Inhoud blog
  • 30 april 2019
  • 29 april 2019
  • 28 april 2019
  • 27 april 2019
  • 26 april 2019
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    08-08-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Lo Shu en Pythagoras



     Lo Shu en Pythagoras

    Op de bovenstaande afbeelding zie je een kubus van Rubik
    waarbij op elk zijvlak het gekende magisch vierkant met 3 x 3 vakjes staat afgebeeld.
    Dit zogenaamd Lo Shu vierkant heeft de magische eigenschap
    dat de som van de 3 getallen in elke rij, in elke kolom
    en op de twee diagonalen telkens 15 is.

    We maken hiervan gebruik om een magische driehoek op te stellen
    waarbij Pythagorese drietallen verschijnen
    (positieve gehele getallen die voldoen aan a² + b² = c²).



    * Bekijk de getallen in de vakjes met dezelfde kleur.
    Zo is bv. 24² + 32² = 40² en 21² + 28² = 35².
    * Bekijk twee getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde rij.
    Zo is bv. (24 + 3)² + (32 + 4)² = (40 + 5)²
    en (12 + 6)² + (16 + 8)² = (20 + 10)².
    * Bekijk twee getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde kolom.
    Zo is bv. (24 + 9)² + (32 + 12)² = (40 + 15)²
    en (21 + 6)² + (28 + 8)² = (35 + 10)².
    * Bekijk de drie getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde rij.
    Zo is bv. (9 + 15 + 21)² + (12 + 20 + 28)² = (15 + 25 + 35)².
    * Bekijk de drie getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde kolom.
    Zo is bv.(18 + 21 + 6)² + (24 + 28 + 8)² = (30 + 35 + 10)².
    * Ga zelf eens na of dit ook geldt voor  twee of drie getallen op een diagonaal.

    * Tel tenslotte eens alle getallen samen in de drie vierkanten.
    Noem de sommen a en b (voor de twee kleine vierkanten) en c (voor het grote vierkant).
    Is a² + b² = c²?

    Zie je ook het verband met het Lo Shu vierkant?

    Animated Rubiks Cube
     

    08-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    07-08-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Breukensymfonie

    BREUKENSYMFONIE

    Conductor music graphics
     
    Zonder commentaar ...


    07-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    01-08-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.L' école est finie


    L' école est finie

    Au petit matin devant un crème
    Nous pourrons parler de notre vie
    Laissons au tableau tous nos problèmes
    Mais oui, mais oui l´école est finie.

    In 1963 - precies 50 jaar geleden -
    scoorde de piepjonge Franse zangeres Sheila
    een monsterhit met 'L'école est finie'.
    Luister je nog even mee...




    Ondanks de tropische buitentemperatuur van 34°C
    schotelen we je toch een wiskundeprobleempje voor.

    Je kan je verbazen over de eenvoud ervan.
    Maar zie je ook een oplossing?

    ZOMERSE SANGAKU



    ABCD is een willekeurige vierhoek en E, F, G en H zijn de middens van de vier zijden.
    Verbind A met F, B met G, C met H en D met E.
    De vierhoek wordt zo opgedeeld in 9 stukken.
    Toon aan dat de som van de vier 'groene' oppervlakten gelijk aan de 'rode' oppervlakte.

    Op de bovenstaande figuur hebben we dit resultaat gecontroleerd met GeoGebra.

    Schets van de oplossing.
    Benoem de 9 stukjes oppervlakte (a, b, c, ... , h, i). 
    Verbind A met C. Waarom is opp. ΔABF + opp. ΔCDH gelijk aan opp. AFCH?
    Verbind B met D. Waarom is opp. ΔAED + opp. ΔBCG gelijk aan opp. EBGD?
    Combineer nu op de juiste manier deze resultaten.

     Non scholae sed vitae discimus
    We leren niet voor school maar voor het leven
    Seneca

    Coffee graphics
     


      

    01-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    31-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Laatste werkdag


    Ook voor Jan Becaus is het vandaag officieel de laatste werkdag.
    Laten we ervan genieten!

