Inhoud blog
  • 30 april 2019
  • 29 april 2019
  • 28 april 2019
  • 27 april 2019
  • 26 april 2019
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    27-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (11)

    NUM'ART

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    ************************************************************

    11

    Simon's cat - Luc Janus

    Het is me wat:

    de oortjes van een kat!

    En zeg nu eens zelf:

    doen ze je ook denken aan 11?

    *************************************************************

     File:PascalTriangleAnimated2.gif

    De driehoek van Pascal heeft een 'magisch' verband met het getal 11.

      11= 11,  112 = 121, 113 = 1331 en 114 = 14641 en dat zijn vier palindroomgetallen.

    Hieronder zie je nog een magische driehoek met magische constante 11.

    ************************************************************************************
    Hoe controleer je of een natuurlijk getal deelbaar is door 11?

    Eerste manier: pas het gekende criterium voor deelbaarheid door 11 toe.
    54 637 is deelbaar door 11 omdat 5 –  4  + 6 –  3 + 7 deelbaar is door 11.

    Tweede manier. Trek het laatste cijfer van het getal af van het getal gevormd door de overige cijfers.
    Herhaal deze bewerking. Als het proces eindigt op 0 is het oorspronkelijke getal deelbaar door 11.
    Zo is 5 463 – 7 = 5456 en 545 – 6 = 539 en 53 –  9 = 44 en 4 – 4 = 0. Dus is 54 637 een 11-voud.

    Lees in dit verband ook de bijlage.

    ************************************************************************************

    En wat hebben katten met muizen?
    Simon's cat suggereert een antwoord op deze vraag.



    © 2011

    Bijlagen:
    Criterium voor 11-voud.pdf (150.3 KB)   

    27-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    26-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het ingesloten vierkant

    PROBLEEM VAN HET INGESLOTEN VIERKANT


    Op de bovenstaande figuur staat een vierkant met een oppervlakte van 16 cm² afgebeeld

    dat is ingesloten door twee gelijke aan elkaar rakende cirkels en een rechte lijn.

    Kan je bewijzen dat de beide cirkels een oppervlakte van π dm² hebben?

    Oplossing in bijlage!

    WEETJE

    Sore Winner

    Waarom is een boksring een vierkant?

    Een atavisme ( het Latijnse woord atavus = voorvader) is een uitdrukking
    die door nakomelingen is overgenomen en verwijst naar een term die oorspronkelijk in gebruik was.

     Het woord boksring is  hiervan een voorbeeld

    Vroeger werden gevechten op de grond in een afgebakende  cirkel uitgevochten.
    Pas in 1743 werden de eerste officiële boksregels opgesteld door een zekere Engelsman Jack Broughton.
    Hij stelde voor om een rechthoekig gebied met enkele palen en touwen af te bakenen.
    De term boksring bleef voortbestaan, maar het was nu wel een cirkel
    die in het midden van het afgebakend gebied aanwezig was en waarin  het gevecht werd gestart.

    De eerste vierkante boksring werd geïntroduceerd in 1838 door de Pugilistic Society.
    Het woord was toen al honderden jaren ingeburgerd en het gevecht was ook toen al erg populair.
    Vandaar dat ze gekozen hebben om de naam te behouden.
    En dat verklaart waarom een boksring een vierkant is.


    Bijlagen:
    PROBLEEM VAN HET INGESLOTEN VIERKANT OPGELOST.pdf (167.4 KB)   

    26-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    25-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Twee geldraadseltjes

    GELDRAADSELTJE 1

    spaarvarken-bewegende-animatie-0018

    Jimmy haalde vijf opeenvolgende weken een bedrag uit zijn spaarvarken.

    De eerste week haalde hij er de helft uit, dan een derde, dan een kwart,

    dan een vierde, daarna het vijfde deel en tenslotte het zesde deel van het resterende bedrag.

    Er zit nu nog 50 euro in het spaarvarken.

