Katja heeft een rare manier om twee getallen
tussen 10 en 100  met elkaar te vermenigvuldigen.
Kijk maar:

Had jij het zo al bekeken:
(10a + b) x (10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd ?

 

29-11-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In de 19de eeuw doken heel wat vraagstukjes op over zandlopers.
We vermelden hier twee van die klassieke probleempjes.


PROBLEEM 1

Hoe kan je met een zandloper van 3 minuten
en een zandloper van 4 minuten 
een tijdsinterval van 5 minuten afmeten?


PROBLEEM 2

Hoe kan je met een zandloper van 4 minuten
en een zandloper van 7 minuten
een tijdsinterval van 9 minuten afmeten?



In bijlage zitten de oplossingen
en in een tweede bijlage behandelt collega Koen De Naeghel
dit soort vraagstukjes op een meer algemene wiskundige manier.

Bijlagen:
Twee zandlopers - Koen De Naeghel.pdf (292 KB)   
Zandlopers - oplossingen.pdf (88.9 KB)   

 

PROBLEEM 25

Stel S_A(n) = de derdemacht van de som van de eerste n oneven natuurlijke getallen
d.w.z. S_A(n) = [1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)]³
   en S_B(n) = de som van de derdemachten van de eerste n oneven natuurlijke getallen 
d.w.z. S_B(n) = 1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n – 1)³.
Toon aan dat S_B(n) = 2n⁴ – n²
en dat S_A(n) –  S_B(n) een kwadraatgetal is voor elke waarde van n.

Wanneer bakkers hun deeg lieten gisten, hadden ze vaak last van ongedierte.
Daarom werd deze gistingskorf ontworpen die bestond uit een speciaal soort riet.
Men plaatste het deeg in de korf die met een folie werd afgesloten.
Om te controleren of het deeg hoog genoeg was gerezen,  keek men na
of de hendel die zich boven de korf bevond voldoende was omhoog gegaan.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 25_oplossing.pdf (156.6 KB)   

DE BRUID VAN DE SULTAN

Sultan Abu Gheil Sharif besluit zich een jonge vrouw als bruid te kiezen.
Er zijn precies 100 kandidaten.
De sultan heeft zijn hofwiskundige geraadpleegd en die gaf hem de volgende raad:
"Laat eerst 100/e of ongeveer 37 meisjes voorbijparaderen (e = 2,718... is het getal van Euler)
en kies daarna het eerstvolgende meisje dat je geschikt vindt, als bruid."
Hoe groot is de kans dat er toch nog een betere keuze is bij de resterende kandidaten?

Het onderstaande filmpje probeert hierop een antwoord te geven.

In de bijlage vind je een wiskundige verklaring van deze paradox
die eigenlijk een gevolg is van een experiment van Michelson en Morley in 1887
waarbij ze konden aantonen dat de lichtsnelheid constant is, d.w.z. onafhankelijk van de waarnemer.

Bijlagen:
TIJDDILATATIE verklaard.pdf (75 KB)   

Ze bestaan in alle formaten en kleuren
en wellicht heb jij er ook enkele in huis hangen
rond deze tijd van het jaar:

KERSTBALLEN

Tijd dus voor een kerstbalraadsel.

Op de bovenstaande figuur zie je een kerstbal (cirkel)
waarin vijf cirkels getekend zijn:
4 grote cirkels met straal R en een kleine cirkel met straal r.
Ze raken onderling aan elkaar.
Hoe groot is de verhouding R : r?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Kerstbalraadsel - oplossing.pdf (194.1 KB)   

MEETKUNDE MET LUCIFERS

SPIEGELBEELD

Ziehier een klassiek lucifersspelletje.
De visfiguur hieronder is gevormd met 8 lucifers en een papiersnipper.
Kan je ervoor zorgen dat de vis naar de andere kant zwemt
door de papiersnipper en 4 lucifers te verplaatsen?
Maar kan je dit ook door slechts 3 lucifers te verplaatsen?



PYTHAGORAS EN LUCIFERS

De rechthoekige driehoek op de linkse figuur hieronder is een 3-4-5-driehoek
(3² + 4² = 5² verwijst meteen naar de stelling van Pythagoras).
We maken de afspraak dat de oppervlakte van het vierkantje ernaast de eenheid is.
Kan je door  4 lucifers te verplaatsen die driehoek omvormen
tot een figuur met een oppervlakte van 3 eenheden?
Let wel: de omtrek van de figuur moet gevormd worden met de 12 lucifers.

  

Oplossingen in bijlage.

