PROBLEEM 31

Een winkelier heeft een voorraad eieren en doet hierover de volgende vaststelling.
"Als ik ze per 2, per 3, per 4, per 5 of per 6 leg, dan heb ik telkens één ei op overschot.
Als ik ze echter per 7 leg, dan heb ik er geen op overschot."
Wat is het kleinste aantal eieren dat deze winkelier kan hebben?

  UITVINDING 31



Op het Amerikaanse platteland (en wellicht ook elders)
stelde men vast dat het voedsel dat men voor de kippen uitstrooide
vaak door een zwerm mussen werd opgegeten.
Daarom bedacht men deze mussenvallen die men tussen de kippen plaatste.
Mussen zijn blijkbaar erg nieuwsgierige vogels
die zich gemakkelijk in deze val lieten vangen.
In het artikel waarin men deze val voorstelde,
vermeldde de auteur dat de boeren dan weer een ander probleem hadden:
wat aan te vangen met de gevangen mussen?

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 31_oplossing.pdf (57.9 KB)   

EEN ALTERNATIEVE MANIER
OM EEN VIERKANTSVERGELIJKING
OP TE LOSSEN

Uit de stripreeks Beroep: leraar - Pica & Erroc
© Ballon Media, 2012

17-10-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

TWEE RAADSELS MET PROCENTEN

Marie verkocht haar twee fietswielen aan 36 euro per stuk.
Op het ene wiel maakte ze 20 % winst
en op het andere had ze 20 % verlies.
Maakte Marie dan in totaal winst, verlies of geen van beide?

Oplossing.
Het ene wiel kocht ze voor 30 euro aan en verkocht ze aan 36 euro (6 euro winst).
Het andere wiel kocht ze voor 45 euro aan en verkocht ze voor 36 euro (9 euro verlies).
In totaal verloor ze dus 3 euro.

**********************************************************************************************
Boer Bavo zet 's morgens 100 kg komkommers
die voor 80 % uit water bestaan, in de zon.
Wanneer hij 's avonds de komkommers weegt,
stelt hij vast dat ze nog maar voor 75 % uit water bestaan.
Hoeveel wegen de komkommers dan?

 

Oplossing.
’s Morgens bestaan de komkommers uit 20 kg ‘vaste’ stof
en die 20 kg is ’s avonds 25 % van het totaal gewicht van de komkommers.
Ze wegen dan dus nog 80 kg.

16-10-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

WISKUNDE EN STRAFSCHOPPEN

In het programma EUREKA op Nederland 3 van 10 oktober 2013
onderzocht Ionica Smeets hoe wiskunde kan helpen
om het wereldkampioenschap voetbal te winnen.
Je kan dit programma bekijken op
http://www.uitzendinggemist.net/aflevering/236863/Eureka.html .

Daarin kwam onder andere een studie van penaltyprofessor Gyuri Vergouw ter sprake.
Hij bestudeerde hoe enkele duizenden penalty's werden getrapt
en berekende zo in welk gebied van het doel men het best trapt om te scoren.

De 'slaagpercentages' per gebied kan je aflezen op de onderstaande figuur.
Men heeft dus duidelijk meest kans om te scoren als men erin slaagt
de bal in de linker- of rechterbovenhoek van het doel te schieten.

Als je weet dat een doel 7,32 m breed is en 2,44 m hoog,
dat de penaltystip zich op 11 meter van het midden van het doel bevindt
en dat de snelheid van de bal ongeveer 80 km/u bedraagt,
hoe lang duurt het dan om een bal vanaf de stip
in de linkerbovenhoek van het doel te trappen?

Het antwoord (ongeveer 0,54 seconden) kan je vinden
door twee keer de stelling van Pythagoras toe te passen.

De doelwachter heeft gemiddeld een reactiesnelheid van 0,14 seconden.
Dit betekent dat hij nog maar 0,4 seconden heeft
om tot in de bovenhoek te komen om daar de bal te stoppen.
Dat is normaal gezien onmogelijk!

Op het Europees Kampioenschap voetbal van 1976
durfde de Tsjechoslowaakse speler Antonin Panenka
het aan bij de beslissende penalty de bal zachtjes
over de vallende Duitse doelman Sepp Maier te trappen.
Hiervoor is uiteraard heel wat lef en psychologisch doorzicht nodig.
Sindsdien spreekt men van 'een panenka'.
Hieronder kan je het trappen van die befaamde strafschop nog eens bekijken.