    Hoeveel geld zat er oorspronkelijk in het spaarvarken van Jimmy?

    OPLOSSING

    €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

    GELDRAADSELTJE 2

    Irma komt aan het loket en vraagt de bankbediende twee biljetten van 50 euro en een aantal biljetten van 10 euro.

    De bankbediende is echter verstrooid en wisselt het aantal biljetten van beide soorten om.

    Pas wanneer Irma thuis is, telt ze het bedrag na en ze blijkt dubbel zo veel gekregen te hebben dan ze vroeg.

    Welk bedrag had Irma gevraagd?

    Euro graphics Euro graphics

    OPLOSSING

    Noem a het gevraagde aantal biljetten van 10 euro.

    Uit 50a + 20 = 2(100 + 10a) volgt dat a = 6. Irma vroeg dus 160 euro.

    25-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    24-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De mysterieuze ring


    DE MYSTERIEUZE RING


    Beschouw twee concentrische cirkels, waarbij de kleinste cirkel als oppervlakte π  heeft.

    Een koorde [AB] van de grote cirkel en een koorde [CD] van de kleine cirkel snijden elkaar loodrecht in D.

    Stel |AD| = a, |BD| = b en |CD| = c.

    Als a² + b² + c² = 6, dan is de oppervlakte van de ring tussen beide cirkels eveneens gelijk aan π .

    Bewijs dit!

    File:Concentric-circles-animated-2.gif

    Merk op dat bij twee gegeven concentrische cirkels het getal a² + b² + c² constant is en dus niet afhangt van de ligging van het punt D.

    Hoe bewijs je dit op? Even rustig nadenken of vlug de bijlage lezen!

    cute animated GIF


    Bijlagen:
    DE MYSTERIEUZE RING OPGELOST.pdf (180.9 KB)   

    24-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    23-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De verschrikkelijke sneeuwman

    DE VERSCHRIKKELIJKE SNEEUWMAN

    De wiskundeleraar vraagt elk jaar rond deze tijd aan de leerlingen om een sneeuwman te tekenen die aan enkele voorwaarden voldoet.

    De sneeuwman zelf bestaat uit drie aan elkaar rakende cirkels van toenemende grootte.

    Ze moeten een gemeenschappelijke raaklijnen hebben en de afstanden tussen de raakpunten moeten gelijk zijn aan √2 en √8 (zie voorbeeld hieronder).

    Een schrandere leerling merkte op dat de oppervlakte van de middelste cirkel dan gelijk is aan π.

    Kan je dat bewijzen?

    DE VERSCHRIKKELIJKE SNEEUWMAN

    De wiskundeleraar vraagt elk jaar rond deze tijd aan de leerlingen om een sneeuwman te tekenen die aan enkele voorwaarden voldoet.

    De sneeuwman zelf bestaat uit drie aan elkaar rakende cirkels van toenemende grootte.

    Ze moeten een gemeenschappelijke raaklijnen hebben en de afstanden tussen de raakpunten moeten gelijk zijn aan √2 en √8 (zie voorbeeld hieronder).

    Een schrandere leerling merkte op dat de oppervlakte van de middelste cirkel dan gelijk is aan π.

    Kan je dat bewijzen?

    Snowman Animation photo SnowManAnimation.gif


    Wie snel het hoofd verliest bij het rekenwerk kan beter direct de bijlage raadplegen!

    Maar wellicht vind jij nog een eenvoudiger bewijs met behulp van gelijkvormige driehoeken?


    Snowmen - Luc Janus

    Bijlagen:
    HET PROBLEEM VAN DE SNEEUWMAN OPGELOST.pdf (184.4 KB)   

    23-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    22-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Een pikant vierkant

    EEN PI-KANT VIERKANT


    In een vierkant waarvan de zijden lengte   hebben construeert men

    vier congruente rechthoekige driehoeken en een vierkant

    zoals op de onderstaande figuur is aangeduid.

