EEN EXTREMUMVRAAGSTUK MET EEN DUBBELE OPLOSSINGSMETHODE
Ik heb er me ook altijd over verbaasd dat er voor sommige extremumvraagstukken een 'synthetische oplossing' bestaat, waarbij men geen beroep moet doen op afgeleiden, maar waar men via 'logisch redeneren' tot een oplossing kan komen.
Hier heb je een dergelijk probleem.
De punten A(0,4) en B(12,9) zijn twee vast gekozen punten. Een lijnstuk [PQ] met lengte 5 verschuift over de x-as. α is de hoek tussen AP en de x-as en β is de hoek tussen BQ en de x-as. Toon aan dat de omtrek van de vierhoek ABQP minimaal is als α = β.
Vind jij een oplossing met behulp van de afgeleide van een functie? Of zie je andere manier? De dubbele oplossingsmethode is uitgewerkt in de bijlage.
Amper één op drie studenten haalt diploma zonder te bissen
22/03/14 − Bron: Belga
Amper één op drie
studenten in het hoger onderwijs haalt binnen de voorziene termijn van drie
jaar zijn bachelordiploma,
zo melden Het Nieuwsblad en De Standaard vandaag.
Enkele jaren geleden haalden nog vier studenten op tien hun diploma binnen de
voorziene tijd.
Sinds de hervorming van het hoger
onderwijs haalt 70 procent van de studenten die aan een bachelor begonnen een
diploma.
Maar slechts één op drie doet dat dus binnen de voorziene termijn van drie
jaar,
zo blijkt uit cijfers van de Vlaamse databank Hoger Onderwijs.
Er zijn zelfs studenten die zes of zeven jaar nodig hebben.
"Dat is niet enkel een verkwisting van overheidsgeld en dus totaal
onverantwoord, zeker in tijden van crisis.
Het jaagt ook de ouders op kosten en zorgt voor een latere instroom in het beroepsleven",
licht Didier Pollefeyt, vice-rector onderwijs van de KU Leuven, toe.
De evolutie is een gevolg van de grotere flexibiliteit in het hoger onderwijs.
Studenten kunnen nu zelf hun traject samenstellen en bijvoorbeeld overgaan
naar het volgende jaar,
ook al zijn ze nog niet voor alle vakken geslaagd. De buizen nemen ze gewoon
mee.
Volgens Pollefeyt is de flexibilisering te ver doorgeschoten:
"We moeten dringend werk maken van een verstrenging van de regels."
Persoonlijke
bedenkingen.
Een oproep aan alle ouders om rekening te houden met adviezen die leraars op
het einde van de tweede graad
en op het einde van het secundair onderwijs meegeven.
Bij de aanvang van een academiejaar pronken heel wat hogescholen en
universiteiten met hun 'kijkcijfers'.
Wat wil men echt: kwantiteit of ... ?
Begin met een ijkingstoets voor alle studierichtingen van het hoger onderwijs,
waardoor de beginnende student weet waar hij/zij staat bij de aanvang van
een bepaalde studierichting.
Ook een taalproef zou hier niet misstaan.
Eis dat men in het eerste bachelorjaar volledig slaagt
(met eventuele herexamens) voor een oordeelkundig samengesteld
studiepakket.
Quousque tandem abutere?
Via extremumvraagstukken worden studenten geconfronteerd met de techniek van het 'mathematiseren' waarbij een probleem wordt omgezet in 'wiskundetaal' en met behulp van afgeleiden kan worden opgelost.
Geen eenvoudige opdracht!
Dit probleem en heel wat andere wiskunde-onderwerpen komen aan bod in de les-filmpjes op http://www.wezoozacademy.be/
EEN EXTREMUMVRAAGSTUK MET EEN MINIMUM EN EEN MAXIMUM
Een student vroeg me ooit of er ook extremumproblemen bestaan waarbij er zowel een maximum als een mimimum optreedt.
Ik wist hierop niet direct een passend antwoord te geven en zocht uiteindelijk mijn toevlucht in de economie.
Van een bepaald product worden er per dag q eenheden geproduceerd, met een maximale capaciteit van 45 eenheden per dag. De totale kostprijs wordt berekend met de formule K(q) = q4 90q3 + 2400q2.
Bij welke productie is de eenheidsprijs minimaal of maximaal?
TIP VOOR DE OPLOSSING.
De eenheidsprijs is E(q) = K(q)/q = q3 90q2 + 2400q. E'(q) = 3q2 180q + 2400.
