De Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde Onderwijs biedt heel wat recreatieve wiskunde aan voor leerlingen van 4 tot 14 jaar.
Naar aanleiding van het 20-jarig bestaan van deze vereniging in 2002 en het 25-jarig jubileum in 2007 stelden ze een brochure op met leuke wiskunde-opgaven. Je vindt de brochures in bijlage en ook op de website www.volgens-bartjens.nl bij de rubriek 'lesideeën' > rekenpuzzels en breinkrakers. Daar staan ook de antwoorden.
Ziehier twee opgaven waarmee we jouw creatief en logisch redeneervermogen even kunt testen!
In een kist zitten drie rode en twee groene mutsen. Drie kabouters pakken in het donker één muts eruit. Dan gaat het licht aan. Ze kijken alleen vooruit en kunnen dus enkel zien welke muts de kabouter(s) voor hen op hebben. De laatste zegt dat hij niet weet welke muts hij op heeft. De middelste kijkt voor zich en zegt dat hij ook niet weet welke muts hij zelf op heeft. De voorste zegt: "Nu weet ik wel welke muts ik op heb!".
Welke kleur heeft zijn muts?
Omdat de rechter het ook niet meer weet, krijgt de verdachte de volgende keuze voorgelegd. Uit een zak met een zwarte en een witte steen moet hij er willekeurig één kiezen. Is de steen wit, dan is hij vrij, maar is hij zwart dan wacht hem een straf. Hij ziet toevallig dat de zaalwachter, belast met de uitvoering van dit vonnis, stiekem twee zwarte stenen in het zakje stopt. De verdachte denkt diep na en doet een greep in de zak. Vervolgens doet hij iets waardoor hij de vrijheid verkrijgt.
Wat heeft de slimmerik gedaan? Je mag me natuurlijk altijd een mailtje sturen als je de oplossingen niet vindt.
Pierre de Fermat was een Franse jurist (17de eeuw) die wiskunde als hobby had en enkele merkwaardige resultaten op zijn naam heeft staan.
Op 25 december 1640 schreef hij in een brief aan Marin Mersenne een Franse theoloog, filosoof en wiskundige dat hij een bewijs had voor het feit dat elk priemgetal van de vorm 4k + 1 op een unieke manier te schrijven is als de som van tweekwadraatgetallen.
Deze stelling noemt men daarom wel eens Fermats kerstmisstelling.
Zo is bijvoorbeeld 5 = 12 + 22, 13 = 22 + 32, 41 = 42 + 52 Immers 5, 13, 41 zijn priemgetallen die gelijk zijn aan 4-voud + 1.
In 1742 schreef de Duits-Pruisische wiskundige Christian Goldbach een brief naar Leonhard Euler waarin hij het volgende vermoeden formuleerde: elk even natuurlijk getal groter dan 2 is te schrijven als de som van twee priemgetallen (waarbij hetzelfde priemgetal twee keer mag voorkomen). Dit vermoeden van Goldbach blijft een van de mooiste onopgeloste problemen.
Merk op: als dit waar is, dan is meteen elk even getal te schrijven als de som van 4 kwadraatgetallen!
Joseph-Louis Lagrange, een wiskundige van Italiaanse afkomst bewees in 1770 zijn vier-kwadaten-stelling:
Elk natuurlijk getal (zowel de even als de oneven getallen) kan geschreven worden als de som van de kwadraten van vier natuurlijke getallen.
Zo is bijvoorbeeld 3 = 12 + 12 + 12 + 02 31 = 52 + 22 + 12 + 12 310 = 172 + 42 + 22 + 12.
Heel wat leerlingen hebben problemen met het omvormen van formules. Nochtans is deze techniek onontbeerlijk om vraagstukken van fysica, wiskunde, financiële algebra, chemie ... op te lossen.
Alan Turing, de homoseksuele codekraker, krijgt koninklijk pardon
di 24/12/2013 - 07:40 Wouter Carton, Pieterjan Huyghebaert Alan Turing, de computerpionier die tijdens de Tweede Wereldoorlog nazicodes hielp kraken, heeft postuum een koninklijk pardon gekregen in Groot-Brittannië. Turing werd na de oorlog veroordeeld omdat hij homo was. In 1954 overleed hij, wellicht door zelfmoord met cyanide.
