WAAROM WISKUNDE STUDEREN?

De TED-conferenties (Technology, Entertainment, Design) werden in 1984 voor het eerst georganiseerd in Californië.
Tijdens deze jaarlijkse vierdaagse bijeenkomst worden sprekers uitgenodigd
 om in maximaal 18 minuten "de presentatie van hun leven" te geven
over hun gebied van expertise, over een bepaald project,
of iets waarvan zij vinden dat het een idee is dat verspreid moet worden.

Alhoewel iedereen het nut van wiskunde kent vanuit berekeningen en concrete toepassingen,
 wijst Arthur Benjamin er ons in de onderstaande video op dat wiskunde ook uitnodigt om creatief te denken. 
In 6 minuten laat hij ons op een enthousiaste en aanstekekelijke manier
meegenieten van de zuivere schoonheid van de wiskunde via de magie van de Fibonaccigetallen.

Ik verwijs in dit verband graag naar een eerdere publicatie op mijn blog:
Fibonacci in het kwadraat (06-11-2013).

18-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

17-01-2014 om 11:35 geschreven door Luc Gheysens  

DE DETERMINANTFORMULE
VOOR DE OPPERVLAKTE VAN EEN DRIEHOEK 

Van een gegeven driehoek ABC met co(A) = (x₁, y₁), co(B) = (x₂, y₂) en co(C) = (x₃, y₃)
is de oppervlakte gelijk aan

Het bewijs hiervan zit in de bijlage

Hierbij moet men de absolute waarde nemen van een determinant van orde 3.
Die is eenvoudig te herleiden tot 3 determinanten van orde 2.
Als men bovendien de hoekpunten van de driehoek in een volgorde plaatst
zodat men de omtrek vanaf  A via B naar C in tegenwijzerzin loopt (zie onderstaande figuur),
hoeft men ook de absolute waarde niet meer te nemen.

In het volgende (Engelstalig) filmpje zie je hoe men zo
de oppervlakte van de bovenstaande driehoek berekent.

Bijlagen:
Determinantformule oppervlakte driehoek.pdf (114.8 KB)   

 

PROBLEEM 18

Twee cirkels C₁ en C₂ met middelpunten M en N en stralen r₁ en r₂ raken elkaar uitwendig in het punt P.
[AB] en [CD] zijn twee evenwijdige middellijnen van deze cirkels.
Een derde cirkel C₃ met middelpunt O gaat door de punten A, B, C en D.
Toon aan dat de gebieden die in het rood en het groen gekleurd zijn
(zie onderstaande figuur) dezelfde oppervlakte hebben.

UITVINDING 18

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 18_oplossing.pdf (205.3 KB)   

REGELMAAT VERSUS BEWIJS

Bij de studie van rijen is een klassieke vraag:
zoek de volgende term in de rij.

Enkel voorbeelden:
1, 3, 9, 27, ...    (volgende term: 81)
1, 2, 4, 7, 11, ...  (volgende term: 16)
1, 4, 13, 40, 121, ... (volgende term: 364 want telkens maal 3 plus 1)
3, 1, 4, 1, 5, ... (volgende term: 9 want π = 3,14159...)

Bij het onderstaande probleem komt men echter tot een 'verrassende' volgende term.



Neem 2, 3, 4, 5, ... punten op een cirkelomtrek
en verbind elk punt met alle andere punten.
Wat is dan het maximale aantal gebieden waarin de cirkelschijf wordt verdeeld
en hoeveel gebieden krijg je maximaal wanneer je 6 punten kiest?

Op de bovenstaande figuur lees je het antwoord af
voor 2 punten → 2 gebieden
voor 3 punten → 4 gebieden
voor 4 punten → 8 gebieden
voor 5 punten → 16 gebieden
en dus voor 6 punten → ??? gebieden.
Logischerwijze denk je dan aan 32 gebieden, maar dit blijkt niet juist te zijn.



Tel je dit zelf even na?

En hier zit precies de kracht van een wiskundig bewijs!
Leo Moser bewees de algemene formule voor het aantal gebieden bij n punten:



of met behulp van binomiaalcoëfficiënten:

Het volstaat dus niet vast te stellen dat een bewering waar is
in een groot aantal gevallen waarvoor men die verifieert.
Het onderstaande filmpje maakt dit nog eens duidelijk.

