Men ordent de natuurlijke getallen op de volgende manier in horizontale rijen: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ... Hierbij staan de getallen in de natuurlijke volgorde en elke volgende rij bevat vier getallen meer dan de vorige rij. Toon aan dat de som van de getallen in elke horizontale rij gelijk is aan de derde macht van een natuurlijk getal. Zo is bv. 8 + 9 + 10 + ... + 17 = 125 = 53.
UITVINDING 16
Vélocipède is het klassieke woord voor een fiets. De letterlijke betekenis is "snelvoet". Rond 1850 was dit type van fietsen erg populair in Frankrijk. Omdat men vaak problemen had om op deze fiets te stappen of om te parkeren op een hobbelige bodem kwam een uitvinder op het idee om twee uitschuifbare metalen poten te gebruiken. Hiermee werd een grotere stabiliteit gegarandeerd
Soms ziet iemand toevallig een leuke wiskundige eigenschap waaraan tal van andere wiskundigen jarenlang zijn voorbij gegaan.
Dit was zeker het geval bij Lin McMullin die een verband ontdekte tussen het getal van de gulden snede f en de buigpunten bij een veeltermfunctie van de vierde graad.
We illustreren deze vondst aan de hand van een eenvoudige oefening.
Beschouw de functie f met als voorschrift f(x) = x4 2x3. Hierboven is de grafiek van f getekend.
Toon aan dat O(0,0) en P(1,-1) de twee buigpunten zijn op de grafiek van f.
Zoek de snijpunten van de grafiek van f met de rechte OP: y = -x.
Welk verband zie je met het getal f van de gulden snede?
e algemene eigenschap vind je in het artikel van Lin McMullin in bijlage.
Via deze cartoon heeft de tekenaar willen uitdrukken dat men best rekening houdt met ieders mogelijkheden. En dit is wat nu precies in ons huidig onderwijssteem te weinig gebeurt: voor de zwakkere leerlingen vindt men niet steeds de tijd om te remediëren en de sterkere leerlingen krijgen vaak te weinig uitdagingen.
Daarom hanteren heel wat leerkrachten het onderstaande traditionele model. Tijdens schoolbezoeken hoorde ik vaak de opmerking dat overvolle leerplannen (wiskunde) dit ook wel in de hand werken ...
HET B-H-V-MODEL (Basisstof - Herhalingsstof - Verrijkingsstof) wil de leerkrachten er alvast toe aanzetten om na te denken over de mogelijkheden van binnenklasdifferentiatie.
Via een formatieve toets (die niet meetelt voor punten) over de aangeboden basisleerstof kan de leerkracht te weten komen wie best herhalingsleerstof krijgt en wie direct kan overstappen naar verrijkingsleerstof. Pas wanneer deze mogelijkheden zijn benut, volgt er een summatieve toets op punten.
Je leest meer over mogelijke vormen van differentiatie in het artikel in bijlage (met dank aan Uitwiskeling).
DRIE PERSOONLIJKE BEDENKINGEN
Hoe kan men op een goede manier differentiëren in niet-homogene klassen met een relatief groot aantal leerlingen en toch de planlast van de leraar bewaken?
Hoe kent de leraar op een objectieve manier scores toe? Verdient de leerling die direct kan overstappen op verrijkingsleerstof meer punten dan wie voortdurend moet bijgestuurd worden?
In de huidige leerplannen wiskunde van de eerste graad heeft men duidelijk aangeduid wat basisleerstof is en wat men als verdieping of uitbreiding kan beschouwen. Slagen alle leerkrachten er nu toch nog in om de lat voldoende hoog te leggen?
In Wiskunde en Onderwijs nr. 157 (2014), het tijdschrift van de VVWL verscheen zopas een artikel dat ik samen met de hoofdredacteur op papier zette. Hierin komen een extremumvraagstuk en een constructie uit de oude doos aan bod. De tekst met de oplossing zit in bijlage.
Zie jij een kortere oplossing?
"Everything should be made as simple as possible, but not simpler" A. Einstein
Dat wiskunde voor heel wat studenten zuur als een citroen smaakt, wisten we al. Nu bevestigt de autosalonreclame van het merk Citroën nog eens de kwalijke reputatie (?) van een aantal wiskundeleraars.
Zonder enige twijfel is het meest fameuze resultaat dat tot op heden over de priemgetallen gekend is de stelling die in 1896 door Jacques Hadamard (Frankrijk, 1865-1963) en Charles-Jean de la Vallée Poussin (Leuvense wiskundige, 1866-1962) onafhankelijk van elkaar werd bewezen.