11-10-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

MERKWAARDIG

In het tijdschrift Wiskunde & Onderwijs nr. 156 (okt. - nov. - dec. 2013)
vermeldt collega Hugo Staelens een hoogst merkwaardige gelijkheid van breuken.
We merken graag ook nog op dat elk van de drie breuken gelijk is aan 1!

Een wiskundeleraar uit Drachten
kende slapeloze nachten.
Als ultieme remedie
begon hij een therapie
met kwadraten en hogere machten.

10-10-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 32

ΔABC is een rechthoekige driehoek.
De schuine zijde [BC] wordt door de punten D en E in drie gelijke delen verdeeld,
d.w.z. als |BC| = a, dan is |BD| = |DE| = |EC| = a/3.
Als |AD| = d en |AE| = e, toon dan aan dat 9(d² + e²) = 5a².
Hint. Pas de cosinusregel toe.

  UITVINDING 32

Dit toestel was een mechanische kneedmachine.
Door aan de wielen te draaien kwamen enkele handvormige vorken in werking
die het deeg in de trog voortdurend bleven kneden
en waarbij het deeg luchtig bleef en niet werd samengeperst.
Op die manier bekwam de bakker zonder al te grote inspanningen ideaal brooddeeg.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 32_oplossing.pdf (185.1 KB)   

        Nobelprijs voor de Fysica voor onze landgenoot François Englert 

08-10-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 33

Als de gehele positieve getallen a, b, c en d vier opeenvolgende termen zijn van een meetkundige rij,
dan is (a + d)(b + c) – (a + c)(b + d) een kwadraatgetal.
Bewijs dit.

Voorbeelden.
1, 5, 25, 125 ... dan is  (1 + 125)(5 + 25) – (1 + 25)(5 + 125) = 400 = 20². Merk op: 20² = (25 – 5)²
2, 6, 18, 54 ... dan is (2 + 54)(6 + 18) – (2 + 18)(6 + 54) = 144 = 12². Merk op: 12² = (18 – 6)².

  UITVINDING 33

 

Deze rattenval werd gemonteerd op een parketvloer.
De val bestond uit een dubbel valluik.
Pas wanneer de rat zich op het tweede luik begaf op zoek naar het lokaas,
klapte de val open en kwam de rat in een waterreservoir terecht.
Hierin verdronk ze dan en de val klapte onmiddellijk weer dicht via een paar tegengewichten.
De uitvinder was van plan ook een grotere versie te bouwen om vossen te vangen. 

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 33_oplossing.pdf (46.1 KB)   

3 oktober 2013
afscheid van de collega's van DPB Brugge

HOE HET MIJ GAAT?

hoe het mij gaat?
Ik bied je mijn verontschuldigingen aan
want kijk:

de huizen ontvangen hun warmte
van de zon
en het water lacht
en de bomen fluisteren elkaar
geheimen toe

zo zie je

voorlopig moet dit
mijn antwoord zijn

Jozef  Eijckmans

03-10-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Onderaan deze blogpagina (in bijlage) vind je de 10 opgaven en het antwoordformulier.

SUCCES!

Idee en uitwerking: dr. Luc Gheysens

Met dank aan de sponsors.

Bijlagen:
Constanten deel 1 (2014-15) - W&O 160.pdf (276 KB)   
Constanten deel 1 (2014-15) - antwoordformulier.pdf (90.1 KB)   

Een beetje onverwacht overleed deze maand mijn ex-collega en oud-wiskundeleraar Laurent Favere.
Velen hebben van hem in het vierde, vijfde of zesde jaar wiskundeles gekregen
in het toenmalige Sint-Jozefinstituut in Kortrijk.

Laurent was regent wiskunde en stond bekend als een strenge maar rechtvaardige leraar.
 Afgeleiden, integralen, ruimtemeetkunde ... en heel wat andere onderwerpen
uit de hoogste twee jaren van de humaniora hadden weinig geheimen voor hem.

Omdat hij vaak 'gepeperde' examens voorschotelde aan zijn leerlingen
gaven we hem een leuke taak mee toen hij in 1998 met pensioen ging.
Omdat Laurent zich ook jarenlang als actieve muzikant inzette voor de Sint-Jozefharmonie
kreeg hij als opdracht de paradox van de trompet van Torricelli te verklaren.
Deze trompet heeft blijkbaar een eindig volume, maar een oneindige manteloppervlakte.

