in het algemeen) de volgende vergelijking heeft: x(x s) + (y 1)(y p) = 0 ?
Ziehier een mooi meetkundevraagstukje dat je met behulp van de stelling van Pythagoras heel eenvoudig kunt oplossen.
In een cirkel met middelpunt M en straal r is een regelmatige twaalfhoek ingeschreven. P is een willekeurig punt op de cirkelomtrek. Toon aan dat de som van de kwadraten van de afstanden van P tot de 12 hoekpunten constant is (d.w.z. onafhankelijk van de ligging van P).
Tip. Verbind P met twee overstaande hoekpunten (bijvoorbeeld A en G) en pas dan de stelling van Pythagoras toe.
Het Liber Abaci van Leonardo van Pisa (beter bekend onder de naam Fibonacci) is wellicht één van de meest invloedrijke wiskundeboeken die ooit werden gepubliceerd. Het verscheen voor het eerst in 1202 en toonde het nut aan van het rekenen in het decimaal talstelsel met de Arabische cijfers.
Laten we niet vergeten dat onder invloed van dit boek iedereen nu direct snapt dat het getal 423 in het decimaal talselsel gelijk is als 4 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100. In het vijftallig talstelsel zou 423 dan gelijk zijn aan 4 x 52 + 2 x 51 + 3 x 50 of dus (decimaal) aan 108.
EEN EIGENSCHAP DIE GELDIG IS IN ELK TALSTELSEL
In elk talstelsel geldt dat 111 een deler is van 10101.
Bewijs. In het talstelsel met basis a is 10101 gelijk aan 1 x a4 + 1 x a2 + 1 x a0 of dus aan a4 + a2 + 1. Het getal 111 is dan gelijk aan a2 + a + 1.
Welnu, a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 a + 1). Q.E.D.
Controleer je even deze eigenschap in het decimaal talselsel en in het talstelsel met basis 5?
ANTWOORD. Het zijn de enige getallen (in het decimaal talstelsel) die zichzelf op de volgende manier omschrijven: het eerste cijfer geeft aan hoeveel nullen er in het getal voorkomen, het tweede cijfer geeft aan hoeveel keer het cijfer 1 in het getal voorkomt, het derde cijfer geeft aan hoeveel keer het cijfer 2 in het getal voorkomt, enzovoort.
Dergelijke getallen noemt men daarom autobiografisch.
Een vraagje dat hierop lijkt, duikt op in heel veel wiskundehandboeken in het hoofdstuk over rijen. Vind de zesde term in deze rij: 0, 10, 1 011, 1 031, 102 113, ?
Dit zijn twee merkwaardige formules om ln 2 te berekenen.
Volgens de eerste sommatieformule is ln 2 = 1 1/2 + 1/3 1/4 + 1/5 1/6 + .... Deze formule volgt uit de Maclaurinreeks voor f(x) = ln(1 + x), nl. ln(1 + x) = x x/2 + x/3 x/4 + x/5 x/6 + ... waarin men x = 1 stelt.
Volgens de tweede formule is ln 2 = 1/2 + 1/12 + 1/30 + 1/56 + ... waarbij de noemers van de breuken achtereenvolgens gelijk zijn aan 1 x 2, 3 x 4, 5 x 6, 7 x 8, enzovoort. Dat deze formule gelijk is aan de eerste uitdrukking volgt direct uit het feit dat 1/((2n+1)(2n+2)) = 1/(2n+1) 1/(2n+2).
Het merkwaardig getal ln 2 is ook gelijk aan het maatgetal van de oppervlakte van het vlak gebied tussen de grafiek van f(x) = 1/x en de x-as tussen de verticale rechten x = 1 en x = 2, maar ook tussen de verticale rechten x = a en x = 2a (met a > 0).
Deze eigenschap controleert men direct via een bepaalde integraal:
2000 was het Internationaal Jaar van de Wiskunde. Heel wat landen (waaronder België) brachten voor die gelegenheid een postzegel uit. Slechts op enkele ervan staat het getal π afgebeeld. Hierboven zie je dat dit het geval was voor een postzegels van Monaco.
