Inhoud blog
  • 30 april 2019
  • 29 april 2019
  • 28 april 2019
  • 27 april 2019
  • 26 april 2019
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    14-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De tussenbreuk

    DE TUSSENBREUK

    Deze eigenschap duikt voor het eerst op in het werk Le Triparty en la science des nombres
    van de Franse wiskundige Nicolas Chuquet (15de eeuw).

    Snap je het onderstaande 'bewijs zonder woorden'?

    *************************************************************************************************

    HISTORISCHE NOTA OVER NICOLAS CHUQUET


    Deze Franse wiskundige leefde in de 15de eeuw en publiceerde een van de eerste boeken in de Franse taal over rekenkunde.
    De invloed van zijn werk Le Triparty en la science des nombres wordt ruim onderschat.
    Zoals de titel van het boek laat vermoeden, is het ingedeeld in drie hoofdstukken.

    DEEL 1. Over gehele getallen en breuken. In dit deel legt hij o.a. de regel van drie uit.
    Hij introduceert ook de termen biljoen en triljoen en stelt dus voor om het getal
    745324' 804300' 700023' 654321 te lezen als 745324 triljoen 804300 biljoen 700023 miljoen en 654321.

    DEEL 2. Over vierkantswortels. Hij legt hierin uit hoe je manueel de vierkantswortel uit een getal trekt.

    DEEL 3. Over priemgetallen.

    *******************************************************************************************

    Wist je dat het getal pi een breuk is ?

    no animated GIF


    
pi = cfrac{4}{1 + cfrac{1}{3 + cfrac{4}{5 + cfrac{9}{7 + cfrac{16}{9 + cfrac{25}{11 + cfrac{36}{13 + cfrac{49}{ddots}}}}}}}}

    Maar dan wel een kettingbreuk...

    14-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    13-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.A la grecque

    A LA GRECQUE


    greek flag photo: greek hard thMYPROUDGREEKHEART1.gif


    Eeuwen geleden gingen de Griekse wiskundigen figuratief te werk.

    Ze stelden dus algebraïsche eigenschappen en formules voor via meetkundige figuren.

    Hieronder kan je op een bijna identieke figuur twee formules 'zien'.

    EEN MERKWAARDIG VERSCHIL

    (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

    EEN EIGENSCHAP VAN DE FIBONACCIGETALLEN

    De termen uit de van Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...)  voldoen aan

    Fn+12 – Fn-22 = 4 Fn Fn-1 .

    Zo is bijvoorbeeld 132 – 32  = 4 x 8 x 5  en 82 – 22 = 4 x 5 x 3.

     

    greek flag photo: greek hard thMYPROUDGREEKHEART1.gif

    13-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    12-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (1961)

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    *********************************************************************************************************

    1961

    Gagarin - Luc Janus

    ***********************************************************************************************

    Als ik je zou vragen wat het volgende getal is in de rij 0, 1, 8, 11, 69, 88 ...
    dan zal je me waarschijnlijk het antwoord schuldig blijven.

    Het volgende getal is immers 96 omdat de getallen in de rij zogenaamde strobogrammatische getallen zijn.

    Dit zijn getallen die niet veranderen als je ze op hun kop zet (Grieks: στροβος = rondwerveling)
    1961 is het meest recente jaartal dat strobogrammatisch is
    en we zullen tot 6009 moeten wachten voor het eerstvolgende dergelijk jaartal.

    ***********************************************************************************************

    Op 12 april 1961 (vandaag precies 54 jaar geleden) werd Joeri Gagarin de eerste mens in de ruimte.
    Aan boord van de Vostok 1 maakte hij één toer rond de aarde in een vlucht die precies 108 minuten duurde.
    108 minuten die de wereld voor altijd zouden veranderen ...
    Gagarin kwam in 1968 op 34-jarige leeftijd om het leven tijdens een vlucht met zijn Mig-straaljager.