Bijlagen:
Regions in a circle.pdf (48.9 KB)   

PARADOX VAN BERTRAND



Joseph Bertrand
Calcul des probabilités (1889)
 
Wanneer men in de kansberekening te maken heeft men kansen
waarbij er een oneindig aantal keuzes mogelijk zijn
(bijvoorbeeld bij het kiezen van een punt in een driehoek of in een cirkel)
dan kan men tot schijnbaar tegenstrijdige resultaten komen.

Het typevoorbeeld hiervan is de paradox van Bertrand.
Bron: http://www.hhofstede.nl/paradoxen/bertrand.htm .

Teken een cirkel en teken daarin een willekeurige koorde.
        Hoe groot is dan de kans dat deze koorde langer is
dan de zijde van de ingeschreven gelijkzijdige driehoek? 

Er blijken hier drie verschillende manieren te zijn om die kans te berekenen.    

METHODE 1
Draai de driehoek zodat de (groene) koorde evenwijdig is met één van de zijden.
Het midden van de koorde ligt dan op de (blauwe) middelloodlijn van die zijde.
De gekozen koorde is langer dan de zijde van de driehoek
als het midden van die koorde tussen de twee rode punten ligt. 
Dus is de kans = 1/2.      

METHODE 2
Draai de driehoek zodat een hoekpunt ervan samenvalt met een (rood) eindpunt van de (groene) koorde.
Elke koorde maakt een hoek met de raaklijn in dat (rood) punt die varieert van 0° tot 180°.
De gekozen koorde is langer dan de zijde van de driehoek
als ze binnen de tophoek van de driehoek valt.
Die tophoek is 60° en bijgevolg is de kans 1/3.



METHODE 3
Teken de ingeschreven cirkel C_i van de gelijkzijdige driehoek.
De straal van deze cirkel is de helft van de straal van de omgeschreven cirkel C_O
en dus is de oppervlakte van C_i gelijk aan 1/4 van de oppervlakte van C_O.
De gekozen (groene) koorde is langer dan de zijde van de driehoek
als het midden van die koorde binnen C_i valt
en bijgevolg is die kans 1/4.

           Bij dit soort van problemen moet men dus nader omschrijven hoe dat lukraak kiezen gebeurt!

14-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

WISKUNDE EN LANDMEETKUNDE

Prof. Dr. Ir. Alain De Wulf, een oud-leerling die al jarenlang verbonden is aan de afdeling Landmeetkunde (UGent) 
bezorgde me een reeks uitdagende opgaven die je met behulp van driehoeksmeting en vlakke meetkunde kunt oplossen.

Benieuwd hoeveel laatstejaarsstudenten van het middelbaar onderwijs deze twee opgaven zouden kunnen oplossen.

Bijlagen:
Opgaven landmeetkunde - oplossingen.pdf (233.8 KB)   

Kan je het volgende probleempje oplossen?

Tijdens een luchtshow vliegen 9 vliegtuigjes netjes op één rij in formatie achter elkaar.
De echtgenote van piloot F. Picket vroeg hem op welke positie hij vloog.
Picket antwoordde met het volgende raadsel:
"Het product van het aantal vliegtuigen voor mij en het aantal achter mij
is 3 kleiner dan het zou geweest zijn als ik 3 plaatsen meer naar achteren had gevlogen."

Op welke positie vloog F. Picket?



BOMMEN EN KANSREKENEN

Farid nam vaak het vliegtuig en was altijd bang dat er een bom aan boord zou zijn.
Zijn vriend Hassan, een wiskundige uit Jemen stelde hem gerust.
Hij had immers berekend dat die kans maar 1 op 10 miljoen was.
 En de kans dat er 2 bommen aan boord zouden zijn van eenzelfde vliegtuig
was volgens zijn berekeningen maar 1 op 10 miljard of zo goed als nul.

Sedertdien neemt Farid altijd zelf een bom mee aan boord.

12-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Zonet heb ik de nieuwste thriller INFERNO van Dan Brown gelezen.
In het boek komt de problematiek van de bevolkingsexplosie en van het voedselprobleem aan bod.

