In een rechthoekige driehoek construeert men op de schuine zijde de rechthoek met de grootst mogelijke oppervlakte.
In de drie hoeken van de driehoek ontstaat zo een rechthoekig driehoekje.
De oppervlakte van de ingeschreven cirkel van het grootste driehoekje is dan gelijk
aan de som van de oppervlakten van de ingeschreven cirkels van de twee andere driehoekjes
Kan je dat bewijzen?
Opmerking. De drie ingeschreven cirkels noemen we daarom Pythagorese cirkels.
En ja, de drie koningen hebben het vandaag te druk om je te helpen bij het bewijs.
Zelf zoeken is dus de boodschap (of direct de bijlage openen)!
Collega Wim Haazen (lees hieronder zijn reactie) zorgde zelfs voor een knap en kort bewijs. Merci beaucoup!
Hallo Luc,
Aangezien de opp. van de
driehoek met de rode cirkel ¼ deel is van de grote driehoek,
en de geconstrueerde rechthoek de helft is van de driehoek
geldt natuurlijk dat de som van de oppervlaktes van de driehoeken met de groene
cirkels gelijk is aan de oppervlakte van de driehoek met de rode cirkel
en aangezien de driehoeken allemaal gelijkvormig zijn,
geldt dat ook voor hun ingeschreven cirkels.
Projecteer een willekeurig punt binnen een willekeurige driehoek op de drie zijden van de driehoek. Elke zijde wordt zo verdeeld in twee stukken. Construeer een vierkant op elk van de zes lijnstukken. Dan is de som van de oppervlakte van de drie rode vierkanten gelijk aan de som van de oppervlakten van de drie groene vierkanten.
Kan je dat bewijzen?
Tip. Blijf kalm en pas de stelling van Pythagoras toe.
Of als je frustraties wilt vermijden: kijk direct naar het bewijs in de bijlage.
Op vier zijden van een parallellogram construeert men naar buiten toe een vierkant.
Dan zijn de middelpunten van deze vier vierkanten de hoekpunten van een vierkant.
Tips voor het bewijs zitten in de bijlage.
Met behulp van de cosinusregel kan je bovendien aantonen dat de oppervlakte van het grootste vierkant gelijk is aan de oppervlakte van het parallellogram vermeerderd met de helft van de oppervlakte van elk van de twee soorten kleinere vierkanten!
Volgens de onderstaande Google-doodle was 2014 het jaar van het WK-voetbal in Brazilië, van de Ice Bucket Challenge van de landing van Philae op komeet 67P/Churyomov-Gerasimenko en volgens mij ook een beetje van Laura Moeneclay.
Laura is (15 jaar) en woont op een boerderij in het West-Vlaamse Poperinge. Ze verbaasde onlangs heel Vlaanderen door het feit dat ze eerste 4000 cijfers na de komma van het getal pi kan opzeggen.
Luc Janus vermeldt op de onderstaande prent de getallen 3981 en 12191 samen met pi.
Zie jij direct een verband met Laura en Boe! ?
For Laura - Luc Janus
Laura in de stal bij haar thuis samen met de koe met oornummer 3981.
Een pi-weetje: in de reeks cijfers na de komma van het getal pi komt 3981 voor het eerst voor op plaats nummer 12191.
Laura M. is een uniek geval: ze vindt pi een uitdagend getal. Ze kan veel cijfers ervan citeren, houdt niet van wiskunde studeren, maar wel van haar koetjes op stal.
Volgens de onderstaande Google-doodle was 2014 het jaar van het WK-voetbal in Brazilië, van de Ice Bucket Challenge van de landing van Philae op komeet 67P/Churyomov-Gerasimenko en volgens mij ook een beetje van Laura Moeneclay.
Laura is (15 jaar) en woont op een boerderij in het West-Vlaamse Poperinge. Ze verbaasde onlangs heel Vlaanderen door het feit dat ze eerste 4000 cijfers na de komma van het getal pi kan opzeggen.
Luc Janus vermeldt op de onderstaande prent de getallen 3981 en 12191 samen met pi.