    ***********************************************************************************************

    Berlin - Luc Janus

    In 1961 werd de Berlijnse muur opgericht die Oost- en West-Duitsland van elkaar zou scheiden tot in 1989.
    In een poging om vanuit Oost-Duitsland naar het vrije westelijke deel van Berlijn te vluchten
    kwamen meer dan 100 mensen om het leven.
    Het Nederlandse pop-duo Tol & Tol bracht met het lied Eleni
    een passende hommage aan al deze slachtoffers.

    12-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    11-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Parabolen geven hun geheim prijs

    PARABOLEN GEVEN HUN GEHEIM PRIJS

    Hoe kan je op de grafiek van een parabool met als functievoorschrift y = f(x) = ax² + bx + c

    de waarde van de coëfficiënten a, b en c aflezen?



    1. Voor de waarde van a : ga vanuit de top T één eenheid horizontaal naar rechts;

    dan is a de relatieve verticale afstand vanuit dat punt tot aan de parabool.

    a > 0 als je naar boven moet gaan en a < 0 als je naar beneden moet gaan.

    In het bovenstaande voorbeeld is a = 1.

    2. Voor de waarde van b bereken je (f(1) - f(-1))/2. In het voorbeeld is b = (-1 – 7)/2 = -4.

    De waarde van b is eveneens de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de parabool

    in het snijpunt met de y-as, want f '(x) = 2ax + b en dus is f ' (0) = b.

    3. De waarde van c is de y-coördinaat van het snijpunt S van de parabool met de y-as.

    In het voorbeeld is c = 2.

    Besluit: de afgebeelde parabool heeft als vergelijking y = x² – 4x + 2.

    drunk animated GIF

    En misschien kunnen de vier opgaven in bijlage jouw enthousiasme voor parabolen nog doen toenemen?

    Bijlagen:
    Vier parabolen.pdf (126.2 KB)   

    11-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    10-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De cosinusregel

    DE COSINUSREGEL

    In de meeste wiskundehandboeken die men in het Vlaamse onderwijs gebruikt,
    bewijst men de cosinusregel apart voor een scherphoekige en een stomphoekige driehoek
    door gebruikt te maken van de stelling van Pythagoras (die zelf een speciaal geval is van de cosinusregel).

    Hieronder staat een mooi bewijs zonder woorden voor zowel een scherphoekige als een stomphoekige driehoek.
    Bron: Wikipedia.


    ,!a^2+b^2=c^2+2abcosgamma

    Bewijs voor een scherphoekige driehoek door de oppervlakte van een zevenhoek op twee manieren te berekenen.


    ,!a^2+b^2-2abcosgamma=c^2

    Bewijs voor een stomphoekige driehoek door de oppervlakte van een zevenhoek op twee manieren te berekenen.

    **************************************************************************************************************

    Allemaal goed en wel, maar voor onze studenten is het eenvoudigste bewijs vaak al moeilijk genoeg!

    Wat vind je dan van het onderstaande bewijs dat gebruik maakt van de formule voor de afstand tussen twee punten?

    None animated GIF

    **************************************************************************************************************

    Kan je nu ook de onderstaande vraag correct beantwoorden?

    © Vlaamse Wiskunde Olympiade, eerste ronde 2013

    10-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    09-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Vier keer zo groot

    VIER KEER ZO GROOT

    In een vierkant ABCD tekent men een halve cirkel met middellijn [CD] en middelpunt M.

    AE is een raaklijn uit A aan deze halve cirkel en E is het raakpunt (zie figuur).

    Dan is de oppervlakte van Δ ADE vier maal de oppervlakte van Δ MEC.

    Bewijs dit!

    crying animated GIF

    En je hoeft heus niet te reageren zoals Leonardo DiCaprio als je het bewijs niet vindt.

    Lees gewoon de bijlage!

    Bijlagen:
    VIER KEER ZO GROOT - opgelost.pdf (217.5 KB)   

    09-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    08-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Priemrad

    PRIEMRAD

    Enige tijd geleden bezorgde collega Odette De Meulemeester me een mooi priemprobleemje.
     Het probleem is oorspronkelijk (in een aangepaste vorm) een 'BreinBrekerBedenksel' van Peter Jeuken.

