In Wiskunde en Onderwijs nr. 157 (2014), het tijdschrift van de VVWL verscheen zopas een artikel dat ik samen met de hoofdredacteur op papier zette. Hierin komen een extremumvraagstuk en een constructie uit de oude doos aan bod. De tekst met de oplossing zit in bijlage.
Zie jij een kortere oplossing?
"Everything should be made as simple as possible, but not simpler" A. Einstein
Dat wiskunde voor heel wat studenten zuur als een citroen smaakt, wisten we al. Nu bevestigt de autosalonreclame van het merk Citroën nog eens de kwalijke reputatie (?) van een aantal wiskundeleraars.
Zonder enige twijfel is het meest fameuze resultaat dat tot op heden over de priemgetallen gekend is de stelling die in 1896 door Jacques Hadamard (Frankrijk, 1865-1963) en Charles-Jean de la Vallée Poussin (Leuvense wiskundige, 1866-1962) onafhankelijk van elkaar werd bewezen.
Als π(x) het aantal priemgetallen is dat kleiner is dan of gelijk aan het reëel getal x dan is
m.a.w. het n-de priemgetal is bij benadering (voor grote waarden van n) gelijk aan n · ln(n).
Je leest meer hierover in de uitdagende werktekst van Hilde Eggermont en Els Vanlommel (zie bijlage) die ze in Uitwiskeling hebben gepubliceerd en op de voorbije Dag van de Wiskunde in Kortrijk zijn komen voorstellen.
Epimenides was een filosoof die rond 600 v. Chr. in Knossos op Kreta leefde. Aan hem schrijft men de uitspraak toe: "Κρῆτες ἀεὶ ψεῦσται" ("Alle Kretenzers zijn leugenaars"). Dit leverde meteen een paradox op, want Epimenides is zelf een Kretenzer. Als zijn uitspraak juist is, liegt hij en bijgevolg is zijn uitspraak dan niet waar. Maar als ze niet waar, dan zou dat betekenen dat hij niet liegt of dat zijn uitspraak waar is ...
Sindsdien doken er heel wat variaties van deze paradox op.
DE PINOKKIO-PARADOX
De neus van Pinokkio wordt alleen langer telkens als hij liegt. Liegt hij hier?
DE KNOPPENPARADOX
Is de zin op de groene knop waar? En wat met de zin op de rode knop?
DE PARADOX VAN DE GEHANGENE
Rond 1600 publiceerde Miguel de Cervantes zijn roman De vernuftige edelman Don Quichot waarin hij op een creatieve manier de leugenaarsparadox verwerkt.
Om naar de overkant van een rivier te komen, moet men een brug oversteken. Aan het einde van de brug staan vier rechters en staat er ook een galg opgesteld. De rechters vragen aan elke voorbijganger waarom hij de brug oversteekt. Als het blijkt dat hij de waarheid spreekt, laat men hem passeren maar als blijkt dat hij liegt, wordt hij zonder genade opgehangen. Op een zekere dag komt reiziger voorbij die zegt: "Ik kom om opgehangen te worden." Wat moeten de rechters dan doen: hem doorlaten of ophangen?
ABCD is een trapezium. M is het midden van de opstaande zijde [AD]. Bewijs dat de oppervlakte van Δ MBC gelijk is aan de som van de oppervlakten van Δ MAB en Δ MCD.
UITVINDING 17
Met dit apparaat kon men een foto tot vijf keer vergroten. Men schoof het negatief in het apparaat waarin een gaslamp zat. Die projecteerde de afbeelding op een fotogevoelige plaat die zich in een uitschuifbaar deel van het apparaat bevond. Via een lens werd het origineel dan vergroot. Het grote probleem bleek het kwaliteitsverlies te zijn.
PRIEMTWEELINGEN zijn een koppel priemgetallen van de vorm (p, p + 2) zoals bijvoorbeeld (5, 7), (11, 13) en (101, 103). Men vermoedt dat er oneindig veel priemtweelingen zijn, maar dat is nog door niemand bewezen!
SEXY PRIEMGETALLEN zijn een koppel priemgetallen van de vorm (p, p + 6). Het zijn dus twee priemgetallen die zes verschillen. Voorbeelden. (5, 11) , (7, 13) en (11, 17).
SEXY PRIEMDRIETALLEN zijn dan drietallen priemgetallen van de vorm (p, p + 6, p + 12) zoals (5, 13, 19) en (17, 23, 29)
SEXY PRIEMVIERTALLEN van de vorm (p, p + 6, p + 12, p + 18) met p een priemgetal bestaan ook. Voorbeelden. (11, 17, 23, 29) en (41, 47, 53, 59).
