Bijlagen:
DE GEKNELDE CIRKEL - opgelost.pdf (191.6 KB)   

Bijlagen:
ZESPUNTENCIRKEL.pdf (173 KB)   

Bijlagen:
IN DE JUISTE PLOOI.pdf (174 KB)   

Bijlagen:
Pizza familiale - opgelost.pdf (174.6 KB)   

PARALLELLOGRAM – RECHTHOEK – VIERKANT

Hoe construeer je een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven parallellogram?

STAP 1. Construeer een rechthoek met dezelfde oppervlakte als het parallellogram.

STAP 2. Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte als de geconstrueerde rechthoek.
Dit kan via een halve cirkel waarbij b + h de lengte is van de middellijn.
Het lijnstuk met lengte z (op de onderstaande figuur) dat loodrechte staat op de middellijn
is de zijde van het gezochte vierkant.

Hieronder staat nog een 'aanverwante denkoefening' in de vorm van een SANGAKU.

ABCD is een parallellogram. F is een punt op het verlengde van de basis [BC].
E is het snijpunt van AF en de diagonaal BD en G is het snijpunt van AF met de zijde [CD].

Te bewijzen: |AE|² = |EF| . |EG|.

Vind jij hiervoor een bewijs?

Tip. Welke driehoek is gelijkvormig met Δ DEA en welke driehoek is gelijkvormig met Δ AEB?

 Los de opgave daarna met de glimlach op!

21-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal (en soms ook twee getallen) op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

3 en 4

Yes, you can! - Luc Janus

************************************************************************************************

HET KRUIKPROBLEEM (een gekend dissectievraagstukje)

Op de onderstaande figuur staat een rode kruik afgebeeld.

Kan je die kruik in vier stukken opdelen

waarmee je een vierkant kunt vormen?

En lukt het ook om de kruik in drie stukken te verdelen

waarmee je dan weer een vierkant vormt?

Oplossing(en) in bijlage.

Bekijk ook eens de oplossing die collega Noud Meelen me bezorgde vanuit Tilburg (de kruikenstad!)

************************************************************************************************

Wist je dat ...

elke even macht van een geheel getal ofwel een drievoud is, ofwel 1 meer dan een drievoud?

Voorbeelden.

(-15)² = 225 = 3 x 75
16⁴ = 65 536 = 3 x 21 845 + 1

Wist je dat ...

de vierde macht van een positief geheel getal n vermeerderd met vier, nooit een priemgetal is.

Het is bovendien steeds mogelijk het bekomen getal N = n⁴ + 4 te ontbinden

in twee factoren p en q (p > q), waarbij p – q = 4n (waarbij n het oorspronkelijke getal is).

Voorbeelden.

7⁴ + 4 = 2 405 = 65 x 37 en 65  – 37 = 4 x 7

10⁴ + 4 = 10 004 = 122 x 82 en 122  – 82 = 4 x 10

************************************************************************************************

Bijlagen:
HET PROBLEEM MET DE KRUIK.pdf (92.9 KB)   
Oplossing voor het kruikenprobleem - Noud Meelen.pdf (72.3 KB)   

Le Théorème du Petit Prince

De opgave van vandaag komt van een Kleine Prins vanop zijn asteroïde B 612.

Oplossing in bijlage.

******************************************************************************************************

Is de naam B 612 van de asteroïde vanwaar de Kleine Prins afkomstig is een geheime code?

Misschien verstopte Antoine de Saint-Exupéry hierin de volgende boodschap:
de 6de, 1ste en 2de letter van het alfabet vormen het drieletterwoord FAB (afkorting van 'fabulous') en B leest men als 'be'.
De boodschap luidt dan: BE FABULOUS of probeer op jouw manier 'fantastisch' te zijn.

En de FAB FOUR verklappen je ook nog graag eens hun geheimpje.

Bijlagen:
Le Théorème du Petit Prince.pdf (272.3 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

1933

Le Coq sur Mer - Luc Janus

In 1933 verbleef Albert Einstein ongeveer drie maanden in De Haan aan zee.
Hij was er in feite op de vlucht voor het naziregime in afwachting dat hij naar Amerika kon oversteken.

********************************************************************************************************************

Op 2 augustus 1933 ontmoette hij er in het restaurant 'Le coeur volant'
de Vlaamse schilder James Ensor, de Franse minister van Onderwijs Anatole de Monzie en een plaatselijke schoonheid.

Bijlagen:
Einstein in De Haan.pdf (87.2 KB)   

PI-RING

In een scherphoekige driehoek met basis b = 6 en hoogte h = 3 tekent men een zo groot mogelijk vierkant (zie figuur).