    Een fabrikant van reuzenraderen is een liefhebber van priemgetallen.
    Hij ontwerpt als oefening een klein rad met 9 gondels
    en elke gondel krijgt een verschillend cijfer van 0 tot en met 9 opgeplakt.
    Op de centrale draaias komt het resterende tiende cijfer.
    Als je de cijfers van twee opeenvolgende gondels neemt (met de wijzers van de klok mee)
    gevolgd door het centrale cijfer, moet er steeds een priemgetal ontstaan.
    Hoe slaagde de fabrikant hier in?

    Hieronder staat een oplossing met 3 op de draaias.



    De priemgetallen zijn: 173, 743, 463, 683, 823, 293, 953, 503 en 13.

    OPGAVE.
    Kan je nu zelf een priemrad bedenken met 9 gondels
    waarbij weer alle cijfers van 0 tot en met 9 één keer voorkomen
    en waarbij het cijfer 9 op de draaias staat?

                                   Ferris wheel               

    Bijlagen:
    Priemrad met 9 op de draaias - opgelost.pdf (104.2 KB)   

    08-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    07-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De sandwich-eigenschap

    DE SANDWICH-EIGENSCHAP

    Wie het probleem van gisteren kon oplossen, zal ook ongetwijfeld dat van vandaag 'in een wip' oplossen.

    dancing animated GIF

    Oplossing in bijlage.



    Bijlagen:
    DE SANDWICH-EIGENSCHAP - opgelost.pdf (178.5 KB)   

    07-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    06-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Probleem met een gulden rechthoek

    PROBLEEM  MET EEN GULDEN RECHTHOEK

    We trakteren we je vandaag op een probleem met een gulden rechthoek.


    dancing animated GIF

    Los je dit met de nodige schwung op?

    Oplossing in bijlage.

    Bijlagen:
    PROBLEEM MET EEN GULDEN RECHTHOEK - opgelost.pdf (171 KB)   

    06-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    05-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (14 en 27)

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal (en soms ook twee getallen) op een artistieke manier in de kijker.

    *********************************************************************************************************

    14 en 27

    Bach - Luc Janus

    *******************************************************************************************************************

    Het is een gekend feit dat J.S. Bach in zijn composities vaak speelt met getallen.

    Zo is de getalswaarde van de naam BACH gelijk aan 14
    (B is de 2de letter van het alfabet, A de 1ste, C de 3de en H de 8ste en 2 + 1 + 3 + 8 = 14).
    Het getal 14 komt in de Matthäus-Passion veelvuldig voor, er zijn bijvoorbeeld 14 koralen, wat dus terugslaat op de naam Bach.

    Er zijn 14 staties op de Kruisweg

    De Matthäus Passion bestaat in totaal uit 68 muziekstukken.
    Naast de 14 koralen zijn er 27 passages waarin het evangelie wordt gezongen, en 27 overige stukken.
    Het getal 27 staat bij Bach voor de drie-eenheid van God (3×3×3).
    De 27 stukken evangelietekst bestaan uit in totaal 729 maten, wat het kwadraat is van 27.

    In de Matthäus Passion wordt door het koor "Herr, bin ich's?" gezongen.
    Dit is in het stuk wanneer Jezus met de 12 apostelen aan het laatste avondmaal deel neemt
    en aankondigt dat hij door een van hen verraden zal worden.
    Het woord "Herr" wordt elf keer gezongen, geen 12 keer, Judas (de verrader) zingt immers niet mee.

    *******************************************************************************************************************

    Geniet je nog even mee van de flashmob 'Ode an die Freude'?

    Een flashmob (Nederlands = 'flitsmeute') is een groep die plots op een plaats bijeenkomt, iets ongewoons doet en dan weer verdwijnt.




