Bij elke Lottotrekking kruisen gemiddeld 1 300 spelers de combinatie 7-14-21-28-35-42 aan. Geen enkele andere cijferreeks is zo populair. De spelers die deze combinatie invullen beseffen echter niet dat ze hiermee nooit 'de grote pot' kunnen winnen. Wanneer die combinatie zou winnen, dan moet de pot immers met 1300 spelers worden gedeeld. Zo zou een jackpot van 10 miljoen voor elk van deze winnaars slechts 7 692 euro opleveren.
Dat toch zoveel spelers geloven dat veelvouden van 7 geluk brengen, heeft natuurlijk te maken met bijgeloof en met de Bijbel: de 7 scheppingsdagen, de 7 vette jaren, Noach wachtte 7 dagen vooraleer hij een duif losliet, de 7 hoofdzonden, de 7 werken van barmhartigheid ... Ook sprookjes spelen wellicht onbewust een rol bij de keuze: Sneeuwwitje en de 7 Dwergen, De Wolf en de 7 Geitjes .
En misschien brengt de tafel van 7 niet-wiskundigen op nog andere ideeën ...
31 dagen tellen de twee zomermaanden juli en augustus. Geniet ervan!
Kan je door de cijfers 5, 6, 7 en 8 elk één keer te gebruiken en via de vier hoofdbewerkingen als uitkomst 28, 29, 30 en 31 bekomen? De vijf leden van de groep STEPS geven je hiervoor iets meer dan drie minuten tijd.
*********************************************************************************************** 65 is het kleinste getal met de eigenschap dat als je er het getal achterstevoren (=56) van aftrekt of bij optelt, je telkens een kwadraatgetal bekomt: 65 56 = 32 en 65 + 56 = 112.
Op 20 juni 2014 werd de Amerikaanse zanger Lionel Richie 65 jaar. We hadden het geluk hem twee jaar geleden te zien optreden in het Antwerps sportpaleis. En uiteraard zorgde zijn wereldhit 'Dancing on the ceiling' ook daar weer voor de nodige ambiance.
Zelden wordt een wiskundig spelletje een echte internethype. Dit is nu wel het geval met '2048', een spel bedacht door Gabriele Cirulli. Je kunt het spelletje spelen via een app of online op http://gabrielecirulli.github.io/2048/
Het is de bedoeling op een 4 x 4 - rooster telkens twee cellen met gelijke machten van twee samen te voegen om zo weer een hogere macht van twee te bekomen. Je wint het spel als je erin slaagt in een cel uiteindelijk 2048 = 211te bekomen.
Natuurlijk kan je ook proberen hogere machten van 2 te bekomen!
Zopas zijn we terug thuis na een trip op Kos (Hotel Kipriotis Panorama in Psalidi - kamer 132). We genoten er van de vroege zomerzon en de opaalkleurige Egeïsche zee, van retsina, souvlaki en tzatziki. We wandelden er in de voetsporen van Hippocrates, de grondlegger van de moderne geneeskunde en bezochten er o.a. het Asklepion, 'het oudste ziekenhuis ter wereld' en het bergdorpje Zia. Alleen al het uitzicht het telkens iets magisch ...
Naast
het feit dat 132 het nummer was van onze hotelkamer op Kos, is 132
ook een zogenaamd Osirisgetal
omdat
het gelijk is aan de som van alle getallen van twee cijfersdie men met de
cijfers van het getal 132 kan vormen:
12 + 13
+ 21 + 23 + 31 + 32 = 132.
Controleer eens dat 264 en 396 (toevallig veelvouden van 132) ook Osirisgetallen zijn.
Wiskundigen kwamen op deze vreemde naam omdat de Egyptische god Osiris blijkbaar na zijn dood in stukken werd gesneden die zijn echtgenote Osiris weer bijeenzocht en waarmee ze haar overleden man reconstrueerde.
De komende vier jaar staat de Eerste Wereldoorlog in de belangstelling. De moord op aartshertog Frans Ferdinand van Oostenrijk, de troonopvolger van Oostenrijk-Hongarije, door een Bosnisch-Servische nationalist op 28 juni 1914, was de directe aanleiding van de oorlog.
WO I begon op 28 juli 1914 en duurde tot 11 november 1918.
Deze onmenselijke loopgravenoorlog zou miljoenen slachtoffers maken en de datum van 22 april 1915 zal voor altijd verbonden blijven met de eerste chemische aanval met chloorgas door de Duitsers in de omgeving van Ieper.
Dit is voor mij dé foto die het best de ellende van WO I weergeeft. Britse soldaten op weg naar de hulppost na een gifaanval in de streek rond Ieper in 1915. Velen zouden blind worden of sterven na een lange lijdensweg ...