Nikolai Luzin was een eminente Russische wiskundige die van 1920 tot 1930 aan de Universiteit van Moscou een onderzoeksseminarie leidde. Heel wat doctoraatsstudenten werkten er onder zijn leiding en een aantal ervan werden later beroemde Sovjet-wiskundigen.
De Vereniging van Colombiaanse Ingenieurs heeft een logo waarin het getal π staat afgebeeld.
En vind je ook π op de bovenstaande herdenkingszegels?
Op deze omslag met een bijzondere eerste-dag-afstempeling staat een tekening van de grote piramide van Cheops waarbij de afmetingen ervan in verband worden gebracht met het getal π.
En blijkbaar zijn de postzegels waarop het getal e (getal van Euler e = 2,71828...) staat afgebeeld nog veel zeldzamer!
In 1998 vond in Berlijn een Internationaal Wiskunde Congres plaats. Er verscheen toen een postzegel waarin een vierkant staat afgebeeld dat zelf weer met vierkanten is opgevuld en op de achtergrond zie je het getal pi met heel veel cijfers na de komma.
Karl Weierstrass (1815-1897) wordt wel eens de vader van de moderne analyse genoemd. Hij definieerde een functie die overal continu is, maar nergens differentieerbaar. In de definitie van de functie van Weierstrass komt het getal π voor.
Augustin Cauchy (1789-1857) was een Franse wiskundige die de basis legde voor de complexe functietheorie. Hij bewees o.a. een formule voor een kringintegraal waarin het getal π opduikt. Die formule van Cauchy staat bovenaan op de herdenkingszegel afgebeeld.
Dat Garfield gelijk heeft kan je aantonen door te bewijzen dat de functie met als voorschrift f(x) = ex /xe met x > 0 een minimum bereikt voor x = e waarbij f(e) = 1.
Dit jaar waren er 5 289 studenten ingeschreven voor deelname aan het toelatingsexamen voor arts en tandarts, dat sedert 1997 bestaat. Dit is een toename met 11 % in vergelijking met vorig jaar. Bijna 1 op 5 deelnemers komt uit Nederland. Opvallend is dat bijna 600 deelnemers uit het vijfde jaar komen. De proef werd op 2 juli 2013 georganiseerd in Brussels Expo.
Vorig jaar slaagde 16,6 procent (1 op 6) in de zittijd van juli.
En zopas zijn ook de resultaten bekend van de eerste zittijd van dit jaar. Van de 5 289 ingeschreven kandidaten legden 4 737 studenten, of 89,5 procent, het volledige examen af. Na deliberatie slaagden 695 kandidaten. Dit aantal is iets lager dan in juli vorig jaar (712 in juli 2012). Door het gestegen aantal deelnemers (er waren 4 301 deelnemers in juli 2012) is het slaagpercentage voor juli 2013 daarom 14,7 procent van de deelnemers. Als we echter ook de studenten meetellen die niet het volledige examen hebben afgelegd komen op een een slaagpercentage van 13,1 procent of bijna 1 op 8. Van de vijfdejaarsstudenten die deelnamen slaagde 1,2 procent.
Neem je nog even de tijd voor een wiskundig examenvraagstuk?
Birgit nam dit jaar deel aan het toelatingsexamen voor arts en tandarts. Ze was één van de 49 deelnemers in vak 23. De studenten in dit vak waren genummerd van 1 tot en met 49. Birgit stelde iets merkwaardigs vast: de som van de nummers die kleiner waren dan haar nummer was precies gelijk aan de som van de nummers die groter waren dan het hare. Welk nummer had Birgit?
Neem er even een blad papier en een balpen bij voor een cijferwerkje.
STAP 1. Kies jouw lievelingscijfer uit de rij 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9. STAP 2. Vermenigvuldig het gekozen cijfer (uit het hoofd!) met 9. STAP 3. Vermenigvuldig nu (manueel!) het bekomen getal met het getal 12 345 679.
We maken even een berekening met het 'Hamletgetal ' X = 1372.
Neem er een rekentoestel bij.