    *******************************************************************************************************************

    EEN KORAAL

    Volgens zijn tijdgenoten was Johann Sebastian Bach 
    een virtuoos organist – hij speelde met 
    een onnavolgbare ‘Leichtigkeit’.


    lichthandigheid zou je het kunnen noemen, maar dan zo 
    licht dat het was alsof het geen handen waren 
    die speelden


    ik vermoed dat ik wel weet hoe het klonk
    alsof ik hoor hoe hij het zelf is die daar boven 
    in deze kerk in die kleine machinekamer 
    muziek zit te maken


    je hoort het eeuwenoude mechaniek, het gekreun 
    van scharnieren, het geklepper van toetsen 
    het gekraak van de vloer, het zuchten van wind 
    hoe er van lucht muziek wordt gemaakt


    en er een koraal langzaam door de ruimte zweeft 
    als een onzichtbare gewichtloze vogel 
    Leichtigkeit


    Rutger Kopland, 1934-2012



    05-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    04-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Met de 4 van vierkant

    MET DE 4 VAN VIERKANT


    Vandaag 4-4 (4 april) mag een opgave over het cijfer 4 niet ontbreken.

    De onderstaande eigenschap ontdekte ik toevallig op 18 maart 2015, toen ik met Geogebra aan het ‘experimenteren’ was.


    Kent iemand deze eigenschap?


    Beschouw de kwartcirkel met O(0,0) als middelpunt en met A(0,2) en B(2,0) als eindpunten.

    P is een willekeurig punt op deze kwartcirkel. M is het midden van [AP] en N het midden van [BP].

    Q is het midden van de halve cirkel(boog) met M als middelpunt en met A en P als eindpunten.

    R is het midden van de halve cirkel(boog) met N als middelpunt en met B en P als eindpunten.

    Dan  heeft het vierkant met zijde [QR] als oppervlakte 4 (onafhankelijk van de ligging van P).


    Bewijs dit!


    Voor het bewijs (in bijlage) heb ik gebruik gemaakt van complexe getallen.

    Ongetwijfeld bestaat er een meer voor de hand liggend bewijs,  maar dat zag ik niet direct.

    Ken jij een eenvoudiger bewijs?


    no animated GIF

    Bijlagen:
    MET DE VIER VAN VIERKANT - opgelost.pdf (68.9 KB)   

    04-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    03-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De pi-integralen van Carnot

    DE PI-INTEGRALEN VAN CARNOT

    Lazare  Carnot  was een Franse wis- en natuurkundige die als militair een belangrijke rol vervulde in het leger van Napoleon.

    Heb jij ook nog de zogenaamde formules van Carnot geleerd op school?

    Hieronder staan deze twee formules afgedrukt en meteen hebben we er twee 'Carnot-integralen' aan toegevoegd die het getal π opleveren.

    Zelf kan je deze bepaalde integralen wellicht moeiteloos berekenen.

    Maar in de traditie van mijn GNOMON-blog, voeg ik hier graag een bewijs zonder woorden aan toe.




    Gezien?

    13 animated GIF

    03-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    02-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De stelling van Carnot

    DE STELLING VAN CARNOT

    Lazare  Carnot  (1753 – 1823) was een Franse wiskundige en fysicus, maar is toch het meest bekend om zijn militaire rol in de Franse Revolutie.

    Hij stamde uit een rijke advocatenfamilie en ging in 1771 in dienst bij het leger van, Napoleon, waar hij uitmuntte als ingenieur.

    Aan hem wordt een mooie stelling toegeschreven. Volgens mij één van de mooiste resultaten uit de vlakke meetkunde!


    Geniet ook even mee van het bewijs in bijlage!

    Cheezburger animated GIF

    Bijlagen:
    STELLING VAN CARNOT - bewijs.pdf (306.9 KB)   

    02-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    01-04-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.1 aprilgrap?



    DE MYTHE VAN DE KIJKCIJFERS OF EEN 1 APRILGRAP?