    Flickering animated sun with sunglasses smiling

    You and I can share the silence
    Finding comfort together
    The way old friends do
    And after fights and words of violence
    We make up with each other
    The way old friends do
    Times of joy and times of sorrow
    We will always see it through
    Oh I don't care what comes tomorrow
    We can face it together
    The way old friends do

    Een echte vriend: iemand waarop je kunt rekenen dat hij steeds op jou rekent"

    "Ware vrienden herkent men niet aan hun medelijden
    maar aan hun oprechte vreugde om een anders geluk"

    "Vriendschap vermenigvuldigt ons geluk en deelt ons ongeluk"

    "De enige manier om een vriend te hebben, is er een te zijn" 



    Boodschap in de wandelgangen van de Brugse DPB-dienst
    waar ik 11 gelukkige jaren als vakbegeleider en pedagogisch adviseur wiskunde mocht werken.

    Flickering animated sun with sunglasses smiling

    31-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    30-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De vijfde Beatle


    Wist je dat Pete Best aanvankelijk de drummer was van The Beatles? 
    Hij trad samen met John Lennon, Paul McCartney en George Harrison op
    tot hij op vraag van producer George Martin zijn ontslag kreeg
    omdat deze niet tevreden was over Bests drumwerk
    op Love Me Do, de eerste single van The Beatles.
    Zo kan men in feite zeggen dat Ringo Starr (Richard Starkey) de vijfde Beatles was.

    Meteen vond ik in dit feit inspiratie voor een rekenraadsel met 4 en met 5.

    REKENRAADSEL MET 4
    Numbers graphics 
    Kan je vier positieve gehele getallen vinden
    waarvan hun som gelijk is aan hun product?

    Oplossing. 
    1 + 1 + a + b = ab is equivalent met (a  – 1)(b  –  1) = 3.
    Dan blijkt a = 4 en b = 2 een oplossing op te leveren:
    1 + 1 + 2 + 4 = 1 x 1 x 2 x 4 = 8.


    REKENRAADSEL MET 5
         Numbers graphics
    Kan je nu zelf vijf positieve gehele getallen vinden
    waarvan hun som gelijk is aan hun product?

    Hopelijk blijft het geen geheim voor jou dat er hiervoor meer dan één oplossing is.

    Geniet ondertussen nog even van een Beatlesong
    uit hun debuutalbum Please Please Me
    dat exact 50 jaar geleden werd uitgebracht.

    30-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Stelling van Pythagoras

    File:Pythag anim.gif

    In bijlage vind je het bewijs van stelling van Pythagoras
    (Elementen van Euclides, Boek I, stelling 47)
    in de Griekse versie met Engelse vertaling.

    Bron: http://farside.ph.utexas.edu/euclid/elements.pdf

    We voegen hier graag nog een vraagstukje aan toe
    dat je met behulp van de stelling van Pythagoras kunt oplossen.

    HET PROBLEEM VAN DE BIJ EN DE HONING

    Een cilindervormige glazen bokaal heeft een omtrek van 60 cm.
    Langs de buitenkant zit een bij (B) op 10 cm van de bodem.
    Langs de binnenkant bevindt zicht recht boven de bij een druppel honing (H) op 10 cm van de bovenrand.
    Bepaal de kortste weg voor de bij om bij de honingdruppel te komen. Hoe lang is dat traject?
     



    Bee Honeypot
    Oplossing in bijlage.

    Een postzegel uit Suriname
    waarop de stelling van Pythagoras staat afgebeeld.

    Bijlagen:
    HET PROBLEEM VAN DE BIJ EN DE HONING - oplossing.pdf (72.8 KB)   
    STELLING VAN PYTHAGORAS - Griekse tekst.pdf (355 KB)   

    30-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Taylor en Maclaurin

    De reeksontwikkelingen van Taylor en Maclaurin (kende je ook hun voornaam?)
    behoren tot de merkwaardigste resultaten uit de wiskunde.