STAP 1. Tik twee keer na elkaar het getal X = 1372 (dus 13721372) in op jouw rekentoestel. STAP 2. Deel dit getal door 137. STAP 3. Deel de uitkomst door het getal X (dus door 1372). STAP 4. Tel tenslotte bij het resultaat 27 op. Je bekomt 100.
Kies nu zelf een ander getal X van 4 cijfers en herhaal de vier stappen. Wedden dat je uiteindelijk ook weer 100 bekomt!
Als je nu aan een student vraagt hoeveel de vierkantswortel uit 57 121 is, dan zal die ongetwijfeld naar zijn rekentoestel (of iPhone?) grijpen.
Laten we niet vergeten dat de firma Hewlett-Packard pas in 1972 de eerste wetenschappelijke zakrekenmachine op de markt bracht (de HP-35). Tot dan leerden we in de middelbare school aan hoe men dit manueel kan doen.
Het was mijn eminente wiskundeleraar Frans Vandendriessche die me de techniek in 1965 aanleerde. Ik mocht 43 jaar later zijn afscheidsles bijwonen. En als je goed toekijkt, dan bemerk je dat hij in die les op het bord nog een levensecht vraagstukje voorschotelde aan zijn leerlingen (dat je hopelijk zonder vierkantsworteltrekking kunt oplossen):
Sara en Laura is een tweeling van 13 jaar. Wanneer zijn ze samen even oud als hun moeder die nu 45 jaar is?
Hieronder zie je hoe men manueel kan berekenen dat de vierkantswortel uit 57 121 gelijk is aan 239 en de vierkantswortel uit 229 441 aan 479. Hoe de berekening verloopt lees je in een bijlage. In een tweede bijlage wordt de methode verklaard aan de hand van een mooie werktekst.
Vandaag 3 juli 2013 is er groot nieuws! Koning Albert maakte zonet bekend dat hij op 21 juli aftreedt en dat prins Filip dan de nieuwe koning van België wordt.
Op deze zeldzame foto uit de jaren '80 zie je Albert samen met zijn sportieve zonen Filip en Laurent.
Ik dacht meteen aan de meerkeuzevraag die ik dit jaar heb ingediend voor de Junior Wiskunde Olympiade (tweede ronde - vraag 30). Los jij ze op?
Filip, zijn broer Laurent en hun vader Albert lopen de 100 meter. Ze starten tegelijk en elk loopt met een constante snelheid. Wanneer Filip de eindmeet bereikt, heeft Laurent nog 10 meter af te leggen en wanneer Laurent de eindmeet bereikt, heeft Albert nog 20 meter af te leggen. Hoeveel meter moet Albert nog afleggen wanneer Filip de eindmeet bereikt?
In de jaren '30 kwamen in het Szkoka Café (Schots café) in de Poolse stad Lwow een aantal jonge wiskundigen geregeld samen om er te discussiëren over wiskundige problemen. Een aantal van die problemen werden opgetekend in een boek dat nu bekend staat als het Schotse boek.
Eén van die ongeveer 200 problemen was het volgende. Is het mogelijk een vierkant te verdelen in een aantal vierkanten die allemaal verschillende afmetingen hebben?
Reeds in 1940 werd een oplossing gevonden met 55 onderling verschillende vierkanten. Het was de Nederlander Arie Duijvestijn die in 1962 bewees dat het nooit met minder dan 21 vierkanten zou kunnen. En dat het effectief ook met 21 vierkanten kan bewees hij in 1978 door een computer te gebruiken.
Op http://squaring.net/ vind je nog veel meer informatie over hoe een vierkant kan worden opgevuld.
In 1998 verscheen in Duitsland een postzegel waarop een vierkant vol vierkanten staat afgebeeld. De zegel verscheen naar aanleiding van het Internationaal Wiskunde Congres in Berlijn. Wie goed kijkt ziet op de achtergrond zelfs het getal pi verschijnen.
In dit verband vond ik zelf de onderstaande figuur fascinerend: een vierkant wordt opgevuld met vijf rechthoekige driehoeken waarvan de zijden telkens gehele afmetingen hebben. Een leuke toepassing met Pythagorese drietallen!