Hieronder vind je een kopie van de vakantietaak die we hem toen meegaven.

In dankbaarheid denk ik terug aan alle leuke wiskundelessen
en alle fijne momenten die ik als student en als collega met hem mocht beleven.

 

29-09-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wiskunde in Oostende

Wandelend langs de Oostendse kustlijn in de voetsporen van koning Leopold II
kwam het volgende vraagstukje bij me op.

De kapitein van een schip is tweemaal zo oud als zijn schip was, toen hij zo oud was als zijn schip nu is.
Samen zijn ze nu 56 jaar oud. Hoe oud is de kapitein nu?

© Adriaan Huys
Fotoproject Zeezichten 0.365 in de Venetiaanse gaanderijen in Oostende
van 6 september tot 3 november 2013.

Bijlagen:
De leeftijd van de kapitein - oplossing.pdf (152.8 KB)   

 

PROBLEEM 34

ABCD is een parallellogram en r is een rechte  die buiten deze figuur ligt.
De punten A', B', C' en D' zijn de loodrechte projecties van de hoekpunten A, B, C en D op de rechte r.
Als |AA’| = a, |BB’| = b, |CC’| = c en |DD’| = d, toon dan aan dat a + c = b + d.

  UITVINDING 34 

 

Deze ring in caoutchouc kon men over de opwindring van een zakhorloge schuiven.
De fijne stekeltjes op de ring konden zich dan vasthechten in de stof van de jas.
Op die manier had men een goedkope anti-diefstalring.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 34_oplossing.pdf (197.3 KB)   

MOOI INITIATIEF!

Bijna zes op de tien universiteitsstudenten slaagt niet voor het eerste jaar. Dat kost de Vlaamse overheid tot 100 miljoen euro, zo lezen we in De Morgen.

“Daarom ben ik voor een oriëntatieproef in het secundair”, zegt uittredend UGent-rector Paul Van Cauwenberge in de krant.

Het eerste jaar van de universiteit is voor een ruime meerderheid van de studenten een te hoge drempel.

Van de 15 366 eerstejaars in het academiejaar 2011-2012 haalden 8 543 jongeren de eindmeet niet, zo blijkt uit de slaagcijfers van de vijf instellingen in Vlaanderen.

Vier universiteiten leggen slaagpercentages tussen 40 procent (UHasselt) en 41,97 procent (UGent) voor.

De Universiteit Antwerpen (UA) vormt een uitzondering met een algemeen slaagcijfer van 62,83 procent.

De vertraging die de studenten oplopen, kost Vlaanderen veel geld.

Volgens cijfers van de Organisatie voor Economische Samenwerking en Ontwikkeling (OESO) investeert de overheid jaarlijks 11 800 euro in elke student.

Rik Torfs, rector van de KU Leuven, maakt zich zorgen.

 “Het kost onze gemeenschap en ouders geld, maar het kost de studenten als individu ook iets. Een jaar niet halen heeft vooral psychologisch een zware weerslag.

We moeten zorgen dat er niet te veel mensen ontgoocheld raken in de samenleving, en we moeten de slaagcijfers verhogen zonder de kwaliteit van onze opleidingen te verminderen.”

Torfs wijst met een vinger naar de vele richtingen in het secundair “die niet altijd geschikt zijn om vervolgens een universitaire studie aan te vatten”.

Zijn collega van de UGent sluit zich daarbij aan en pleit dan ook voor een oriëntatieproef in het voorlaatste schooljaar van het secundair.

Als de studenten dat nu ook nog leuk vinden ...
en als de leerkrachten van het secundair onderwijs er maar niet mee belast worden ....

 

24-09-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 De ezel van Buridan is een denkbeeldige, volstrekt rationele ezel
die precies in het midden tussen twee even aantrekkelijke schelven hooi wordt geplaatst. 
De ezel, die geen rationele grond heeft om tussen de twee schelven te kiezen,
blijft daarom 'eeuwig' twijfelen welke hooiberg hij zal kiezen
en zal uiteindelijk verhongeren.

Het gedachte-experiment is genoemd naar de middeleeuwse scholastische filosoof Johannes Buridanus
en staat nu bekend als de paradox van de ezel van Buridan.