    Zelf heb ik ze expliciet kunnen gebruiken in mijn doctoraatsthesis
    "Riemannse meetkunde van buisvormige omgevingen" (1981).

    In feite zijn de reeksen van Maclaurin een bijzonder geval van de reeksen van Taylor.
    En het was ook James Gregory, bij wie Maclaurin als assistent werkte,
    die als eerste de zogenaamde Maclaurinreeksen voor de goniometrische functies op papier zette.
    Maclaurin was wel de eerste om ze te publiceren en daarom kregen ze ook zijn naam.

    De onderstaande reeksontwikkeling behoort tot mijn persoonlijke favorieten
    omdat de coëfficiënten hierin precies de driehoeksgetallen zijn.
    De reeks convergeert voor -1 < x < 1.

    In het volgende filmpje vind je inspiratie om zelf deze reeksontwikkeling
    op drie verschillende manieren op te stellen.

    30-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    29-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Zwaartepunt van een vierhoek

    ZWAARTEPUNT VAN EEN VIERHOEK

    In de wiskundeboeken van het secundair onderwijs
    staat uitvoerig beschreven hoe je het zwaartepunt van een driehoek bepaalt
    maar over het zwaartepunt van een vierhoek vind je meestal geen informatie.

    Het kan nochtans de aanleiding zijn voor een kleine onderzoeksopdracht.
    Hieronder vermelden we vijf werkwijzen.
    Bij de eerste methode kan je door de leerlingen een werkopdracht met behulp van GeoGebra laten uitvoeren.
    Je vindt een werkblad in bijlage.

    Little animated chimp scratches head METHODE 1


    Bepaal het zwaartepunt Z1 van ΔBCD, Z2 van ΔACD, Z3 van ΔABD en Zvan ΔABC.
    Bepaal het snijpunt Z van AZ1 en DZ4. Dit is het zwaartepunt van de vierhoek ABCD.
    Merk op dat de vier rechten AZ1, BZ2, CZ3 en DZ4 door het punt Z gaan.

    Little animated chimp scratches head METHODE 2
     
    Op de onderstaande figuur zijn M en N zijn resp. de middens van de diagonalen [AC] en [BD].
    Z is dan het midden van [MN].

    Little animated chimp scratches head METHODE 3

    De punten E, F, G en H zijn de middens van de vier zijden van de vierhoek ABCD.
    Dan is Z het midden van [EG] en van [FH] (zie figuur bij methode 1).

    Little animated chimp scratches head METHODE 4


     Via deze uitdrukking kan men het zwaartepunt construeren aan de hand van vectoren.

    Little animated chimp scratches head METHODE 5

    Teken de vierhoek over op een stuk karton.
    Neem dan een naald en plaats die onder de vierhoek tot hij in evenwicht blijft.
    De punt van de naald bevindt zich dan op de plaats van het punt Z.

    Bijlagen:
    WERKOPDRACHT MET GEOGEBRA - zwaartepunt van een vierhoek.pdf (89.8 KB)   

    29-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    28-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Vierkantswortels optellen


    Wie heeft zich als docent nooit geërgerd aan dergelijke elementaire rekenfouten?
    Voor heel wat leerlingen is het rekenen met vierkantswortels blijkbaar een harde noot om te kraken.

    Een leuk vraagje dat hierbij aansluit is het volgende:
    bestaan er strikt positieve gehele getallen a, b en c waarvoor √a + √b = √c ?


    Antwoord. Zeker!
    Ziehier enkele voorbeelden, waarbij ik telkens een merkwaardige vaststelling vermeld:
    √3 + √12 = √27  en  3 x 12 = 36 = 62
    √3 + √27 = √48 en 3 x 27 = 81 = 92
    √5 + √20 = √45 en 5 x 20 = 100 = 102
    √18 + √32 = √98 en 18 x 32 = 576 = 242.
    Blijkbaar is in het algemeen ab steeds het kwadraat van een natuurlijk getal.
    Weet je ook  waarom?