Sidonie heeft een luxe-editie van de avonturen van Suske en Wiske aangekocht. De reeks bevat 15 delen en de boeken zijn ook genummerd van 1 tot en met 15. Op een zekere dag stelt haar man Lambik iets bijzonders vast. De boeken blijken in een merkwaardige volgorde te staan, want de som van de nummers van elke twee opeenvolgende boeken is een kwadraatgetal (1, 4, 9, 16 of 25).
Kan jij vinden in welke volgorde de 15 boeken gerangschikt staan?
Tip. Bij de getallen 8 en 9 past telkens slechts één ander getal zodat de som een kwadraatgetal is.
Wiskundigen zijn altijd op zoek naar veralgemeningen en ontdekken zo soms merkwaardige objecten. We stellen er hier twee voor die thuis horen in de rubriek 'hogere wiskunde'.
DE HYPERKUBUS
De hyperkubus of vierdimensionale kubus is een object dat je uiteraard in onze driedimensionale ruimte niet zult tegenkomen maar dat in de fantasie van de wiskundigen wel bestaat.
Als je een lijnstuk (eendimensionaal object) in een richting die er loodrecht op staat evenwijdig met zichzelf verplaatst, creëer je een vierkant. Als je een vierkant (tweedimensionaal object) in een richting die er loodrecht op staat evenwijdig met zichzelf verplaatst, creëer je een kubus. Als je dan een kubus (driedimensionaal object) in een richting die er loodrecht op staat evenwijdig met zichzelf verplaatst, creëer je een hyperkubus.
Een lijnstuk heeft 2 hoekpunten (eindpunten), een vierkant heeft er 4, een kubus heeft er 8 en een hyperkubus heeft er 16.
Zoals een vierkant een 2D-projectie is van een kubus, zo is een kubus een 3D-projectie van een hyperkubus. Misschien snap je hiermee wat je hieronder ziet?
Driedimensionale projectie van een roterende vierdimensionale kubus.
HET VLAK VAN FANO
Wiskundigen gaan ervan uit dat een vlak in alle richtingen oneindig doorloopt. Ook een rechte bevat een oneindig aantal punten en is onbegrensd. Daarnaast bestaat er in de fantasie van de wiskundigen ook iets als een eindige meetkunde.
Gino Fano, een Italiaanse wiskundige (1871 - 1952) werkte de eindige meetkunde uit van het zogenaamde Fano-vlak, dat bestaat uit 7 punten en 7 rechten. De onderstaande figuur is een model voor het Fano-vlak. Het is even wennen aan de idee dat ook 'de cirkel' op deze figuur een rechte voorstelt! Voor de coördinaten van de punten kan je niet werken met de reële getallen, maar moet je je 'binair beperken' tot 0 en 1. De 7 punten hebben dan ook een stel binaire coördinaten: 001, 010, 011, 100, 101, 110, en 111. Door elk punt gaan drie rechten en op elke rechte liggen drie punten.
Het Fano-vlak is het projectieve vlak met het kleinste aantal punten en rechten.
De tegenstanders van de pi-dag (3,14 > 3de maand, 14de dag) hebben er niets beter op gevonden dan 28 juni uit te roepen tot tau-dag (6,28 > 6de maand, 28ste dag). De Griekse letter τ komt overeen met onze letter t en verwijst naar de eerst letter van het woord 'toer' (Grieks: τορνος). 1τ = 2π komt dan overeen met een hoek van 360° of één volledige 'toer'.
Er is nog een tweede reden waarom men de letter tau heeft gekozen. De Griekse letter τ heeft als het ware één been terwijl π er twee heeft en dat verwijst meteen weer naar 1τ = 2π.
Er zijn ook in de wiskunde en in de wetenschappen heel veel formules waarin de constante 2π voorkomt. Daarin zou men volgens de aanhangers van de tau-dag 2π moeten vervangen door τ. Meer hierover lees je in de bijlage 'The Tau Manifesto'.
