WISKUNDE IN DE KLOOSTERTUIN

Een kloostertuin heeft de vorm van een rechthoekig trapezium en wordt omgeven door vier muren.
De twee niet-evenwijdige zijden zijn 40 meter en 50 meter lang.
In het midden van de tuin staat een fontein en de abt beweert dat deze fontein op gelijke afstanden staat van de vier muren.

Wat is de oppervlakte van de tuin?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Wiskunde in de kloostertuin - oplossing.pdf (270.7 KB)   

WISKUNDE EN COCA-COLA



Toen ik op de middelbare schoolbanken zat, namen we in het vierde jaar deel
aan een interscholenwedstrijd die door Coca-Cola was georganiseerd.
Bij de 20 vragen zat er één wiskundevraag waar we toen dagenlang
met enkele leerlingen op hebben gezocht.
Gelukkig kwam onze wiskundeleraar ons toen even ter hulp,
want ongetwijfeld zouden we het antwoord niet zelf hebben gevonden.

Dit was de vraag:
Schrijf het getal 0, 857142857142857142...
(waarbij de periode van 6 cijfers zich eindeloos blijft herhalen)
in zijn binaire vorm.

Hoe schrijf je een willekeurig kommagetal tussen 0 en 1 in zijn binaire vorm?

Antwoord.
1. Vermenigvuldig het getal  met 2.                                                
2. Als het cijfer voor de komma (geheel gedeelte) 0 is noteer je 0   
en je vermenigvuldigt opnieuw met 2.
3. Als het cijfer voor de komma (geheel gedeelte) 1 is noteer je 1,   
je trekt dan 1 af van het getal (1 voor de komma weglaten)
en je vermenigvuldigt het resterende deel opnieuw met 2.
Ga zo door ...

Voor het getal 0, 857142857142857142... wordt dit:
0,857142... x 2 = 1,714285...     > noteer 1
0,714285... x 2 = 1,428571...    > noteer 1
0,428571... x 2 = 0,85714... > noteer 0
en vanaf hier treedt er herhaling op.

Besluit. De binaire schrijfwijze van 0, 857142857142857142...  is 0,110110110...
waarbij er na de komma een periode van 3 cijfers volgt.
 
 

DENKOEFENING
0, 857142857142857142...  = 857142/999999 = 6/7.
Kan je aantonen dat het binaire getal 0,110110110... gelijk is aan 6/7?
 
 
Oplossing in bijlage

Bijlagen:
Oplossing Coca-Cola-vraag.doc (93.5 KB)   

EXHAUSTIEMETHODE

De exhaustiemethode (Latijn: exhaurire = uitputten)
is een methode die de Oude Grieken toepasten
om de oppervlakte van vlakke gebieden te bepalen.
Ze verdeelden hierbij de vlakke figuur (veelhoek, paraboolsegment, cirkel ...)
in figuren waarvan ze de oppervlakte kenden (driehoeken, rechthoeken ...)
en probeerden de oppervlakte met steeds kleiner wordende figuren op te vullen.

Deze methode werd in de wiskunde voor het eerst toegepast door Eudoxus (4de eeuw v. Chr.)
en later met succes overgenomen door Archimedes (3de eeuw v. Chr.)
die hiermee in feite de basis legde voor de integraalrekening.

Archimedes slaagde er op die manier in de kwadratuur van een paraboolsegment op te lossen.
Hij toonde namelijk aan dat de oppervlakte van een paraboolsegment
bepaald door de koorde [AB] gelijk is aan (4/3). (opp. Δ ABC),
waarbij C het snijpunt is van de parabool met de rechte door het midden M van [AB]
die evenwijdig is met de as van de parabool.

Op de onderstaande figuur zie je hoe hij hiervoor te werk ging.
Op een ingenieuze manier slaagde hij erin aan te tonen dat
opp. Δ ACD + opp. Δ BCE = (opp. Δ ABC)/4.
Door het parboolsegment telkens via eenzelfde procédé verder op te vullen met driehoeken
bepaalde hij uiteindelijk de oppervlakte ervan.

 Kan je deze vondst van Archimedes bewijzen in een bijzonder geval (zie bijlage).
Je bent uitgedaagd!

In bijlage (onderaan deze pagina aanklikken) zit een artikel over Archimedes uit het tijdschrift Pythagoras.
Zeker de moeit waard om eens te lezen!

Bijlagen:
Archimedes - artikel uit tijdschrift Pythagoras.pdf (229.3 KB)   
Opgave integraalrekenen.pdf (76.7 KB)   

INHOUD VAN EEN PRISMOÏDE

Een prismoïde is een convex veelvlak (ruimtelijke figuur)
waarvan de hoekpunten in twee evenwijdige vlakken (grondvlak en bovenvlak) liggen.
De afstand tussen de twee evenwijdige vlakken noemt men de hoogte van de prismoïde.