    UGent en VUB willen opnieuw jaarvakken invoeren


    De Gentse universiteit wil vanaf volgend academiejaar opnieuw jaarvakken invoeren voor bepaalde studierichtingen.

    Het is een van haar maatregelen om de studieduurverlenging aan te pakken en de werklast voor de student te spreiden.

    De Vrije Universiteit Brussel spreekt van een "uitzonderingsmaatregel".


     Tien jaar nadat het semestersysteem werd doorgevoerd, wil UGent opnieuw jaarvakken invoeren. 

    "Met het invoeren van het semestersysteem hebben we vastgesteld dat bepaalde vakken 
    soms wat kunstmatig werden opgesplitst in een eerste en tweede deel", verduidelijkt rector Anne De Paepe. 
    "Daar lijkt het ons logischer om er opnieuw jaarvakken van te maken.”
    Concreet wil dat zeggen dat studenten enkel op het einde van het academiejaar
    een examen moeten afleggen en dus niet twee keer per jaar.
     "De vakken worden weliswaar gekoppeld aan een reeks proefexamens in het eerste semester." 
    De herinvoering van het jaarsysteem moet de slaagkansen van de eerstejaarsstudenten doen stijgen. 


    VUB: "Uitzonderingsmaatregel"

    Ook bij de Vrije Universtiteit Brussel wordt over het herinvoeren van jaarvakken nagedacht
    "Al zou het wel meer een uitzonderings­maatregel zijn", legt vicerector onderwijs Yvette Michotte uit.
    "Indien blijkt dat een eerstejaarsvak een knelpunt vormt en dat studenten meer tijd nodig hebben om de leerstof te verwerken,
    dan kan het - mits goede motivering en pas ten vroegste volgend academiejaar - een jaarvak worden."

    Comment Picture

    KRITISCHE BEDENKING 1

    Volgehouden inspanningen gespreid over het hele jaar en continue inzet (vanaf het begin) zijn het tegenovergestelde van uitstelgedrag!

    KU Leuven wil zwaar gebuisde eerstejaars tegenhouden

    Wie aan de KU Leuven op het einde van zijn eerste jaar voor minder dan 30 procent van zijn vakken slaagt,
    mag niet voortstuderen in dezelfde opleiding.
    Dat stellen de vicerectoren van de universiteit voor.
    Een student die aan de KU Leuven in zijn eerste jaar voor minder dan 30 procent van de opgenomen studiepunten
    – zeg maar: vakken – slaagt, mag zich niet meer inschrijven in dezelfde opleiding.
    Dat idee leggen vicerectoren Didier Pollefeyt (onderwijsbeleid) en Rik Gosselink
    enige tijd geleden voor aan de onderwijsraad, waarin ook de studenten zitten.
    ‘Op die manier willen we de doorgeslagen flexibilisering terugdringen en de barslechte slaagcijfers opkrikken’, zegt Pollefeyt.
    Gelet op de besparingscontext hoopt de universiteit middelen die het nu in hopeloze studenten stopt,
    nuttiger te besteden aan studenten met meer potentieel.

    Comment Picture

     KRITISCHE BEDENKING 2

    Wie zei ook weer: "Voorkomen is beter dan genezen" ? Een ernstige ingangsproef of ijkingstoets (met bijhorende taalproef) kan veel kwaad voorkomen!

    KRITISCHE BEDENKING 3

    Toch weer leuk om vast te stellen dat onze Vlaamse universiteiten (alweer) niet tot een consensus komen.

    KRITISCHE BEDENKING 4

    Een diploma (van hoger onderwijs) is voor veel jongeren geen garantie meer voor een passende droom-job.
    En ... als ze maar gezond zijn!

    01-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    31-03-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Vierkant voor pi - deel 2

    VIERKANT VOOR PI - deel 2

    Twee dagen geleden verscheen het eerste deel van 'VIERKANT VOOR PI' op mijn blog.

    We breien hier vandaag een vervolg aan.

    [AB], [BC] en [CD] zijn drie koorden van een cirkel met straal r.