Bijlagen:
OPLOSSINGEN VAN DE LUCIFERSSPELLETJES.pdf (198.8 KB)   

REKENEN MET BREUKEN

OPGAVE OVER BREUKEN

Om snel een breuk te vinden die tussen 2/5 en 5/12 ligt, ga je als volgt te werk.
Neem de breuk waarvan de teller gelijk is aan de som van de tellers van 2/5 en 5/12
en waarvan de noemer gelijk is aan de som van de noemers.
Zo bekom je de breuk 7/17 en je kunt narekenen dat 2/5 < 7/17 < 5/12.
Kan je bewijzen dat deze werkwijze altijd lukt?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Eigenschap van breuken (tussenbreuk).pdf (154.1 KB)   

KENNEDYRAADSEL

Op 22 november 2013 is het precies 50 jaar geleden
dat de Amerikaanse president J.F. Kennedy in Dallas werd doodgeschoten.  
Wie hem heeft vermoord en wie achter de aanslag zat, is nog steeds een raadsel.
 
Een raadsel dat gemakkelijker op te lossen is, vind je hieronder.

Hoe kan je met behulp van de getallen 22, 11, 1, 9, 6 en 3 (verwijzend naar 22 november 1963)
het getal 1963 bekomen via eenvoudige rekenkundige bewerkingen?
Op de eerste lijn hieronder staat een oplossing waarbij machtsverheffing voorkomt.
Kan je nu zelf op de tweede regel de cijfers 1, 9, 6 en 3 invullen zodat de som klopt?

22-11-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 26

Een rechte vanuit het hoekpunt A van een vierkant ABCD
snijdt de zijde [BC] in E en het verlengde van [DC] in F.
Bepaal de oppervlakte van het vierkant ABCD als |AE| = 30 en |EF| = 10. 

   UITVINDING 26

  

Toen men 150 jaar geleden wit linnengoed moest wassen
gebruikte men hierbij bleekmiddelen die vaak voor pijnlijke handen zorgden.
Dit toestel werd ontworpen om het contact deze chemische stoffen te vermijden.
Men goot het wasmiddel in een houtje bakje
Men plaatste het linnen in het bakje op een bodem die uit rollende houten staafjes bestond.
Met een hendel kon men dan een gekartelde plank heen en weer bewegen over het linnen.
Bovendien kon de druk op het linnen worden geregeld.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 26_oplossing.pdf (182.7 KB)   

WISKUNDE: WAAROM? DAAROM!

Wiskunde, in het juiste perspectief bekeken,
is niet alleen waarachtig, maar van een uitzonderlijke schoonheid
koud en sober
zonder de overbodige franjes van schilderijen en muziek
Bertrand Russell

In anderhalve minuut krijg je hier een impressie over de kracht van de wiskunde.
Je klikt best eerst op de het symbool in de rechterbenedenhoek voor een schermvullend beeld.



Een wiskundige formule voor geluk:
de werkelijkheid gedeeld door de verwachtingen.

Wiskunde: een hartelijke wetenschap!

Schoenmaker (en wiskundige): blijf bij uw leest!

Ook een WORDLE waarin 12 leuke woordjes verwerkt zijn kan me een GOED GEVOEL geven!

20-11-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

STELSELS

In wiskundehandboeken tref je stelsels aan van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden.
Hoe los je echter een stelsel op met 3 onbekenden
wanneer er maar 2 vergelijkingen gekend zijn
en als je weet dat de oplossing bestaat uit positieve gehele getallen?

 

Sinterklaas heeft een goed gevuld pak mee waarin precies 100 geschenkjes zitten:
speelgoed (€ 10 per doos), knutselgerief (€ 3 per pakket) en snoepjes (€ 0,50 per stuk).
De totale waarde van het pakket bedraagt precies 100 euro.
Als je weet dat er minstens één doos speelgoed in het pak zit,
hoeveel pakketjes knutselgerief en hoeveel snoepjes zitten er dan in?

 Zuster Felicia was deze morgen blij verrast toen ze in de offerblok € 100 vond
in muntstukjes van € 0,05, € 0,10 en € 2 en in totaal waren dat precies ook 100 muntstukjes.
Hoeveel muntstukken van € 2 zaten er dan in de offerblok?

Annelien heeft voor haar naaiclubje inkopen gedaan:
lappen jeansstof (€ 15 euro per lap),
bobijntjes naaigaren (€ 1 per bobijntje) en knopen (€ 0,25 per knoop).
Ze heeft in totaal 100 stuks voor een bedrag van € 100.
Hoeveel lappen jeansstof heeft ze aangekocht?

En voor wie wat meer wil
is er ook nog een opgave met 2 vergelijkingen en 4 onbekenden.

 Fideel is een verstokte roker.
Hij kocht onlangs in totaal 100 sigaren voor een bedrag van € 100.
Hij maakte hierbij een keuze uit sigaren van de volgende prijzen (per stuk):
cigarillo's van € 0,50, inlandse sigaren van € 3 en € 7 en havana's van € 10.
Hoeveel kocht hij er dan van elke soort als je weet
dat hij er minstens één van de 4 verschillende soorten kocht?

Bijlagen:
Oplossing van de vier stelsels.pdf (218.7 KB)   

18-11-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In 1976 gaf ik voor het eerst wiskundeles aan een groep enthousiaste jonge snaken
van de 4de Wetenschappelijk A en 4de Latijn-wiskunde
in het toenmalige Kortrijkse Sint-Jozefinstituut.