De komende maanden trek ik er even op uit in de Westhoek ...
Vanaf 1852 verscheen in Frankrijk een nieuw wetenschappelijk tijdschrift COSMOS. Hierin werden nieuwe uitvindingen, wetenschappelijke ontdekkingen en toepassingen beschreven. In het blad verscheen er ook een wiskundige zoekersrubriek.
De komende weken vind je hier 40 problemen uit deze rubriek. In bijlage vind je ook telkens (soms met een beetje vertraging) mijn oplossing. Maar misschien heb jij een andere of kortere oplossing? Die is steeds welkom op lucgheysens60@gmail.com.
We geven je ook telkens een afbeelding mee met een woordje uitleg van een uitvinding die rond 1850 de wereld verbaasde.
PROBLEEM 1
UITVINDING 1
Rond 1850 was de studie van de cycloïde blijkbaar een hype bij wiskundeleraars. In wetenschappelijke tijdschriften verschenen heel wat artikels waarin de merkwaardige eigenschappen van deze kromme werden toegelicht. Op mijn blog ontdek je heel wat van die eigenschappen als je bij 'zoeken in blog' het woord 'cycloïde' intypt. Op de figuur zie je hoe een wiskundeleraar blijkbaar 'proefondervindelijk' enkele eigenschappen wil verifiëren.
Een ingenieur beweert het volgende: "Met het huidig aantal beschikbare machines kunnen we deze klus klaren in vijf dagen. Als we over twee machines meer zouden beschikken, kunnen we dit werk uitvoeren in vier dagen." Als we aannemen dat elke machine de karwei in dezelfde mate helpt afwerken, hoe lang zou het dan duren om het werk af te maken als men over vijf dergelijke machines zou beschikken?
UITVINDING 2
De klassieke systemen van ophanging voor venstergordijnen zorgden er voor dat men enkel de onderste helft kon oprollen. Hierdoor werd meestal maar het vloergedeelte van de kamer degelijk belicht. Om het binnenvallende zonlicht optimaal te gebruiken werd een systeem bedacht met een bijkomende as die in een gleuf kon rollen waardoor men het gordijn tot helemaal bovenaan kon optrekken.
Met de opkomst van de elektriciteit ontwikkelde men al vlug een motor voor huishoudelijke toepassingen. Op de afbeelding zie je hoe een elektrische motor werd gebruikt om een naaimachine aan te drijven. De vier elektromagneten maakten dat de gehele constructie erg log was en ruim 8 kilogram woog.
Rond 1850 waren en blijkbaar al vijf Amerikaanse steden die over een elektriciteitsnet beschikten dat voornamelijk diende voor de openbare verlichting. Maar ook creatieve geesten zoals mr. Henry Gardner uit Boston dachten na over nieuwe en praktische toepassingen. Hij kwam op het idee van een elektrische schoenpoetsmachine. Het borsteltje draaide zo snel dat de schoensmeer naar alle kanten spatte. Daarom werd het met een kapje overdekt en werd een weerstand (R) aangebracht om de snelheid te regelen.
De stelling van Desargues is een stelling uit de vlakke (projectieve) meetkunde, genoemd naar de Franse wiskundige en ingenieur Girard Desargues (1591 - 1661).
Van twee driehoeken liggen de drie snijpunten van corresponderende zijden op één lijn, dan en slechts dan als de drie verbindingslijnen van de corresponderende hoekpunten door één punt gaan.
Andere formulering:
Twee driehoeken zijn puntperspectivisch als en slechts als ze lijnperspectivisch zijn.
ΔABC en ΔA'B'C' zijn puntperspectivisch d.w.z. AA', BB' en CC' gaan door één punt.
ΔABC en ΔA'B'C' zijn lijnperspectivisch d.w.z. de punten P, Q en R (snijpunten van de paren overeenkomstige zijden) liggen op één rechte.
KLASSIEK PROBLEEM
Hieronder zie je hoe je 10 muntstukjes zo kan neerleggen dat ze in 10 rijtjes van 3 munten liggen. Herken je hierin de stelling van Desargues?
Maar kan je ook 10 rijtjes van 3 munten vormen met slechts 9 muntstukjes?
Dit was een populaire stelling uit de vlakke meetkunde die voor het eerst werd bewezen door de Italiaanse wiskundige en ingenieur Giovanni Ceva in zijn boek De lineis rectis uit 1678.
Ook de omgekeerde stelling is waar en geeft dus een middel om te controleren dat drie rechten (één door elk hoekpunt van een driehoek) concurrent zijn.