Maar kan je verklaren waarom er geen SEXY PRIEMVIJFTALLEN kunnen bestaan?
Je kunt het antwoord vinden in het eindwerk dat Kristof Scheys en Stijn Vermeeren in het schooljaar 2004-2005 hebben gemaakt in het Sint-Jozefscollege van Aarschot onder de deskundige leiding van Frans Cools (zie bijlage). Bron: http://www.stijnvermeeren.be/download/priemgetallen.pdf .
Stel dat je een touwtje spant rond een sinaasappel. Daarna neem je een touwtje dat één meter langer is en je houdt het rond de sinaasappel zodat het overal even ver ervan verwijderd is. Dan blijkt dat het op een afstand van 16 cm van de sinaasappel verwijderd is.
Stel nu dat je over de evenaar rond de aarde een touw spant. Je neemt daarna weer een touw dat één meter langer is en je houdt het over de gehele evenaar op eenzelfde afstand van het aardoppervlak. Hoe hoog kan je het dan boven de aarde houden?
BIJKOMENDE VRAAG Stel dat je het touw overal op één meter boven de evenaar wilt houden. Hoeveel meter touw moet je dan toevoegen aan het touw dat aanvankelijk over de evenaar over de aarde was gespannen?
In de bijlage vind je ook nog een aanverwant (en veel moeilijker) vraagstuk over een touw waarmee je de aarde zou ophangen.
In zijn boek 'Madachy's Mathematical recreations' vermeldt J.S. Madachy enkele merkwaardige magische priemvierkanten. Dit zijn magische vierkanten waarbij alle getallen priemgetallen zijn.
Dit magisch vierkant is het priemvierkant met de kleinst mogelijke magische constante (som van de 3 getallen in elke rij, elke kolom en op de twee diagonalen), nl. 177. Het staat op naam van Rudolf Ondrejka (1929-2001) die blijkbaar geobsedeerd was van merkwaardige priemgetallen (zie bijlage).
De stelling van Green-Tao, in 2004 bewezen door Ben Green en Terence Tao toont aan dat de ordening van priemgetallen willekeurig lange rekenkundige rijen bevat. Met andere woorden voor elk natuurlijk getal k bestaan er rekenkundige rijen van priemgetallen van lengte k.
Zo staan er bijvoorbeeld in het volgende rijtje negen priemgetallen waarbij het verschil tussen elke twee opeenvolgende getallen gelijk is aan 210:
199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879.
DENKOEFENING MET DEZE RIJ PRIEMGETALLEN
Vervang in dit Lo-Shu-magisch vierkant het cijfer 1 door 199, het cijfer 2 door 409, het cijfer 3 door 619 ... enzovoort tot en met het cijfer 9 door 1879. Meteen bekom je een magisch priemvierkant.
Kan je ook verklaren waarom dit dan een magisch vierkant is?
De TED-conferenties (Technology, Entertainment, Design) werden in 1984 voor het eerst georganiseerd in Californië. Tijdens deze jaarlijkse vierdaagse bijeenkomst worden sprekers uitgenodigd om in maximaal 18 minuten "de presentatie van hun leven" te geven over hun gebied van expertise, over een bepaald project, of iets waarvan zij vinden dat het een idee is dat verspreid moet worden.
Alhoewel iedereen het nut van wiskunde kent vanuit berekeningen en concrete toepassingen, wijst Arthur Benjamin er ons in de onderstaande video op dat wiskunde ook uitnodigt om creatief te denken. In 6 minuten laat hij ons op een enthousiaste en aanstekekelijke manier meegenieten van de zuivere schoonheid van de wiskunde via de magie van de Fibonaccigetallen.
Ik verwijs in dit verband graag naar een eerdere publicatie op mijn blog: Fibonacci in het kwadraat (06-11-2013).
Onder het motto 'de (wiskunde)boog kan niet altijd gespannen staan' serveren we je vandaag een ludieke quiz. Wie 4 van de 8 vragen juist kan beantwoorden is meteen geslaagd!
DE DETERMINANTFORMULE VOOR DE OPPERVLAKTE VAN EEN DRIEHOEK
Van een gegeven driehoek ABC met co(A) = (x1, y1), co(B) = (x2, y2) en co(C) = (x3, y3) is de oppervlakte gelijk aan
Het bewijs hiervan zit in de bijlage
Hierbij moet men de absolute waarde nemen van een determinant van orde 3. Die is eenvoudig te herleiden tot 3 determinanten van orde 2. Als men bovendien de hoekpunten van de driehoek in een volgorde plaatst zodat men de omtrek vanaf A via B naar C in tegenwijzerzin loopt (zie onderstaande figuur), hoeft men ook de absolute waarde niet meer te nemen.