    Kan je bewijzen dat de oppervlakte van de vijf ingeschreven cirkels gelijk is aan π?



     

    Oplossing: zie bijlage


    Picture of Play with Math: Make Animated GIF and HTML5

    Bijlagen:
    EEN PI-KANT VIERKANT OPGELOST.pdf (189.6 KB)   

    22-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    21-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Goed aangeschreven

    West-Vlaamse student staat goed aangeschreven

    Bron: Belga


    ©THINKSTOCK

    De slaagcijfers van studenten uit West-Vlaanderen in het hoger onderwijs zijn beter dan die van studenten uit andere provincies.
    Dat heeft de krant De Standaard onlangs bericht.
    40 procent van hen slaagt erin zijn bachelor in de voorziene drie jaar af te ronden, gemiddeld is dat 34 procent.
    De prestaties van de andere provincies liggen dichter bij dat gemiddelde.

    Onderzoekers en waarnemers schrijven die verschillen onder meer toe aan een meer geïnformeerde studiekeuze.
    Dat is ook af te lezen uit het feit dat West-Vlamingen in verhouding meer voor de hogeschool dan voor de universiteit kiezen.
    Ook de vaststelling dat er meer discipline heerst in de klassen van het West-Vlaams secundair onderwijs wordt een verklaring genoemd.

    cat animated GIF

    High five!

    **********************************************************************************************************

    In een vroegere bijdrage op mijn blog kon je al lezen waarom de ingeschreven cirkel van een 3-4-5-driehoek

     (een rechthoekige driehoek waarvan de zijden lengte 3, 4 en 5 hebben) als oppervlakte π heeft.

    Maar kan je nu ook verklaren waarom de drie aangeschreven cirkels in dat geval als oppervlakte 4π, 9π en 36π hebben?



    De oplossing is wellicht niet zo voor de hand liggend, maar de bijlage zet je zeker op de goede weg!

    Bijlagen:
    FORMULE VOOR DE STRAAL VAN EEN AANGESCHREVEN CIRKEL.pdf (169.5 KB)   

    21-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    20-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (xy = 1)

    NUM'ART

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    **************************************************************************************************

     1= xy

    Hyperbolic - Luc Janus

    De vergelijking xy = 1 stelt in de vlakke (Euclidische) meetkunde een hyperbool voor.

    Wiskundigen bedachten echter ook andere soorten meetkunde.

    De schijf van Poincaré (google-opdracht voor wie hier meer wil over weten)
    geeft bijvoorbeeld aanleiding tot een hyperbolische meetkunde.

    Poincare hyperbolic disk


    **************************************************************************************************

     Een eenbladige hyperboloïde is een regeloppervlak.

    Dit is een oppervlak waarbij door elk punt minstens één rechte (beschrijvende) gaat die volledig op het oppervlak ligt.

    Op de onderstaande animatie kan je dit duidelijk zien.



    Collega Jos Leys maakte me attent op het onderstaande filmpje. 
    Het toont een experimentele opstelling in het Science Museum in Valencia
    waarbij een rechte staaf blijkbaar probleemloos door een kromme opening gaat.
    Zie je direct het verband met de hyperboloïde?

    *************************************************************************************************

    En mocht je nog niet helemaal overtuigd zijn ...

    The hyperboloid of one sheet is a ruled surface: through all of its point, there is a straight line that lies on the surface. Ruled surfaces can always be described (at least locally) as the set of points swept by a moving straight line.



    20-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    19-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De maanillusie

    DE MAANILLUSIE

    Sedert de oudheid hebben wetenschappers zoals Archimedes, Ptolemaeus, Leonardo Da Vinci en Descartes geprobeerd
    een verklaring te vinden voor het feit dat de maan schijnbaar veel groter is wanneer ze dicht bij de horizon staat.
    Verschillende foto's ‘bewijzen’ het bestaan van zo een 'supermaan'.