In bijlage vind je een document met 16 klassieke extremumvraagstukken dat ik jarenlang heb gebruikt in de wiskundelessen (en misschien lagen sommigen hiervan wel wakker ...).
De twee verstrooide detectives Jansen en Janssen ken je ongetwijfeld. En wist je ook dat de snor van Jansen recht naar beneden wijst, terwijl die van Janssen wat naar boven toe krult?
In de tweede ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade - editie 2014 - dook een leuke J & J - vraag op. Ik loste ze op via een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden.
Vind jij het antwoord op zicht?
Janssen en Jansen zijn samen 156 jaar. Jansen is drie keer zo oud als Janssen was toen hij dubbel zo oud was als Jansen. Wat is de leeftijd van Janssen?
A. 66 jaar B. 72 jaar C. 78 jaar D. 84 jaar E. 90 jaar.
Met dit toestel kon men de omtrek van een wiel opmeten. Toen nog vaak houten wielen werden gebruikt, bracht de smid hierop een metalen band aan. Met dit apparaatje kon hij gemakkelijk de omtrek van een wiel opmeten om de lengte van die metalen band te bepalen. Het toestel dat in Amerika werd gebruikt had een omtrek van 1 voet (± 30 cm) die was onderverdeeld in 12 duim (1 duim = ± 2,5 cm).
Een cijfer is een enkelvoudig symbool waarmee een telbaar aantal wordt aangeduid.
De westerse cijfers van het tientallig stelsel zijn: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
Ze worden Arabische cijfers genoemd, maar in feite zijn ze afkomstig uit India.
De Arabieren zelf hebben ze van daar overgenomen.
Het woord "cijfer" komt van het Arabische sifr, dat "nul, leeg" betekent en op zijn beurt uit het Sanskriet ontleend werd: sunyata "ledig".
Bron: Wikipedia.
En misschien heb jij deze morgen al de cijfers laten dansen in een sudoku?
Of hou je meer van de onderstaande getallenpiramides?
Eén aapje in de slagroom twee beren vol met zeep drie geiten in een pudding vier zebra's zonder streep vijf neushoorns met een feestneus zes wolven in de trein en zeven dikke kikkers die snipverkouden zijn.
Acht zingende giraffen wel negen kangoeroes en tien gestampte muisjes die dansen voor de poes en zing je vaak dit liedje dan leer je bovendien eenvoudig alle cijfers van één, twee, drie tot tien!
Op-art is een richting in de schilderkunst van de 20e eeuw die bekend werd in de jaren 1963-1966. De term is een afkorting van het Engelse begrip optical art. Op-art speelt een spel met verschillende optische illusies. en in heel wat op-art werken zorgt het contrast van witte en zwarte lijnen en vlakken voor een mooi effect.
De Ouchi illusie is genoemd naar de Japanse op-art kunstenaar Hajime Ouchi die ze in 1977 heeft ontworpen en gepresenteerd. Het centrale schijfje lijkt te zweven boven het vierkant en er onstaat zelfs een beweging als we ons hoofd traag van links naar rechts bewegen.
De driehoek van Kanisza werd voor het eerst beschreven de Italiaanse psycholoog Gaetano Kanisza in 1955. Drie uitgesneden taartpunten uit de zwarte schijfjes zorgen voor de visuele waarneming van een driehoek die er niet is.
In het kader hiervan verwijzen we graag ook even naar de 'barberpole illusie'. Een 'barberpole' is een draaiende figuur die vroeger aan de gevel van kapsalons te zien was.
Een diagonaal lijnenpatroon schuift onder een hoek van 45° van links naar rechts (zoals duidelijk te zien is door het ronde gat links). Wanneer we dat echter gaan bekijken door een verticale gleuf krijgen we de indruk dat het patroon gewoon verticaal naar beneden schuift.
En zelfs het duo Sonny & Cher was in de jaren '60 in de ban van de pop-art. Geniet nog even mee van hun wereldhit Little Man (1966).
Een eutrigon (Grieks : eu > goed, tri > drie, gon > hoek) is een driehoek waarvan één van de hoeken 60° is. Stel dat a en b de aanliggende zijden zijn van die hoek en c de overstaande zijde.
Dan geldt de volgende stelling.
De oppervlakte van een eutrigon is gelijk aan de som van de oppervlakten van de gelijkzijdige driehoeken geconstrueerd op de zijden a en b, verminderd met de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek geconstrueerd op de zijde c.
