PROBLEEM 14

 UITVINDING 14

In tijden waarin heel veel mensen begonnen te reizen
stelde zich meteen ook het probleem om de vaak zware reiskoffers te verplaatsen.
Mr. Robert, een zekere Amerikaan kwam blijkbaar als eerste op het idee
om twee wieltjes te plaatsen aan het ene uiteinde van grote koffers.
Op die manier verloor men weliswaar een beetje plaats in de koffers
maar het transporteergemak compenseerde dit ruimschoots.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 14_oplossing.pdf (208 KB)   

MULTINOMIUM

Via het binomium van Newton hebben we een formule om (a + b)ⁿ te berekenen, met n een natuurlijk getal:

Maar wat doe je met (a + b + c + ... + k + l)^m, met  m een natuurlijke getal?

Hiervoor bestaat de zogenaamde multinomium-formule (die normaal gezien in het secundair onderwijs niet aan bod komt):

Zo is bijvoorbeeld

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc²  + 6abc.

Tijdens een ontspannende zoektocht naar nieuwe VWO-vragen ontdekte ik toevallig
een leuke eigenschap van kwadraatgetallen die je met behulp van de formule voor (a + b + c)² kunt bewijzen.

EIGENSCHAP

Als N = a²  + b² + a²b², waarbij a en b twee opeenvolgende gehele getallen zijn,
dan is N zelf een kwadraatgetal (= het kwadraat van een geheel getal).

Voorbeelden. 

 a = 1 en b = 2   ⇒ N = 1 + 4 + 4 = 9 = 3²

a = 2 en b = 3 ⇒ N = 4 + 9 + 36 = 49 = 7²

a = 99 en b = 100 ⇒ N = 9 801 + 10 000 + 98 010 000 = 98 029 801 = 9 901².

Kan je dit in het algemeen bewijzen?

12-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

PROSIT!



Een raadseltje uit 2004:

Fred drinkt gemiddeld per week dubbel zoveel pintjes als Wilma.
Als Fred per week vier pintjes minder zou drinken en Wilma  vier pintjes meer
dan zouden ze er beiden gemiddeld evenveel drinken.
Hoeveel pintjes drinkt Fred gemiddeld per week?

Een raadseltje uit 2014:

Hoeveel pintjes drinken de gemiddelde mannelijke en vrouwelijke Vlaamse student meer per week
dan 10 jaar geleden volgens een recent  grootschalig onderzoek?

1 op de 2 studenten drinkt ongezond veel

 


De helft van de studenten drinkt te veel. Zodanig veel dat het problematisch wordt
volgens de regels van de Wereldgezondheidsorganisatie (WGO).
Dat blijkt uit een onderzoek van verschillende grote Vlaamse universiteiten
en de Vereniging voor Alcohol en Drugsproblemen (VAD).

Mannen drinken meer

Bijna elke student drinkt alcohol, de ene al meer dan de andere. De populairste drank blijft nog altijd bier. Mannelijke studenten drinken wel een pak meer dan vrouwen. Er doen twee keer meer mannen eens per maand aan bingedrinken dan vrouwen en het aantal mannelijke studenten dat het afgelopen half jaar minstens drie keer dronken is geweest, ligt drie keer zo hoog als bij hun vrouwelijke collega's.

Kotstudenten drinken meer

Studenten die op kot zit lopen een pak meer risico om problematisch veel te drinken dan studenten die thuis blijven wonen. Kotstudenten drinken vaker, doen vaker aan bingedrinken en ze scoren slechter op de schaal van de WGO. 

Medicijnen

Ongeveer één op de twintig studenten gebruikt medicijnen. Het gaat dan om zowel kalmeerpillen als stimulerende geneesmiddelen. Vooral in de examenperiodes nemen studenten meer medicijnen in. Ook hier gebruiken mannen weer een pak meer dan vrouwen.

Drugs

Bijna een kwart van de studenten heeft het afgelopen jaar minstens één keer cannabis gebruikt. Ook hier scoren mannen slecht: er zijn niet alleen meer mannelijke gebruikers, ze gebruiken ook regelmatiger. 

20.000 studenten

Voor het onderzoek zijn zo'n 20 000 studenten bevraagd. Uiteindelijk werd daaruit een steekproef van 2 375 studenten getrokken. Die antwoorden werden verwerkt door medewerkers van de UGent, KU Leuven, Universiteit Antwerpen, de Antwerpse hogescholen en de KHLimburg.