    Volgens een recente theorie zou de illusie kunnen verklaard worden via convergence micropsia.
    Met deze Engelse term duiden wetenschappers aan dat onze hersenen ons wijs maken
    dat wanneer de maan dicht bij de horizon staat, ze ver van ons af staat en vrij groot is.
    Wanneer ze echter hoog aan de hemel staat, 'zien' onze hersenen ze kleiner omdat ze denken dat ze dichterbij staat.
    De onderstaande figuur verduidelijkt dit:
    de witte cirkeltjes stellen de maan voor zoals ze werkelijk is
    en de zwarte cirkeltjes hoe onze hersenen ze 'zien'.

        

    Het volgende Youtubefilmpje behandelt dit merkwaardig fenomeen, waarover het laatste woord nog niet gezegd is.




    **************************************************************************************************

    Kan je nu ook het onderstaande 'maantjesprobleem' oplossen?


    Twee cirkels raken elkaar uitwendig in een punt E.

    [AB] en [CD] zijn middellijnen van deze twee cirkels die loodrecht staan op de rechte door hun middelpunten.

    Een derde cirkel met middelpunt M gaat door de punten A, B, C en D.

    Toon aan dat de oppervlakte van  de twee 'groene maantjes' gelijk is aan de oppervlakte van de twee 'blauwe maandelen'.

    animated-moon-image-0019

    Oplossing in bijlage!


    Bijlagen:
    OPLOSSING VAN HET MAANTJESPROBLEEM.pdf (184.9 KB)   

    19-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    18-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.3-6-9-12



    3-6-9-12 First Impression - Luc Janus

    De rij getallen 3, 6, 9, 12 heeft wel een bijzondere betekenis gekregen.

    Voor de ene doen ze wellicht denken aan een klok en voor de andere misschien wel aan de vier seizoenen.


    Luc Janus vertaalde hier beide associaties op een artistieke manier in twee prenten. 

    3-6-9-12 Second Impression - Luc Janus

    ******************************************************************************************************************


    Een leuke 3-6-9-12-vraag is de volgende: kan je een rechthoek vullen met

    3 vierkanten van 3 op 3, 6 vierkanten van 6 op 6, 9 vierkanten van 9 op 9 en 12 vierkanten van 12 op 12?

        

          Yes, we can!

    Bron: http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0106.html .

    community animated GIF

    18-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    17-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Vier keer pi

    VIER KEER PI


    Het bovenstaande 'Pi-ctogram' (een sangaku waarin pi de hoofdrol speelt)

    is een uitnodiging voor een eenvoudige opgave.

    Van een gelijkzijdige driehoek is de ingeschreven en de omgeschreven cirkel getekend.

    Als de ingeschreven cirkel als oppervlakte π heeft, toon dan aan

    dat de drie gebieden in dezelfde kleur eveneens als oppervlakte π hebben.

    Tip. Bepaal de straal van de in- en de omgeschreven cirkel en dan is de opgave in één-twee-drie opgelost!

    minecraft animated GIF

    17-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    16-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De zestiende uitdaging

    Daar heb je pi weer!

    14 maart 2015 (notatie 3-14-15) wordt wel een heel speciale pi-dag

    want als we daar nog het pi-ekuur 9:26:53 aan toevoegen, bekomen we 3,141592653 …

    Vandaar dat we hier al een voorproefje serveren voor de komende pi-dag

    via een opgave waarin het getal pi op een verrassende manier opduikt.

    Vind jij een bewijs?

    doctor who animated GIF


    Als het niet direct lukt, zoek dan verder tot op 14 maart of lees nu al de bijlage!

    Bijlagen:
    Pi bij rechthoekige driehoek en twee halve cirkels - oplossing.pdf (174.2 KB)   

    16-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    15-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De vijftiende uitdaging

    TIENS!

    Een regelmatige tienhoek is ingeschreven in een cirkel met straal R.