Deze uitvinding van een Amerikaanse handelsreiziger is een draagbaar slot dat men op reis kon meenemen. Het diende om een standaardslot van hotelkamers van binnenin af te sluiten en het was blijkbaar in een handomdraai op het deurslot aan te brengen.
Pappos van Alexandrië (ca. 290 - ca. 350 na Chr.) was een van de laatste grote oud-Griekse wiskundigen. Uit het werk dat hij ons heeft nagelaten, kunnen we opmaken dat hij een sterk meetkundig inzicht had en dat hij zich ook bezighield met recreatieve wiskunde.
In de Mathematicae Collectiones (Wiskundige verzamelingen), zijn bekendste werk, vinden we in Boek IV een merkwaardige veralgeming van de stelling van Pythagoras.
Op de zijden [AB] en [AC] van een willekeurige driehoek ABC construeert men naar buiten toe de willekeurige parallellograms ABDE en ACFG. H is het snijpunt van DE en FG. Op de zijde [BC] construeert men een parallellogram BCKL waarbij de zijden [BL] en [CK] even lang zijn als en evenwijdig zijn met het lijnstuk [HA]. Dan is opp. ABDE + opp. ACFG = opp. BCKL.
Hint voor het bewijs. opp. ACFG = opp. ACQH = opp. RKCS opp. ABDE = opp. ABPH = opp. RLBS.
En je had natuurlijk direct door dat de stelling van Pythagoras hiervan een bijzonder geval is ?!
Pappos van Alexandrië (ca. 290 - ca. 350 na Chr.) was een van de laatste grote oud-Griekse wiskundigen. Uit het werk dat hij ons heeft nagelaten, kunnen we opmaken dat hij een sterk meetkundig inzicht had en dat hij zich ook bezighield met recreatieve wiskunde.
DE STELLING VAN PAPPOS
Liggen A1, B1 en C1 op een rechte d1 en liggen A2, B2 en C2 op een rechte d2 , dan zijn de volgende drie punten collineair: A: het snijpunt van B1C2 en B2C1, B: het snijpunt van A1C2 en A2C1, en C: het snijpunt van A1B2 en A2B1.
Deze stelling werd later veralgemeend door Pascal voor een zeshoek ingeschreven in een kegelsnede. Twee rechten vormen immers een zogenaamde ontaarde kegelsnede.
INGESCHREVEN CIRKELS IN EEN ARBELOS
In mijn middelbare studies was ik onder de indruk van de vondst van Pappos in verband met cirkels die ingeschreven zijn in een arbelos (wat is dit?). Deze merkwaardige ontdekking levert meteen een fraai plaatje op (zie hieronder). Door gebruik te maken van een inversie (wat is dit?) met centrum P worden de cirkels C0, C1, C2 en C3 die raken aan de (halve) cirkels C en C' afgebeeld op een aantal even grote cirkels die raken aan de rechten a en b. Ze raken ook aan elkaar omdat ook C0, C1, C2 en C3 aan elkaar raken.
Deze rechten zijn zelf het beeld onder de inversie van de cirkels C en C' en staan loodrecht op PQ. Een inversie transformeert cirkels die het centrum van de inversie niet bevatten terug in cirkels. De cirkel C3 wordt op zichzelf afgebeeld. Pappos toonde bovendien aan dat het middelpunt van de cirkel Cn zich op een afstand n.dn boven de rechte PQ bevindt, waarbij dn de diameter is van de cirkel Cn (n = 0, 1, 2, 3).
Dit was een populaire stelling uit de vlakke meetkunde en is toegeschreven aan Menelaos van Alexandrië (70 - 140 na Chr.) een Griekse wiskundige en astronoom.
Een eenvoudig bewijs van deze stelling zit in bijlage. Merk op dat ook de omgekeerde stelling geldig is. Meer uitleg hierover en enkele toepassingen vind je in de tweede bijlage.
GEODETEN Menelaos blijkt ook de eerste te zijn die geodeten (grote cirkels) op een sfeer (bol) bestudeerde. Geodeten zijn lijnen die de kortste afstand bepalen op een willekeurig oppervlak.
WEETJE Wist je dat er een driehoek bestaat met drie rechte hoeken? Dan hebben we het natuurlijk niet over een vlakke, maar over een boldriehoek!
Deze sneeuwruimer diende om de spoorwegen in Amerika sneeuwvrij te houden. Een enorm rad was onderverdeeld in acht sectoren en was vastgemaakt op een karretje dat door een stoomlocomotief werd voortgeduwd. Het rad kon in de twee richtingen draaien zodat het de sneeuw zowel naar links als naar rechts kon wegruimen.
