STELLING VAN DE DUBBELE KOORDE



Claudius Ptolemaeus (ca. 87 - 150, Alexandrië)
gebruikte de wiskunde als hulpmiddel voor berekeningen in de astronomie.
In zijn boek Almagest geeft hij een samenvatting van de toenmalige kennis
over de astronomie en stelt hij koordentabellen op
waarmee hij afstanden berekent tussen punten op een cirkel.
In zijn werk vinden we ook enkele merkwaardige en originele stellingen terug
uit de meetkunde en de goniometrie.
Meer hierover lees je in het mooie artikel van Dick Klingens (zie bijlage).

We vermelden hier echter graag een minder bekende stelling
die ik zelf in het vierde jaar van mijn middelbare studies
als oefening meekreeg en toen niet direct kon bewijzen.

Vind jij een bewijs?

Tip. Zet jouw bril even recht op jouw neus en pas de stelling van Ptolemaeus toe voor een koordenvierhoek.

Bijlagen:
Koordentabel van Ptolemaeus.pdf (150.3 KB)   

Wiskundigen gaan soms - louter voor de kick - op zoek naar merkwaardige getallen.

Ik stelde me de vraag of het mogelijk is dat een getal van de vorm G = a^a + b^b + c^c + d^d
(waarbij a, b, c en d alle gehele waarden van 1 tot en met 9 mogen aannemen)
gelijk is aan het getal H = 1000a + 100b + 10c + d (wat we schrijven als abcd).

Met een eenvoudig programma op mijn grafische rekenmachine (zie bijlage)
vond ik al vlug dat er precies één getal hieraan voldoet :




DENKOEFENING
Kan jij het getal G = 10a + b (wat we schrijven als ab) vinden dat gelijk is aan H = (a + b)² ?

Bijlagen:
Programma voor een TI-84.pdf (125.9 KB)   

KAN JE DE VOLGENDE DRIE OPGAVEN
TELKENS IN VIER MINUTEN OPLOSSEN?

Verdeel de gehele getallen van 1 tot en met 12
in vier groepjes van drie getallen
zodat de som van twee getallen uit elk groepje
gelijk is aan
1) het derde getal
2) het dubbele van het derde getal
3) het drievoud van het derde getal.

Applaus voor wie de oplossing telkens in minder dan vier minuten vindt!
De anderen gluren best eens in de oplossing (zie bijlage).

Bijlagen:
DRIE SOMPROBLEMEN.pdf (125.5 KB)   

EEN ONEIGENLIJKE INTEGRAAL MET EEN EIGEN VERHAAL

Bekijk het eens rustig...

04-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 7

UITVINDING 7

Rond 1850 waren de meeste strijkijzers gewoon platte stukken metaal
die men op een fornuis plaatste om ze op te  warmen.
Vooraan het strijkijzer was er een punt die echter vaak zorgde voor scheuren.
En als het grondvlak van het ijzer niet helemaal proper was
zorgde dit soms voor vuile strepen op kledingstukken.
Daarom bedacht een zekere Mr. Frank Corbets uit New York een strijkijzer op wieltjes.
Het werd in een metalen bakje op het fornuis geplaats om zo de wieltjes op te warmen.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 7_oplossing.pdf (215.8 KB)   

DE KWADRATEN VAN DIOPHANTUS

De Griekse wiskundige Diophantus was een buitenbeentje in zijn tijd
(men weet niet precies wanneer hij leefde; wellicht in de derde eeuw na Chr.).
Waar de meeste wiskundigen van zijn tijd zich bezighielden met meetkunde,
was Diophantus bezeten van getallenleer en algebra.
Die werden toen echter nog vaak op een meetkundige manier behandeld.
Zo was bijvoorbeeld een kwadraatgetal niets anders dan een vierkant.

In zijn werk Aritmetica slaagde Diophantus erin enkele mooie eigenschap uit de rekenkunde te bewijzen.

Hieronder staat een voorbeeld ter illustratie
(dat we hier 'vertalen' in de huidige algebraïsche taal).

Als n een willekeurige positief geheel getal is
en x = n²,  y = (n+1)² en z = 2(x + y +1)
dan zijn de volgende zes getallen kwadraatgetallen:
xy + x + y
yz + y + z
zx + z + x
xy + z
yz + x
zx + y.

Voorbeeld.
Voor n = 2 is x = 4, y = 9 en z = 28.
Hiermee bekom je dan de volgende de zes kwadraatgetallen:
49, 289, 144, 64, 256 en 121.

