HET VALENTIJNSPROBLEEM

Katrijn (K) en Martijn (M) wonen beiden op een boerderijtje aan weerszijden van een baan (b)..

Ze kunnen over de velden stappen om zo elkaar te ontmoeten op een punt van die baan.

We gaan  ervan uit dat ze op hetzelfde moment bij hen thuis vertrekken en dat ze precies even snel wandelen.

Op welk punt op de baan b moeten ze dan afspreken zodat ze daar precies op hetzelfde moment aankomen?

Dit is een klassiek probleem met een eenvoudige oplossing: bepaal het snijpunt van de rechte b met de middelloodlijn van [KM].

Maar als ze op hetzelfde moment bij hen thuis vertrekken en als ze precies even snel wandelen

op welk punt van de baan  moeten ze dan afspreken opdat het tijdsverschil bij aankomst MAXIMAAL zou zijn?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
HET VALENTIJNSPROBLEEM - oplossing.pdf (178.3 KB)   

HET MOOISTE GEDICHT VAN VLAANDEREN

en bekroond met de Herman de Coninck-prijs 2015

komt dit jaar uit Wij zijn evenwijdig _, Querido en komt uit de pen van Maud Vanhauwaert.

Hierin is er zelfs een vleugje poëtische wiskunde te bespeuren...

Er komt een vrouw naar mij toe. Ze zegt
'wij zijn evenwijdig, raken elkaar in het
oneindige, laten we rennen'.

Zullen we wachten? Zullen we wachten
tot de kinderen groot zijn en de aardbeien
rood, ze zijn te bleek nog, te klein, te hard.
Zullen we wachten tot de de avond valt
en de nacht waarover wij nog een keer
willen slapen.

Ze haakt haar arm in de mijne tot een lemniscaat.

Zullen we wachten op een eerste stap
zo reusachtig dat je makkelijk een tent
tussen onze benen spant
waarin nieuwe kinderen kamperen,
aardbeien rijpen en niemand nog buiten
de zomer kan_

En we rennen. Met onze armen
zwaaien wij een maat die bij ons past_

**************************************************************************

 De lemniscaat van Bernoulli (Grieks: λημνίσκος, band) is een vlakke kromme.

Ze werd vermeld door Jakob Bernoulli in een artikel in zijn Acta Eruditorum (1694).

Ze staat model voor het symbool voor oneindig (∞) in de wiskunde.

De cartesiaanse vergelijking ervan is de volgende:

Het is de meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste punten F₁ = (-a,0) en F₂ = (a,0) constant is:

.

****************************************************************************************************************************************

Kan je aantonen dat voor F₁(-√π, 0) en F₂(√π, 0) de oppervlakte van elke lus van de lemniscaat gelijk is aan π?

Rekenwerk in bijlage.

Bijlagen:
LEMNISCAAT VAN BERNOUILLI - rekenwerk.pdf (561.3 KB)   

SANGAKU MET RECHTHOEK EN VIERKANT

 

Beschouw een cirkel C₁ met middelpunt O.

Een cirkel C₂ met middelpunt M bevat O en raakt inwendig aan C₁  in Q.

P is een willekeurig punt op C₂ en de raaklijn in P aan C₂ snijdt C₁ in R en S. 

Te bewijzen:   

Dit betekent dat de rechthoek en het vierkant op de linkse figuur dezelfde oppervlakte hebben!

Op de rechtse figuur is het punt T een tip voor het bewijs.

Kan deze opgave (of de oplossing in bijlage) jouw enthousiasme opwekken?

Bijlagen:
SANGAKU MET RECHTHOEK EN VIERKANT OPGELOST.pdf (179.3 KB)   

Van 1 mei tot 31 oktober 2015 kan je in Milaan terecht voor de  34ste Wereldtentoonstelling.
Het thema is Voedsel voor de planeet, energie voor het leven.

Info op de officiële website http://www.expo2015.org/en.