Op de onderstaande grafiek kan je zien dat de bevolkingstoename in de laatste eeuw vrij dramatisch is (1 billion = 1 miljard)
en de cijfers liegen er niet om:

1804 jaar: 1 miljard
123 jaar later: 2 miljard
33 jaar later: 3 miljard
15 jaar later: 4 miljard
12 jaar later: 5 miljard
12 jaar later: 6 miljard
12 jaar later: 7 miljard



Ik vroeg me dan ook af hoeveel mensen er in totaal al op aarde geleefd hebben.
Een antwoord vond ik op www.scientias.nl:

Er zijn veel factoren die het moeilijk maken om de mensheid van begin af aan te tellen.
Daardoor is het moeilijk om precies te bepalen hoeveel mensen er ooit op aarde hebben gelopen.
Maar als we in acht nemen dat de mens rond 50 000 voor Christus al bestond,
dan hebben er in totaal zo’n 107 miljard mensen voet gezet op de planeet.
Momenteel leven er zo’n 7 miljard – dat is 6,5 procent van het totale aantal mensen dat ooit heeft geleefd.



PARADOX VAN HET AANTAL VOOROUDERS

Je hebt twee ouders, die elk weer twee voorouders hebben, die op hun beurt elk twee voorouders hadden ….
Als we rekenen dat er per eeuw drie generaties hebben geleefd, dan komen we zo voor de voorbije 20 eeuwen op 60 generaties.
Dit betekent dat je bij het begin van onze jaartelling 2⁶⁰ of ongeveer 10¹⁸ voorouders had.

10¹⁸ = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 miljoen x 1 miljoen x 1 miljoen = 1 triljoen.

Maar dit is beduidend meer dan het aantal mensen dat er ooit op onze aardbol leefde.
Hier klopt iets niet ... en hopelijk ben je het roerend met me eens!

11-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Lucie speelt een rekenspelletje met haar broer Janus.
Zij zegt het volgende:
"Denk aan een getal van 1 tot en met 60.
Geef me de resten bij deling door 3, 4 en 5
en ik zal je zeggen welk getal je in gedachten hebt genomen."

Janus neemt het getal 26 in gedachten
en zegt dus dat de resten respectievelijk 2, 2 en 1 zijn.

Dan neemt Lucie een rekenmachientje.
Als de resten a, b en c zijn, dan berekent zij hiermee G = 40a + 45b + 36c.
Aangezien hier a = 2, b = 2 en c = 1 bekomt zij zo het getal G = 206.
Van dit getal berekent zij de rest r bij deling door 60
en vindt zo dat r = 26 (want 206 = 60 x 3 + 26).
Dit is meteen het getal dat haar broer Janus had gekozen!

Maar kan je ook verklaren waarom dit procédé altijd het gezochte getal oplevert?

Antwoord in bijlage.
 

Bijlagen:
REKENRAADSEL.pdf (48.1 KB)   

 

PROBLEEM 19

In een vierkant ABCD met zijde z construeert men twee even grote cirkels C₁ en C₂
die respectievelijk raken aan de zijden [AD] en [BC]
en die elkaar raken in het middelpunt M van het vierkant.
Een derde cirkel C₃ raakt aan de zijde [AB] en raakt ook aan de twee andere cirkels.
Bepaal de straal van de cirkel C₃ in functie van de zijde z van het vierkant.

UITVINDING 19

Om de honing los te krijgen uit de raten plaatste men die traditioneel in de zon
onder een glazen wand zodat de honing door de zonnewarmte kon lossmelten uit de raten.
Hierdoor verloor de honing echter veel van zijn aroma.
Vandaar dat men een soort mechanische centrifuge bedacht
waarbij men de raten via een hendel kon laten ronddraaien.
Hierdoor verliep het gehele procédé vlugger
en was de honing blijkbaar van een veel betere kwaliteit.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 19_oplossing.pdf (130.7 KB)   

DE PARADOX VAN DE BOLZONE

Als kind was ik gefascineerd door de zogenaamde Jastrow-illusie.
Het blauwe stukje karton op afbeelding links lijkt kleiner te zijn dan het gele stukje,
maar wanneer men ze van plaats verwisselt blijkt het blauwe het grootste te zijn!