Als π(x) het aantal priemgetallen is dat kleiner is dan of gelijk aan het reëel getal x dan is
m.a.w. het n-de priemgetal is bij benadering (voor grote waarden van n) gelijk aan n · ln(n).
Je leest meer hierover in de uitdagende werktekst van Hilde Eggermont en Els Vanlommel (zie bijlage) die ze in Uitwiskeling hebben gepubliceerd en op de voorbije Dag van de Wiskunde in Kortrijk zijn komen voorstellen.
Epimenides was een filosoof die rond 600 v. Chr. in Knossos op Kreta leefde. Aan hem schrijft men de uitspraak toe: "Κρῆτες ἀεὶ ψεῦσται" ("Alle Kretenzers zijn leugenaars"). Dit leverde meteen een paradox op, want Epimenides is zelf een Kretenzer. Als zijn uitspraak juist is, liegt hij en bijgevolg is zijn uitspraak dan niet waar. Maar als ze niet waar, dan zou dat betekenen dat hij niet liegt of dat zijn uitspraak waar is ...
Sindsdien doken er heel wat variaties van deze paradox op.
DE PINOKKIO-PARADOX
De neus van Pinokkio wordt alleen langer telkens als hij liegt. Liegt hij hier?
DE KNOPPENPARADOX
Is de zin op de groene knop waar? En wat met de zin op de rode knop?
DE PARADOX VAN DE GEHANGENE
Rond 1600 publiceerde Miguel de Cervantes zijn roman De vernuftige edelman Don Quichot waarin hij op een creatieve manier de leugenaarsparadox verwerkt.
Om naar de overkant van een rivier te komen, moet men een brug oversteken. Aan het einde van de brug staan vier rechters en staat er ook een galg opgesteld. De rechters vragen aan elke voorbijganger waarom hij de brug oversteekt. Als het blijkt dat hij de waarheid spreekt, laat men hem passeren maar als blijkt dat hij liegt, wordt hij zonder genade opgehangen. Op een zekere dag komt reiziger voorbij die zegt: "Ik kom om opgehangen te worden." Wat moeten de rechters dan doen: hem doorlaten of ophangen?
ABCD is een trapezium. M is het midden van de opstaande zijde [AD]. Bewijs dat de oppervlakte van Δ MBC gelijk is aan de som van de oppervlakten van Δ MAB en Δ MCD.
UITVINDING 17
Met dit apparaat kon men een foto tot vijf keer vergroten. Men schoof het negatief in het apparaat waarin een gaslamp zat. Die projecteerde de afbeelding op een fotogevoelige plaat die zich in een uitschuifbaar deel van het apparaat bevond. Via een lens werd het origineel dan vergroot. Het grote probleem bleek het kwaliteitsverlies te zijn.
PRIEMTWEELINGEN zijn een koppel priemgetallen van de vorm (p, p + 2) zoals bijvoorbeeld (5, 7), (11, 13) en (101, 103). Men vermoedt dat er oneindig veel priemtweelingen zijn, maar dat is nog door niemand bewezen!
SEXY PRIEMGETALLEN zijn een koppel priemgetallen van de vorm (p, p + 6). Het zijn dus twee priemgetallen die zes verschillen. Voorbeelden. (5, 11) , (7, 13) en (11, 17).
SEXY PRIEMDRIETALLEN zijn dan drietallen priemgetallen van de vorm (p, p + 6, p + 12) zoals (5, 13, 19) en (17, 23, 29)
SEXY PRIEMVIERTALLEN van de vorm (p, p + 6, p + 12, p + 18) met p een priemgetal bestaan ook. Voorbeelden. (11, 17, 23, 29) en (41, 47, 53, 59).
Maar kan je verklaren waarom er geen SEXY PRIEMVIJFTALLEN kunnen bestaan?
Je kunt het antwoord vinden in het eindwerk dat Kristof Scheys en Stijn Vermeeren in het schooljaar 2004-2005 hebben gemaakt in het Sint-Jozefscollege van Aarschot onder de deskundige leiding van Frans Cools (zie bijlage). Bron: http://www.stijnvermeeren.be/download/priemgetallen.pdf .
Stel dat je een touwtje spant rond een sinaasappel. Daarna neem je een touwtje dat één meter langer is en je houdt het rond de sinaasappel zodat het overal even ver ervan verwijderd is. Dan blijkt dat het op een afstand van 16 cm van de sinaasappel verwijderd is.
Stel nu dat je over de evenaar rond de aarde een touw spant. Je neemt daarna weer een touw dat één meter langer is en je houdt het over de gehele evenaar op eenzelfde afstand van het aardoppervlak. Hoe hoog kan je het dan boven de aarde houden?