*******************************************************************************************************

Voor deze Expo 2015 gebruikte men nog maar eens de afbeelding van de man van Vitruvius van Leonardo da Vinci.
Dit logo inspireerde me tot de onderstaande opgave.

OPGAVE

In een vierkant met zijde √3 tekent men vanuit twee opeenvolgende hoeken binnen het vierkant
een gelijkbenige driehoek met basishoeken van 15°.
De cirkel door de top van deze driehoek en de twee andere hoekpunten van het vierkant heeft dan als oppervlakte π .

Kan je dat bewijzen?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Goniometrische oplossing van het probleem EXPO 2015.pdf (186.8 KB)   

PIRANHA

Pygocentrus piraya

Piranha’s zijn wellicht de vissen die het meest tot de verbeelding spreken
omdat men beweert dat ze een mens of dier in enkele ogenblikken tot het bot kunnen wegvreten.
Toch vormen ze voor de mens weinig bedreiging.
In hun thuisgebied in Zuid-Amerika zwemmen mensen regelmatig in water waarin zich piranha's bevinden,
zonder aangevallen te worden en zelfs zonder toevallige ongelukken.
Er zijn wel heel wat gevallen van beten bekend en slechts een paar van mensen die werden gedood.
Alle piranhasoorten, inclusief de Pygocentrus piraya, laten zich gemakkelijk verzorgen in gepaste aquaria.
Het zijn bijzonder rustige vissen, die enkel bij het voederen enige oplettendheid van de verzorgers vragen.

De afbeelding van deze piranha (zonder de vinnen) past nagenoeg perfect binnen de vlakke kromme
met als vergelijking x⁴y² + 2x²y² + y² = 1 met -1 ≤ x ≤ 1 (eenheid = 1 dm).
Maar kan je ook bewijzen dat de oppervlakte van het overeenkomstige vlak gebied gelijk is aan π dm² ?

Tip. Expliciteer het bovenstaande voorschrift in de vorm y = ± f(x).

10-02-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************
12

 Twelve o'clock - Luc Janus

Modulo-rekenen heet ook wel klokrekenen.

  Stel dat het nu 19 uur is  (zeven uur 's avonds), en je telt daar 15 uur bij op.
Dan zou het volgens gewone rekenmethodes 19 + 15 = 34 uur moeten zijn.
Maar niemand noemt dat 34 uur; iedereen zegt 10 uur.
En als men vanaf 19 uur nu eens 50 uur verder kijkt, dan bekomt men 69 uur wat overeenkomt met 21 uur (negen uur 's avonds)

In feite trekt men van het resultaat telkens een veelvoud van 24 af:
34 modulo 24 = 10  (omdat 34 – 24 = 10)
en 69 modulo 24 = 21 (omdat 69 – 2 x 24 = 69 – 48 = 21).

***************************************************************************************************************

Op het onderstaande filmpje wordt de klassieke 'kloktruc' met kaarten gedemonstreerd.
Deze goocheltoer steunt op het feit dat x + 12 – (x – 1) = 13, onafhankelijk van de keuze van x.
De goochelaar heeft dus vooraf gekeken welke kaart zich op positie 13 bevindt.

GEZIEN?

09-02-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

BLOWIN' IN THE WIND

Ze rijzen momenteel overal 'als windmolens' uit de grond.

Hieronder zie je een mathematische voorstelling van de drie schroefbladen van een windmolen.

BEREKENING

********************************************************************************************************

Wie kent niet de protestsong 'Blowin' in the Wind' van Bob Dylan (1962)?

Maar wist je dat ook de BeeGees met deze song succes hadden bij hun eerste TV-optreden in Australië (1963)?

08-02-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

PIPELINE GEOMETRY

Beschermkappen die als doorsnede een gelijkbenig trapezium hebben, worden gebruikt om gasleidingen te beschermen.

We nemen aan dat de kleine basis van een dergelijk trapezium 1 meter lang is en de grote basis 4 meter.