    Moving picture of baby eyes animated gif

    Bijlagen:
    Bewijs eigenschap som vierkanstwortels.pdf (151.4 KB)   

    28-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    27-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Pythagorese drietallen


    Wist je dat er oneindig veel rechthoekige driehoeken bestaan
    waarvan de lengte van de drie zijden een geheel getal is
    en waarvan de lengte van de schuine zijde gelijk is
    aan de lengte van één van de rechthoekszijden vermeerderd met 1 ?

    BEWIJS.
    We illustreren de bewijsmethode aan de hand van twee voorbeelden.
    We vertrekken steeds van het kwadraat van een oneven geheel getal
    en schrijven dit kwadraat als de som van twee opeenvolgende gehele getallen.
    Hoe het dan verder moet, zie je op de voorbeelden.

    52 = 25 = 13 + 12 = (13 + 12)(13 – 12) = 132 – 12en dus is 52 + 122 = 132

    112 = 121 = 61 + 60 = (61 + 60)(61 – 60) = 612 – 602 en dus is 112 + 602 = 612.

    Algemeen is (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 + 2n + 1)2.

    Wie zelf nog op een originele manier enkele Pythagorese drietallen wil bepalen verwijzen we naar de bijlage; Doen!

    Bijlagen:
    Bewijs eigenschap Pythagorese drietallen.pdf (154 KB)   

    27-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    26-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.60


    Dat 60 een bijzonder getal is, wisten de Babyloniërs al.
    Ze rekenden in een talstelsel met basis 60.
    De reden hiervoor is wellicht dat 60 het kleinste getal is dat deelbaar is door 1, 2, 3, 4, 5 en 6.
    Bovendien is 60 het kleinste getal met 12 delers.
    Het feit dat 1 uur ingedeeld is in 60 minuten en 1 minuut in 60 seconden
    en dat we rekenen met zestigdelige graden hebben we hieraan te danken.



    60 heeft echter ook iets speciaals te maken met priemgetallen.

    60 is op 6 verschillende manieren de som van twee priemgetallen:
    7 + 53
    13 + 47
    17 + 43
    19 + 41
    23 + 37
    29 + 31 (een priemtweeling!).


    60 = (11 + 13) + (17 + 19)
    dit is de som van 4 opeenvolgende priemgetallen en twee priemtweelingen.

    60 is op 12 verschillende manieren het gemiddelde van twee priemgetallen:
    7 en 113, 11 en 109, 13 en 107, 17 en 103, 19 en 101, 23 en 97,
    31 en 89, 37 en 83, 41 en 79, 47 en 73, 53 en 67, 59 en 61 (een priemtweeling die 60 insluit).

    Een 60 heeft ook iets te maken met  Pythagorese drietallen:
    29 + 31 = 60
    1/29 + 1/31 = 60/899 en 60² + 899² = 901²

    60 ligt tussen 59 en 61
    1/59 + 1/61 = 120/3599 en 120² + 3599² = 3601².

      De veralgemening van deze eigenschap kan je ontdekken in de bijlage.



    En kan je door de cijfers 1, 9, 5 en 3 van mijn geboortejaar precies één keer te gebruiken
    en met behulp van de hoofdbewerkingen + en x het getal 60 vormen?

    education animated GIF

    Bijlagen:
    Bewijs eigenschap Pythagorese drietallen.pdf (154 KB)   

    26-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (2)
    23-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Jacques Tits

    JACQUES TITS: een onderschatte Belgische wiskundige

    Tits werd in 1930 in Ukkel geboren.
    Hij was een wereldautoriteit op het studiegebied van de groepentheorie.
    Hij doceerde o.a. aan de VUB en in 1974 nam hij het Franse burgerschap aan
    om te gaan doceren aan het prestigieuze Collège de France in Parijs.