Zelf blijf ik aanhanger van de pi-dag als is het maar omwille van het feit dat ik gemakkelijker een pi-droedel kan opstellen dan een tau-droedel!
Het Droste-effect is een visueel effect, waarbij een afbeelding een verkleinde versie van zichzelf bevat. Voor de verkleinde afbeelding geldt weer hetzelfde, enzovoort. Dit proces van zelfverwijzing heet recursie. In theorie kan dit oneindig doorgaan.
Het effect is vernoemd naar Droste, een producent van cacao en de afbeelding dook voor het eerst op in 1904. Op de cacaoblikken was een verpleegster afgebeeld die een dienblad droeg met daarop hetzelfde blik cacao, waarop dan weer hetzelfde stond, enzovoort.
Dit effect werd o.a. door Escher toegepast in zijn grafische kunstwerken. Meer hierover lees je op http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/ Recursie treedt uiteraard ook op in fractalen. Hieronder zie je dit effect bij de Sierpinski-fractal.
Op de onderstaande foto zie je me samen met collega-vakbegeleider Geert Delaleeuw en Lies Van de Wege, die me opvolgt bij de vakbegeleiding wiskunde van DPB-Brugge. Ze houdt blijkbaar deze foto vast waarop wij samen staan afgebeeld en creëert zo het Droste-effect!
Leonhard Euler formuleerde ooit het volgende schijnbaar eenvoudige probleem: bestaat er een balk waarvan de lengte, de breedte en de hoogte een gehele waarde hebben en waarvan ook de lengte van de zijvlaksdiagonalen een geheel getal is?
Dit is een zogenaamd Diofantisch probleem, waarbij men een stelsel van drie vergelijkingen moet oplossen en waarbij de oplossingen gehele getallen moeten zijn:
x² + y² = a² x² + z² = b² y² + z² = c².
Het was een zekere Paul Halcke die in 1719 als eerste een oplossing vond voor dit probleem. Voor x = 44, y = 117 en z = 240 is a = 125, b = 244 en c = 267. Dit kan men controleren met behulp van de stelling van Pythagoras.
Ga eens na dat dit ook het geval is bij de balken met de volgende afmetingen: 1) x = 85, y = 132, z = 720 2) x = 160, y = 231, z = 792 3) x = 240, y = 252, z = 275 4) x = 140, y = 480, z = 693.
Tot op heden is er echter nog niemand in geslaagd de perfecte balk te vinden waarbij ook de lengte d van de lichaamsdiagonalen een geheel getal is. Dit levert een bijkomende vergelijking op : x² + y² + z² = d².
Op de bovenstaande figuur zie je hoe een regelmatige vijfhoek ABCDE vier keer na elkaar over een hoek van 72° wordt gekanteld (een rotatie over een hoek van 72° met als centra van de rotatie achtereenvolgens de punten E, F, G en H). De vijfhoek rolt dus als het ware over een rechte lijn. Het punt A komt zo achtereenvolgens in de posities P, Q, R en S terecht.
Wat blijkt nu (via een controle met GeoGebra)? De oppervlakte van de vijfhoek APQRS is precies drie maal de oppervlakte van de vijfhoek ABCDE.
Hieronder zie een 'bewijs zonder woorden' van P. Mallinson voor een kantelende regelmatige tienhoek. Merk op dat de oppervlakte van elk (roze) driehoekje dat boven de (rode) veelhoekige lijn uitsteekt gelijk is aan de oppervlakte van een (wit) driehoekje onder deze veelhoekige lijn. Hierdoor klopt dit bewijs!
Het leuke aan dit verhaal is dat hieruit volgt dat de oppervlakte onder één boog van een cycloïde precies gelijk is aan drie maal de oppervlakte van de cirkel die deze cycloïde genereert.
In de bijlage berekenen we deze oppervlakte op de klassieke manier met behulp van de integraalrekening.
Ziehier een bewijs zonder woorden - in de Griekse stijl - voor de formule voor de som van de derdemachten van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n: 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2(n+1)2/4.
Oplossing in bijlage.
Oplossing in bijlage.
Oplossing in bijlage.