Maar weet een wiskundeleerkracht (of een minister van onderwijs)
op de dag van vandaag al of er moet gekozen worden
voor wiskunde op een krijtbord of op een tablet?

21-09-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 35

Hierboven staan de eerste 7 driehoeksgetallen afgebeeld.
Noem S_O(n) de som van de eerste n driehoeksgetallen van oneven rang
en S_E(n) de som van de tussenliggende driehoeksgetallen van even rang.
Toon aan dat S_O(n) – S_E(n) een kwadraatgetal is voor elke waarde van n.
Zo is bv. S_O(3) – S_E(3) = (1 + 6 + 15)  – (3 + 10) = 22  – 13 = 9 = 3².

      UITVINDING 35  



Deze reddingsmatras was een Amerikaanse uitvinding.
De zachte matras kan men in een oogwenk omvormen tot een reddingsladder
die bijvoorbeeld in geval van brand kan gebruikt worden.
Het volstond de ring die aan de matras via een koord was bevestigd
ergens aan vast te maken in de kamer waar een brand ontstond
en dan de matras door het raam naar buiten te gooien.
Die ontplooide zich dan tot een ladder.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 35_oplossing.pdf (73.8 KB)   

Marc Renault is Assiocate Professor aan het Departement Wiskunde
van de Shippensburg University (Pennsylvania).
Hij ontwerpt een mooie collectie GeoGebra-applets over
limieten, afgeleiden (met toepassingen) en integralen.

Website: http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/GeoGebraCalculusApplets.html

Voorbeeld 1

Om te bewijzen dat de limiet van f(x) = sinx/x voor x → 0 gelijk is aan 1
gebruikt hij op een didactisch verantwoorde manier een applet
en volgt hierbij niet de klassieke werkwijze die we in onze wiskundehandboeken terugvinden en die hieronder vermeld staat.

Voorbeeld 2

Ook een aantal klassieke extremumvraagstukken
worden visueel aangepakt met behulp van een GeoGebra-applet.

Een stuk draad met een vaste lengte L wordt omgeplooid tot een rechthoek.
Wanneer bekom je de rechthoek met de grootste oppervlakte?

Moet ook jij eens bekijken!

18-09-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Info op iTunes: https://itunes.apple.com/be/app/geogebra/id687678494?l=nl&mt=8

Hopelijk zet dit ook nog aan tot creatief denken!

Ziehier een paar probeersels.

Op de eerste schermafdruk worden de snijpunten bepaald van een parabool en een rechte.

Op de tweede schermafdruk zoeken we de vergelijking van de cirkel door drie gegeven punten (waaronder de oorsprong)
en bepalen we het tweede snijpunt van de gevonden cirkel met de rechte met vergelijking y = -x. 

Toch wel even het bekijken waard ...

11-09-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 36

M is het midden van de zijde [AB] van een vierkant ABCD.
Op de diagonaal [BD] neemt men een punt N zodat |BN| = 3|DN|.
Hoe groot is dan de aangeduide hoek op de onderstaande figuur?

      UITVINDING 36       

In de 19de eeuw waren stoombaden heel populair
en men geloofde erg in de geneeskunde kracht ervan.
Dit eenvoudig apparaat bestond uit een metalen band en twee stangen
die men op de leuning van een stoel kon bevestigen.
Hiermee kon men dan soort draagbare sauna opbouwen.
Onder het kleed kwam er warmte vrij via een scheikundige reactie
waarbij een bepaalde stof in water oploste.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 36_oplossing.pdf (249.6 KB)   

 

PROBLEEM 37

Een hoogbejaarde vader besluit zijn gespaard kapitaal te verdelen onder zijn kinderen.
De oudste krijgt 1000 euro en één tiende van de rest.
De tweede krijgt 2000 euro en één tiende van de rest.
De derde krijgt 3000 euro en één tiende van de rest.
Enzovoort ...
Uiteindelijk blijkt elk van de kinderen evenveel te krijgen.
Hoeveel kinderen heeft die man?

     UITVINDING 37



Dit apparaat werd bevestigd achteraan een wagen
die door een paard werd voortgetrokken.
Hiermee kon men het hooi van het land opscheppen
en het dan in de wagen laten vallen.
Zo spaarde men op twee manieren heel wat handenarbeid uit.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 37_oplossing.pdf (110.7 KB)