Als de buis langs de vier zijden zou raken aan het trapezium, kan je dan aantonen dat de oppervlakte van de doorsnede van de buis p m² is?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
PIPELINE GEOMETRY opgelost.pdf (174.3 KB)   

Eén op de vier studenten die een opleiding in de rechten of psychologie begint, kent de regel van drie niet.
Dat blijkt uit een onderzoek van de UGent.
Die basiskennis wiskunde is nochtans cruciaal om te slagen aan de universiteit, ook in niet-wiskundige richtingen.

             Als een loper gemiddeld 1 kilometer loopt in 5 minuten, hoeveel heeft hij dan gelopen na 2 uur?
Die vraag is simpel op te lossen met de regel van drie,
maar één op de vier beginnende studenten in de menswetenschappen
– zoals rechten of psychologie – weet niet dat het antwoord 24 kilometer is.

Nochtans gaat het om een regel die leerlingen van het derde en vierde leerjaar al zouden moeten kennen.

Kristiaan Versluys, directeur onderwijsaangelegenheden van de UGent,
noemt de slechte basiskennis wiskunde een onthutsende vaststelling.

**************************************************************************************************************************

Vaststelling: de regel van drie (in correct Nederlands: de regel van drieën) is sedert enkele jaren verbannen uit de Vlaamse leerplannen.
Men spreekt liever van recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden.
Maar ken jij zelf nog de regel van drie? We doen even de test aan de hand van drie vraagjes.

VRAAG 1. Een doos met 75 ballonnen kost 10 euro. Hoeveel kosten 90 ballonnen dan?

VRAAG 2. Als er voldoende veevoeder is om 35 varkens gedurende 22 dagen te voeren,
hoeveel dagen kan men dan 77 varkens voeren met dezelfde hoeveelheid?

VRAAG 3. Als 1 op de 4 studenten de regel van drie niet kent,
hoeveel studenten op 50 kennen dan de negenproef niet meer?

06-02-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE HIPPE ARMBAND

De afgebeelde armband bestaat uit een aantal cirkelvormige schijfjes met diameter √2 die aan elkaar raken.

Elk schijfje is verdeeld in een roze en een blauwe sector door het middelpunt ervan te verbinden met de raakpunten.

Als B de totale blauwe oppervlakte is en R de totale roze oppervlakte, kan je dan aantonen dat B – R = π?

Merk op dat dit onafhankelijk is van het aantal schijfjes waaruit de armband bestaat!

OPLOSSING.

Als er n schijfjes zijn, kan je de veelhoek met de middelpunten van de schijfjes als hoekpunten verdelen in n driehoeken.

De som van de hoeken van de veelhoek is bijgevolg (n – 2)180° of (n – 2)π radialen.

Dan is de totale roze oppervlakte R = ½ (n – 2)πr², waarbij r de straal is van de schijfjes.

De totale blauwe oppervlakte is B = nπr² – ½ (n – 2)πr².

Dan is B – R = 2πr² en aangezien r = √2/2 is  B – R = π.

05-02-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

HET SPINNEWIEL

Het afgebeelde ‘spinnewiel’ bestaat uit een vierkant ABCD met zijde √5.

M is het midden van de zijde [BC] en O is het voetpunt van de loodlijn uit B op MD.

Kan je aantonen dat de cirkel met middelpunt O die door het punt B gaat als oppervlakte π heeft?

Hint. Δ BOM en Δ DCM zijn gelijkvormig.

04-02-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE PERFECTE SPIE

Hoe snijd je ‘de perfecte spie’ uit een halve taart  met diameter 4√2 ?

Onder 'een perfecte spie' verstaan we hier een stuk met oppervlakte π?

Op de bovenstaande afbeelding zie je hoe je hiervoor kunt te werk gaan.

Bepaal het punt C zodat de hoek ∠AOC = 135°.

Bepaal het punt D op de cirkelboog halverwege tussen A en C.

We beweren dat de oppervlakte van de gekleurde spie BCD dan gelijk is aan π.

Kan je dat bewijzen?