    In heel veel domeinen spelen groepen een belangrijke rol:
    studie van symmetrieën (kunst, kristallen, moleculen ...)
    studie van topologische ruimten, materiaalleer,
    differentiaalvergelijkingen (Lie-groepen),
    oplossen van vergelijkingen (Galoistheorie) ...

    We vermelden hier twee eenvoudige groepen
    die in heel veel wiskundecursussen in het hoger onderwijs
    een vaste plaats gekregen hebben.

    DE VIERGROEP VAN KLEIN

    Op deze postzegels staat de Cayleytabel
    van de zogenaamde Vierergruppe (viergroep)  van Klein afgebeeld.
    De groep is genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Klein.
    Het is een commutatieve (abelse) groep met 4 elementen.
    Meer informatie op http://nl.wikipedia.org/wiki/Viergroep_van_Klein .

    DE SYMMETRIEGROEP VAN EEN GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK

    De symmetriegroep van een gelijkzijdige driehoek bevat 6 elementen:
    drie rotaties (over 0° of identieke transformatie, over 120° en over 240°)
    en drie spiegelingen (rond de drie zwaartelijnen).
    Deze groep is niet-commutatief.
    Hoe kan je dit opmaken uit de Cayleytabel?

    Zoek dat eens op!

    23-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Gasparo Pagani

    Pagani_portret

    Gasparo Pagani: een vergeten Belgische wiskundige.

     Gasparo Pagani (1795 - 1855) was een Italiaanse politieke vluchteling
    en eminente wiskundige die professor was aan de universiteiten van Leuven en Luik.

    Hij bedacht de triëder uit de differentiaalmeetkunde die nu in de literatuur genoemd wordt
    naar de Franse wiskundigen Jean Frenet en Joseph Serret.
    Pagani ligt begraven in het Oost-Vlaamse dorpje Woubrechtegem.

    De triëder of het Frenet-Serret frame is een drietal vectoren
    dat in elk punt van een continue differentieerbare ruimtekromme gedefinieerd is en bestaat uit
    T: de eenheidsvector die raakt aan de kromme
    N:  de normaal 
    B: de binormaal.

    File:Frenet-Serret-frame along Vivani-curve.gif

    De formules van Frenet-Serret (lees: van Pagani)
    leggen en verband tussen de afgeleide vectoren van T, N en B en deze vectoren zelf.
    Hierin duiken de kromming κ en de torsie τ van de kromme op:

                                                                           
begin{matrix}
frac{dmathbf{T}}{ds} &=& & kappa mathbf{N} & 
&&&&
frac{dmathbf{N}}{ds} &=& - kappa mathbf{T} & &+, tau mathbf{B}
&&&&
frac{dmathbf{B}}{ds} &=& & -tau mathbf{N} &
end{matrix}

    In de Engelstalige bijlage vind je de afleiding van deze formules
    en de berekening voor een driedimensionale schroeflijn.

    File:Frenetframehelix.gif
     
     De vectoren T (blauw), N (rood) en B (zwart) bij een schroeflijn.

    Bijlagen:
    Formules van Frenet-Serret voor een schroeflijn.pdf (61.2 KB)   

    23-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    21-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunde op 21 juli


    BELGIË + WISKUNDE

    Vandaag 21 juli 2013 komt bij Academia Press (Gent) het nieuwe boek van Dirk Huylebrouck uit: “België + wiskunde”.
    Het boek toont aan dat het palmares van ons land op het gebied van de wiskunde
    dit van het damestennis of de damesatletiek overstijgt,
    zelfs toen Kim en Justine of Kim en Tia nog regeerden.
    Tot de top van de belangrijkste wiskundigen horen zowaar vier Belgen:
     Ingrid Daubechies, Pierre Deligne, Jean Bourgain en Jacques Tits!
    Het bekende beeldformaat ‘JPEG’ werd bijvoorbeeld gecreëerd op basis
    van het werk van een Belgische, die de eerste vrouwelijke professor ooit was aan Princeton University
     en de eerste voorzitster van de ‘International Mathematical Union’: Ingrid Daubechies.
    Bovendien bevinden zich in België de oudste vondsten van de wiskunde,
    heet de landingsplaats van Neil Armstrong eigenlijk de ‘Mare Belgicum’,
    bestaat er een Belgische stelling en zowaar ook een Belgische wiskundige markies, Gasparo Pagani.
     