De ring bepaald door de omgeschreven en de ingeschreven cirkel van dit vierkant heeft als oppervlakte π.

Bewijs dit!

Applaus voor wie de oplossing vindt (en alle anderen verwijs ik door naar de bijlage).

Bijlagen:
PI-RING - oplossing.pdf (333.6 KB)   

DE BROEK VAN JANNEKE DE REUS

Wie houdt van extremumvraagstukken kan eens proberen het onderstaande probleem op te lossen.

In een carnavalsoptocht stapt de reus Janneke mee op.

Het feestcomité wil dit jaar voor hem een nieuwe broek op maat laten maken.

Hieronder staat het patroon van het voorpand afgebeeld.

De broek moet 1 meter lang zijn en de opening van de beide broekspijpen 1 dm breed.

De kleermaker laat weten dat hij hiervoor een rechthoekig stuk stof zal gebruiken.

Voor de beenopening zal hij hieruit twee vierkanten met zijde x en een driehoek wegknippen.

De totale oppervlakte van het voorpand (na het wegknippen) bedraagt nog 56 dm².

GEVRAAGD.

1. Stel een formule op voor de lengte b van de broekspijpen in functie van x.

2. Voor welke waarde van x hebben de broekspijpen een maximale lengte?

3. Hoe lang zijn de broekspijpen dan?  

Gelukt?

De oplossing zit ook in bijlage.

Bijlagen:
DE BROEK VAN JANNEKE DE REUS - oplossing.pdf (172.4 KB)   

DOMINOSOMMEN

Bekijk eens het volgende sommenpatroon:

1= 1²

1 + 2  4 = 9 = 3²

1 + 2 4 + 2  8 = 25 = 5²

1 + 2 4 + 2  8 + 2  12 = 49 = 7²

                          1 + 2  4 = 3²                                                                             1 + 2  4 + 2  8 = 5²                       
  
Maar misschien maakt een muzikale Domino je vlugger enthousiast?

15-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE TUSSENBREUK

Deze eigenschap duikt voor het eerst op in het werk Le Triparty en la science des nombres
van de Franse wiskundige Nicolas Chuquet (15de eeuw).

Snap je het onderstaande 'bewijs zonder woorden'?

*************************************************************************************************

HISTORISCHE NOTA OVER NICOLAS CHUQUET

Deze Franse wiskundige leefde in de 15de eeuw en publiceerde een van de eerste boeken in de Franse taal over rekenkunde.
De invloed van zijn werk Le Triparty en la science des nombres wordt ruim onderschat.
Zoals de titel van het boek laat vermoeden, is het ingedeeld in drie hoofdstukken.

DEEL 1. Over gehele getallen en breuken. In dit deel legt hij o.a. de regel van drie uit.
Hij introduceert ook de termen biljoen en triljoen en stelt dus voor om het getal
745324' 804300' 700023' 654321 te lezen als 745324 triljoen 804300 biljoen 700023 miljoen en 654321.

DEEL 2. Over vierkantswortels. Hij legt hierin uit hoe je manueel de vierkantswortel uit een getal trekt.

DEEL 3. Over priemgetallen.

*******************************************************************************************

Wist je dat het getal pi een breuk is ?

Maar dan wel een kettingbreuk...

14-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

A LA GRECQUE

Eeuwen geleden gingen de Griekse wiskundigen figuratief te werk.

Ze stelden dus algebraïsche eigenschappen en formules voor via meetkundige figuren.

Hieronder kan je op een bijna identieke figuur twee formules 'zien'.

EEN MERKWAARDIG VERSCHIL

(a + b)² – (a – b)² = 4ab

EEN EIGENSCHAP VAN DE FIBONACCIGETALLEN

De termen uit de van Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...)  voldoen aan

F_n+1² – F_n-2² = 4 F_n F_n-1 .

Zo is bijvoorbeeld 13² – 3²  = 4 x 8 x 5  en 8² – 2² = 4 x 5 x 3.

13-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

1961

Gagarin - Luc Janus

***********************************************************************************************

Als ik je zou vragen wat het volgende getal is in de rij 0, 1, 8, 11, 69, 88 ...
dan zal je me waarschijnlijk het antwoord schuldig blijven.

Het volgende getal is immers 96 omdat de getallen in de rij zogenaamde strobogrammatische getallen zijn.

Dit zijn getallen die niet veranderen als je ze op hun kop zet (Grieks: στροβος = rondwerveling)
1961 is het meest recente jaartal dat strobogrammatisch is
en we zullen tot 6009 moeten wachten voor het eerstvolgende dergelijk jaartal.