Voor en tijdens de Tweede Wereldoorlog gebruikte nazi-Duitsland Enigma-codeermachines om (voornamelijk militaire) informatie gecodeerd te verspreiden. Nadat de Britse inlichtingendienst erin geslaagd was de Enigma-codes te breken, bleek het toestel een goudmijn van informatie over de Duitse oorlogsmachine. Volgens sommigen hebben de geallieerden de oorlogsoverwinning te danken aan het breken van die codes.
Dat de Britten de nazicodes konden ontcijferen, is vooral te danken aan de bombe (bovenstaande foto), een voorganger van de computer, ontwikkeld door de wiskundige Alan Mathison Turing. Hij had een voortrekkersrol bij de ontwikkeling van de eerste computers en wordt algemeen gezien als de vader van de informatica.
Hoewel hij eerst als nationale held geëerd werd, viel hij begin jaren 50 in ongenade toen uitlekte dat hij homo was. Dat was toen nog strafbaar in Groot-Brittannië. Turing kreeg de keuze tussen een gevangenisstraf of chemische castratie. Hij koos uiteindelijk voor dat laatste. Amper twee jaar later werd hij dood teruggevonden.
Algemeen wordt aangenomen dat hij zelf uit het leven is gestapt door te eten van een met cyanide vergiftigde appel. Sommigen suggereren echter dat hij vermoord zou zijn, omdat hij te veel zou hebben geweten over de geheime codes en daardoor een te groot veiligheidsrisico was.
"Uitzonderlijk man met een briljante geest"
Vorig jaar nog lanceerden prominente Britse geleerden, onder wie Stephen Hawking, een oproep om Turing gratie te verlenen. Minister van Justitie Chris Grayling nam het initiatief om daartoe stappen te ondernemen. Nu is er een koninklijk pardon, dat vanaf vandaag ingaat. Door het pardon wordt zijn veroordeling voor homoseksualiteit tenietgedaan.
Hij verkortte de oorlog en spaarde duizenden levens.
Chris Grayling, Brits minister van Justitie
"Alan Turing was een uitzonderlijk man met een briljante geest", zegt Grayling over de gratie. "Het onderzoek van Turing in Bletchley Park heeft de oorlog ingekort en heeft duizenden mensenlevens gespaard. Zijn latere leven werd overschaduwd door zijn veroordeling voor homoseksualiteit, een straf die we nu als discriminerend en onrechtvaardig zouden beschouwen."
"Turing verdient het om herinnerd en erkend te worden voor zijn fantastische bijdrage aan de oorlogsinspanningen en voor zijn bijdrage aan de wetenschap. Een koninklijk pardon is een gepast eerbetoon."
Het priemgetal 421 heeft twee bijzondere eigenschappen.
421 IS EEN 'GEVULD VIERKANT GETAL' (Engels: centered square number).
Hieronder staan de eerste vier 'gevulde vierkante getallen' afgebeeld.
De algemene formule voor het n-de getal is C4,n = n² + (n 1)².
In C4,n zijn er n² grijze stippen en (n 1)² rode stippen.
C4,n = 1 + 4 x [n(n 1)/2] waarbij n(n 1)/2 een driehoeksgetal is.
Kan je nu zelf aantonen dat 421 een 'gevuld vierkant getal' is?
421 IS HET GETAL DER ENGELEN
Kies een willekeurig positief geheel getal. Als het getal even is, halveer je het. Als het oneven is, vermenigvuldig je het met 3 en tel je er 1 bij op. Herhaal dit procedé ... en je zal eindigen op 4, 2, 1, 4, 2, 1 ....
De eerste kruiswoordpuzzel staat op naam van de uit Liverpool afkomstige Brit Arthur Wynne. De puzzel verscheen precies 100 jaar geleden op 21 december 1913 in de krant New York World.
Vandaag schotelen we je een kruiswoordraadsel en een kruisgetallenraadsel voor.