    Als land van het surrealisme vallen er ook enkele meer humoristische kanttekeningen te maken,
    zoals over prins/koning Filip (die sprak over 1 miljard + 300 000 miljoen Chinezen).
    In elk geval kan men zich de vraag stellen of buitenlandse zendingen,
    waar financiële experten, ingenieurs en investeerders de hoogwaardigheidsbekleders vergezellen,
    niet beter ook onze wiskundig prestaties als uithangbord zouden gebruiken.
    Bij een wafel, praline of biertje hoort voortaan ook wiskunde, Belgische wiskunde.
    Miss België Noémie Happart, die ooit vierde werd in een wiskundeolympiade,
    geeft alvast het goede voorbeeld op de cover van het boek.

    Tekst: Dirk Huylebrouck



    21-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    20-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Jacobsstaf

    JACOBSSTAF

    De jacobsstaf is een meetinstrument uit de 14de eeuw.
    Het is een stok van ongeveer 1 meter lang waarop een schaalverdeling is aangebracht.
    Loodrecht hierop kan een tweede stok schuiven waarvan de lengte
    precies gelijk is aan elk van de stukjes waarin de grote stok is onderverdeeld.

    Wiskundig bekeken werkt de jacobsstaf met het principe van gelijkvormige driehoeken.
     
    Met de jacobsstaf  kan men de hoogte van een gebouw bepalen
    of de hoek die de zon maakt met de horizon.
    Zo kon men zijn positie bepalen op zee en in die zin is het de voorloper van de sextant.


    Met de jacobsstaf kan men de afstand bepalen tussen twee ontoegankelijke punten A en B,
    die bijvoorbeeld aan de overkant van een rivier gelegen zijn
    zoals je op de onderstaande oude gravure kunt zien.

    Hiervoor moet men twee metingen uitvoeren waarbij men telkens
    de stok tegen het gezicht houdt en erop let dat de uiteinden van het dwarsstokje
    precies in de richting staan van de punten A en B.
    Bij de meting in positie 2 verschuift men dan het dwarsstokje over één lengte-eenheid.

    Als men dit uitvoert volgens het bovenstaande schema,
    dan blijkt dat de afstand waarover men achteruit is moeten stappen
    (van positie 1 naar positie 2) precies gelijk te zijn als de afstand tussen A en B.



         De wiskundige uitleg lees je in de bijlage.

    Bijlagen:
    PRINCIPE VAN DE JACOBSSTAF.pdf (180.1 KB)   

    20-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    19-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De wet van Snellius

    DE WET VAN SNELLIUS

    De Wet van Snellius of brekingswet is een natuurwet uit de optica die aangeeft hoe lichtstralen gebroken worden 
    bij de overgang van het ene medium naar het andere, bijvoorbeeld van lucht naar water. 

    De breking komt er omdat het het licht zich in verschillende media met een verschillende fasesnelheid voortbeweegt.
    De wet is genoemd naar de Nederlandse wis- en sterrenkundige Willebrord Snel van Royen (1580 - 1626)
    die bekend werd onder zijn Latijnse naam Snellius.

    Hij paste in feite de wet van Fermat toe die zegt dat
    wanneer een lichtstraal van punt A naar punt B beweegt, 
    ze dit traject aflegt in de kortste tijd.

    De wet van Snellius legt een verband tussen de sinuswaarden
    van de invalshoek en de brekingshoek van de lichtstraal
    en de snelheid van de lichtstraal in de beide media.


    Als de lichtstraal vanuit vacuum vertrekt is v1 gelijk aan de lichtsnelheid c.
    De waarde c/v2 is dan de zogenaamde brekingsindex n van het tweede medium.