Kan je via de omgekeerde stelling van Ceva aantonen dat de drie zwaartelijnen van een driehoek door één punt gaan?
HET PUNT VAN GERGONNE
Hieronder is de ingeschreven cirkel van een driehoek ABC getekend. M is het middelpunt van deze cirkel. De cirkel raakt aan de drie zijden in de punten X, Y en Z. Kan je via de omgekeerde stelling van Ceva aantonen dat de rechten AX, BY en CZ door één punt gaan? Dit punt G noemt men het punt van Gergonne naar de Franse wiskundige Joseph Gergonne (1771 - 1859).
Een kloostertuin heeft de vorm van een rechthoekig trapezium en wordt omgeven door vier muren. De twee niet-evenwijdige zijden zijn 40 meter en 50 meter lang. In het midden van de tuin staat een fontein en de abt beweert dat deze fontein op gelijke afstanden staat van de vier muren.
Toen ik op de middelbare schoolbanken zat, namen we in het vierde jaar deel aan een interscholenwedstrijd die door Coca-Cola was georganiseerd. Bij de 20 vragen zat er één wiskundevraag waar we toen dagenlang met enkele leerlingen op hebben gezocht. Gelukkig kwam onze wiskundeleraar ons toen even ter hulp, want ongetwijfeld zouden we het antwoord niet zelf hebben gevonden.
Dit was de vraag: Schrijf het getal 0, 857142857142857142... (waarbij de periode van 6 cijfers zich eindeloos blijft herhalen) in zijn binaire vorm.
Hoe schrijf je een willekeurig kommagetal tussen 0 en 1 in zijn binaire vorm?
Antwoord. 1. Vermenigvuldig het getal met 2. 2. Als het cijfer voor de komma (geheel gedeelte) 0 is noteer je 0 en je vermenigvuldigt opnieuw met 2. 3. Als het cijfer voor de komma (geheel gedeelte) 1 is noteer je 1, je trekt dan 1 af van het getal (1 voor de komma weglaten) en je vermenigvuldigt het resterende deel opnieuw met 2. Ga zo door ...
Voor het getal 0, 857142857142857142... wordt dit: 0,857142... x 2 = 1,714285... > noteer 1 0,714285... x 2 = 1,428571... > noteer 1 0,428571... x 2 = 0,85714... > noteer 0 en vanaf hier treedt er herhaling op.
Besluit. De binaire schrijfwijze van 0, 857142857142857142... is 0,110110110... waarbij er na de komma een periode van 3 cijfers volgt.
DENKOEFENING 0, 857142857142857142... = 857142/999999 = 6/7. Kan je aantonen dat het binaire getal 0,110110110... gelijk is aan 6/7?
De exhaustiemethode (Latijn: exhaurire = uitputten) is een methode die de Oude Grieken toepasten om de oppervlakte van vlakke gebieden te bepalen. Ze verdeelden hierbij de vlakke figuur (veelhoek, paraboolsegment, cirkel ...) in figuren waarvan ze de oppervlakte kenden (driehoeken, rechthoeken ...) en probeerden de oppervlakte met steeds kleiner wordende figuren op te vullen.
Deze methode werd in de wiskunde voor het eerst toegepast door Eudoxus (4de eeuw v. Chr.) en later met succes overgenomen door Archimedes (3de eeuw v. Chr.) die hiermee in feite de basis legde voor de integraalrekening.
Archimedes slaagde er op die manier in de kwadratuur van een paraboolsegment op te lossen. Hij toonde namelijk aan dat de oppervlakte van een paraboolsegment bepaald door de koorde [AB] gelijk is aan (4/3). (opp. Δ ABC), waarbij C het snijpunt is van de parabool met de rechte door het midden M van [AB] die evenwijdig is met de as van de parabool.
Op de onderstaande figuur zie je hoe hij hiervoor te werk ging. Op een ingenieuze manier slaagde hij erin aan te tonen dat opp. Δ ACD + opp. Δ BCE = (opp. Δ ABC)/4. Door het parboolsegment telkens via eenzelfde procédé verder op te vullen met driehoeken bepaalde hij uiteindelijk de oppervlakte ervan.
Kan je deze vondst van Archimedes bewijzen in een bijzonder geval (zie bijlage). Je bent uitgedaagd!
In bijlage (onderaan deze pagina
aanklikken) zit een artikel over Archimedes uit het tijdschrift Pythagoras.
Zeker de moeit waard om eens te lezen!
Oplossing in bijlage.
Kan je deze vondst van Archimedes bewijzen in een bijzonder geval (zie bijlage).