Bron: VTM Nieuws

Naar het schijnt is er bij de bevoegde Vlaamse minister een vraag ingediend
om in de omgeving van hogescholen en in de universiteitssteden
een nieuw verkeersbord te plaatsen om te waarschuwen voor overstekende studenten.

11-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

ONMOGELIJKE MEETKUNDE

Jos Leys zullen veel wiskundigen ongetwijfeld kennen
van de schitterende wiskundige films 'Dimensions' en 'Chaos'
(zie: www.josleys.com )

Maar blijkbaar waagde hij zich ook aan het schetsen
van een aantal onmogelijke figuren in de stijl van Escher en Reutersvärd.

Ziehier een paar proevertjes.

 

Geniet verder op http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=232

11-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

ONMOGELIJK?

De Nederlandse kunstenaar M.C. Escher is o.a. beroemd geworden
door een aantal tekeningen van onmogelijke figuren.
Hij kende een respectabel aantal navolgers waarbij we ongetwijfeld
  Oscar Reutersvärd (Zweden, 1915-2002) (zie elders op mijn blog)
en de Belg Jos de Mey (zie elders op mijn blog) mogen rekenen.


                             Ook  Sandro Del-Prete (Zwitserland, 1937 -) behoort tot dit groepje wiskunstenaars.             
                  




Sandro Del-Prete en zijn eerder artistieke creaties.

Bron: http://www.sandrodelprete.com/

    

        

10-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

MET WISKUNDE HET NOORDEN BEPALEN

Wellicht heb ook jij ooit in de aardrijkskundelessen
enkele praktische regeltjes geleerd om het noorden te bepalen.

We zetten er hier graag twee op een rij waarbij een beetje wiskundekennis volstaat.

Voor het eerste heb je een polshorloge met wijzers nodig.
Heel veel jongeren hebben nu echter een digitaal uurwerk
of ze gebruiken gewoon hun smartphone als klok.

Voor het tweede moet je 's nachts sterren gaan zoeken.
Maar door de overvloedige verlichting en vaak ook door de bewolking
zijn de sterren in heel veel regio's niet meer te zien.

 

 Is een kompas (gratis als App beschikbaar op tablets) dan toch het meest efficiënte middel?

**************************************************************************************************************

Toen Einstein vijf jaar was kreeg hij van zijn vader een kompas en hij verwonderde zich
er blijkbaar direct over dat de naald steeds weer in dezelfde richting ging wijzen.
Zo zie je maar tot wat het gebruik van een kompas op jeugdige leeftijd kan leiden.

Een leraar geografie uit Koeweit
kwam blijkbaar nergens op tijd.
Om geen risico meer te lopen
ging hij een digitaal uurwerk kopen.
Sindsdien is hij het noorden kwijt.

09-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Jos de Mey (1928 - 2007)
was een Vlaamse kunstenaar en binnenhuisarchitect
die een aantal onmogelijke figuren schilderde in de stijl van M.C. Escher.
In zijn schilderijen figureren bovendien personages
uit het werk van René Margritte en Pieter Bruegel de Oude.

Tijdens de Nationale Wiskundedagen in Nederland ontmoette ik Jan M. Broeders
die de grootste privé-collectie van werken van Jos de Mey bezit.
Hij vertelde me vol enthousiasme over de optische illusies,
de wiskundige constructies en de onmogelijke figuren
die voorkomen in het werk van deze Vlaamse kunstenaar.

Referenties:
www.optischefenomenen.nl 
www.arsetmathesis.nl

Wie is 'sant in eigen land'?

      

08-02-2014 om 22:27 geschreven door Luc Gheysens  

DISPHENOÏDE

Een disphenoïde (Grieks: δις = tweemaal, σφηνος = wig, ειδος = vorm)
is een viervlak waarvan de vier zijden congruente scherphoekige driehoeken zijn.

Op de Nationale Wiskundedagen in Nederland 2014 bestond één van de opdrachten
van de 'wisrun' erin uit een envelop een disphenoïde te maken.

Op de onderstaande afbeeldingen zie je hoe je dat zelf kunt uitproberen.

Kan je ook bewijzen dat je hiermee een viervlak bekomt
waarvan de vier zijden congruente driehoeken zijn?

