Vanaf 1852 verscheen in Frankrijk een nieuw wetenschappelijk tijdschrift COSMOS.
Hierin werden nieuwe uitvindingen, wetenschappelijke ontdekkingen en toepassingen beschreven.
In het blad verscheen er ook een wiskundige zoekersrubriek.

De komende weken vind je hier 40 problemen uit deze rubriek.
In bijlage vind je ook telkens (soms met een beetje vertraging)  mijn oplossing.
Maar misschien heb jij een andere of kortere oplossing?
Die is steeds welkom op lucgheysens60@gmail.com.
 
We geven je ook telkens een afbeelding mee met een woordje uitleg
van een uitvinding die rond 1850 de wereld verbaasde.

 

PROBLEEM 1

UITVINDING 1

Rond 1850 was de studie van de cycloïde blijkbaar een hype bij wiskundeleraars.
In wetenschappelijke tijdschriften verschenen heel wat artikels
waarin de merkwaardige eigenschappen van deze kromme werden toegelicht.
Op mijn blog ontdek je heel wat van die eigenschappen
als je bij 'zoeken in blog' het woord 'cycloïde' intypt.
Op de figuur zie je hoe een wiskundeleraar blijkbaar 'proefondervindelijk'
enkele eigenschappen wil verifiëren.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 1_oplossing.docx (34.8 KB)   

 

PROBLEEM 2

Een ingenieur beweert het volgende:
"Met het huidig aantal beschikbare machines kunnen we deze klus klaren in vijf dagen.
Als we over twee machines meer zouden beschikken, kunnen we dit werk uitvoeren in vier dagen."
Als we aannemen dat elke machine de karwei in dezelfde mate helpt afwerken,
hoe lang zou het dan duren om het werk af te maken
als men over vijf dergelijke machines zou beschikken?
                                     

UITVINDING 2

De klassieke systemen van ophanging voor venstergordijnen
zorgden er voor dat men enkel de onderste helft kon oprollen.
Hierdoor werd meestal maar het vloergedeelte van de kamer degelijk belicht.
Om het binnenvallende zonlicht optimaal te gebruiken
werd een systeem bedacht met een bijkomende as die in een gleuf kon rollen
waardoor men het gordijn tot helemaal bovenaan kon optrekken.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 2_oplossing.pdf (45.5 KB)   

 

PROBLEEM 3

UITVINDING 3

Met de opkomst van de elektriciteit ontwikkelde men al vlug
een motor voor huishoudelijke toepassingen.
Op de afbeelding zie je hoe een elektrische motor
werd gebruikt om een naaimachine aan te drijven.
De vier elektromagneten maakten dat de gehele constructie
erg log was en ruim 8 kilogram woog.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 3_oplossing.pdf (198.7 KB)   

Is een cirkel een vermomde driehoek?

Je kan in elk geval aan de hand van een driehoek 'verantwoorden' dat de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan πr²

als je aanneemt dat de omtrek van een cirkel gelijk is aan 2πr.

Kijk maar!

Bron: http://kismathclub.weebly.com

DOORDENKERTJE: Kan je nu ook uit de formule voor de oppervlakte van een bol de formule afleiden voor de inhoud van een bol?

SUGGESTIE: (1/3)(4πr²)(r).

ONDERZOEKSOPDRACHT. Wat is de driehoek van Reuleaux  en hoe bereken je de oppervlakte ervan?

27-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE STELLING VAN PYTHAGORAS

BEWIJS WONDER ZOORDEN

Versie 1

Versie 2

Versie 3

26-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

STELLING VAN PTOLEMAEUS

In een koordenvierhoek is het product van de diagonalen gelijk aan de som van de producten van de overstaande zijden.

BEWIJS ZONDER WOORDEN

Bron: www.cut-the-knot.org

25-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 4

UITVINDING 4

Rond 1850 waren en blijkbaar al vijf Amerikaanse steden
die over een elektriciteitsnet beschikten
dat voornamelijk diende voor de openbare verlichting.
Maar ook creatieve geesten zoals mr. Henry Gardner uit Boston
dachten na over nieuwe en praktische toepassingen.
 Hij kwam op het idee van een elektrische schoenpoetsmachine.
Het borsteltje draaide zo snel dat de schoensmeer naar alle kanten spatte.
Daarom werd het met een kapje overdekt
en werd een weerstand (R) aangebracht om de snelheid te regelen.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 4_oplossing.pdf (92.2 KB)   

DE STELLING VAN DESARGUES

De stelling van Desargues is een stelling uit de vlakke (projectieve) meetkunde,
genoemd naar de Franse wiskundige en ingenieur Girard Desargues (1591 - 1661).