    Als men een hoekpunt van deze tienhoek verbindt met het derde erop volgende hoekpunt

    en dit zo steeds verder doet, bekomt men een stervormige tienhoek (zie figuur).

    Als |AB| de lengte is van de zijde  van de regelmatige tienhoek en |CD| de lengte van de zijde van de stervormige tienhoek,

    toon dan aan dat het verschil van deze lengten gelijk is aan de straal R van de cirkel,

    m.a.w. toon aan dat |CD| – |AB| = R .


    Tip voor de oplossing.

    Toon aan dat ABDP en CPME parallellograms zijn.

    Veel magische krachten zijn er verder niet nodig!

    15-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    14-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De veertiende uitdaging

    HET PROBLEEM VAN DE DRIE RAKENDE CIRKELS

    Drie cirkels raken elkaar twee aan twee uitwendig en ze raken ook alle drie aan een rechte. 

     Als de twee grootste cirkels als oppervlakte 16π hebben, dan heeft de kleinste cirkel als oppervlakte π. Bewijs dit.

    Even concentreren en het lukt je wel!

    smile animated GIF

    En je kunt uiteraard ook de bijlage raadplegen ...


    Touching circles - Luc Janus

    Bijlagen:
    HET PROBLEEM VAN DE DRIE RAKENDE CIRKELS - opgelost.pdf (76.4 KB)   

    14-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    13-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De dertiende uitdaging


    Wat heb je nodig?

    Een blad papier, een potlood, een geodriehoek, een schaar, post its in twee verschillende kleuren en wat wiskundig inzicht.
    Teken een willekeurige driehoek en projecteer een hoekpunt op de overstaande zijde.
    Die zijde wordt zo in twee lijnstukken verdeeld en samen met de twee andere zijden heb je dus vier lijnstukken.

    Knip uit de eerste soort post its twee vierkanten waarvan de zijde even lang is als de twee kortste lijnstukken (roze)
    en knip uit de andere soort post its eveneens twee vierkanten waarvan de zijde even lang is als de twee langste lijnstukken (blauw).
    Je ziet het resultaat op de linkse figuur.

    Plaats nu de twee kleinere vierkanten bovenop de twee grotere zoals op de rechtse figuur is aangegeven.

    Kan je bewijzen dat de twee (blauwe) gebieden van de grotere vierkanten die niet bedekt zijn even groot zijn?

    Tip. Pas de stelling van Pythagoras toe!

    whatever animated GIF

     Als je het niet ziet zitten, lees dan de bijlage!

    Bijlagen:
    SANGAKU MET POST ITS - oplossing.pdf (65.7 KB)   

    13-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    12-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De twaalfde uitdaging


    Voor de twaalfde uitdaging nemen we nog eens een regelmatige twaalfhoek onder de loep.

    Kan je bewijzen dat de drie aangeduide diagonalen in een regelmatige twaalfhoek door één punt gaan?

    Tip voor een mogelijk bewijs met behulp van goniometrie.
    Door een gepaste keuze van het assenstelsel hebben de zes eindpunten van de aangestipte diagonalen
    de volgende coördinaten: (cos15°, ± sin 15°), (cos 45°, ± sin 45°) en (cos 105°, ± sin 105°).
    Door gebruik te maken van de formules van Simpson kan je dan aantonen
    dat twee van de diagonalen de volgende vergelijking hebben:

    y = x – cos 15° + sin 15°   en y = -x + cos 15° – sin 15°. 
    Hun snijpunt ligt op de rechte   en dat is precies de vergelijking van de derde diagonaal!

    *****************************************************************************************************************************

    Hieronder staat nog een 'bewijs zonder woorden'.
    Bron: Proofs without words II, Roger B. Nelsen.
    Met dank aan Prof. Hendrik Van Maldeghem (UGent).