       

Dit herinnert me er aan dat ik als toepassing op de integraalrekening 
aan mijn leerlingen de volgende opgave meegaf.

Welke van de drie onderstaande figuren heeft de grootste oppervlakte:
een bolkap met hoogte h op een bol met straal r,
een bolzone met hoogte h op een bol met straal r,
of een strook met hoogte h op de cilinder die omgeschreven is aan een bol met straal r?

Weet jij het?

 

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Paradox van de bolzone verklaard.pdf (212.9 KB)   

EEN PARADOXAAL GETAL

Bestaat er een getal G dat kleiner is dan zichzelf?
Blijkbaar wel.
We maken hierbij gebruik van het feit
dat breuken kleiner worden als men de noemers vergroot.



Wat is hier fout?

07-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE BANK EN DE ZEEMEERMIN
Een paradoxaal verhaaltje.

Bron: Pythagoras, jaargang 12 1972/1973

Een bank beschikt over oneindig veel euro's.
De directeur heeft naast de bank een vijver met daarin een zeemeermin.
 Hij gooit elk uur twee euromuntstukken in de vijver en de zeemeermin gooit er na een half uur één van terug.
Hoeveel euromuntstukken houdt de bankdirecteur uiteindelijk over?

Versie 1.
Hij gooit munt 1 en 2 in het water en de zeemeermin gooit 2 terug.
Hij gooit daarna munt 3 en 4 in het water en de zeemermin gooit munt 4 terug.
Uiteindelijk hebben ze er elk evenveel
want de directeur houdt de even nummers over en de zeemeermin de oneven nummers!

Versie 2.
Hij gooit munt 1 en 2 in het water en krijgt munt 1 terug.
Hij gooit daarna munt 1 en 3 in het water en krijgt 1 terug.
Hij gooit dan munt 1 en 4 in het water en krijgt 1 terug.
Uiteindelijk houdt de zeemeermin alle euromunten op één na!

Versie 3.
Hij gooit munt 1 en 2 in het water en krijgt munt 1 terug.
Hij gooit daarna munt 3 en 4 in het water en krijgt 2 terug.
Hij gooit munt 5 en 6 in het water en krijgt munt 3 terug.
Na 10 keer heeft de zeemeermin de munten 1 tot en met 10 teruggegooid.
En na 1000 keer is ze de munten 1 tot en met 1000 terug kwijt.
Uiteindelijk geraakt ze alle munten kwijt
(ook munt 75 953 want die gooit ze bij de 75 953^ste  beurt terug)!

 

06-01-2014 om 20:51 geschreven door Luc Gheysens  

TWEE FOUTIEVE BEWIJZEN

Hieronder geven we het bewijs van twee gekende stellingen.
Deze bewijzen vind je echter niet terug in de handboeken.
Weet jij soms wat er mis mee is?

STELLING 1.
De som van de hoeken van een willekeurige driehoek is 180°.

Fout in de redenering. Men gaat er hier van uit dat de som van de hoeken bij elke driehoek gelijk, is...

 STELLING 2 (Pythagoras)
Bij een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde
gelijk aan de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden.

Fout in de redenering: de formule sin² β + cos² β = 1 is zelf een gevolg van de stelling van Pythagoras. 

06-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Iedere liefhebber van merkwaardige getallen
kent ongetwijfeld de bijzondere eigenschap van het getal 142 857:

1 x 142 857 = 142 857
2 x 142 857 = 285 714
3 x 142 857 = 428 571
4 x 142 857 = 571 428
5 x 142 857 = 714 285
 6 x 142 857 = 857 142 

Je bemerkt dat bij vermenigvuldiging van dit getal met 1, 2, 3, 4, 5 of 6 de cijfers cyclisch permuteren. Via de onderstaande schijf kan je deze 6 bewerkingen gemakkelijk uitvoeren. Je hoeft maar de cijfers op de buitenste ring in wijzerzin te doorlopen en je begint bij het overeenkomstig cijfers op binnencirkel waarmee je 142 857 wenst te vermenigvuldigen.