         

 Kan je de eigenschap in het algemeen bewijzen?

02-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

BELPHEGOR
is een demoon en één van de zeven prinsen uit de hel.
Hij verleidt mensen om ontdekkingen te doen waardoor ze rijk (en vaak slecht) worden.
Naar het schijnt is zijn meest actieve periode de maand april.

Het getal van Belphegor is
1000000000000066600000000000001 = 10³⁰ + 666 x 10¹⁴  + 1.

Dit is een priemgetal en een palindroomgetal,
waarbij in het midden het getal van het Beest 666 staat.
Links en rechts hiervan staan 13 nullen
en dat verwijst dan weer naar het ongeluksgetal 13.

Je bent verwittigd!

01-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

   313

Wat is er nu weer bijzonder aan het getal 313?

313 is zelf een priemgetal en een palindroomgetal
313 – 2 = 311, 313 – 2·3 = 307, 313 – 2·3·5 = 283 en 313 – 2·3·5·7 = 103 zijn priemgetallen
10³¹³ + 313 is een priemgetal

   313 is de kleinst mogelijke magische constante bij een magisch priemvierkant van orde 5.

Bron: http://www.magic-squares.net/primesqr.htm#Orders

In de rij van de Fibonaccigetallen (1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...) is 144 het grootste kwadraatgetal
en in de rij van de Pellgetallen (0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408 ...) is 169 het grootste kwadraatgetal
en 144 + 169 = 313.

313 is de nummerplaat van de wagen waarmee Donald Duck rondtoerde.

En vandaag is het 31-3!

31-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

PELLGETALLEN

De Pellgetallen zijn genoemd naar de Engelse wiskundige John Pell (17de eeuw)
en worden gedefinieerd door de volgende recursiebetrekking:

Deze rij begint dus met 0 en 1 en elk volgend getal bekomt men
door tweemaal het vorige getal op te tellen bij het getal daarvoor.
 
De rij begint dus als volgt:  0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2 378...

Het n-de Pellgetal is bepaald door de volgende uitdrukking:

Bron: Wikipedia.



In de bijlage kan je zien hoe je de bovenstaande uitdrukking
voor het n-de Pellgetal kunt vinden.

En op de onderstaande figuur hebben we geprobeerd de rij van de Pellgetallen te 'visualiseren'.

Lees ook eens de bijlage waaruit blijkt dat men zowel de Fibonaccigetallen als de Pellegetallen met een grafische rekenmachine kan genereren.

Bijlagen:
Algemene uitdrukking van de Pellgetallen.pdf (214.9 KB)   
FIBONACCI EN PELLGETALLEN.pdf (204.6 KB)   

Om een stelsel van n lineaire vergelijkingen op te lossen
waarbij de determinant van de coëfficiëntenmatrix verschillend is van nul
bestaat er een elegante oplossingsmethode die gebruik maakt van determinanten:

DE REGEL VAN CRAMER

die we hieronder vermelden voor een 3 x 3 - stelsel.

Gabriel Cramer (1704 - 1752) was een Zwitserse wiskundeprof die werkte aan de Universiteit van Genève.
In 1750 publiceerde hij een boek over algebraïsche krommen
waarin hij o.a. bewees dat een vlakke kromme van de n-de graad
in het algemeen bepaald is door n(n+3)/2 punten.
Zo is bijvoorbeeld een kegelsnede (tweedegraadskromme) bepaald door 5 punten. 

In de bijlage bij dit werk publiceert hij een methode om stelsel op te lossen, die nu bekend staat als de regel van Cramer.
Hiermee gaf hij een aanzet tot de ontwikkeling van de theorie van determinanten.

Een kort bewijs van deze regel vind je in de bijlage.

Bijlagen:
De regel van Cramer - bewijs.pdf (177.8 KB)   

 

PROBLEEM 8

UITVINDING 8

Deze snelle driewieler was een uitvinding van een zekere
Mr. Vossner uit Philadelphia.
Hij bedacht een ingenieus systeem om de beweging van de pedalen
over te brengen op de grote wielen van deze fiets.
Eén toer met de pedalen resulteerde in twee volledige toeren van de wielen
zodat men terecht kon spreken van een snelle driewieler.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 8_oplossing.pdf (216.1 KB)   

EEN MERKWAARDIGE SOM

Een bewijs zonder woorden zie je hieronder!