Extra uur wiskunde belangrijk voor slaagkansen universiteit
Eerstejaarsstudenten aan de Universiteit Hasselt hebben een grotere kans op slagen als ze minstens vier uur wiskunde hebben gevolgd in het middelbaar onderwijs. Dat blijkt uit een onderzoek van de universiteit naar de slaagkansen van haar studenten, zo meldt de Gazet van Antwerpen. Een uur wiskunde extra betekent volgens het onderzoek een groot verschil in de slaagkansen. Een eerstejaarsstudent economie heeft bijvoorbeeld drie keer meer kans op slagen als die minstens vier uur wiskunde heeft gevolgd.
Als je kijkt naar studenten die maar drie uur wiskunde hebben gevolgd, dan is het slaagpercentage 13,5 procent. Als men vier of vijf uur gevolgd heeft, dan is dat meer dan veertig procent, legt rector Luc De Schepper uit op Radio 1. De ASO-richtingen met de beste slaagkansen? Bij Latijn-wiskunde slaagt 69 procent van de studenten in het eerste jaar van de universiteit, en in humane wetenschappen is dat helaas maar 21 procent, zegt De Schepper. Alle andere richtingen liggen tussen die twee uitersten. De Universiteit Hasselt telt wel nagenoeg geen humane richtingen. Op dat vlak wil ik het resultaat zeker relativeren, zegt de rector in De Ochtend op Radio 1. Het aantal uur wiskunde is veel minder belangrijk voor studenten die bijvoorbeeld rechten gaan studeren. De resultaten zijn vooral belangrijk voor die richtingen waar wiskunde een rol speelt.
De rector wil een bredere discussie over studierichtingen, zodanig dat ook leerlingen, begeleidende centra en leerkracht precies weten wat de gevolgen zijn van het al dan niet kiezen van een extra uur wiskunde. De universiteit zelf gaat leerlingen die drie uur of minder wiskunde hebben gehad extra begeleiden.'De bedoeling van deze studie is bijdragen aan de juiste studiekeuze en zorgen dat de slaagkansen van de studenten hoger liggen', zegt De Schepper.
Nog voor de zomer gaat UHasselt ook de slaagcijfers van eerstejaars van alle Vlaamse universiteiten en hogescholen analyseren.
Persoonlijke bedenking: niet enkel wat je ziet en hoeveel je ziet in de wiskundelessen is belangrijk maar ook HOE je het ziet!
Dank zij het werk van de Britse wiskundige Cayley kennen we nu het nut van matrices en matrixrekenen.
Elders op mijn blog heb ik me al verwonderd over het volgende eenvoudige verband tussen kwadraten en derdemachten:
Aan de hand van de onderstaande n x n - matrix waarin elk element gelijk is aan het product is van zijn rij- en kolomnummer kunnen we dit verband gemakkelijk bewijzen.
Een combinatie van een aantal factoren zorgt ervoor dat we bij het waarnemen van sommige fenomenen op het verkeerde been worden gezet. Vaak speelt de achtergrond van de figuur hierbij een misleidende rol.
Laten we ook niet vergeten dat driedimensionele objecten die we waarnemen met een sterke kromming op ons netvlies als tweedimensionale voorwerpen worden vervormd. We nemen ze toch in de juiste verhoudingen waar dank zij een leerproces en onze ervaring en ook dank zij de fascinerende werking van onze hersens.
De Hering-illusie werd die in 1861 ontdekt door de Duitse fysioloog Ewald Hering. De twee verticale lijnen zijn recht maar lijken (naar buiten) gebogen door het lijnenpatroon op de achtergrond.
De Wundt-illusie werd voor het eerst beschreven door de Duitse psycholoog Wilhelm Wundt in de 19de eeuw. De twee horizontale rode lijnen zijn recht, maar lijken gebogen ten gevolge het patroon van gehoekte lijnen op de achtergrond.
De Ehrenstein-illusies danken hun naam aan de Duitse Walter Ehrenstein (1899-1961). De eerste illusie betreft een vierkant op een aantal concentrische cirkels, die ervoor zorgen dat we de zijden van het vierkant als gebogen lijnstukken waarnemen. Bij de tweede illusie nemen we witte cirkeltjes waar die er echter niet zijn. Hier zorgt het spel van licht en contrast voor de illusie.
De Orbison-illusie werd voor het eerst beschreven in 1939 door de Amerikaanse psycholoog William Orbison. Met een hoekenpatroon als achtergrond lijkt het vierkant niet langer op een vierkant en ook de cirkel lijkt een flinke deuk gekregen te hebben.