    In mijn wiskundelessen gaf ik deze toepassing altijd in de wetenschapsklassen
    waar het oplossen van extremumvraagstukken met afgeleiden op het leerplan staat.
    Hoe de uitwerking via afgeleiden verloopt, lees je in de bijlage.

    Jos Leys maakte een didactische film (in het Frans) over de lichtbreking.
    Je kan die gratis bekijken op http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=328.
    Warm aanbevolen!

    File:Snells law wavefronts.gif

    Bijlagen:
    Bewijs van de wet van Snellius.pdf (155.9 KB)   

    19-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    18-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (67)


    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    *********************************************************************************************************

    67


    Mandela Day - Luc Janus

    ***************************************************************************************************************

     Mandela Day  vindt plaats op 18 juli om wereldwijd mensen op te roepen zich in te spannen voor de wereldvrede
    door gedurende 67 minuten belangeloos hulp te verlenen aan anderen.

    Op 18 juli 2010 werd Mandela 92 jaar en kon er worden teruggekeken op een leven
    waarin hij zich 67 jaar heeft ingezet voor mensenrechten en gelijkheid voor iedereen.

    Vanaf 2010 roepen de Verenigde Naties via o.a. de Dalai Lama, Bill Clinton,
    Desmond Tutu en Richard Branson (oprichter van de Virgin Group) op
    om wereldwijd Mandela Day op een zinvolle manier in ere te houden.

    [Flag of ANC] 

    Vlag van het ANC (Afrikaans Nationaal Congres - Zuid-Afrika).

    ***************************************************************************************************************
     REKENWERKJE

    Neem er even een rekenmachientje bij en bereken achtereenvolgens
    67 x 67
    667 x 667
    6667 x 6667.
    Welk patroon zie je verschijnen?
    Kan je nu ook voorspellen hoeveel 66667 x 66667 is?

    Image Mandela interview of Nelson Mandela 


    18-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Kwadratuur van een regelmatige twaalfhoek

    KWADRATUUR VAN EEN REGELMATIGE TWAALFHOEK

    De kwadratuur van een vlakke figuur houdt in
    dat men een vierkant construeert (met passer en liniaal)
    dat dezelfde oppervlakte heeft als die vlakke figuur.

    Elders op mijn blog (zoekopdracht: kwadratuur)
    lees je hoe dat kan voor een willekeurige (convexe) veelhoek.

    Een buitenbeentje hierbij is de kwadratuur van een regelmatige 12-hoek.



    Het is een leuke oefening van goniometrie
    om aan te tonen dat de oppervlakte van een regelmatige 12-hoek
    die ingeschreven is in een cirkel met straal r gelijk is aan 3r2.

    Een tweede oefening bestaat er dan in aan te tonen
    dat de lengte van de aangeduide diagonaal [AB] gelijk is aan √3 r.
    Dat betekent dat deze diagonaal precies de zijde is van het gezochte vierkant
    dat de kwadratuur van de 12-hoek oplost!

    En dat men een 12-hoek in 6 stukken kan verdelen
    waarmee dan een vierkant kan gevormd worden,
    zie je op de onderstaande figuur.
    Bron: http://demonstrations.wolfram.com



    Om van te snoepen!

    18-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    17-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunde met vuilniszakken

    WISKUNDE MET VUILNISZAKKEN

    Hieronder staat niet zo eenvoudig wiskundig probleem met een creatieve oplossing.


    In onze straat staan er langs de kant waar wij wonen 20 huizen.
    Ik bemerk dat er voor elk huis minstens één vuilniszak staat en in totaal staan er 29 zakken.
    Kan je aantonen dat er in elk geval bij deze 20 huizen
    een aaneensluitende rij moet zijn waar er in totaal precies 10 vuilniszakken staan?

    The Gilmer Free Press

    OPLOSSING IN BIJLAGE.