Van twee driehoeken liggen de drie snijpunten van corresponderende zijden op één lijn,
dan en slechts dan als de drie verbindingslijnen van de corresponderende hoekpunten door één punt gaan.

Andere formulering:

Twee driehoeken zijn puntperspectivisch
als en slechts als ze lijnperspectivisch zijn.



ΔABC en ΔA'B'C' zijn puntperspectivisch
d.w.z. AA', BB' en CC' gaan door één punt.

ΔABC en ΔA'B'C' zijn lijnperspectivisch
d.w.z. de punten P, Q en R
(snijpunten van de paren overeenkomstige zijden)
liggen op één rechte.

KLASSIEK PROBLEEM

Hieronder zie je hoe je 10 muntstukjes zo kan neerleggen
dat ze in 10 rijtjes van 3 munten liggen.
Herken je hierin de stelling van Desargues?




Maar kan je ook 10 rijtjes van 3 munten vormen met slechts 9 muntstukjes?

Oplossing in bijlage.

     

Bijlagen:
Met 9 muntstukken 10 rijtjes van 3 muntstukken vormen.pdf (47.2 KB)   

STELLING VAN CEVA

Dit was een populaire stelling uit de vlakke meetkunde
die voor het eerst werd bewezen door de Italiaanse wiskundige en ingenieur
Giovanni Ceva in zijn boek De lineis rectis uit 1678.

Ook de omgekeerde stelling is waar en geeft dus een middel om te controleren
 dat drie rechten (één door elk hoekpunt van een driehoek) concurrent zijn.

Kan je via de omgekeerde stelling van Ceva aantonen 
dat de drie zwaartelijnen van een driehoek door één punt gaan?

HET PUNT VAN GERGONNE

Hieronder is de ingeschreven cirkel van een driehoek ABC getekend.
M is het middelpunt van deze cirkel.
De cirkel raakt aan de drie zijden in de punten X, Y en Z.
Kan je via de omgekeerde stelling van Ceva aantonen
dat de rechten AX, BY en CZ door één punt gaan?
Dit punt G noemt men het punt van Gergonne
naar de Franse wiskundige Joseph Gergonne (1771 - 1859).

Ja, ja, gewoon even rustig nadenken!

22-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

WISKUNDE IN DE KLOOSTERTUIN

Een kloostertuin heeft de vorm van een rechthoekig trapezium en wordt omgeven door vier muren.
De twee niet-evenwijdige zijden zijn 40 meter en 50 meter lang.
In het midden van de tuin staat een fontein en de abt beweert dat deze fontein op gelijke afstanden staat van de vier muren.

Wat is de oppervlakte van de tuin?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Wiskunde in de kloostertuin - oplossing.pdf (270.7 KB)   

WISKUNDE EN COCA-COLA



Toen ik op de middelbare schoolbanken zat, namen we in het vierde jaar deel
aan een interscholenwedstrijd die door Coca-Cola was georganiseerd.
Bij de 20 vragen zat er één wiskundevraag waar we toen dagenlang
met enkele leerlingen op hebben gezocht.
Gelukkig kwam onze wiskundeleraar ons toen even ter hulp,
want ongetwijfeld zouden we het antwoord niet zelf hebben gevonden.

Dit was de vraag:
Schrijf het getal 0, 857142857142857142...
(waarbij de periode van 6 cijfers zich eindeloos blijft herhalen)
in zijn binaire vorm.

Hoe schrijf je een willekeurig kommagetal tussen 0 en 1 in zijn binaire vorm?

Antwoord.
1. Vermenigvuldig het getal  met 2.                                                
2. Als het cijfer voor de komma (geheel gedeelte) 0 is noteer je 0   
en je vermenigvuldigt opnieuw met 2.
3. Als het cijfer voor de komma (geheel gedeelte) 1 is noteer je 1,   
je trekt dan 1 af van het getal (1 voor de komma weglaten)
en je vermenigvuldigt het resterende deel opnieuw met 2.
Ga zo door ...

Voor het getal 0, 857142857142857142... wordt dit:
0,857142... x 2 = 1,714285...     > noteer 1
0,714285... x 2 = 1,428571...    > noteer 1
0,428571... x 2 = 0,85714... > noteer 0
en vanaf hier treedt er herhaling op.