    [AB] en [BC] bepalen een hoek van 45° en ook [BC] en [CD] bepalen een hoek van 45°

    S1 is de oppervlakte van het vierkant met zijde [AB] en S2 is de oppervlakte van het vierkant met zijde [CD].

    TE BEWIJZEN:

    1) S1 + S2 is onafhankelijk van de ligging van de koorden

    2) Als S1 + S2 = 4, dan is de oppervlakte van de cirkel gelijk aan π.

    haha animated GIF

    Bewijs in bijlage.

    Collega Noud Meelen (Tilburg) vond dit een leuke opgave en zorgde meteen voor een origineel  'visueel' bewijs (zie bijlage).

    Bijlagen:
    VIERKANT VOOR PI - deel 2 - opgelost.pdf (195.3 KB)   
    VIERKANT VOOR PI - deel 2 - oplossing van Noud Meelen.pdf (201 KB)   

    31-03-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    30-03-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (44)

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    *******************************************************************************
    44

    Multibonacci - Luc Janus 

    ******************************************************************************************************

    Op de bovenstaande prent staan vijf 11-vouden afgebeeld: 11, 22, 33, 44 en 55.

    Slechts één ervan is een Fibonaccigetal. Weet je welk getal dat is?

    Wist je dat een positief geheel getal n een Fibonaccigetal is als en slechts als 5n2 + 4 of 5n2 – 4 een kwadraatgetal is?

    Er bestaan ook Tribonaccigetallen: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, ... (hiertoe behoort 44)

    en Tetranaccigetallen: 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, ...

    Zie je hoe deze getallen telkens gedefinieerd zijn?

    Bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Rij_van_Fibonacci

    ******************************************************************************************************

    In 1979 componeerde Art Garfunkel het wondermooie Bright Eyes

    dat als filmmuziek werd gebruikt voor de animatiefilm Watership Down.

    Konijntjes in de hoofdrol!

    Denk ondertussen eens na over de volgende vraag:
    welk  uniek jaartal uit de 20ste eeuw (een geheel getal tussen 1900 en 2000) is een kwadraatgetal?


     

    30-03-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    29-03-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Vierkant voor pi - deel 1

    VIERKANT VOOR PI

    Ziehier nog een uitdagend pi-opgave. Lukt het je om een bewijs te vinden?


    Tip. Noem H het snijpunt van AB en CD en zoek dan twee gelijkvormige driehoeken in de figuur.

    Of open de bijlage (liefst zonder hiervoor een konijn te gebruiken).


    Cheezburger animated GIF


    Bijlagen:
    VIERKANT VOOR PI.pdf (194.1 KB)   

    29-03-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    28-03-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Multitasking

    MULTITASKING


    Studeren en terzeldertijd luisteren naar muziek
    of met cijfers bezig zijn en tegelijk zitten eten ...
    ik heb het nooit gekund.

    Maar blijkbaar slaagde de chimpansee Ayumu hier wonderwel in.
    Kijk maar ... en trek dan zelf jouw conclusie!

    28-03-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Sangaku met vier vierkanten

    SANGAKU MET VIER VIERKANTEN


    Kies een willekeurig punt P binnen een rechthoek ABCD.
    Verbind P met twee overstaande hoekpunten A en C en daarna ook met B en D.

    Te bewijzen: |PA|2 + |PC|2 = |PB|2 + |PD|2 .

    Dit betekent uiteraard dat de twee vierkanten op de linkse figuur samen even groot zijn als de twee vierkanten op de rechtse figuur.

    ******************************************************

    En ja, een analytisch bewijs is nogal eenvoudig.
    Kies het middelpunt van de rechthoek als de oorsprong van het assenstelsel.
    Dan kan je de hoekpunten van de rechthoek de volgende coördinaten geven:
    A(-a,b), B(a,b), C(a,-b) en D(-a,-b).
    Met P(m,n) en via de formule voor de afstand tussen twee punten is de klus meteen geklaard.