12-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

PARABOLEN GEVEN HUN GEHEIM PRIJS

Hoe kan je op de grafiek van een parabool met als functievoorschrift y = f(x) = ax² + bx + c

de waarde van de coëfficiënten a, b en c aflezen?

1. Voor de waarde van a : ga vanuit de top T één eenheid horizontaal naar rechts;

dan is a de relatieve verticale afstand vanuit dat punt tot aan de parabool.

a > 0 als je naar boven moet gaan en a < 0 als je naar beneden moet gaan.

In het bovenstaande voorbeeld is a = 1.

2. Voor de waarde van b bereken je (f(1) - f(-1))/2. In het voorbeeld is b = (-1 – 7)/2 = -4.

De waarde van b is eveneens de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de parabool

in het snijpunt met de y-as, want f '(x) = 2ax + b en dus is f ' (0) = b.

3. De waarde van c is de y-coördinaat van het snijpunt S van de parabool met de y-as.

In het voorbeeld is c = 2.

Besluit: de afgebeelde parabool heeft als vergelijking y = x² – 4x + 2.

Bijlagen:
Vier parabolen.pdf (126.2 KB)   

DE COSINUSREGEL

In de meeste wiskundehandboeken die men in het Vlaamse onderwijs gebruikt,
bewijst men de cosinusregel apart voor een scherphoekige en een stomphoekige driehoek
door gebruikt te maken van de stelling van Pythagoras (die zelf een speciaal geval is van de cosinusregel).

Hieronder staat een mooi bewijs zonder woorden voor zowel een scherphoekige als een stomphoekige driehoek.
Bron: Wikipedia.

Bewijs voor een scherphoekige driehoek door de oppervlakte van een zevenhoek op twee manieren te berekenen.

Bewijs voor een stomphoekige driehoek door de oppervlakte van een zevenhoek op twee manieren te berekenen.

**************************************************************************************************************

Allemaal goed en wel, maar voor onze studenten is het eenvoudigste bewijs vaak al moeilijk genoeg!

Wat vind je dan van het onderstaande bewijs dat gebruik maakt van de formule voor de afstand tussen twee punten?

**************************************************************************************************************

Kan je nu ook de onderstaande vraag correct beantwoorden?

© Vlaamse Wiskunde Olympiade, eerste ronde 2013

10-04-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

VIER KEER ZO GROOT

In een vierkant ABCD tekent men een halve cirkel met middellijn [CD] en middelpunt M.

AE is een raaklijn uit A aan deze halve cirkel en E is het raakpunt (zie figuur).

Dan is de oppervlakte van Δ ADE vier maal de oppervlakte van Δ MEC.

Bewijs dit!

En je hoeft heus niet te reageren zoals Leonardo DiCaprio als je het bewijs niet vindt.

Lees gewoon de bijlage!

Bijlagen:
VIER KEER ZO GROOT - opgelost.pdf (217.5 KB)   

PRIEMRAD

Enige tijd geleden bezorgde collega Odette De Meulemeester me een mooi priemprobleemje.
 Het probleem is oorspronkelijk (in een aangepaste vorm) een 'BreinBrekerBedenksel' van Peter Jeuken.

Een fabrikant van reuzenraderen is een liefhebber van priemgetallen.
Hij ontwerpt als oefening een klein rad met 9 gondels
en elke gondel krijgt een verschillend cijfer van 0 tot en met 9 opgeplakt.
Op de centrale draaias komt het resterende tiende cijfer.
Als je de cijfers van twee opeenvolgende gondels neemt (met de wijzers van de klok mee)
gevolgd door het centrale cijfer, moet er steeds een priemgetal ontstaan.
Hoe slaagde de fabrikant hier in?

Hieronder staat een oplossing met 3 op de draaias.

De priemgetallen zijn: 173, 743, 463, 683, 823, 293, 953, 503 en 13.

OPGAVE.
Kan je nu zelf een priemrad bedenken met 9 gondels
waarbij weer alle cijfers van 0 tot en met 9 één keer voorkomen
en waarbij het cijfer 9 op de draaias staat?

                                              

Bijlagen:
Priemrad met 9 op de draaias - opgelost.pdf (104.2 KB)   

DE SANDWICH-EIGENSCHAP

Wie het probleem van gisteren kon oplossen, zal ook ongetwijfeld dat van vandaag 'in een wip' oplossen.

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
DE SANDWICH-EIGENSCHAP - opgelost.pdf (178.5 KB)   

PROBLEEM  MET EEN GULDEN RECHTHOEK

We trakteren we je vandaag op een probleem met een gulden rechthoek.

Los je dit met de nodige schwung op?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
PROBLEEM MET EEN GULDEN RECHTHOEK - opgelost.pdf (171 KB)