Besluit. De binaire schrijfwijze van 0, 857142857142857142...  is 0,110110110...
waarbij er na de komma een periode van 3 cijfers volgt.
 
 

DENKOEFENING
0, 857142857142857142...  = 857142/999999 = 6/7.
Kan je aantonen dat het binaire getal 0,110110110... gelijk is aan 6/7?
 
 
Oplossing in bijlage

Bijlagen:
Oplossing Coca-Cola-vraag.doc (93.5 KB)   

EXHAUSTIEMETHODE

De exhaustiemethode (Latijn: exhaurire = uitputten)
is een methode die de Oude Grieken toepasten
om de oppervlakte van vlakke gebieden te bepalen.
Ze verdeelden hierbij de vlakke figuur (veelhoek, paraboolsegment, cirkel ...)
in figuren waarvan ze de oppervlakte kenden (driehoeken, rechthoeken ...)
en probeerden de oppervlakte met steeds kleiner wordende figuren op te vullen.

Deze methode werd in de wiskunde voor het eerst toegepast door Eudoxus (4de eeuw v. Chr.)
en later met succes overgenomen door Archimedes (3de eeuw v. Chr.)
die hiermee in feite de basis legde voor de integraalrekening.

Archimedes slaagde er op die manier in de kwadratuur van een paraboolsegment op te lossen.
Hij toonde namelijk aan dat de oppervlakte van een paraboolsegment
bepaald door de koorde [AB] gelijk is aan (4/3). (opp. Δ ABC),
waarbij C het snijpunt is van de parabool met de rechte door het midden M van [AB]
die evenwijdig is met de as van de parabool.

Op de onderstaande figuur zie je hoe hij hiervoor te werk ging.
Op een ingenieuze manier slaagde hij erin aan te tonen dat
opp. Δ ACD + opp. Δ BCE = (opp. Δ ABC)/4.
Door het parboolsegment telkens via eenzelfde procédé verder op te vullen met driehoeken
bepaalde hij uiteindelijk de oppervlakte ervan.

 Kan je deze vondst van Archimedes bewijzen in een bijzonder geval (zie bijlage).
Je bent uitgedaagd!

In bijlage (onderaan deze pagina aanklikken) zit een artikel over Archimedes uit het tijdschrift Pythagoras.
Zeker de moeit waard om eens te lezen!

Bijlagen:
Archimedes - artikel uit tijdschrift Pythagoras.pdf (229.3 KB)   
Opgave integraalrekenen.pdf (76.7 KB)   

INHOUD VAN EEN PRISMOÏDE

Een prismoïde is een convex veelvlak (ruimtelijke figuur)
waarvan de hoekpunten in twee evenwijdige vlakken (grondvlak en bovenvlak) liggen.
De afstand tussen de twee evenwijdige vlakken noemt men de hoogte van de prismoïde.

Hieronder staat ëen prismoïde afgebeeld waarbij ook het middenvlak is getekend.

In een Egyptische papyrus die dateert van ongeveer 1890 v. Chr.
duikt voor het eerst een merkwaardige formule op voor het volume V van een prismoïde:

G = oppervlakte grondvlak, M = oppervlakte middenvlak, B = oppervlakte bovenvlak, h = hoogte.

Het was de Engelse wiskundige Thomas Simpson die in 1743 de formule in het algemeen bewees m.b.v. een bepaalde integraal.
Hiermee veralgemeende Simpson zijn gekende formule uit de numerieke integratie
om de oppervlakte van een vlak gebied bij benadering te berekenen:

Uitleg over de prismoïde vind je o.a. op http://www.pandd.nl/stereo/prismoide.htm

In de bijlage 'reconstrueren' we de formule van Simpson voor de inhoud van een prismoïde.

Bijlagen:
FORMULE VAN SIMPSON VOOR DE INHOUD VAN EEN PRISMOÏDE.pdf (174.5 KB)   

 

PROBLEEM 5

Bepaal drie verschillende getallen a, b en c als je weet dat                  
1) a, b en c drie opeenvolgende termen zijn van een rekenkundige rij;
2) b, a en c drie opeenvolgende termen zijn van een meetkundige rij; 
3) het product abc gelijk is aan 1000.                                                    

UITVINDING 5

Reeds rond 1850 vond een aantal mensen het bezoek aan een kapper een vervelende zaak:
tijdverlies, een dure aangelegenheid en de kans dat het haar veel te kort werd geknipt.
Daarom bedacht men deze mechanische haarknipper.
Het volstond de kammen op de juiste positie in te stellen
en dan het toestel even over het haar heen te bewegen
om zo een gepaste snelle knipbeurt uit te voeren.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 5_oplossing.pdf (153.8 KB)   

ONEVEN KWADRATEN

1, 9, 25, 49, 81 ...