Maar hoe verklaar je dit? Het antwoord lees je in de bijlage. En blijkbaar valt er nog meer te vertellen over 142 857   10 = 3 + (7 × 1) 100 = 2 + (7 × 14) 1 000 = 6 + (7 × 142) 10 000 = 4 + (7 × 1 428) 100 000 = 5 + (7 × 14 285) 1 000 000 = 1 + (7 × 142 857) 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 waarbij 2 + 7 = 9 14 + 28 + 57 = 99 142 + 857 = 999 142 857 × 7 = 999 999 142 8572 = 20 408 122 449 en 20 408 + 122 449 = 142 857

Bijlagen:
142857 verklaard.pdf (156 KB)   

Deze morgen vernam ik via de radio dat Phil Everly zopas overleden is.
In de jaren '50 en '60 vormde hij samen met zijn broer Don de Everly Brothers,
een van de meest toonaangevende duo's in de rockgeschiedenis.

Je kunt hier nog even meegenieten van hun minder gekende song Problems (Phil staat links op de foto)
en ondertussen kan je misschien ook een eenvoudig wiskundig probleempje oplossen.

EENVOUDIG PROBLEEM

Schrijf vier opeenvolgende gehele getallen op.
Het kwadraat van het derde getal verminderd met het eerste
is dan gelijk aan het kwadraat van het tweede getal vermeerderd met het vierde.

Voorbeeld 1. De getallen zijn 7, 8, 9 en 10. Dan is 9² – 7 = 8² +10 = 74. 
Voorbeeld 2. De getallen zijn -13, -12, -11 en -10. Dan is (-11)² – (-13) = (-12)² + (-10) = 134.

 Weet jij ook waarom dit altijd klopt?

04-01-2014 om 12:20 geschreven door Luc Gheysens  

SHOPPINGPROBLEEMPJE

Debora en Vanessa, twee modebewuste tieners gingen deze week shoppen in Brussel.
Ze kochten iets in vier verschillende winkels.
In de eerste winkel gaven ze de helft van hun beschikbare budget plus 4 euro uit.
In de tweede winkel gaven ze weer de helft van het resterende bedrag plus 4 euro uit.
In de derde winkel spendeerden ze nog eens de helft van het resterende bedrag plus 4 euro.
In de vierde winkel gaven ze tenslotte nog eens de helft van de rest plus 4 euro uit.
Hiermee was hun budget helemaal opgebruikt.

Hoeveel hadden ze oorspronkelijk op zak om te gaan shoppen?

Hint. Dit probleem kan je oplossen zonder gebruik te maken van een vergelijking!

In de bijlage zit het antwoord (eerst zelf eens zoeken a.u.b)
en een analoog probleem uit de 17de eeuw.

Bijlagen:
Opgelost zonder vergelijkingen.pdf (126.9 KB)   

 

Uitstekende vingeroefening om stress tegen te gaan...  Met dank aan Rajesh Narayanan

03-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 20

Drie duikers haalden uit een scheepswrak een schatkist op.
Hierin zaten tussen 100 en 200 goudstukken.
De oudste duiker verdeelde de goudstukken in drie gelijke stapeltjes
en hield dan nog één goudstuk over dat hij overboord gooide.
Hij nam één stapeltje mee voor zichzelf en plaatste de rest weer in de kist.
De tweede en de jongste duiker deden daarna net hetzelfde.
Toen ze in de haven aankwamen gaf de havenkapitein aan elke duiker
evenveel goudstukken van het aantal dat toen nog in de kist overbleef
en hij hield nog één goudstuk over voor zichzelf.
Hoeveel goudstukken zaten er oorspronkelijk in de opgehaalde kist?

  UITVINDING 20

Een tanathophoor is letterlijk een 'doodbrenger'.
Dit toestel was een soort kachel die men in serres plaatste om parasieten en schadelijke insecten te doden.
Men verbrandde er tabaksbladeren in en de rook bleek een efficiënt verdelgingsmiddel te zijn.
Nadeel waren dan weer de geur en het stof die bij de verbranding in de serres achterbleven.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 20_oplossing.pdf (112.3 KB)