BIJKOMENDE VRAAG Stel dat je het touw overal op één meter boven de evenaar wilt houden. Hoeveel meter touw moet je dan toevoegen aan het touw dat aanvankelijk over de evenaar over de aarde was gespannen?
In de bijlage vind je ook nog een aanverwant (en veel moeilijker) vraagstuk over een touw waarmee je de aarde zou ophangen.
In zijn boek 'Madachy's Mathematical recreations' vermeldt J.S. Madachy enkele merkwaardige magische priemvierkanten. Dit zijn magische vierkanten waarbij alle getallen priemgetallen zijn.
Dit magisch vierkant is het priemvierkant met de kleinst mogelijke magische constante (som van de 3 getallen in elke rij, elke kolom en op de twee diagonalen), nl. 177. Het staat op naam van Rudolf Ondrejka (1929-2001) die blijkbaar geobsedeerd was van merkwaardige priemgetallen (zie bijlage).
De stelling van Green-Tao, in 2004 bewezen door Ben Green en Terence Tao toont aan dat de ordening van priemgetallen willekeurig lange rekenkundige rijen bevat. Met andere woorden voor elk natuurlijk getal k bestaan er rekenkundige rijen van priemgetallen van lengte k.
Zo staan er bijvoorbeeld in het volgende rijtje negen priemgetallen waarbij het verschil tussen elke twee opeenvolgende getallen gelijk is aan 210:
199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879.
DENKOEFENING MET DEZE RIJ PRIEMGETALLEN
Vervang in dit Lo-Shu-magisch vierkant het cijfer 1 door 199, het cijfer 2 door 409, het cijfer 3 door 619 ... enzovoort tot en met het cijfer 9 door 1879. Meteen bekom je een magisch priemvierkant.
Kan je ook verklaren waarom dit dan een magisch vierkant is?
De TED-conferenties (Technology, Entertainment, Design) werden in 1984 voor het eerst georganiseerd in Californië. Tijdens deze jaarlijkse vierdaagse bijeenkomst worden sprekers uitgenodigd om in maximaal 18 minuten "de presentatie van hun leven" te geven over hun gebied van expertise, over een bepaald project, of iets waarvan zij vinden dat het een idee is dat verspreid moet worden.
Alhoewel iedereen het nut van wiskunde kent vanuit berekeningen en concrete toepassingen, wijst Arthur Benjamin er ons in de onderstaande video op dat wiskunde ook uitnodigt om creatief te denken. In 6 minuten laat hij ons op een enthousiaste en aanstekekelijke manier meegenieten van de zuivere schoonheid van de wiskunde via de magie van de Fibonaccigetallen.
Ik verwijs in dit verband graag naar een eerdere publicatie op mijn blog: Fibonacci in het kwadraat (06-11-2013).
Onder het motto 'de (wiskunde)boog kan niet altijd gespannen staan' serveren we je vandaag een ludieke quiz. Wie 4 van de 8 vragen juist kan beantwoorden is meteen geslaagd!
DE DETERMINANTFORMULE VOOR DE OPPERVLAKTE VAN EEN DRIEHOEK
Van een gegeven driehoek ABC met co(A) = (x1, y1), co(B) = (x2, y2) en co(C) = (x3, y3) is de oppervlakte gelijk aan
Het bewijs hiervan zit in de bijlage
Hierbij moet men de absolute waarde nemen van een determinant van orde 3. Die is eenvoudig te herleiden tot 3 determinanten van orde 2. Als men bovendien de hoekpunten van de driehoek in een volgorde plaatst zodat men de omtrek vanaf A via B naar C in tegenwijzerzin loopt (zie onderstaande figuur), hoeft men ook de absolute waarde niet meer te nemen.
In het volgende (Engelstalig) filmpje zie je hoe men zo de oppervlakte van de bovenstaande driehoek berekent.
Twee cirkels C1 en C2 met middelpunten M en N en stralen r1 en r2 raken elkaar uitwendig in het punt P. [AB] en [CD] zijn twee evenwijdige middellijnen van deze cirkels. Een derde cirkel C3 met middelpunt O gaat door de punten A, B, C en D. Toon aan dat de gebieden die in het rood en het groen gekleurd zijn (zie onderstaande figuur) dezelfde oppervlakte hebben.
UITVINDING 18
Vroeger maakte men boter door de melk te karnen in een stootkarn. Dit was een tijdrovend proces waarbij de room werd gekarnd zodat de vetdeeltjes samenklonterden en zich afscheidden van de karnemelk. Uit het vet werd dan boter bereid. De mechanische karnton op de bovenstaande afbeelding had blijkbaar het voordeel dat men er een vat van een variabele grootte kon onder plaatsen.