Op 15-11-2013 zagen we elkaar - na 37 jaar - terug in het Parkhotel
en blijkbaar heeft de energie die ik toen in deze groep investeerde heel wat rendement opgebracht.

We hadden het die avond onder andere over ...

... het fel gewaardeerde opvoedingsproject van de Broeders van de Christelijke Scholen

     

   ... de legendarische studiereizen naar Londen en Parijs      

... de onverdroten inzet van de leerkrachten

... de deugddoende contacten met de meisjesschool aan de overkant van 't Plein

     

         ... en het bewijs dat 1 = –1.

Ik dacht er meteen ook aan dat het priemgetal  37 nog een heel bijzondere eigenschap heeft.
Schrijf een getal op van 3 cijfers dat een veelvoud is van 37, bijvoorbeeld 518 (= 14 x 37).
Schrijf dan de twee cyclische permutaties op van dat getal.
Die bekom je door telkens het achterste cijfer vooraan te zetten: 851 en 185.
Trek het kleinste af van het grootste: 851 – 185 = 666 (= het getal van het Beest).
Welke twee andere uitkomsten kan je bekomen en waarom?   

17-11-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

17-11-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

ILLUSIES



Een lijn is een punt dat even op stap is.

Wat wiskundige paradoxen zijn voor de denker
zijn optische illusies voor de kijker.

Yesterday and tomorrow: illusions.
Today: a gift.
That's why it's called the present.

In het begin was er niets en toen is het ontploft.




Honda pakte onlangs uit met een verrassend promotiefilmpje
waarin enkele optische illusies zijn verwerkt.
Kijk maar!



Googel ook eens naar:

Ebbinghaus-illusie
Ponzo-effect
Maan-illusie
Illusie van Ehrenstein
Bouba-kiki-effect
Illusie van Ouchi
Jastrow illusie




Kijk 20 seconden lang naar deze foto
en je zal hierin een giraf zien.

16-11-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

MyScript MathPad - Handwriting LaTeX generator

Collega Dorine Claeys maakte me attent op een nieuwe en bruikbare App 
die jouw handgeschreven formules omzet naar een lay-out in LaTeX.

Hieronder zie je hoe ik dit met succes heb uitgeprobeerd.

Info op https://itunes.apple.com/app/myscript-mathpad/id674996719

Zo start deze dag weer met een goed gevoel!

15-11-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

MAGISCH DOMINOVIERKANT

Hieronder staat genieten een magisch dominovierkant
waarbij de som van het aantal stippen op de 4 blokjes
in elke rij, in elke kolom en op de twee diagonalen gelijk is aan 18.

DOMINOSTENEN EN DRIEHOEKSGETALLEN

Toen ik onlangs de 28 dominoblokjes volgens het onderstaande patroon op tafel legde,
deed ik een merkwaardige ontdekking wanneer ik het aantal stippen op de blokjes in elke rij samentelde.
Elk van de  sommen (63, 45, 30, 18, 9 en 3) blijkt immers het drievoud van een driehoeksgetal te zijn.

 In bijlage vind je ook nog het gekende probleem
van de DOMINOSTENEN OP EEN SCHAAKBORD

Bijlagen:
Dominostenen op een schaakbord.pdf (77 KB)   

GULDEN BALK

Als veralgemening van de gulden snede op een lijnstuk en een gulden rechthoek
denkt men uiteraard aan een gulden balk.
Dit is een balk met als afmetingen L, Lϕ en L/ϕ
waarbij ϕ het getal is van de gulden snede.

Kan je de volgende twee opgaven oplossen?

OPGAVE 1. 
Toon aan dat de lichaamsdiagonaal [AB] van een gulden balk als lengte 2L heeft.

OPGAVE 2.
Een balk heeft een volume van 1 dm³, een hoogte van 1 dm
en de lichaamsdiagonalen hebben een lengte van 2 dm.
Toon aan dat dit een gulden balk is.

Berekening in bijlage.

Bijlagen:
Gulden balk - berekeningen.pdf (188.3 KB)   

KLOKPUZZEL

Een collega stuurde me onlangs een afbeelding op van een klok
waarbij de uren op een originele manier staan aangeduid.



Ik bedacht hierop een variatie
waarbij enkel de vier hoofdbewerkingen worden toegepast
op de getallen 3, 6, 9 en 12.

 

Kan je nu zelf de getallen van 1 tot en met 12 vormen
door de hoofdbewerkingen (+, -, x en :) toe te passen op de cijfers 1, 2 , 3 en 4
en waarbij elk van deze 4 cijfers telkens juist één keer wordt gebruikt?
Ook haakjes mag je uiteraard gebruiken.

In bijlage zit een oplossing waarbij ik enkel +, - en x (en haakjes) heb gebruikt.

Bijlagen:
Oplossing klokpuzzel met 1-2-3-4.pdf (109.2 KB)