Deze rij bestaat uit de kwadraten van de oneven natuurlijke getallen.

Merk op dat het verschil tussen twee opeenvolgende getallen steeds een achtvoud is.

Hoe is de n-de term van deze rij bepaald?

Expliciet voorschrift:  t_n = (2n – 1)².

Recursief voorschrift: t_n = t_n-1 + 8(n – 1) met t₁ = 1.

Op de onderstaande figuur zie je een bewijs zonder woorden voor deze recursieve formule.

Gezien?

16-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Door het inkrimpen van het aantal uren wiskunde
maken studenten in het secundair onderwijs jaar niet echt meer kennis met de wiskundige symbolentaal.
Verzamelingenleer en kwantoren komt niet meer voor als verplichte items in de leerplannen,
relaties en bepaalde functiebegrippen (injectie, surjectie, bijectie, permutatie) zijn geen gekende begrippen meer,
het sommatieteken wordt pas in de hoogste jaren ingevoerd,
een bewijs door volledige inductie komt pas sporadisch even aan bod ...

DOSSIER 1. SYMBOLENTAAL
zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
om studenten vanaf het vierde jaar van het secundair onderwijs 
wat bijkomende wiskundige impulsen te bezorgen.

Bijlagen:
Dossier 1 Symbolentaal.pdf (569.5 KB)   

Door het inkrimpen van het aantal uren wiskunde
maken studenten in het secundair onderwijs jaar niet echt meer kennis met (propositie)logica.
Nochtans vormt dit de basis voor het correct wiskundig redeneren.
Weet men nog wat een bewijs uit het ongerijmde is,
een bewijs door contrapositie,
een nodige en/of een voldoende voorwaarde ... ?

DOSSIER 2. LOGICA
zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
om studenten vanaf het vierde jaar van het secundair onderwijs 
wat bijkomende wiskundige impulsen te bezorgen.

Bijlagen:
Dossier 2 Propositielogica.pdf (441 KB)   

In de leerplannen van het secundair onderwijs hebben priemgetallen
en de theorie van grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud, modulorekenen ...
niet echt meer een plaats gekregen.
Nochtans zijn priemgetallen 'de atomen' van de getallenleer
en verdienen ze de nodige aandacht. 

DOSSIER 3. PRIEMGETALLEN
zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
om studenten vanaf het vierde jaar van het secundair onderwijs 
wat bijkomende wiskundige impulsen te bezorgen.

Bijlagen:
Dossier 3 Priemgetallen.pdf (552.8 KB)   

Door het inkrimpen van het aantal uren wiskunde
maken studenten in het secundair onderwijs jaar niet echt meer kennis met vectorrekenen.
Begrippen als vrije vectoren, scalair product, vectoriële vergelijking van een rechte ....
zijn geen basiskennis meer en stellingen uit de vlakke meetkunde
worden meestal niet meer met vectoren aangepakt.
Nochtans zijn dit de bouwstenen van de lineiare algebra.

DOSSIER 4. VECTOREN
zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
om studenten vanaf het vierde jaar van het secundair onderwijs 
wat bijkomende wiskundige impulsen te bezorgen.

Bijlagen:
Dossier 4 Vectoren.pdf (442.9 KB)   

Problem solving vormt de rode draad
doorheen de wiskundelessen in het secundair onderwijs.
Ondanks een vurig pleidooi om reeds vanaf het eerste jaar
aan de leerlingen een (aangepast) probleem van de week voor te leggen,
blijkt dit niet echt een populair voorstel te zijn.
Samenwerkend leren krijgt hierbij nochtans heel wat kansen.
Ook het omgaan met meerkeuzevragen is een techniek die men best 'al doende' aanleert.

DOSSIER 5. PROBLEM SOLVING
zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
om zo voor wat bijkomende wiskundige impulsen te zorgen.
De 60 problemen komen uit de South African Mathematics Olympiad
en we hebben ze opzettelijk in het Engels laten staan.
Talenkennis is immers onontbeerlijk om in de huidige wereld zijn weg te vinden.

Bijlagen:
Dossier 5 Problem Solving.pdf (258.2 KB)