    Een synthetisch bewijs (zie bijlage) vond ik minder evident.
    Gelukkig zorgde collega Noud Meelen (Tilburg) voor 'een bewijs zonder woorden’
    waarbij het volstaat vier keer de stelling van Pythagoras toe te passen.


     Gezien?

    emma stone animated GIF

    Bijlagen:
    SANGAKU MET VIER VIERKANTEN OPGELOST.pdf (72.1 KB)   

    28-03-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    27-03-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (3003)

     NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    *********************************************************************************************************

    3003

    Pascal's Triangle - Luc Janus

    ***************************************************************************************************************

    De driehoek van Pascal is een merkwaardig wiskundig studie-object.

    In de driehoek staan de zogenaamde binomiaalcoëfficiënten

    en hierin herkenden wiskundigen heel wat merkwaardige patronen en eigenschappen.

    Zie bijvoorbeeld op http://ptri1.tripod.com/.

     

    In 1971 formuleerde de Britse wiskundige David Singmaster het vermoeden

    dat 3003 wellicht het getal is dat het hoogste aantal keer voorkomt in de driehoek van Pascal

    (als we 1 niet meetellen want dat komt een oneindig aantal keer in de driehoek voor).

    Hij ontdekte dat 3003 er acht keer in staat:

    En misschien ontdek je zelf nog wel een leuke eigenschap in deze driehoek?

    27-03-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 29/04-05/05 2019
  • 22/04-28/04 2019
  • 15/04-21/04 2019
  • 08/04-14/04 2019
  • 01/04-07/04 2019
  • 25/03-31/03 2019
  • 18/03-24/03 2019
  • 11/03-17/03 2019
  • 04/03-10/03 2019
  • 25/02-03/03 2019
  • 18/02-24/02 2019
  • 11/02-17/02 2019
  • 04/02-10/02 2019
  • 28/01-03/02 2019
  • 21/01-27/01 2019
  • 14/01-20/01 2019
  • 07/01-13/01 2019
  • 31/12-06/01 2019
  • 24/12-30/12 2018
  • 17/12-23/12 2018
  • 10/12-16/12 2018
  • 03/12-09/12 2018
  • 26/11-02/12 2018
  • 19/11-25/11 2018
  • 12/11-18/11 2018
  • 05/11-11/11 2018
  • 29/10-04/11 2018
  • 22/10-28/10 2018
  • 15/10-21/10 2018
  • 08/10-14/10 2018
  • 01/10-07/10 2018
  • 24/09-30/09 2018
  • 17/09-23/09 2018
  • 10/09-16/09 2018
  • 03/09-09/09 2018
  • 27/08-02/09 2018
  • 20/08-26/08 2018
  • 13/08-19/08 2018
  • 06/08-12/08 2018
  • 30/07-05/08 2018
  • 23/07-29/07 2018
  • 16/07-22/07 2018
  • 09/07-15/07 2018
  • 02/07-08/07 2018
  • 25/06-01/07 2018
  • 18/06-24/06 2018
  • 11/06-17/06 2018
  • 04/06-10/06 2018
  • 28/05-03/06 2018
  • 21/05-27/05 2018
  • 14/05-20/05 2018
  • 07/05-13/05 2018
  • 30/04-06/05 2018
  • 23/04-29/04 2018
  • 16/04-22/04 2018
  • 09/04-15/04 2018
  • 02/04-08/04 2018
  • 26/03-01/04 2018
  • 19/03-25/03 2018
  • 12/03-18/03 2018
  • 05/03-11/03 2018
  • 26/02-04/03 2018
  • 19/02-25/02 2018
  • 12/02-18/02 2018
  • 05/02-11/02 2018
  • 29/01-04/02 2018
  • 22/01-28/01 2018
  • 15/01-21/01 2018
  • 08/01-14/01 2018
  • 01/01-07/01 2018
  • 25/12-31/12 2017
  • 18/12-24/12 2017
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Meer blogs