Hieronder staat ëen prismoïde afgebeeld waarbij ook het middenvlak is getekend.

In een Egyptische papyrus die dateert van ongeveer 1890 v. Chr.
duikt voor het eerst een merkwaardige formule op voor het volume V van een prismoïde:

G = oppervlakte grondvlak, M = oppervlakte middenvlak, B = oppervlakte bovenvlak, h = hoogte.

Het was de Engelse wiskundige Thomas Simpson die in 1743 de formule in het algemeen bewees m.b.v. een bepaalde integraal.
Hiermee veralgemeende Simpson zijn gekende formule uit de numerieke integratie
om de oppervlakte van een vlak gebied bij benadering te berekenen:

Uitleg over de prismoïde vind je o.a. op http://www.pandd.nl/stereo/prismoide.htm

In de bijlage 'reconstrueren' we de formule van Simpson voor de inhoud van een prismoïde.

Bijlagen:
FORMULE VAN SIMPSON VOOR DE INHOUD VAN EEN PRISMOÏDE.pdf (174.5 KB)   

 

PROBLEEM 5

Bepaal drie verschillende getallen a, b en c als je weet dat                  
1) a, b en c drie opeenvolgende termen zijn van een rekenkundige rij;
2) b, a en c drie opeenvolgende termen zijn van een meetkundige rij; 
3) het product abc gelijk is aan 1000.                                                    

UITVINDING 5

Reeds rond 1850 vond een aantal mensen het bezoek aan een kapper een vervelende zaak:
tijdverlies, een dure aangelegenheid en de kans dat het haar veel te kort werd geknipt.
Daarom bedacht men deze mechanische haarknipper.
Het volstond de kammen op de juiste positie in te stellen
en dan het toestel even over het haar heen te bewegen
om zo een gepaste snelle knipbeurt uit te voeren.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 5_oplossing.pdf (153.8 KB)   

ONEVEN KWADRATEN

1, 9, 25, 49, 81 ...

Deze rij bestaat uit de kwadraten van de oneven natuurlijke getallen.

Merk op dat het verschil tussen twee opeenvolgende getallen steeds een achtvoud is.

Hoe is de n-de term van deze rij bepaald?

Expliciet voorschrift:  t_n = (2n – 1)².

Recursief voorschrift: t_n = t_n-1 + 8(n – 1) met t₁ = 1.

Op de onderstaande figuur zie je een bewijs zonder woorden voor deze recursieve formule.

Gezien?

16-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Door het inkrimpen van het aantal uren wiskunde
maken studenten in het secundair onderwijs jaar niet echt meer kennis met de wiskundige symbolentaal.
Verzamelingenleer en kwantoren komt niet meer voor als verplichte items in de leerplannen,
relaties en bepaalde functiebegrippen (injectie, surjectie, bijectie, permutatie) zijn geen gekende begrippen meer,
het sommatieteken wordt pas in de hoogste jaren ingevoerd,
een bewijs door volledige inductie komt pas sporadisch even aan bod ...

DOSSIER 1. SYMBOLENTAAL
zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
om studenten vanaf het vierde jaar van het secundair onderwijs 
wat bijkomende wiskundige impulsen te bezorgen.

Bijlagen:
Dossier 1 Symbolentaal.pdf (569.5 KB)   

Door het inkrimpen van het aantal uren wiskunde
maken studenten in het secundair onderwijs jaar niet echt meer kennis met (propositie)logica.
Nochtans vormt dit de basis voor het correct wiskundig redeneren.
Weet men nog wat een bewijs uit het ongerijmde is,
een bewijs door contrapositie,
een nodige en/of een voldoende voorwaarde ... ?

DOSSIER 2. LOGICA
zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
om studenten vanaf het vierde jaar van het secundair onderwijs 
wat bijkomende wiskundige impulsen te bezorgen.

Bijlagen:
Dossier 2 Propositielogica.pdf (441 KB)   

In de leerplannen van het secundair onderwijs hebben priemgetallen
en de theorie van grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud, modulorekenen ...
niet echt meer een plaats gekregen.
Nochtans zijn priemgetallen 'de atomen' van de getallenleer
en verdienen ze de nodige aandacht. 

DOSSIER 3. PRIEMGETALLEN
zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
om studenten vanaf het vierde jaar van het secundair onderwijs 
wat bijkomende wiskundige impulsen te bezorgen.

Bijlagen:
Dossier 3 Priemgetallen.pdf (552.8 KB)   

Door het inkrimpen van het aantal uren wiskunde
maken studenten in het secundair onderwijs jaar niet echt meer kennis met vectorrekenen.
Begrippen als vrije vectoren, scalair product, vectoriële vergelijking van een rechte ....
zijn geen basiskennis meer en stellingen uit de vlakke meetkunde
worden meestal niet meer met vectoren aangepakt.
Nochtans zijn dit de bouwstenen van de lineiare algebra.

