Vandaag 3 juli 2013 is er groot nieuws! Koning Albert maakte zonet bekend dat hij op 21 juli aftreedt en dat prins Filip dan de nieuwe koning van België wordt.
Op deze zeldzame foto uit de jaren '80 zie je Albert samen met zijn sportieve zonen Filip en Laurent.
Ik dacht meteen aan de meerkeuzevraag die ik dit jaar heb ingediend voor de Junior Wiskunde Olympiade (tweede ronde - vraag 30). Los jij ze op?
Filip, zijn broer Laurent en hun vader Albert lopen de 100 meter. Ze starten tegelijk en elk loopt met een constante snelheid. Wanneer Filip de eindmeet bereikt, heeft Laurent nog 10 meter af te leggen en wanneer Laurent de eindmeet bereikt, heeft Albert nog 20 meter af te leggen. Hoeveel meter moet Albert nog afleggen wanneer Filip de eindmeet bereikt?
In de jaren '30 kwamen in het Szkoka Café (Schots café) in de Poolse stad Lwow een aantal jonge wiskundigen geregeld samen om er te discussiëren over wiskundige problemen. Een aantal van die problemen werden opgetekend in een boek dat nu bekend staat als het Schotse boek.
Eén van die ongeveer 200 problemen was het volgende. Is het mogelijk een vierkant te verdelen in een aantal vierkanten die allemaal verschillende afmetingen hebben?
Reeds in 1940 werd een oplossing gevonden met 55 onderling verschillende vierkanten. Het was de Nederlander Arie Duijvestijn die in 1962 bewees dat het nooit met minder dan 21 vierkanten zou kunnen. En dat het effectief ook met 21 vierkanten kan bewees hij in 1978 door een computer te gebruiken.
Op http://squaring.net/ vind je nog veel meer informatie over hoe een vierkant kan worden opgevuld.
In 1998 verscheen in Duitsland een postzegel waarop een vierkant vol vierkanten staat afgebeeld. De zegel verscheen naar aanleiding van het Internationaal Wiskunde Congres in Berlijn. Wie goed kijkt ziet op de achtergrond zelfs het getal pi verschijnen.
In dit verband vond ik zelf de onderstaande figuur fascinerend: een vierkant wordt opgevuld met vijf rechthoekige driehoeken waarvan de zijden telkens gehele afmetingen hebben. Een leuke toepassing met Pythagorese drietallen!
Sidonie heeft een luxe-editie van de avonturen van Suske en Wiske aangekocht. De reeks bevat 15 delen en de boeken zijn ook genummerd van 1 tot en met 15. Op een zekere dag stelt haar man Lambik iets bijzonders vast. De boeken blijken in een merkwaardige volgorde te staan, want de som van de nummers van elke twee opeenvolgende boeken is een kwadraatgetal (1, 4, 9, 16 of 25).
Kan jij vinden in welke volgorde de 15 boeken gerangschikt staan?
Tip. Bij de getallen 8 en 9 past telkens slechts één ander getal zodat de som een kwadraatgetal is.
Wiskundigen zijn altijd op zoek naar veralgemeningen en ontdekken zo soms merkwaardige objecten. We stellen er hier twee voor die thuis horen in de rubriek 'hogere wiskunde'.
DE HYPERKUBUS
De hyperkubus of vierdimensionale kubus is een object dat je uiteraard in onze driedimensionale ruimte niet zult tegenkomen maar dat in de fantasie van de wiskundigen wel bestaat.
Als je een lijnstuk (eendimensionaal object) in een richting die er loodrecht op staat evenwijdig met zichzelf verplaatst, creëer je een vierkant. Als je een vierkant (tweedimensionaal object) in een richting die er loodrecht op staat evenwijdig met zichzelf verplaatst, creëer je een kubus. Als je dan een kubus (driedimensionaal object) in een richting die er loodrecht op staat evenwijdig met zichzelf verplaatst, creëer je een hyperkubus.