In het volgende (Engelstalig) filmpje zie je hoe men zo de oppervlakte van de bovenstaande driehoek berekent.
Twee cirkels C1 en C2 met middelpunten M en N en stralen r1 en r2 raken elkaar uitwendig in het punt P. [AB] en [CD] zijn twee evenwijdige middellijnen van deze cirkels. Een derde cirkel C3 met middelpunt O gaat door de punten A, B, C en D. Toon aan dat de gebieden die in het rood en het groen gekleurd zijn (zie onderstaande figuur) dezelfde oppervlakte hebben.
UITVINDING 18
Vroeger maakte men boter door de melk te karnen in een stootkarn. Dit was een tijdrovend proces waarbij de room werd gekarnd zodat de vetdeeltjes samenklonterden en zich afscheidden van de karnemelk. Uit het vet werd dan boter bereid. De mechanische karnton op de bovenstaande afbeelding had blijkbaar het voordeel dat men er een vat van een variabele grootte kon onder plaatsen.
Bij het onderstaande probleem komt men echter tot een 'verrassende' volgende term.
Neem 2, 3, 4, 5, ... punten op een cirkelomtrek en verbind elk punt met alle andere punten. Wat is dan het maximale aantal gebieden waarin de cirkelschijf wordt verdeeld en hoeveel gebieden krijg je maximaal wanneer je 6 punten kiest?
Op de bovenstaande figuur lees je het antwoord af voor 2 punten → 2 gebieden voor 3 punten → 4 gebieden voor 4 punten → 8 gebieden voor 5 punten → 16 gebieden en dus voor 6 punten → ??? gebieden. Logischerwijze denk je dan aan 32 gebieden, maar dit blijkt niet juist te zijn.
Tel je dit zelf even na?
En hier zit precies de kracht van een wiskundig bewijs! Leo Moser bewees de algemene formule voor het aantal gebieden bij n punten:
of met behulp van binomiaalcoëfficiënten:
Het volstaat dus niet vast te stellen dat een bewering waar is in een groot aantal gevallen waarvoor men die verifieert. Het onderstaande filmpje maakt dit nog eens duidelijk.
Wanneer men in de kansberekening te maken heeft men kansen waarbij er een oneindig aantal keuzes mogelijk zijn (bijvoorbeeld bij het kiezen van een punt in een driehoek of in een cirkel) dan kan men tot schijnbaar tegenstrijdige resultaten komen.
Teken een cirkel en teken daarin een willekeurige koorde. Hoe groot is dan de kans dat deze koorde langer is dan de zijde van de ingeschreven gelijkzijdige driehoek?
Er blijken hier drie verschillende manieren te zijn om die kans te berekenen.
METHODE 1 Draai de driehoek zodat de (groene) koorde evenwijdig is met één van de zijden. Het midden van de koorde ligt dan op de (blauwe) middelloodlijn van die zijde. De gekozen koorde is langer dan de zijde van de driehoek als het midden van die koorde tussen de twee rode punten ligt. Dus is de kans = 1/2.
METHODE 2 Draai de driehoek zodat een hoekpunt ervan samenvalt met een (rood) eindpunt van de (groene) koorde. Elke koorde maakt een hoek met de raaklijn in dat (rood) punt die varieert van 0° tot 180°. De gekozen koorde is langer dan de zijde van de driehoek als ze binnen de tophoek van de driehoek valt. Die tophoek is 60° en bijgevolg is de kans 1/3.
METHODE 3 Teken de ingeschreven cirkel Ci van de gelijkzijdige driehoek. De straal van deze cirkel is de helft van de straal van de omgeschreven cirkel CO en dus is de oppervlakte van Ci gelijk aan 1/4 van de oppervlakte van CO. De gekozen (groene) koorde is langer dan de zijde van de driehoek als het midden van die koorde binnen Ci valt en bijgevolg is die kans 1/4.
Bij dit soort van problemen moet men dus nader omschrijven hoe dat lukraak kiezen gebeurt!
Prof. Dr. Ir. Alain De Wulf, een oud-leerling die al jarenlang verbonden is aan de afdeling Landmeetkunde (UGent) bezorgde me een reeks uitdagende opgaven die je met behulp van driehoeksmeting en vlakke meetkunde kunt oplossen.
Benieuwd hoeveel laatstejaarsstudenten van het middelbaar onderwijs deze twee opgaven zouden kunnen oplossen.