    Gezien?

    workaholics animated GIF

    12-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    11-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De elfde uitdaging

    DE RECHTHOEK VAN PASCAL

    In de wiskundelessen komt (zeker in de sterk-wiskundige richtingen) de driehoek van Pascal aan bod.

    De leerlingen ontdekken dat hierin de zogenaamde binomiaalcoëfficiënten staan.

    Dit zijn de getallen die het aantal combinaties uitdrukken van p elementen uit een verzameling met n elementen:

    De formule van Pascal verklaart hoe de driehoek is opgebouwd:

    elk getal binnen de driehoek is de som van de twee getallen die links en rechts boven dat getal staan:

    5 = 1 + 4, 10 = 4 + 6, 15 = 5 + 10 ... of in het algemeen:


    Voor het aantal herhalingscombinaties van p elementen uit een verzameling met n elementen gebruikt men hetzelfde symbool met een streepje erbovenop.

    De onderstaande formule drukt het verband uit tussen herhalingscombinaties en combinaties (zonder herhaling):

    Hieronder staat een figuur die we voor de gelegenheid de rechthoek van Pascal noemen.

    OPGAVE.

    1. Vind een algemene formule voor de p-de term uit de vierde kolom: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 ... (gebruik herhalingscombinaties).

    2. Vind een algemene formule voor de p-de term uit de vijfde kolom: 1, 4, 10, 20, 35, 56,84 ... (gebruik herhalingscombinaties).

    3. We stellen vast dat 20 = 1 + 3 + 6 + 10 (getallen in cirkeltjes). Veralgemeen deze eigenschap en verklaar.

    batman animated GIF

    Misschien brengt de bijlage wel opheldering!

    Bijlagen:
    De rechthoek van Pascal - opgelost.pdf (211.1 KB)   

    11-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    10-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De tiende uitdaging

    Bij de viering van 40 jaar VVWL in Gent herinnerde Prof. Hendrik Van Maldeghem me aan het volgende probleem.

    In een vierkant tekent men een zo groot mogelijke regelmatige twaalfhoek (zie onderstaande figuur).

    Bewijs dat de oppervlakte van de twaalfhoek gelijk is aan 75% van de oppervlakte van het vierkant.

    Tip voor de oplossing: verdeel de twaalfhoek in 12 driehoeken en gebruik de formule 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = ½ .

    ************************************************************************************************************************

    Hieronder zie je een elegant 'bewijs zonder woorden'.

    Bron: Proofs without words II, Roger B. Nelsen.

    Gezien?

    no animated GIF

    10-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    09-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De negende uitdaging

    Op 6 december 2014 vierde de Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars haar 40-jarig bestaan.

    Prof. Hendrik Van Maldeghem (UGent) schotelde het publiek bij die gelegenheid 40 problemen voor.

    Enkele van die problemen hadden te maken met cirkels, zoals je op de onderstaand foto's kunt zien.

    Hij vermeldde ook een leuke opdracht die verband houdt met de ingeschreven cirkel van een driehoek.

    OPGAVE.

    In de vier hoeken van een rechthoek met afmetingen 4x en 4y tekent men een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden x en y.

    Bij elk van deze driehoeken tekent men de ingeschreven cirkel (fig. 1) en de raaklijnen loodrecht op de zijden van de rechthoek (fig. 2).

    Op die manier wordt een 'pad' afgetekend binnen de rechthoek (fig. 3).

    Toon aan dat de oppervlakte van dit pad precies de helft is van de oppervlakte van de rechthoek.


         Gardener job graphics 

     Tip voor de oplossing.

    Volgens de formule die gisteren op mijn blog aan bod kwam, hebben de cirkels met straal r een diameter die gelijk is aan

     

    09-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    08-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De achtste uitdaging



    Collega Odette De Meulemeester gaf me ooit een muntstuk van 1 Yuan, dat ze had meegebracht van een reis naar China.

    Op de beeldzijde (links) staat een bloeiende chrysant en op de muntzijde (rechts) bemerk je het symbool π met een streepje erop.