En uiteraard is een regelmatig viervlak een speciaal geval van een disphenoïde.

 

STELLING OVER DE DISPHENOÏDE
De som van de afstanden van een willekeurig punt P
binnen een disphenoïde tot de vier zijvlakken is constant
d.w.z. onafhankelijk van het gekozen punt.

Bewijs.
Verbind het punt P met de vier hoekpunten.
Op die manier is de disphenoïde verdeeld in vier driezijdige piramiden
waarvan het grondvlak dezelfde oppervlakte A heeft.
Noem h₁, h_2^, h₃ en h₄ de afstanden van P tot de vier zijvlakken
en noem V het volume van de dispenoïde.

Dan is V = h₁A/3 ^₊ h₂ A/3 ^₊ h₃ A/3 ^₊ h₄ A/3
zodat h₁ + h₂ + h₃ + h₄ = 3V/A.

07-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 15

Op de drie zijden van een willekeurige driehoek ABC
construeert men een vierkant zoals op de onderstaande figuur.
De hoogtelijnen verdelen elk vierkant in twee rechthoeken.
(H is het hoogtepunt van de driehoek).
Toon aan dat de rechthoeken in dezelfde kleur dezelfde oppervlakte hebben.

 UITVINDING 15



Rond 1850 groeide het besef dat bacteriën
de oorzaak waren van een tal van ziekteverschijnselen.
In ziekenhuizen gebruikte men dan frequent verstuivers die zorgden voor verse lucht.
Dit apparaat werd ontworpen door een zekere Linière.
Hij sloot het centrale metalen deel waarin water vermengd met etherische oliën zat
aan op een gasleiding en verwarmde zo het water om het te laten verdampen.
Door aan een wiel te draaien verspreidde de damp zich in de kamer waar de patiënt lag.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 15_oplossing.pdf (141.3 KB)   

SOMMEN VAN KWADRAATGETALLEN

Kwadraatgetallen blijven verrassen.



Wist je dat

3² + 4² = 5²
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 25² + 27²
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²
55² + 56² + 57² + 58² +59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65²

?



Maar kan je ook in het algemeen bewijzen
dat er voor elke positieve gehele waarde n (n > 1)
n opeenvolgende kwadraatgetallen bestaan
waarvan de som gelijk is aan de som
van de daarop volgende n – 1   kwadraatgetallen?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Sommen van kwadraatgetallen.doc (58 KB)   

TWEEPALENPROBLEEM

Na mijn lezing over paradoxen op de Nederlandse Nationale Wiskundedagen (31-01-2014)
herinnerde een collega mij aan het volgende theoretisch vraagstukje.

Twee palen met een hoogte van 20 meter staan verticaal
en 800 meter van elkaar verwijderd op een horizontale bodem.
Tussen de palen zal men kabels spannen op een hoogte van 20 meter.
De verantwoordelijke technicus besluit kabels te spannen
met een lengte van 801 meter zodat ze een beetje zullen doorhangen.

Kan jij berekenen hoe hoog het middenste (= laagste) punt van de kabels boven de grond zal hangen,
m.a.w. hoeveel zullen de kabels dan in het midden doorhangen?

Hint. Bereken eens de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek
waarvan de rechthoekszijden respectievelijk 400 m en 20 m lang zijn.



"Verrast zijn is het begin van begrijpen"

04-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

EQUIPOTENTE VERZAMELINGEN

Eindige verzamelingen die equipotent zijn bevatten evenveel elementen.
In dat geval is het meteen duidelijk dat er een 1-1-verband bestaat tussen beide verzamelingen.

Zo bepaalt het voorschrift dat met n het getal n + 5 laat overeenkomen
een 1-1-verband tussen de verzamelingen {0, 1, 2, 3, 4} en {5, 6, 7, 8, 9}.

Oneindige verzamelingen zijn equipotent als er een zogenaamde bijectie bestaat tussen die verzamelingen.
Een bijectie is dus een 1-1-verband dat meestal uitgedrukt wordt door een concreet functievoorschrift.

VOORBEELDEN

Erg merkwaardig vind ik persoonlijk de onderstaande bijectie
die een 1-1 verband uitdrukt tussen het gesloten interval [0,1] en het open interval ]0,1[ :

Men kan natuurlijk ook op zoek gaan naar een 1-1-verband tussen de punten van een vierkant en van een cirkel.