Een lijnstuk heeft 2 hoekpunten (eindpunten), een vierkant heeft er 4, een kubus heeft er 8 en een hyperkubus heeft er 16.
Zoals een vierkant een 2D-projectie is van een kubus, zo is een kubus een 3D-projectie van een hyperkubus. Misschien snap je hiermee wat je hieronder ziet?
Driedimensionale projectie van een roterende vierdimensionale kubus.
HET VLAK VAN FANO
Wiskundigen gaan ervan uit dat een vlak in alle richtingen oneindig doorloopt. Ook een rechte bevat een oneindig aantal punten en is onbegrensd. Daarnaast bestaat er in de fantasie van de wiskundigen ook iets als een eindige meetkunde.
Gino Fano, een Italiaanse wiskundige (1871 - 1952) werkte de eindige meetkunde uit van het zogenaamde Fano-vlak, dat bestaat uit 7 punten en 7 rechten. De onderstaande figuur is een model voor het Fano-vlak. Het is even wennen aan de idee dat ook 'de cirkel' op deze figuur een rechte voorstelt! Voor de coördinaten van de punten kan je niet werken met de reële getallen, maar moet je je 'binair beperken' tot 0 en 1. De 7 punten hebben dan ook een stel binaire coördinaten: 001, 010, 011, 100, 101, 110, en 111. Door elk punt gaan drie rechten en op elke rechte liggen drie punten.
Het Fano-vlak is het projectieve vlak met het kleinste aantal punten en rechten.
De tegenstanders van de pi-dag (3,14 > 3de maand, 14de dag) hebben er niets beter op gevonden dan 28 juni uit te roepen tot tau-dag (6,28 > 6de maand, 28ste dag). De Griekse letter τ komt overeen met onze letter t en verwijst naar de eerst letter van het woord 'toer' (Grieks: τορνος). 1τ = 2π komt dan overeen met een hoek van 360° of één volledige 'toer'.
Er is nog een tweede reden waarom men de letter tau heeft gekozen. De Griekse letter τ heeft als het ware één been terwijl π er twee heeft en dat verwijst meteen weer naar 1τ = 2π.
Er zijn ook in de wiskunde en in de wetenschappen heel veel formules waarin de constante 2π voorkomt. Daarin zou men volgens de aanhangers van de tau-dag 2π moeten vervangen door τ. Meer hierover lees je in de bijlage 'The Tau Manifesto'.
Zelf blijf ik aanhanger van de pi-dag als is het maar omwille van het feit dat ik gemakkelijker een pi-droedel kan opstellen dan een tau-droedel!
Het Droste-effect is een visueel effect, waarbij een afbeelding een verkleinde versie van zichzelf bevat. Voor de verkleinde afbeelding geldt weer hetzelfde, enzovoort. Dit proces van zelfverwijzing heet recursie. In theorie kan dit oneindig doorgaan.
Het effect is vernoemd naar Droste, een producent van cacao en de afbeelding dook voor het eerst op in 1904. Op de cacaoblikken was een verpleegster afgebeeld die een dienblad droeg met daarop hetzelfde blik cacao, waarop dan weer hetzelfde stond, enzovoort.
Dit effect werd o.a. door Escher toegepast in zijn grafische kunstwerken. Meer hierover lees je op http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/ Recursie treedt uiteraard ook op in fractalen. Hieronder zie je dit effect bij de Sierpinski-fractal.
Op de onderstaande foto zie je me samen met collega-vakbegeleider Geert Delaleeuw en Lies Van de Wege, die me opvolgt bij de vakbegeleiding wiskunde van DPB-Brugge. Ze houdt blijkbaar deze foto vast waarop wij samen staan afgebeeld en creëert zo het Droste-effect!
Leonhard Euler formuleerde ooit het volgende schijnbaar eenvoudige probleem: bestaat er een balk waarvan de lengte, de breedte en de hoogte een gehele waarde hebben en waarvan ook de lengte van de zijvlaksdiagonalen een geheel getal is?