    Blijkbaar is dit Chinees voor 'munteenheid' (= 1 Yuan) (zie http://en.wiktionary.org/wiki/%E5%85%83 ).

    Ook collega Dirk Huylebrouck maakt ons dit duidelijk via de onderstaande Facebookfoto (met dank!).

    De diameter van de munt is (afgerond) 2 cm zodat de oppervlakte (ongeveer) π cm² is. Toeval???

    En als kind leerde men me dat iemand met veel  πng-πng (lees: ping-ping) er warmpjes in zit!

    Shou Shou Ji Chinese Emoticon Chinese Man Sitting In A Chair Emoticon

    Dit is meteen de aanleiding voor een eenvoudige wiskunde-oefening

    Kan je aantonen dat de diameter van de ingeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek gelijk is aan

    2r = b + c – a

    waarbij r de straal is van de cirkel
    en a, b en c de lengte van de zijden (a is de lengte van de schuine zijde).

    Hoeveel is dan de oppervlakte van de ingeschreven cirkel
    van een rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden lengte 3 en 4 hebben?

     Oplossing in bijlage.

    Shou Shou Ji Chinese Emoticon Chinese Man Sitting In A Chair Emoticon  

    Bijlagen:
    Eigenschap met pi - oplossing.pdf (82.1 KB)   

    08-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 29/04-05/05 2019
  • 22/04-28/04 2019
  • 15/04-21/04 2019
  • 08/04-14/04 2019
  • 01/04-07/04 2019
  • 25/03-31/03 2019
  • 18/03-24/03 2019
  • 11/03-17/03 2019
  • 04/03-10/03 2019
  • 25/02-03/03 2019
  • 18/02-24/02 2019
  • 11/02-17/02 2019
  • 04/02-10/02 2019
  • 28/01-03/02 2019
  • 21/01-27/01 2019
  • 14/01-20/01 2019
  • 07/01-13/01 2019
  • 31/12-06/01 2019
  • 24/12-30/12 2018
  • 17/12-23/12 2018
  • 10/12-16/12 2018
  • 03/12-09/12 2018
  • 26/11-02/12 2018
  • 19/11-25/11 2018
  • 12/11-18/11 2018
  • 05/11-11/11 2018
  • 29/10-04/11 2018
  • 22/10-28/10 2018
  • 15/10-21/10 2018
  • 08/10-14/10 2018
  • 01/10-07/10 2018
  • 24/09-30/09 2018
  • 17/09-23/09 2018
  • 10/09-16/09 2018
  • 03/09-09/09 2018
  • 27/08-02/09 2018
  • 20/08-26/08 2018
  • 13/08-19/08 2018
  • 06/08-12/08 2018
  • 30/07-05/08 2018
  • 23/07-29/07 2018
  • 16/07-22/07 2018
  • 09/07-15/07 2018
  • 02/07-08/07 2018
  • 25/06-01/07 2018
  • 18/06-24/06 2018
  • 11/06-17/06 2018
  • 04/06-10/06 2018
  • 28/05-03/06 2018
  • 21/05-27/05 2018
  • 14/05-20/05 2018
  • 07/05-13/05 2018
  • 30/04-06/05 2018
  • 23/04-29/04 2018
  • 16/04-22/04 2018
  • 09/04-15/04 2018
  • 02/04-08/04 2018
  • 26/03-01/04 2018
  • 19/03-25/03 2018
  • 12/03-18/03 2018
  • 05/03-11/03 2018
  • 26/02-04/03 2018
  • 19/02-25/02 2018
  • 12/02-18/02 2018
  • 05/02-11/02 2018
  • 29/01-04/02 2018
  • 22/01-28/01 2018
  • 15/01-21/01 2018
  • 08/01-14/01 2018
  • 01/01-07/01 2018
  • 25/12-31/12 2017
  • 18/12-24/12 2017
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Meer blogs