    Bijlagen:
    WISKUNDE MET VUILNISZAKKEN - oplossing.pdf (50.5 KB)   

    17-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    16-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Zes koningen

    Op 21 juli 2013 wordt Filip (ou Philippe pour les Wallons) de zevende koning der Belgen.
    Tijd om even te spelen met het volmaakte cijfer 6.

    Kan je zelf de ontbrekende som vinden (6 vormen met 3 keer het cijfer 6)?

    We maakten hierbij enkele keren gebruik van het faculteitsteken (!).
    Dit wiskundig symbool werd in 1808 ingevoerd door de Franse wiskundige Christian Kramp.

    Per definitie is voor elk natuurlijk getal n het getal n! (lees: n-faculteit) gelijk aan
    het product van de getallen van 1 tot en met n:
    n! = n.(n – 1).(n – 2). ... . 2.1.
    Zo is bijvoorbeeld 5! = 5.4.3.2.1 = 120.

    Men stelt per definitie 0! = 1. Hiervoor is er uiteraard een verklaring.
    Het aantal manieren om een groep van k personen te kiezen uit een groep van n is

     {n choose k} = frac{n!}{k!(n-k)!} quad mbox{voor } 0leq kleq n qquad

    Voor k = n  is er 1 selectie mogelijk, nl. de gehele groep kiezen!
    Dan staat er in de noemer van de formule n!(n – n)! = n!0! = n! (want 0! = 1)
    wat precies gelijk is aan de teller.

    En ken je deze zes bij naam?

    16-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 29/04-05/05 2019
  • 22/04-28/04 2019
  • 15/04-21/04 2019
  • 08/04-14/04 2019
  • 01/04-07/04 2019
  • 25/03-31/03 2019
  • 18/03-24/03 2019
  • 11/03-17/03 2019
  • 04/03-10/03 2019
  • 25/02-03/03 2019
  • 18/02-24/02 2019
  • 11/02-17/02 2019
  • 04/02-10/02 2019
  • 28/01-03/02 2019
  • 21/01-27/01 2019
  • 14/01-20/01 2019
  • 07/01-13/01 2019
  • 31/12-06/01 2019
  • 24/12-30/12 2018
  • 17/12-23/12 2018
  • 10/12-16/12 2018
  • 03/12-09/12 2018
  • 26/11-02/12 2018
  • 19/11-25/11 2018
  • 12/11-18/11 2018
  • 05/11-11/11 2018
  • 29/10-04/11 2018
  • 22/10-28/10 2018
  • 15/10-21/10 2018
  • 08/10-14/10 2018
  • 01/10-07/10 2018
  • 24/09-30/09 2018
  • 17/09-23/09 2018
  • 10/09-16/09 2018
  • 03/09-09/09 2018
  • 27/08-02/09 2018
  • 20/08-26/08 2018
  • 13/08-19/08 2018
  • 06/08-12/08 2018
  • 30/07-05/08 2018
  • 23/07-29/07 2018
  • 16/07-22/07 2018
  • 09/07-15/07 2018
  • 02/07-08/07 2018
  • 25/06-01/07 2018
  • 18/06-24/06 2018
  • 11/06-17/06 2018
  • 04/06-10/06 2018
  • 28/05-03/06 2018
  • 21/05-27/05 2018
  • 14/05-20/05 2018
  • 07/05-13/05 2018
  • 30/04-06/05 2018
  • 23/04-29/04 2018
  • 16/04-22/04 2018
  • 09/04-15/04 2018
  • 02/04-08/04 2018
  • 26/03-01/04 2018
  • 19/03-25/03 2018
  • 12/03-18/03 2018
  • 05/03-11/03 2018
  • 26/02-04/03 2018
  • 19/02-25/02 2018
  • 12/02-18/02 2018
  • 05/02-11/02 2018
  • 29/01-04/02 2018
  • 22/01-28/01 2018
  • 15/01-21/01 2018
  • 08/01-14/01 2018
  • 01/01-07/01 2018
  • 25/12-31/12 2017
  • 18/12-24/12 2017
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Meer blogs