Dit is een zogenaamd Diofantisch probleem, waarbij men een stelsel van drie vergelijkingen moet oplossen en waarbij de oplossingen gehele getallen moeten zijn:
x² + y² = a² x² + z² = b² y² + z² = c².
Het was een zekere Paul Halcke die in 1719 als eerste een oplossing vond voor dit probleem. Voor x = 44, y = 117 en z = 240 is a = 125, b = 244 en c = 267. Dit kan men controleren met behulp van de stelling van Pythagoras.
Ga eens na dat dit ook het geval is bij de balken met de volgende afmetingen: 1) x = 85, y = 132, z = 720 2) x = 160, y = 231, z = 792 3) x = 240, y = 252, z = 275 4) x = 140, y = 480, z = 693.
Tot op heden is er echter nog niemand in geslaagd de perfecte balk te vinden waarbij ook de lengte d van de lichaamsdiagonalen een geheel getal is. Dit levert een bijkomende vergelijking op : x² + y² + z² = d².
Op de bovenstaande figuur zie je hoe een regelmatige vijfhoek ABCDE vier keer na elkaar over een hoek van 72° wordt gekanteld (een rotatie over een hoek van 72° met als centra van de rotatie achtereenvolgens de punten E, F, G en H). De vijfhoek rolt dus als het ware over een rechte lijn. Het punt A komt zo achtereenvolgens in de posities P, Q, R en S terecht.
Wat blijkt nu (via een controle met GeoGebra)? De oppervlakte van de vijfhoek APQRS is precies drie maal de oppervlakte van de vijfhoek ABCDE.
Hieronder zie een 'bewijs zonder woorden' van P. Mallinson voor een kantelende regelmatige tienhoek. Merk op dat de oppervlakte van elk (roze) driehoekje dat boven de (rode) veelhoekige lijn uitsteekt gelijk is aan de oppervlakte van een (wit) driehoekje onder deze veelhoekige lijn. Hierdoor klopt dit bewijs!
Het leuke aan dit verhaal is dat hieruit volgt dat de oppervlakte onder één boog van een cycloïde precies gelijk is aan drie maal de oppervlakte van de cirkel die deze cycloïde genereert.
In de bijlage berekenen we deze oppervlakte op de klassieke manier met behulp van de integraalrekening.
Ziehier een bewijs zonder woorden - in de Griekse stijl - voor de formule voor de som van de derdemachten van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n: 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2(n+1)2/4.
Deze som van n termen uit het rechterlid kan je dan direct berekenen met behulp van de formule voor de n-de partieelsom van een rekenkundige rij en zo vind je dat
Eigenschap van een veeltermfunctie van de derde graad
Een merkwaardige eigenschap van veeltermfuncties van de derde graad
Stel dat f een derdegraadsfunctie is met als functievoorschrift f(x) = k(x a)(x b)(x c) met k ≠ 0 en a ≠ b ≠ c ≠ a. De nulwaarden zijn a, b en c. Neem het gemiddelde van twee nulwaarden: (a+ b)/2. Dan gaat de raaklijn in P ((a+b)/2, f((a + b)/2) aan de grafiek van f door het punt (c, 0).
Voorbeeld.
f(x) = (1/6)(x 4)(x + 2)(x + 6). De nulpunten van de functie f zijn A(-6, 0), B(-2, 0) en C(4, 0) Neem het gemiddelde van twee nulwaarden: (-2 + 4)/2 = 1. De raaklijn in het punt P(1, f(1)) = (1, -10,5) gaat dan door het derde nulpunt (-6,0).
Controle van de eigenschap via de App DESMOS.