(Bewijs in bijlage)

Bijlagen:
DE PERFECTE SPIE OPGELOST.pdf (178.8 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

************************************************************

VII

Matches - Luc Janus

Op het internet vind je heel wat leuke wiskundige puzzels met lucifers.
Hierin komen vaak vergelijkingen voor waarin getallen in Romeinse cijfers worden voorgesteld.
En niet toevallig is V het symbool voor 5 want het is de helft van het symbool X voor 10.

Het was de Engelsman John Walker die in 1826 bij toeval de strijklucifer uitvond.
Hij sprak van een 'friction light'.
De naam lucifer (lux = licht, ferre = brengen) hebben we dan weer te danken aan de Londenaar Samuel Jones (1829).

**************************************************************************************

Hieronder staan drie luciferpuzzels.

Kan je telkens door één lucifer te verplaatsen ervoor zorgen dat de vergelijking klopt?

Oplossingen in bijlage!

Bijlagen:
DRIE LUCIFERSPUZZELS.pdf (178.3 KB)   

PI-SANGAKU

In een kwartcirkel is een halve cirkel (groen) beschreven en een rakende kleine cirkel (blauw).

Als de oppervlakte van de kwartcirkel 4π is, is de groene oppervlakte 2π en dan is zowel de blauwe als de gele oppervlakte π.

Kan je dat aantonen?

 Een lachertje of lees je toch liever de bijlage?

Bijlagen:
SANGAKU MET KWARTCIRKEL, HALVE CIRKEL EN CIRKEL - opgelost.pdf (177.9 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

Vandaag voegen we hier 'om een ruimtelijke reden' een speciale editie aan toe.

*********************************************************************************************************

1961

Space Chimp - Luc Janus

Vandaag is het precies 1 x 9 x 6 x 1 jaar geleden dat Ham de eerste chimpansee werd die via een raket in de ruimte werd geschoten.

****************************************************************************************************************************************

Ham werd inderdaad op 31 januari 1961 door de Amerikanen de ruimte in geschoten.
Hij voerde een taak uit, waaraan zijn functioneren in de ruimte beoordeeld kon worden en landde 16,5 minuut later in de Atlantische Oceaan.
Dit gebeurde vier jaar nadat de Russen hun hond Laika de ruimte in hadden geschoten.
In tegenstelling tot Laika overleefde Ham de ruimtevlucht. Anders dan de Russen gebruikten de Amerikanen bij hun testvluchten primaten,

om zo goed mogelijk de effecten van ruimtevluchten op het menselijk lichaam te kunnen voorspellen.
Eerder al hadden de Amerikanen met wisselend succes resusaapjes en doodshoofdaapjes in de ruimte gebracht.

Ham kwam oorspronkelijk uit Kameroen, waar hij Chang heette.
Hij werd in 1959 gekocht door de United States Air Force, waarna hij opgroeide in het Holloman Aerospace Medical Center.
Hier komt ook zijn nieuwe naam (H-A-M) vandaan.
Hij werd gelanceerd met de Mercury MR-2-raket in het kader van het Mercury-project.
Na zijn geslaagde ruimtevlucht leefde Ham 17 jaar in de nationale dierentuin van Washington D.C.,
en daarna in een dierentuin in North Carolina.
Daar overleed hij uiteindelijk op de leeftijd van 25 jaar aan problemen met zijn hart.
Hij is begraven bij de Space Hall of Fame in Alamogordo (New Mexico).

Tweeënhalve maand na de vlucht van Ham, op 12 april 1961, lanceerden de Russen Joeri Gagarin als eerste mens de ruimte in.
Nog een maand later, op 5 mei 1961, was Alan Shepard de eerste Amerikaan in de ruimte.

Bron: Wikipedia. 

Bekijk nog eens deze historische beelden.

31-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

HET (Pi, Pi)-EXPERIMENT

Teken met behulp van GeoGebra de grafiek van de sinusfunctie met als voorschrift  f(x) = 8 sin(x/2). 
Knip het gebied uit begrepen tussen de grafiek van f en de x-as in het interval [0, 2π] en kleef het op een stuk karton.
Probeer nu proefondervindelijk het zwaartepunt te bepalen van dit vlak gebied.