Tijdens een luchtshow vliegen 9 vliegtuigjes netjes op één rij in formatie achter elkaar. De echtgenote van piloot F. Picket vroeg hem op welke positie hij vloog. Picket antwoordde met het volgende raadsel: "Het product van het aantal vliegtuigen voor mij en het aantal achter mij is 3 kleiner dan het zou geweest zijn als ik 3 plaatsen meer naar achteren had gevlogen."
Op welke positie vloog F. Picket?
BOMMEN EN KANSREKENEN
Farid nam vaak het vliegtuig en was altijd bang dat er een bom aan boord zou zijn. Zijn vriend Hassan, een wiskundige uit Jemen stelde hem gerust. Hij had immers berekend dat die kans maar 1 op 10 miljoen was. En de kans dat er 2 bommen aan boord zouden zijn van eenzelfde vliegtuig was volgens zijn berekeningen maar 1 op 10 miljard of zo goed als nul.
Sedertdien neemt Farid altijd zelf een bom mee aan boord.
Zonet heb ik de nieuwste thriller INFERNO van Dan Brown gelezen. In het boek komt de problematiek van de bevolkingsexplosie en van het voedselprobleem aan bod.
Op de onderstaande grafiek kan je zien dat de bevolkingstoename in de laatste eeuw vrij dramatisch is (1 billion = 1 miljard) en de cijfers liegen er niet om:
1804 jaar: 1 miljard 123 jaar later: 2 miljard 33 jaar later: 3 miljard 15 jaar later: 4 miljard 12 jaar later: 5 miljard 12 jaar later: 6 miljard 12 jaar later: 7 miljard
Ik vroeg me dan ook af hoeveel mensen er in totaal al op aarde geleefd hebben. Een antwoord vond ik op www.scientias.nl:
Er zijn veel factoren die het moeilijk maken om de mensheid van begin af aan te tellen. Daardoor is het moeilijk om precies te bepalen hoeveel mensen er ooit op aarde hebben gelopen. Maar als we in acht nemen dat de mens rond 50 000 voor Christus al bestond, dan hebben er in totaal zon 107 miljard mensen voet gezet op de planeet. Momenteel leven er zon 7 miljard dat is 6,5 procent van het totale aantal mensen dat ooit heeft geleefd.
PARADOX VAN HET AANTAL VOOROUDERS
Je hebt twee ouders, die elk weer twee voorouders hebben, die op hun beurt elk twee voorouders hadden . Als we rekenen dat er per eeuw drie generaties hebben geleefd, dan komen we zo voor de voorbije 20 eeuwen op 60 generaties. Dit betekent dat je bij het begin van onze jaartelling 260 of ongeveer 1018 voorouders had.
1018 = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 miljoen x 1 miljoen x 1 miljoen = 1 triljoen. Maar dit is beduidend meer dan het aantal mensen dat er ooit op onze aardbol leefde. Hier klopt iets niet ... en hopelijk ben je het roerend met me eens!
Lucie speelt een rekenspelletje met haar broer Janus. Zij zegt het volgende: "Denk aan een getal van 1 tot en met 60. Geef me de resten bij deling door 3, 4 en 5 en ik zal je zeggen welk getal je in gedachten hebt genomen."
Janus neemt het getal 26 in gedachten en zegt dus dat de resten respectievelijk 2, 2 en 1 zijn.
Dan neemt Lucie een rekenmachientje. Als de resten a, b en c zijn, dan berekent zij hiermee G = 40a + 45b + 36c. Aangezien hier a = 2, b = 2 en c = 1 bekomt zij zo het getal G = 206. Van dit getal berekent zij de rest r bij deling door 60 en vindt zo dat r = 26 (want 206 = 60 x 3 + 26). Dit is meteen het getal dat haar broer Janus had gekozen!
Maar kan je ook verklaren waarom dit procédé altijd het gezochte getal oplevert?
In een vierkant ABCD met zijde z construeert men twee even grote cirkels C1 en C2 die respectievelijk raken aan de zijden [AD] en [BC] en die elkaar raken in het middelpunt M van het vierkant. Een derde cirkel C3 raakt aan de zijde [AB] en raakt ook aan de twee andere cirkels. Bepaal de straal van de cirkel C3 in functie van de zijde z van het vierkant.
UITVINDING 19
Om de honing los te krijgen uit de raten plaatste men die traditioneel in de zon onder een glazen wand zodat de honing door de zonnewarmte kon lossmelten uit de raten. Hierdoor verloor de honing echter veel van zijn aroma. Vandaar dat men een soort mechanische centrifuge bedacht waarbij men de raten via een hendel kon laten ronddraaien. Hierdoor verliep het gehele procédé vlugger en was de honing blijkbaar van een veel betere kwaliteit.
Antwoord in bijlage.