KRUISWOORDPUZZEL (ij telt voor één letter)
Horizontaal. 1. Oude lengtematen 2. Bevroren water 3. Melkproduct Verticaal. 1. Nelson Mandela 2. Prinses Diana 3. Michael Jackson
KRUISGETALLENPUZZEL (in elk vakje één cijfer invullen)
Horizontaal. 1. Kwadraat van een natuurlijk getal 3. Derdemacht van een natuurlijk getal Verticaal. 1. Derdemacht van een natuurlijk getal 3. Kwadraat van een natuurlijk getal
Deze paradox wordt toegeschreven aan Aristoteles en zou voor het eerst vermeld geweest zijn in zijn boek Mechanica. Op een wiel is een kleiner wiel bevestigd waarbij de middelpunten van de twee wielen samenvallen. Het grote wiel rolt van links naar rechts over een vlakke lijn en legt bij één omwenteling de afstand |AB| af. Tegelijkertijd legt het kleine wiel dan over een rechte lijn de afstand |CD| af. Maar |AB| = |CD| en bijgevolg moet de omtrek van het kleine wiel gelijk zijn aan de omtrek van het grote wiel.
Weet jij waar de fout zit in deze redenering?
Het rollende muntje
Neem twee even grote muntstukjes en laat het ene een volledige toer rond het andere rollen zonder glijden. De meeste mensen denken dan dat het rollende muntje één volledige omwenteling rond de eigen as zal afleggen. Maar doe zelf eens de test met twee euromuntjes en stel vast dat de draaiende munt twee volledige toeren doet!
Egyptische sjouwers
In de eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade van 2003-2004 dook de volgende vraag op. Ken jij het correcte antwoord?
In de eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade van 2008-2009 dook dan weer de onderstaande meerkeuzevraag op.
Weet jij het juiste antwoord?
Het antwoord op beide VWO-vragen vind je in de bijlage en daar staat ook wat uitleg bij de paradox van Aristoteles.
Tien personen staan in een kring en elke persoon neemt een cijfer van 1 tot en met 10 in gedachten. Hij geeft dit cijfer daarna door aan zijn twee buren. Dan zegt elke persoon hoeveel het gemiddelde is van de cijfers die zijn twee buren doorgaven. Die gemiddelden staan hieronder vermeld. Welk cijfer had de persoon in gedachten genomen die als gemiddelde van zijn twee buren 5 vond?
UITVINDING 22
Rond 1850 hadden stoommachines heel veel toepassingen in de industrie. De meeste machines werkten met tandwielen. Die zorgden vaak voor serieuze problemen wanneer de machines plots stilvielen. Daarom zochten ingenieurs naar systemen waarbij tandwielen werden vervangen door wielen met wrijving.
Op 31 juli 2013 vierde het Koninklijk Meteorologisch Instituut (KMI) zijn honderdste bestaansjaar. Naar aanleiding hiervan werd op 17 september 2013 door de Koninklijke Munt van België een 2 euro herdenkingsmunt uitgegeven. Uitzonderlijk werd de taak voor de creatie van deze munt, met een ontwerpwedstrijd, in de handen gelegd van het publiek.
Het voorspellen van het weer kan men plaatsen onder de rubriek 'deterministische chaos' Onze beste weersvoorspellingen komen uit de oplossing van stelsels gekoppelde differentiaalvergelijkingen. Van dit soort stelsels zijn vaak geen exacte oplossingen bekend, maar numeriek doorrekenen kan wel. Praktisch betekent dit dat we met de weersgegevens van vandaag die van morgen kunnen berekenen. Hiervoor werkt men met zogenaamnde beginvoorwaarden.
De Amerikaanse meteoroloog Edward Lorenz toonde al in de jaren '50 aan dat gekoppelde differentiaalvergelijkingen instabiel kunnen zijn. Dat betekent dat heel kleine numerieke fouten in de beginvoorwaarden in de tijd steeds groter worden. Als de temperatuur bijvoorbeeld vandaag 0,1 °C verkeerd wordt gemeten, is de afwijking van de weersvoorspelling voor morgen al 0,5 °C. Over een week zitten we er 3,1 °C naast en voor twee weken is geen zinvolle voorspelling meer te doen.
Anekdotisch zegt men vaak dat de vleugelslag van een vlinder in een Braziliaans oerwoud de doorslag kan geven tussen mooi weer en een orkaan in Japan.
Op http://www.chaos-math.org/nl kan je heel wat leren over dynamische systemen en chaostheorie aan de hand van een film in 9 hoofdstukken van telkens 13 minuten.