Bron: Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 5 

***********************************************************************************************

Collega Daniël Tant bezorgde me een bewijs 'met woorden':

27-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

SOM VAN EEN MEETKUNDIGE REEKS

Een gelijkbenig trapezium kan je opdelen in vier congruente gelijkbenige trapeziums

en hiermee bewijs je 'zonder woorden ' dat

1/4 + 1/16 + 1/64 + ...  = 1/3.

Dit is een bijzonder geval van een algemene formule voor de som van een meetkundige reeks.

Hieronder zie je een bewijs zonder woorden voor deze algemenere formule.

Gezien?

26-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

STANGENVLINDERS

Een constructie bestaat uit twee stangen van lengte 18 cm en twee stangen van lengte 10 cm,
die scharnierend aan elkaar bevestigd zijn. We verwaarlozen de breedte en de dikte van de staven.
Wanneer de stangen scharnieren rond de punten A, B, C en D ontstaan figuren
die we stangenvlinders noemen. Hieronder staan er een paar  getekend.

De afstand tussen A en B is x en de afstand tussen C en D is y.
Druk het verband uit tussen x en y.

Oplossing in bijlage.
Bron: Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, Jaargang 28 nr. 1 (2011)

Bijlagen:
Stangenvlinders - rekenwerk.pdf (145.7 KB)   

HET PROBLEEM VAN DE VIER LUIZEN

Vier luizen zitten op de vier hoekpunten van een vierkant met zijde 1.
Elke luis loopt in tegenwijzerzin in de richting van de luis rechts ervan
(die dus zelf ook aan de loop gaat) en we nemen aan
dat de luizen met dezelfde snelheid naar elkaar toe lopen.

Het zal wel duidelijk zijn dat de vier luizen elkaar in het midden van het vierkant ontmoeten.
Maar welk traject hebben ze dan afgelegd en hoe lang is dat traject?  

In de bijlage tonen we aan dat ze lopen volgens een logaritmische spiraal. Puur wiskundig bekenen zouden de vier punten oneindig lang naar elkaar toe bewegen en paradoxaal genoeg is 'de totale afstand' die elke luis aflegt gelijk aan 1 wat precies de lengte van de zijden van het vierkant is.

HET PROBLEEM VAN DE DRIE LUIZEN.

Welke afstand zouden drie luizen afleggen
als ze starten op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek
waarvan de zijden lengte 1 hebben?

Wiskundigen zijn erin geslaagd een elegante formule te vinden
voor de afgelegde afstand d_n wanneer de luizen starten
op de hoekpunten van een regelmatige n-hoek met zijden 1:

Meer uitleg op http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/FourTurtles.shtml 
De baan die ze volgen is dan telkens een logaritmische spiraal.

Bron: Wolfram Mathworld.

Bijlagen:
HET PROBLEEM VAN DE VIER LUIZEN.doc (198 KB)   

EEN EXTREMUMVRAAGSTUK MET EEN DUBBELE OPLOSSINGSMETHODE

Ik heb er me ook altijd over verbaasd dat er voor sommige extremumvraagstukken
een 'synthetische oplossing' bestaat, waarbij men geen beroep moet doen op afgeleiden,
maar waar men via 'logisch redeneren' tot een oplossing kan komen.

Hier heb je een dergelijk probleem.

De punten A(0,4) en B(12,9) zijn twee vast gekozen punten.
Een lijnstuk [PQ]  met lengte 5 verschuift over de x-as.
 α is de hoek tussen AP en de x-as en β is de hoek tussen BQ en de x-as.
Toon aan dat de omtrek van de vierhoek ABQP minimaal is als  α = β. 

Vind jij een oplossing met behulp van de afgeleide van een functie? Of zie je andere manier?
De dubbele oplossingsmethode is uitgewerkt in de bijlage.

Bijlagen:
Extremumvraagstuk met een dubbele oplossing.pdf (218.8 KB)   

Amper één op drie studenten haalt diploma zonder te bissen

22/03/14 − Bron: Belga

Amper één op drie studenten in het hoger onderwijs haalt binnen de voorziene termijn van drie jaar zijn bachelordiploma,
zo melden Het Nieuwsblad en De Standaard vandaag.
Enkele jaren geleden haalden nog vier studenten op tien hun diploma binnen de voorziene tijd.