We zien de dingen niet zoals ze zijn, maar zoals wij zijn. Anais Nin
Alle problemen zijn illusies van het denkvermogen. Eckhart Tolle
Iedereen staat alleen, en toch hebben we vrienden om de illusie te hebben dat we niet alleen staan. Hugo Raes
Verloren illusies zijn gevonden waarheden. Multatuli
Soms speelt ook de herinnering een belangrijke rol bij een visuele waarneming. Onze hersens dwingen ons ertoe te zien wat we eerder hebben gezien (of willen zien).
Maar jij had hierin natuurlijk direct een lamp herkend!
Een knappe studente uit Merksplas was de primus van haar klas. Ze maakte echter groot misbaar toen bleek dat haar wiskundeleraar slechts een optische illusie was.
Meisjes babbelen evenveel, maar de jongens worden gestraft
Bron: Het Nieuwsblad
Jongens en meisjes babbelen evenveel in de klas, maar toch is drie kwart van de terechtwijzingen voor de jongens. Dat blijkt uit een grootschalig onderzoek van drie Belgische universiteiten. Leerkrachten discrimineren jongens, maar doen dat niet bewust, zegt onderzoekster Els Consuegra.
De stereotypen van de stoute jongen en het brave meisje zijn hardnekkig. Dus wordt een jongen die babbelt in de klas harder aangepakt dan een meisje dat konkelfoest. De Vlaamse leerkrachten in het secundair onderwijs zijn ervan overtuigd dat ze jongens en meisjes op een gelijke manier behandelen. Maar in werkelijkheid hanteren ze twee maten en twee gewichten. Jongens worden veel vaker met de vinger gewezen, ook al zitten de meisjes in hun klas net zo vaak te fluisteren. Een meisje zal een hogere score krijgen op een toets, ook al heeft de jongen twee banken verder een identieke prestatie geleverd.
Tot die verrassende conclusie komt een studie van onderwijsdeskundige Els Consuegra van de Vrije Universiteit Brussel. Haar werk kadert in een grootschalig genderonderzoek, waarbij vorsers van de KU Leuven,de UGent en de VUB drie jaar lang meer dan 6.000 Vlaamse leerlingen volgen.
Ik schrik niet van de bevindingen van dit onderzoek, zegt Mieke Van Hecke, topvrouw van het katholiek onderwijs. Je kan moeilijk ontkennen dat die onbewuste mechanismen bij leerkrachten aanwezig zijn. Er zijn veel meer vrouwelijke leerkrachten. Die hebben het soms moeilijk met het drukke van jongens en bevoordelen het gedragspatroon van meisjes. Als is het niet de enige verklaring voor de mindere motivatie en resultaten van jongens.
Leraars straffen blijkbaar gemakkelijker dan ouders ...
Schrijf een willekeurig positief geheel getal op met 2 of 3 cijfers. Schrijf daaronder het getal dat je bekomt door de cijfers in omgekeerde volgorde op te schrijven. Tel beide getallen bij elkaar op. Herhaal daarna dit procedé op de som. Blijf herhalen tot je een palindroomgetal uitkomt. Dit is een getal dat hetzelfde blijft als je de cijfers in omgekeerde volgorde opschrijft. Dergelijke getallen (zoals 343, 1001, 16761, 6401046) noemt men ook wel eens Sheharazadegetallen en zo verwijst men naar de 1001-nacht-verhalen.
Voorbeeld. Startgetal = 29 29 + 92 = 121 en 121 is een palindroomgetal.
Voorbeeld. Startgetal = 279 279 + 972 = 1251 1251 + 1521 = 2772 en 2772 is een palindroomgetal.
Men vermoedt dat je met 196 als startgetal nooit op een palindroomgetal zult eindigen. Er werd zelfs al een computer ingeschakeld, maar ook zo kwam men (nog) niet uit op een palindroomgetal.
Ja, met zo een gekke ideeën vullen sommige wiskundigen hun dagen ...
Probeer jij het eens met 89 als startgetal? En geef het maar niet te vlug op!
Een Lychrel-getal is een natuurlijk getal dat niet in een palindroom resulteert na een eindig aantal keren iteratief optellen van de vorige uitkomst en diezelfde uitkomst met de cijfers in omgekeerde volgorde. De naam Lychrel werd in 2002 voorgesteld door Wade VanLandingham en het is een ruw anagram van Cheryl, de naam van zijn vriendin.