DOSSIER 4. VECTOREN
zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
om studenten vanaf het vierde jaar van het secundair onderwijs 
wat bijkomende wiskundige impulsen te bezorgen.

Bijlagen:
Dossier 4 Vectoren.pdf (442.9 KB)   

Problem solving vormt de rode draad
doorheen de wiskundelessen in het secundair onderwijs.
Ondanks een vurig pleidooi om reeds vanaf het eerste jaar
aan de leerlingen een (aangepast) probleem van de week voor te leggen,
blijkt dit niet echt een populair voorstel te zijn.
Samenwerkend leren krijgt hierbij nochtans heel wat kansen.
Ook het omgaan met meerkeuzevragen is een techniek die men best 'al doende' aanleert.

DOSSIER 5. PROBLEM SOLVING
zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
om zo voor wat bijkomende wiskundige impulsen te zorgen.
De 60 problemen komen uit de South African Mathematics Olympiad
en we hebben ze opzettelijk in het Engels laten staan.
Talenkennis is immers onontbeerlijk om in de huidige wereld zijn weg te vinden.

Bijlagen:
Dossier 5 Problem Solving.pdf (258.2 KB)   

 

PROBLEEM 6

UITVINDING 6

Dit toestel werd ontworpen om kostbaar fruit te plukken dat hoog in een boom hing.
Men plukte die meestal door er een tik tegen te geven
en ze daarna op te vangen in een soort kous.
Het fruit viel soms naast de kous of geraakte beschadigd bij het aantikken.
Het nieuwe ontwerp bestond uit een holle bamboestok
waarin twee metalen grijparmen waren gemonteerd
die men vanop de grond kon bedienen.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 6_oplossing.pdf (128.1 KB)   

INTEGREREN ZONDER MOEITE

Kan je verklaren waarom je de oplossing van de onderstaande drie bepaalde integralen

'op zicht' kunt vinden, zonder de onbepaalde integralen op te lossen?

Zag je direct dat er in beide integralen telkens twee functies voorkomen die elkaars inverse zijn?

Hieronder zie je hoe dit principe 'in het algemeen' werkt;

Gezien?

10-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

COMBINATIES

Het aantal manieren om 2 elementen te kiezen uit een verzameling van n elementen
noemt men het aantal combinaties van n elementen 2 aan 2
(of het aantal combinaties van 2 uit n).

Hiervoor geldt de volgende formule:

Een 'bewijs zonder woorden' zie je hieronder.

Voor wie toch een woordje uitleg wil:
op de onderste rij worden twee (donkerblauwe) ballen gekozen uit 7.
Met elke keuze van twee ballen uit deze rij 
blijkt precies één (oranje) bal overeen te komen uit de driehoek die daarboven is opgebouwd.
En die driehoek bevat 1 + 2 + ... + 6 ballen.

 

Geïnspireerd op: Wolfram Demonstrations Project

09-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Zien is geloven

Eigenschap.

Als één van de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek een hoek van 15° is,
dan is de oppervlakte van deze driehoek één achtste van het kwadraat van de schuine zijde.

BEWIJS 1. Dit kan je gemakkelijk zelf vinden als je weet dat sin 15° cos 15° = ½ sin 30° = ¼.

BEWIJS 2. Je kan het bewijs 'zien' op de onderstaande figuur. Lukt dit?

09-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In zijn rijkgevulde carrière van leraar wiskunde, eminente didacticus en vakbegeleider

met een fijne neus voor aantrekkelijke en bevattelijke onderwerpen heeft Walter heel wat mooie artikeltjes bijeengeschreven.

 Zijn bijdrage over 'Mieren op een kubus' is hiervan een schoolvoorbeeld dat heel wat collega's met gretigheid hebben verslonden (zie bijlage).

Het artikel 'Ode aan de wiskunde' was zijn laatste bijdrage in de functie van pedagogische begeleider wiskunde bij DPB-Brugge. 

Ook deze tekst, waarin probleemoplossend denken en ICT-gebruik - twee van Walters stokpaardjes - aan bod komen,  zit in bijlage.

Tenslotte vind je in bijlage nog een leuk artikel van de hand van Walter over de subnormaal bij een parabool. 

Walter wist heel wat studenten en collega's te inspireren en heeft de wereld van de wiskundigen te vroeg verlaten ...

Bijlagen:
DE SUBNORMAAL(Walter).pdf (123.7 KB)   
Mieren_op_een_kubus(Walter).pdf (110 KB)   
Ode aan de wiskunde (Walter).pdf (52.9 KB)   

De CHEBYSHEV-VEELTERMEN



In 1946 herdacht men de 125-ste verjaardag van de geboorte van de Russische wiskundige Chebyshev,
die belangrijke bijdragen leverde tot de statistiek, de kansrekening, de functieleer en de mechanica.