Controleer nu zelf via eens (via berekening) : 1) de raaklijn in het punt (-4, f(-4)) gaat door het punt (4, 0) (-4 is immers het gemiddelde van -6 en -2) 2) de raaklijn in het punt (-1, f(-1))) gaat door het punt (-2, 0) (-1 is immers het gemiddelde van -6 en 4). Met het rekenwerk voor het algemeen bewijs (zie bijlage) ben je voor een tijdje zoet!
Elders op mijn blog kan je al heel wat informatie en eigenschappen vinden in verband met driehoeksgetallen. Hieronder zie je de 'meetkundige' voorstelling van de eerste 7 driehoeksgetallen.
We voegen hier nu een eenvoudige gekende eigenschap aan toe. Maak zelf eens de som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen en je zult vaststellen dat dit steeds een kwadraatgetal oplevert.
Zo is bijvoorbeeld 6 + 10 = 16 = 42 10 + 15 = 25 = 52.
Een 'Grieks' bewijs zonder woorden zie je op de onderstaande afbeeldingen.
6 + 10 = 16
10 + 15 = 25
Een algebraïsch bewijs volgt uit het feit dat het n-de driehoeksgetal gelijk is aan Dn = n(n + 1)/2. Dan is Dn-1 + Dn = (n 1)n/2 + n(n + 1)/2 = n(n 1 + n + 1)/2 = n.2n/2 = n2 .
Een regelmatige vlakvullingof betegeling is een overdekking van het platte vlak met convexe en congruente regelmatige veelhoeken van één soort (driehoeken, vierhoeken ...). Deze komen in hun hoekpunten samen. De punten waar de hoekpunten samen komen noemen we de verdelingspunten. Rond ieder verdelingspunt liggen evenveel veelhoeken. We kunnen bewijzen dat er maar drie soorten regelmatige betegelingen mogelijk zijn: met driehoeken, vierkanten en zeshoeken.
Het bewijs hiervan vind je in de onderstaande bijlage.
Er bestaan echter ook heel wat niet-regelmatige vlakvullingen, waarbij verschillende soorten veelhoeken worden gebruikt. Je kunt hiermee zelf gaan experimenteren op http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/washington/taprats/applet.html. Een gekend voorbeeld hiervan is de Penrose-betegeling waarin er twee soorten tegels voorkomen: de zogenaamde vlieger en pijl. Een Penrose-betegeling herhaalt zichzelf nooit en is dus niet-periodiek. Dat betekent dat je een Penrose-betegeling niet zódanig kunt verschuiven dat hij weer op zichzelf terecht komt. Lees meer hierover op http://www.kennislink.nl/publicaties/penrose-betegelingen-in-middeleeuwse-islamitische-mozaieken .
In 1891 bewees de Russische kristallograaf E.S. Fedorov dat er precies 17 verschillende behangpatronen mogelijk zijn:
In het artikel in bijlage over islamitische kunst legt Prof. Jan van de Craats uit hoe men tot die 17 patronen komt. In zijn classificatie op blz. 9 vertrekt hij van de kleinste rotatiehoek die in het patroon kan voorkomen. Voor n = 1: geen rotatiehoek. Voor n = 2: een hoek van 360°/2 = 180°. Voor n = 3: een hoek van 360°/3 = 120°. Voor n = 4: een hoek van 360°/4 = 90°. Voor n = 6: een hoek van 360°/6 = 60°.
Deze patronen komen o.a. voor in het Alhambra in Granada en ze inpireerden de Nederlandse grafische kunstenaar M.C. Escher voor zijn beroemde vlakvullingen.
Ik heb me altijd al verbaasd over de formule voor de som van de kwadraten van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n:
De formule blijkt 'weinig symmetrisch' te zijn en om 'een mysterieuze reden' moet er gedeeld worden door 6.
Hieronder zie 'een Grieks bewijs' zonder woorden voor deze formule. We gaan er van uit dat je weet dat 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.
De oppervlakte van de linkse figuur (met n = 4) is dan gelijk aan 3(12 + 22 + ... + n2) en ook aan (2n+1)(1 + 2 + ... + n). Hieruit volgt dan direct de gewenste formule!