02-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

HET CHINEES VERMOEDEN



2500 jaar geleden reeds bestudeerden Chinese wiskundigen priemgetallen.
Ze hadden daarbij het volgende vermoeden:

Als 2ⁿ – 2 deelbaar is door n (n > 1), dan is n een priemgetal.

Met behulp van een Excel-bestand hebben we dit vermoeden geverifieerd
voor de waarden van n van 2 tot en met 20.
En op het eerste gezicht lijkt dit inderdaad een criterium op te leveren
om te controleren of een natuurlijk getal al dan niet een priemgetal is.

In 1819 vond de Franse wiskundige Frédéric Sarrus echter een tegenvoorbeeld.
Voor n = 341 is het getal 2ⁿ –  2 (een getal met 103 cijfers) deelbaar door 341
terwijl 341 = 11 x 31 geen primegetal is.

De omgekeerde eigenschap is echter wel waar.
Als n een priemgetal is, dan is 2ⁿ –  2 deelbaar door n.
Dit is een gevolg van de zogenaamde 'kleine stelling van Fermat'.
Een bewijs hiervan zit in bijlage.
 

Bijlagen:
Bewijs voor de kleine stelling van Fermat.pdf (74.7 KB)   

Op vrijdag 31 januari en zaterdag 1 februari 2014 organiseert
het Nederlandse Freudenthal Instituut voor de 20ste keer
de Nationale Wiskunde Dagen.

Hierboven zie je de congresposter waarop meteen het zogenaamde Droste-effect waar te nemen is
(meer info over het Droste-effect vind je op mijn blog via de zoekopdracht 'Droste').

Wiskundeleraren komen er nieuwe ideeën opdoen
en zijn er creatief bezig met hun vak.
Dit kan door te luisteren naar een goed verhaal,
door actief mee te doen in werkgroepen
of door met collega's van gedachten te wisselen.

Info op: http://www.fi.uu.nl/nwd/

Zelf ben ik er voor de allereerste keer aanwezig met een werkwinkel over

PARADOXEN: MAGISCHE WISKUNDE.

Een boekje over paradoxen en wiskundige raadsels
dat je zeker moet gelezen hebben is
Riddles in Mathematics van Eugene P. Northrop, Pelican Books, 1944.
Je vindt de complete tekst in pdf-formaat in bijlage.
Bron: https://archive.org



SUCCES AAN DE INITIATIEFNEMERS VAN NWD!

Bijlagen:
Northrop-RiddlesInMathematics.pdf (8 MB)   

 

PROBLEEM 16

Men ordent de natuurlijke getallen op de volgende manier in horizontale rijen:
0  1
2  3  4  5  6  7
8  9  10  11  12  13  14  15  16  17
...
Hierbij staan de getallen in de natuurlijke volgorde
en elke volgende rij bevat vier getallen meer dan de vorige rij.
Toon aan dat de som van de getallen in elke horizontale rij
gelijk is aan de derde macht van een natuurlijk getal.
Zo is bv. 8 + 9 + 10 + ... + 17 = 125 = 5³.

UITVINDING 16

Vélocipède is het klassieke woord voor een fiets. De letterlijke betekenis is "snelvoet".
Rond 1850 was dit type van fietsen erg populair in Frankrijk.
Omdat men vaak problemen had om op deze fiets te stappen
of om te parkeren op een hobbelige bodem
kwam een uitvinder op het idee om twee uitschuifbare metalen poten te gebruiken.
Hiermee werd een grotere stabiliteit gegarandeerd

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 16_oplossing.pdf (156 KB)   

VIERDEGRAADSFUNCTIES EN PHI

Soms ziet iemand toevallig een leuke wiskundige eigenschap
waaraan tal van andere wiskundigen jarenlang zijn voorbij gegaan.

Dit was zeker het geval bij Lin McMullin die een verband ontdekte tussen het getal van de gulden snede f
en de buigpunten bij een veeltermfunctie van de vierde graad.

We illustreren deze vondst aan de hand van een eenvoudige oefening.

Beschouw de functie f met als voorschrift f(x) = x⁴  – 2x³.
Hierboven is de grafiek van f getekend.

Toon aan dat O(0,0) en P(1,-1) de twee buigpunten zijn op de grafiek van f.

Zoek de snijpunten van de grafiek van f met de rechte OP: y = -x.