Hij is vooral gekend door de Chebyshev-ongelijkheid waarmee de wet van de grote aantallen wordt bewezen.
Die wet uit de kansrekening bewijst dat wanneer men een kansexperiment een heel groot aantal keer herhaalt,
de experimentele kans zal gelijk worden aan de theoretische kans.
Zo zal bv. bij 600 worpen met een dobbelsteen ongeveer 100 keer een zes worden gegooid
(terwijl men na 10 worpen nog geen enkele zes kan gegooid hebben).

Naar hem zijn ook de Chebyshev-veeltermen genoemd, die hij vond als oplossingen van een differentiaalvergelijking.

Dit zijn de eerste zes Chebyshev-veeltermen:

                  

                

Als je nu in de n-de veelterm x vervangt door cos α, dan bekom je een formule voor cos nα:
 
cos 2α = T₂(cos α) = 2cos² α  – 1
cos 3α = T₃(cos α) = 4cos³α  –  3cos α
cos 4α = T₄(cos α) = 8cos⁴ α – 8cos² α + 1
cos 5α = 16cos⁵ α – 20cos³ α + 5cos α
enzovoort ...

Het onderstaande driehoekig schema geeft een middel aan om de coëfficiënten te bepalen.

Elk getal uit de driehoek bekom je door vanaf die positie

alle getallen op de diagonaal naar rechtsboven bij elkaar op te tellen

en hiervan dan alle getallen op de diagonaal naar linksboven af te trekken.

Zo is bijvoorbeeld 18 = 5 + 1 + 0 – (-20) – 8.

08-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE KNUPPEL IN HET HOENDERHOK



Dit weekend gooide gewezen KU Leuven-rector André Oosterlinck
de knuppel in het hoenderhoek door erop te wijzen dat
"de gemiddelde leraar behoudsgezind is en een te laag intellectueel niveau heeft".

Dat er iets mis is met de lerarenopleiding en met de status van het lerarenberoep valt zeker niet te ontkennen.
Vaak is het beroep van leraar ook al niet meer een eerste keuze.
Maar dat er heel wat plichtsbewuste leraren zijn
die dagelijks enthousiast voor de klas staan,
 mag men zeker ook niet ontkennen!

Vijf voorstellen:



1. Zie toe op de instroom met een vakkengerichte proef en een taalproef.



2. Zorg voor een permanente opleiding en contact met het bedrijfsleven.



3. Bewaak de planlast en geef de leraar meer ruimte om met zijn vak bezig te zijn.



4. Zorg voor een beter beleid.
Vaak heb ik moeten vaststellen dat mensen
die het nu voor het zeggen hebben over onderwijskundige onderwerpen,
'wat vervreemd zijn' van wat er zich op de werkvloer werkelijk afspeelt.



5. Meer zorg (en financiën) voor de schoolgebouwen in het algemeen
en voor de infrastructuur in het bijzonder.

LINK: http://www.deredactie.be/permalink/1.1931580

07-04-2014 om 11:48 geschreven door Luc Gheysens  

Cahier nr. 40 in de reeks publicaties van T³ Vlaanderen is vanaf heden gratis beschikbaar.

Het cahier bevat 20 uitdagende opgaven voor leerlingen van de derde graad.

Je vindt het cahier hier in bijlage en alle vorige cahiers zijn beschikbaar op www.t3vlaanderen.be

Van dit lesmateriaal mag gratis gebruik gemaakt worden

.Maar misschien zorgden andere belevenissen dit weekend al voor een goed gevoel!

Bijlagen:
cahier_40.pdf (1 MB)   

STELLING VAN DE DUBBELE KOORDE



Claudius Ptolemaeus (ca. 87 - 150, Alexandrië)
gebruikte de wiskunde als hulpmiddel voor berekeningen in de astronomie.
In zijn boek Almagest geeft hij een samenvatting van de toenmalige kennis
over de astronomie en stelt hij koordentabellen op
waarmee hij afstanden berekent tussen punten op een cirkel.
In zijn werk vinden we ook enkele merkwaardige en originele stellingen terug
uit de meetkunde en de goniometrie.
Meer hierover lees je in het mooie artikel van Dick Klingens (zie bijlage).

We vermelden hier echter graag een minder bekende stelling
die ik zelf in het vierde jaar van mijn middelbare studies
als oefening meekreeg en toen niet direct kon bewijzen.

Vind jij een bewijs?

Tip. Zet jouw bril even recht op jouw neus en pas de stelling van Ptolemaeus toe voor een koordenvierhoek.

Bijlagen:
Koordentabel van Ptolemaeus.pdf (150.3 KB)