Sinds de hervorming van het hoger onderwijs haalt 70 procent van de studenten die aan een bachelor begonnen een diploma.
Maar slechts één op drie doet dat dus binnen de voorziene termijn van drie jaar,
zo blijkt uit cijfers van de Vlaamse databank Hoger Onderwijs.
Er zijn zelfs studenten die zes of zeven jaar nodig hebben.

"Dat is niet enkel een verkwisting van overheidsgeld en dus totaal onverantwoord, zeker in tijden van crisis.
Het jaagt ook de ouders op kosten en zorgt voor een latere instroom in het beroepsleven",
licht Didier Pollefeyt, vice­-rector onderwijs van de KU Leuven, toe.

De evolutie is een gevolg van de grotere flexibiliteit in het hoger onderwijs.
Stu­denten kunnen nu zelf hun traject samenstellen en bij­voorbeeld overgaan naar het volgende jaar,
ook al zijn ze nog niet voor alle vakken geslaagd. De buizen nemen ze gewoon mee.
Volgens Pollefeyt is de flexibilisering ‘te ver doorgeschoten’:
"We moeten dringend werk maken van een verstrenging van de regels."

 Persoonlijke bedenkingen.
Een oproep aan alle ouders om rekening te houden met adviezen die leraars op het einde van de tweede graad
en op het einde van het secundair onderwijs meegeven.
Bij de aanvang van een academiejaar pronken heel wat hogescholen en universiteiten met hun 'kijkcijfers'.
Wat wil men echt: kwantiteit of ... ?
Begin met een ijkingstoets voor alle studierichtingen van het hoger onderwijs,
waardoor de beginnende student weet waar hij/zij staat bij de aanvang van een bepaalde studierichting.
Ook een taalproef zou hier niet misstaan.
Eis dat men in het eerste bachelorjaar volledig slaagt (met eventuele herexamens) voor een oordeelkundig samengesteld studiepakket.
Quousque tandem abutere?

22-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

EXTREMUMVRAAGSTUKKEN

Via extremumvraagstukken worden studenten geconfronteerd
met de techniek van het 'mathematiseren'
waarbij een probleem wordt omgezet in 'wiskundetaal'
en met behulp van afgeleiden kan worden opgelost.

Geen eenvoudige opdracht!

Dit probleem en heel wat andere wiskunde-onderwerpen
komen aan bod in de les-filmpjes op http://www.wezoozacademy.be/


EEN EXTREMUMVRAAGSTUK MET EEN MINIMUM EN EEN MAXIMUM

Een student vroeg me ooit of er ook extremumproblemen bestaan
waarbij er zowel een maximum als een mimimum optreedt.

Ik wist hierop niet direct een passend antwoord te geven
en zocht uiteindelijk mijn toevlucht in de economie.

Van een bepaald product worden er per dag q eenheden geproduceerd,
met een maximale capaciteit van 45 eenheden per dag.
De totale kostprijs wordt berekend met de formule
K(q) = q⁴ – 90q³ + 2400q².

In bijlage vind je een document met 16 klassieke extremumvraagstukken
dat ik jarenlang heb gebruikt in de wiskundelessen (en misschien lagen sommigen hiervan wel wakker ...).

Bijlagen:
Extremumvraagstukken - opgavenblad.pdf (120.7 KB)   

De twee verstrooide detectives Jansen en Janssen ken je ongetwijfeld.
En wist je ook dat de snor van Jansen recht naar beneden wijst, terwijl die van Janssen wat naar boven toe krult?

 In de tweede ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade - editie 2014 - dook een leuke J & J - vraag op.
Ik loste ze op via een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden.

Vind jij het antwoord op zicht?

Janssen en Jansen zijn samen 156 jaar.
Jansen is drie keer zo oud als Janssen was toen hij dubbel zo oud was als Jansen.
Wat is de leeftijd van Janssen?

A. 66 jaar      B. 72 jaar     C. 78 jaar      D.  84 jaar     E. 90 jaar.

©   Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

21-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 9

UITVINDING 9

Met dit toestel kon men de omtrek van een wiel opmeten.
Toen nog vaak houten wielen werden gebruikt,
bracht de smid hierop een metalen band aan.
Met dit apparaatje kon hij gemakkelijk de omtrek van een wiel opmeten
om de lengte van die metalen band te bepalen.
Het toestel dat in Amerika werd gebruikt had een omtrek van 1 voet (± 30 cm)
die was onderverdeeld in 12 duim (1 duim = ±  2,5 cm).

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 9_oplossing.pdf (48.2 KB)