Het ontwerp op de beeldzijde van het KMI-muntstuk inspireerde me tot een opgave van vlakke meetkunde 'uit de oude doos'.
Hint voor de oplossing. Toon aan dat Δ BCD gelijkvormig is met Δ BEF. Via een rotatie met B als centrum kan men de rechte BF afbeelden op BD en de rechte BE op BC. De rechte BN wordt dan afgebeeld op BM; dus is ∠NBM de rotatiehoek, die ook gelijk is aan ∠EAC. Bijgevolg is ∠NBM + ∠NAM = 180°.
Op het T3-symposium in Oostende maakte collega Gert Treurniet uit Den Haag me attent op een verrassende stelling uit de vlakke meetkunde.
Hij gaf een bewijs van deze stelling gebruikmakend van complexe getallen. Men kan immers gemakkelijk een rotatie om een bepaald punt uitdrukken via de vermenigvuldiging met een complex getal.
In bijlage vind je de tekst van de lezing en de oplossing van de oefeningen. In de tekst staat ook een bewijs van de stelling van Van Aubel (zoekopdracht op mijn blog: Van Aubel) en van de zogenaamde stelling van Napoleon (zoekopdracht op mijn blog: Napoleon).
Zo zie je maar waarvoor complexe getallen kunnen dienen!
Sinds 2008 staat de leerkracht secundair onderwijs op de lijst van knelpuntberoepen. Een groot probleem waarmee het secundair onderwijs kampt is de vervroegde uitdiensttreding. Zo verlaat bijna één op vier jonge leraren al na vijf jaar het onderwijs. Bente Van Lommen, master in de opleidings- en onderwijswetenschappen (Universiteit Antwerpen), ging aan de hand van gesprekken met leraren en directies na wat de school kan doen om het probleem in te dijken.
TIP 1. Leraren stimuleren om niet vast te roesten
Een goed personeelsbeleid blijkt een cruciaal element te zijn om de uitdiensttrede van leraren tegen te gaan. Scholen die investeren in hun personeelsbeleid doen het aanzienlijk beter om hun leerkrachten langer en gemotiveerder voor de klas te houden. Functioneringsgesprekken vormen de spil van een goed draaiend personeelsbeleid. Directeurs die tijdens functioneringsgesprekken werkpunten, talenten en nascholingsbehoeften met hun leerkrachten bespreken, boeken succes. Het stimuleren van leerkrachten om zich te blijven ontwikkelen, zorgt dat ze minder zullen vastroesten gedurende hun loopbaan.
TIP 2. De directeur als mentor
Andere aspecten die inwerken op het verloop hebben te maken met schoolleiderschap, mentoring en inspraak. Menselijke, open leiders die transparant communiceren met leerkrachten hebben minder last van vervroegde uitdiensttreding van leerkrachten. Mentorschap boekt winst als alle leerkrachten dit ondersteunen en als de directeur functioneert als mentor-coach voor al wie voor de klas staat. Het belang van inspraak mag niet worden onderschat: leraren willen zelf initiatief nemen en hun steentje bijdragen aan de school. Scholen waarbij dit in grote mate kan, kennen minder uitval bij hun leerkrachtenteam dat zich sterker betrokken en meer gewaardeerd zal voelen.
TIP 3. Vergaderingen en administratie
Vergaderingen en administratie blijven een gevoelig punt in het secundair onderwijs. Directies die durven snoeien in het aantal vergaderingen en de administratieve taken weten te beperken, zitten al behoorlijk op de goede weg.
STELLING. Op een lijnstuk liggen evenveel punten als op een rechte.
Op de onderstaande figuur zie je dat er met elk groen punt op de middellijn van de cirkel precies één rood punt van de getekende rechte correspondeert en omgekeerd. Het volstaat immers via een lijnstuk een willekeurig rood punt op de rechte te verbinden met het middelpunt van de cirkel en vervolgens het snijpunt van dat lijnstuk met de cirkel loodrecht te projecteren op de middellijn van de cirkel. Die projectie levert dan een groen punt op.
STELLING. Er zijn evenveel natuurlijke getallen als er gehele getallen zijn, m.a.w. in de verzameling {0, 1, 2, 3, ...} zitten evenveel getallen als in {...,-3, -2, -1, 0; 1, 2 , 3, ...}.