Zie jij direct een verband met Laura en Boe! ?
For Laura - Luc Janus
Laura in de stal bij haar thuis samen met de koe met oornummer 3981.
Een pi-weetje: in de reeks cijfers na de komma van het getal pi komt 3981 voor het eerst voor op plaats nummer 12191.
Laura M. is een uniek geval: ze vindt pi een uitdagend getal. Ze kan veel cijfers ervan citeren, houdt niet van wiskunde studeren, maar wel van haar koetjes op stal.
In een gelijkbenig trapezium PQRS is b de kleine basis en B de grote basis, h is de hoogte en d is de lengte van de twee diagonalen. Als b = h en B = d, toon dan aan dat b/B = 3/5.
UITVINDING 21
Deze gaslamp diende om gevleugelde insecten te vangen. In een soort metalen emmer die langs vier kanten open was plaatste men een carbidlamp (ook wel carburelamp genoemd). De warmte en schadelijke dampen werden via een kegelvormige trechter afgevoerd. De insecten kwamen 's avonds op het licht af en vlogen letterlijk tegen de lamp.
Hiervoor bestaan er verschillende 'bewijzen' waarbij het ene bewijs al vindingrijker is dan het andere. We geven hier het 'bewijs' van de beroemde Indische wiskundige Srinivasa Ramanujan zoals het in één van zijn notitieboeken stond opgetekend.
Vertrek van de som c = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... en schrijf daaronder de som voor 4c.
Trek beide oneindige sommen van elkaar af zoals hieronder staat vermeld om zo -3c te bekomen.
Hoeveel ballen moeten er in je kerstboom en hoeveel meter lampjes kan je best voorzien?
Hoe groot mag de piek of de kerstster in de top zijn?
En hoe lang moet de glinsterende slinger of het kleurrijke lint zijn dat in de boom hangt?
Om te beginnen zijn er de lichtjes: de lengte van de ideale slinger is de lengte van de boom (in cm) vermenigvuldigd met het getal pi .
Voor de lengte van de piek of de hoogte van de ster in de top neem je lengte van de kerstboom (in cm) gedeeld door pi in het kwadraat.
Voor het aantal kerstballen deel je de hoogte van je boom (in cm) door 12 en vermenigvuldig je de uitkomst met de vierkantswortel uit 2 maal pi. Rond de uitkomst af.
Voor de lengte van het lint of de glinsterende slinger vermenigvuldig je de hoogte van de boom (in cm) eerst met pi en daarna nog eens met 13/8.
Voor wie een boom heeft die 1,50 meter hoog is betekent dat
een lichtkabel van 4,70 meter, een piek van 15 cm, 31 ballen en een slinger van 7,65 meter.
Voor deze berekeningen baseerde ik me op het onderzoek van enkele studenten van de universiteit van Sheffield.
Ik meen dat hun formules lichtjes (!) moesten gecorrigeerd worden.
Merk op dat naast het getal π ook de Fibonaccigetallen 8 en 13 in de formules opduiken.
Ptolemaeus gebruikte de volgende benamingen voor het 60ste en het 360ste deel van een cirkel: pars minuta prima (eerste klein deel) en pars minuta secunda (tweede klein deel). Dit verklaart meteen de oorsprong van de termen minuut en seconde.
Vandaag nemen we afscheid van een collega, een gedreven wiskundeleraar, maar vooral een goede vriend ...
Frans Vandendriessche overleed op 8 december 2014 na een korte ziekte. Ik had het geluk les te krijgen van Frans in 1965-1966, zijn eerste schooljaar in het Kortrijkse Sint-Jozefinstituut.
Daar maakte hij gedurende meer dan 40 jaar jongens en later ook meisjes enthousiast voor de getallenleer, de meetkunde en de beginselen van de algebra.
Frans bleef ook trouw mijn wiskundeblog volgen.
Als vakbegeleider wiskunde van DPB-Brugge kon ik hem in juni 2008 een eresaluut brengen in één van zijn laatste lessen.
In naam van zo veel oudleerlingen: dankjewel, Frans.