Welk verband zie je met het getal f van de gulden snede?

e algemene eigenschap vind je in het artikel van Lin McMullin in bijlage.

Bijlagen:
Golden ratio in quartics.pdf (45 KB)   

DIFFERENTIËREN IN DE WISKUNDELES

Via deze cartoon heeft de tekenaar willen uitdrukken
dat men best rekening houdt met ieders mogelijkheden.
En dit is wat nu precies in ons huidig onderwijssteem te weinig gebeurt:
voor de zwakkere leerlingen vindt men niet steeds de tijd om te remediëren
en de sterkere leerlingen krijgen vaak te weinig uitdagingen.

Daarom hanteren heel wat leerkrachten het onderstaande traditionele model.
Tijdens schoolbezoeken hoorde ik vaak de opmerking
dat overvolle leerplannen (wiskunde) dit ook wel in de hand werken ...

HET B-H-V-MODEL (Basisstof - Herhalingsstof - Verrijkingsstof) wil de leerkrachten
er alvast toe aanzetten om na te denken over de mogelijkheden van binnenklasdifferentiatie.

Via een formatieve toets (die niet meetelt voor punten) over de aangeboden basisleerstof
kan de leerkracht te weten komen wie best herhalingsleerstof krijgt
en wie direct kan overstappen naar verrijkingsleerstof.
Pas wanneer deze mogelijkheden zijn benut,
volgt er een summatieve toets op punten.

Je leest meer over mogelijke vormen van differentiatie in het artikel in bijlage (met dank aan Uitwiskeling).

 DRIE PERSOONLIJKE BEDENKINGEN

Hoe kan men op een goede manier differentiëren
in niet-homogene klassen met een relatief groot aantal leerlingen
en toch de planlast van de leraar bewaken?

Hoe kent de leraar op een objectieve manier scores toe?
Verdient de leerling die direct kan overstappen op verrijkingsleerstof
meer punten dan wie voortdurend moet bijgestuurd worden?

In de huidige leerplannen wiskunde van de eerste graad
heeft men duidelijk aangeduid wat basisleerstof is
 en wat men als verdieping of uitbreiding kan beschouwen.
Slagen alle leerkrachten er nu toch nog in om de lat voldoende hoog te leggen?

Bijlagen:
Differentiatie_in_de_wiskundelessen - UITWISKELING.pdf (18.1 KB)   

HET PROBLEEM VAN BOER BAVO

In Wiskunde en Onderwijs nr. 157 (2014), het tijdschrift van de VVWL
verscheen zopas een artikel dat ik samen met de hoofdredacteur op papier zette.
Hierin komen een extremumvraagstuk en een constructie uit de oude doos aan bod.
De tekst met de oplossing zit in bijlage.

Zie jij een kortere oplossing?

"Everything should be made as simple as possible, but not simpler"
A. Einstein

Bijlagen:
Het probleem van boer Bavo - Wiskunde & Onderwijs.pdf (256.6 KB)   
Het probleem van boer Bavo eenvoudig opgelost.pdf (277 KB)   

CITROEN EN WISKUNDE

 Dat wiskunde voor heel wat studenten zuur als een citroen smaakt, wisten we al.
Nu bevestigt de autosalonreclame van het merk Citroën nog eens
de kwalijke reputatie (?) van een aantal wiskundeleraars.

Moet kunnen!

26-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE PRIEMGETALLENSTELLING

Zonder enige twijfel is het meest fameuze resultaat
dat tot op heden over de priemgetallen gekend is
de stelling die in 1896 door Jacques Hadamard (Frankrijk, 1865-1963)
en Charles-Jean de la Vallée Poussin (Leuvense wiskundige, 1866-1962)
onafhankelijk van elkaar werd bewezen.

Als π(x) het aantal priemgetallen is dat kleiner is dan of gelijk aan het reëel getal x dan is

 

m.a.w. het n-de priemgetal is bij benadering (voor grote waarden van n) gelijk aan n · ln(n).



Je leest meer hierover in de uitdagende werktekst
van Hilde Eggermont en Els Vanlommel (zie bijlage)
die ze in Uitwiskeling hebben gepubliceerd
en op de voorbije Dag van de Wiskunde in Kortrijk zijn komen voorstellen.

Bijlagen:
Fascinerende priemgetallen - Uitwiskeling.pdf (872.1 KB)