Dit kan je gemakkelijk als volgt inzien. Met een even natuurlijk getal n en laten we het positief geheel getal n/2 overeenkomen. Met een oneven natuurlijk getal n laten we het negatief geheel getal -(n+1)/2 overeenkomen. Zo komt met elk natuurlijk getal precies één geheel getal overeen en omgekeerd.
Het duurde tot in de 19de eeuw tot wiskundigen een juist begrip hadden van 'oneindig veel'. De wiskundigen Georg Cantor en David Hilbert leverden op dit vlak baanbrekend werk en kwamen tot de conclusie dat de verzamelingen van de natuurlijke getallen, van de gehele getallen en van de rationale getallen 'aftelbaar oneindig' veel elementen bevatten, terwijl dat voor de verzameling van de reële getallen niet waar is:
(alef-nul) ≠ (alef-één) Een goed bewaard geheim van Georg Cantor (lees meer hierover in de bijlage).
Zopas vernam ik het onverwacht overlijden van collega Leon van den Broek op zondag 8 december 2013.
Leon was hier in Kortrijk in 2009 als gastspreker aanwezig op de Dag van de Wiskunde en hij sprak met enthousiasme en enige fierheid over de vele wiskunde-activiteiten waarmee hij - na een loopbaan van 34 jaar in RSG Pantarijn in Wageningen - zijn dagen op een zinvolle manier wist te vullen:
directeur van de Nederlands Kangoeroewedstrijd, medewerker aan het steunpunt Wiskunde D van de Radboud Universiteit Nijmegen, auteur van de Wageningse Methode, van Ratio, van talrijke artikels en Zebraboekjes en van experimentele materialen voor het toekomstig wiskunde-onderwijs (na 2014).
Een man met een enorme verdienste die droomde en liet dromen.
Hierbij past meteen een woord van dank aan collega Odette De Meulemeester die me met Leon en zijn werk in contact bracht.
Zijn boekje "Mijn mooiste MATHE ..." is een potpourri van wiskundige verrassingen die hij zelf als zijn memoires beschouwde.
Omdat op mijn blog kwadraatgetallen en de stelling van Pythagoras en de toepassingen ervan terugkerende items zijn, vermeld ik hier graag twee van Leons wiskundige verrassingen.
DE RIJ DIE OVER DE KWADRATEN HEEN LOOPT
Bekijk de rij tn = n + int(½ + √n) voor n = 1, 2, 3, 4 ... waarbij int(x) staat voor het geheel gedeelte van x. Zo is bijvoorbeeld int(3,14) = 3. Dan blijkt deze rij termen over de kwadraten heen te springen, m.a.w. alle positieve gehele getallen duiken op in de rij behalve de kwadraatgetallen 1, 4, 9, 16 ....
Referentie: On-Line Encycclopedia of Integer Sequences
DE LOODLIJNEN VAN PYTHAGORAS
Teken op de zijden van een scherphoekige of rechthoekige driehoek naar buiten toe vierkanten. Kies binnen (of op de rand van de driehoek) twee punten en trek vanuit die punten loodlijnen op de drie zijden. Bekijk binnen de vierkanten de stroken tussen deze loodlijnen. Twee van de stroken hebben samen dezelfde oppervlakte als de derde strook.
Weet je ook hoe hieruit de stelling van Pythagoras volgt?
Voor geen enkel positief geheel getal n is het getal 24n+ 22n+ 1 een priemgetal. Bewijs dit.
UITVINDING 23
Met de opkomst van de elektriciteit doken meteen ook een aantal problemen op. De primitieve schakelaars waren onveilig en zorgden vaak voor vonken. Daarom bedacht men een hulpstuk dat op een schakelaar werd gemonteerd. Het handvat bestond uit isolerend materiaal en doordat manueel contact met de schakelaar zelf niet meer nodig was, werden zo heel wat kleine accidentjes vermeden.
Weet jij wat er verkeerd gaat in het onderstaande 'bewijs'?