Bij het onderstaande probleem komt men echter tot een 'verrassende' volgende term.
Neem 2, 3, 4, 5, ... punten op een cirkelomtrek en verbind elk punt met alle andere punten. Wat is dan het maximale aantal gebieden waarin de cirkelschijf wordt verdeeld en hoeveel gebieden krijg je maximaal wanneer je 6 punten kiest?
Op de bovenstaande figuur lees je het antwoord af voor 2 punten → 2 gebieden voor 3 punten → 4 gebieden voor 4 punten → 8 gebieden voor 5 punten → 16 gebieden en dus voor 6 punten → ??? gebieden. Logischerwijze denk je dan aan 32 gebieden, maar dit blijkt niet juist te zijn.
Tel je dit zelf even na?
En hier zit precies de kracht van een wiskundig bewijs! Leo Moser bewees de algemene formule voor het aantal gebieden bij n punten:
of met behulp van binomiaalcoëfficiënten:
Het volstaat dus niet vast te stellen dat een bewering waar is in een groot aantal gevallen waarvoor men die verifieert. Het onderstaande filmpje maakt dit nog eens duidelijk.
Wanneer men in de kansberekening te maken heeft men kansen waarbij er een oneindig aantal keuzes mogelijk zijn (bijvoorbeeld bij het kiezen van een punt in een driehoek of in een cirkel) dan kan men tot schijnbaar tegenstrijdige resultaten komen.
Teken een cirkel en teken daarin een willekeurige koorde. Hoe groot is dan de kans dat deze koorde langer is dan de zijde van de ingeschreven gelijkzijdige driehoek?
Er blijken hier drie verschillende manieren te zijn om die kans te berekenen.
METHODE 1 Draai de driehoek zodat de (groene) koorde evenwijdig is met één van de zijden. Het midden van de koorde ligt dan op de (blauwe) middelloodlijn van die zijde. De gekozen koorde is langer dan de zijde van de driehoek als het midden van die koorde tussen de twee rode punten ligt. Dus is de kans = 1/2.
METHODE 2 Draai de driehoek zodat een hoekpunt ervan samenvalt met een (rood) eindpunt van de (groene) koorde. Elke koorde maakt een hoek met de raaklijn in dat (rood) punt die varieert van 0° tot 180°. De gekozen koorde is langer dan de zijde van de driehoek als ze binnen de tophoek van de driehoek valt. Die tophoek is 60° en bijgevolg is de kans 1/3.
METHODE 3 Teken de ingeschreven cirkel Ci van de gelijkzijdige driehoek. De straal van deze cirkel is de helft van de straal van de omgeschreven cirkel CO en dus is de oppervlakte van Ci gelijk aan 1/4 van de oppervlakte van CO. De gekozen (groene) koorde is langer dan de zijde van de driehoek als het midden van die koorde binnen Ci valt en bijgevolg is die kans 1/4.
Bij dit soort van problemen moet men dus nader omschrijven hoe dat lukraak kiezen gebeurt!
Prof. Dr. Ir. Alain De Wulf, een oud-leerling die al jarenlang verbonden is aan de afdeling Landmeetkunde (UGent) bezorgde me een reeks uitdagende opgaven die je met behulp van driehoeksmeting en vlakke meetkunde kunt oplossen.
Benieuwd hoeveel laatstejaarsstudenten van het middelbaar onderwijs deze twee opgaven zouden kunnen oplossen.
Tijdens een luchtshow vliegen 9 vliegtuigjes netjes op één rij in formatie achter elkaar. De echtgenote van piloot F. Picket vroeg hem op welke positie hij vloog. Picket antwoordde met het volgende raadsel: "Het product van het aantal vliegtuigen voor mij en het aantal achter mij is 3 kleiner dan het zou geweest zijn als ik 3 plaatsen meer naar achteren had gevlogen."
Op welke positie vloog F. Picket?
BOMMEN EN KANSREKENEN
Farid nam vaak het vliegtuig en was altijd bang dat er een bom aan boord zou zijn. Zijn vriend Hassan, een wiskundige uit Jemen stelde hem gerust. Hij had immers berekend dat die kans maar 1 op 10 miljoen was. En de kans dat er 2 bommen aan boord zouden zijn van eenzelfde vliegtuig was volgens zijn berekeningen maar 1 op 10 miljard of zo goed als nul.
Sedertdien neemt Farid altijd zelf een bom mee aan boord.