De oplossing is verrassend: het zwaartepunt is Z(π, π).

Hieronder zie je hoe je het zwaartepunt Z kunt bepalen door het stuk karton in een bepaald punt op te hangen.
In dit geval is Z het snijpunt van de symmetrieas van het gebied met de verticale lijn door het ophangingspunt.
Je kunt ook proberen het stuk karton in evenwicht te krijgen op een speld.

  

Uiteraard ligt het zwaartepunt Z op de rechte met als vergelijking x = π omdat dit een symmetrieas is.
Voor de berekening van de y-coördinaat van Z verwijzen we naar de bijlage.

Bijlagen:
Het (pi,pi)-experiment - oplossing.pdf (209.7 KB)   

THE SACRED CIRCLE

In een vierkant tekent men twee kwartcirkels en hierin plaatst men het vierkant met de grootst mogelijke oppervlakte

met daarbovenop een kleinere cirkel die raakt aan de twee kwartcirkels en aan het ingeschreven vierkant.

Als de zijden van het grote vierkant als lengte 320/39 hebben, dan is de oppervlakte van de kleine cirkel precies  π.

Een bewijs zit in bijlage!

Bijlagen:
DE MYSTERIEUZE CIRKEL OPGELOST.pdf (188.8 KB)   

Oplossing in bijlage.

********************************************************************************************************$$

De Griek Claudius Ptolemaeus (2de eeuw na Chr.) tekende reeds een kaart van de wereld.

‘De wereld’ was toen Europa, Azië en Afrika, want andere gebieden waren nog niet ontdekt.

De kaart werd rond 1480 hertekend en via de boekdrukkunst kende ze een ruime verspreiding.

Ontdekkingsreizigers en handelaren gebruikten deze kaart tot ver in de 15de eeuw!

Wereldkaart van Ptolemaeus, Ulm 1482, door Nicolaus Germanus. Gedrukt van houtsneden.

Bijlagen:
PTOLEMAEUS en PI.pdf (225 KB)   

NUM'ART

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

************************************************************

11

Simon's cat - Luc Janus

Het is me wat:

de oortjes van een kat!

En zeg nu eens zelf:

doen ze je ook denken aan 11?

*************************************************************

De driehoek van Pascal heeft een 'magisch' verband met het getal 11.

  11¹ = 11,  11² = 121, 11³ = 1331 en 11⁴ = 14641 en dat zijn vier palindroomgetallen.

Hieronder zie je nog een magische driehoek met magische constante 11.

************************************************************************************
Hoe controleer je of een natuurlijk getal deelbaar is door 11?

Eerste manier: pas het gekende criterium voor deelbaarheid door 11 toe.
54 637 is deelbaar door 11 omdat 5 –  4  + 6 –  3 + 7 deelbaar is door 11.

Tweede manier. Trek het laatste cijfer van het getal af van het getal gevormd door de overige cijfers.
Herhaal deze bewerking. Als het proces eindigt op 0 is het oorspronkelijke getal deelbaar door 11.
Zo is 5 463 – 7 = 5456 en 545 – 6 = 539 en 53 –  9 = 44 en 4 – 4 = 0. Dus is 54 637 een 11-voud.

Lees in dit verband ook de bijlage.

************************************************************************************

En wat hebben katten met muizen?
Simon's cat suggereert een antwoord op deze vraag.

© 2011

Bijlagen:
Criterium voor 11-voud.pdf (150.3 KB)   

PROBLEEM VAN HET INGESLOTEN VIERKANT

Op de bovenstaande figuur staat een vierkant met een oppervlakte van 16 cm² afgebeeld

dat is ingesloten door twee gelijke aan elkaar rakende cirkels en een rechte lijn.

Kan je bewijzen dat de beide cirkels een oppervlakte van π dm² hebben?

Oplossing in bijlage!

WEETJE

Bijlagen:
PROBLEEM VAN HET INGESLOTEN VIERKANT OPGELOST.pdf (167.4 KB)