BIJ EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK IS DE SCHUINE ZIJDE GELIJK AAN DE SOM VAN DE TWEE RECHTHOEKSZIJDEN
a + b = e + d a + b = (g + i) + (f + h) a + b = (k + m + o + q) + (j + l + n + p) ... Dus geldt dat de lengte van de gebroken lijn (trap) gelijk is aan a + b ongeacht het aantal 'treden'. Laat nu het aantal 'treden' van de trap naar oneindig naderen dan zal (in de limiet) gelden dat c = a + b.
ZOEK EENS OP VAN WELK GRIEKS WOORD HYPOTENUSA IS AFGELEID EN WAT HET JUIST BETEKENT !
In de bijlage zit een variatie op deze 'stelling' waarbij we 'bewijzen' we dat bij een gelijkzijdige driehoek elke zijde even lang is als de som van beide andere zijden.
Hoe groot schat je de kans dat er bij een toevallige samenkomst van 23 personen minstens 2 personen zijn die op dezelfde dag verjaren?
Meestal denkt men dat die kans 23/365 is of ongeveer 6,3%. Via elementaire kanswetten weten we echter dat de kans P dat er bij n personen minstens 2 op dezelfde dag verjaren gelijk is aan
Voor n = 23 komen we zo op een kans van 50,73% en bij 30 personen is die kans zelfs al 70,63%.
EXPERIMENT
Vraag aan 10 personen om een getal van 1 tot en met 30 op te schrijven. Je wedt dat er minstens twee zullen zijn die hetzelfde getal hebben gekozen. Wellicht aanvaardt men die weddenschap omdat men de kans op succes inschat op ongeveer 1 op 3. In werkelijkheid is de kans P op succes hier gelijk aan
Je kunt dit zelf eens uittesten op een EXCEL-blad. Via de instructie =GEHEEL(ASELECT()*(30-1)+1) kiest de computer immers een willekeurig geheel getal van 1 tot 30.
Hieronder zie je resultaat van mijn experiment waarbij ik de computer 10 keer 10 getallen van 1 tot 30 liet kiezen.
Tot mijn verbazing had ik 9 keer op 10 succes. Het gebeurde drie keer dat er twee dezelfde koppels werden gekozen en zelfs één keer (in de derde kolom) waren er drie dezelfde koppels.
Geef nu zelf toe: de BRAZUCA, de officiële wedstrijdbal voor het WK-voetbal in Brazilië heeft wel iets! BRAZUCA is het Portugees voor 'Braziliaans' en verwijst naar de Braziliaanse levenswijze.
Ook vanuit wiskundig standpunt bekeken is de BRAZUCA een aantrekkelijk symmetrisch object. Het is opgebouwd uit zes identieke stukken in de kleuren blauw, groen en oranje en in de contactpunten ontstaan acht zwarte driehoeken die geen boldriehoeken zijn omdat de zijden ervan niet op grote cirkels liggen.
Wist je dat de Franse wiskundige Albert Girard (1595 - 1632) als eerste een formule publiceerde voor de oppervlakte van een boldriehoek?
Hij week omwille van de godsdienstoorlogen met zijn familie uit naar Leiden en maakte er kennis met het werk van Simon Stevin. In 1626 publiceerde hij een boek over driehoeksmeting waarin hij als eerste de afkortingen sin, cos en tan gebruikte. In dat boek vinden we ook zijn elegante formule voor de oppervlakte van een boldriehoek:
α + β + γ = π + (opp. Δ ABC)/r² (*)
waarbij α, β en γ de hoeken in radialen zijn van Δ ABC en r de straal van de bol.
Uit die formule kan je afleiden dat de som van de hoeken van een boldriehoek groter is dan 180°. Bij de driehoeken op de Brazuca-voetbal is de som van de hoeken duidelijk kleiner dan 180°.
Een bewijs van de formule (*) vind je in de bijlage. Met dank aan Martin Kindt.
![Roll one coin around another (both the same size). How many times does the rolling coin rotate about its centre? As it rolls around one of its own circumference lengths, you may think the answer is one- but check again. So what about if the rolling coin had a radius a third of the other one? [code]](http://25.media.tumblr.com/tumblr_lpgjyeeNSU1qfg7o3o1_r2_400.gif)
Het antwoord op beide VWO-vragen vind je in de bijlage en daar staat ook wat uitleg bij de paradox van Aristoteles.
(alef-nul) ≠ 
(alef-één)
In de bijlage zit een variatie op deze 'stelling'
/0066.gif)