Een kleine
berekening leert dat bij de Belgen DAGELIJKS ongeveer 3,3 miljoen euro in
rook opgaat.
Alle Belgen bezitten samen goed 800
miljard euro.
In dat netto financieel vermogen zit alles: cash, spaarrekeningen, kasbonnen,
aandelen, obligaties enzovoorts,
en alle schulden van de particulieren zijn ervan afgetrokken.
En het dikt aardig aan, een jaar geleden was het nog maar 750 miljard.
Van die 800 miljard staat nu 240 miljard op spaarboekjes. Nog nooit was dat zo
veel.
Dat is opmerkelijk, want geld op een
spaarboekje levert nauwelijks nog iets op.
Een klassieke spaarrekening bij een grote bank biedt je nu een rente van 0,70
procent (basisrente plus getrouwheidspremie).
Dat betekent dat je voor elke 10 000 euro die een jaar op een spaarrekening
blijft staan maar 70 euro rente ontvangt.
Vandaag ligt de inflatie al
boven 1 procent.
Dat is niet hoog, want de Europese Centrale Bank (ECB) streeft naar een
inflatie van juist onder de 2 procent.
Een gemiddeld rendement op een spaarboekje van 0,70 procent en een
inflatie van 1,20 procent wil wel zeggen
dat de spaarder reëel verarmt en niet weinig: als er 240 miljard op de
spaarboekjes staat
en de reële spaarrente (rente min inflatie) min 0,5 procent bedraagt,
gaat jaarlijks 1,2 miljard euro aan koopkracht in rook op.
Dat komt neer op ongeveer 3,3 miljoen euro per dag.
Vertrekkend van de som- en verschilformules bewijst men in het secundair onderwijs de gomiometrische formules voor de dubbele hoek:
sin 2α = 2 sinα cos α cos 2α = cos2α sin2α.
Hieronder presenteren we een 'bewijs zonder woorden' voor beide formules. We gaan ervan uit dat je weet dat de oppervlakte van een willekeurige driehoek gelijk is aan het halve product van twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek:
"Geef me een plaats om te staan en ik beweeg de aarde" Archimedes (3de eeuw v. Chr.)
Met deze beroemde uitspraak verwijst Archimedes naar het hefboompricipe: MACHT x MACHTARM = LAST x LASTARM.
Als Archimedes dus zou beschikken over een hefboom die lang genoeg is, een steunpunt en de juiste plaats waar hij zou kunnen staan, dan zou hij in principe de aarde kunnen optillen.
Het hefboomprincipe vindt zijn dagelijkse toepassing in heel wat gebruiksvoorwerpen: een koevoet, een notenkraker, een suikertang, riemen van een roeiboot, een kroonkurkwipper, een slagboom, een schaar, de voorarm, een vorkheftruck, een knoflookpers, een nagelknipper, een trektang ...
Stel dat Bert 570 N weegt (ongeveer 58 kg) en Ernie 380 N (ongeveer 39 kg). Ze zitten beiden op een wip en Bert bevindt zich op 90 cm van het steunpunt. Hoe ver moet Ernie dan gaan zitten aan de andere kant van het steunpunt opdat de wip in evenwicht zou blijven?
In bijlage zit een gebruiksklare werktekst voor een les over hefbomen. Met dank aan collega Nele Vanderbusse.
"Dat niemand hier binnentrede zonder kennis van de geometrie."
Dit opschrift stond boven de ingang van de Academie die Plato in 387 v. Chr. in Athene oprichtte. Dit was in feite de eerste universiteit ter wereld. De leerlingen kregen er onderricht in de filosofie en de wiskunde die in die tijd voornamelijk meetkundig geïnspireerd was. In feite bewezen de oude Grieken ook heel wat eigenschappen uit de getallenleer op een louter meetkundige manier;
Hieronder vermelden we een voorbeeld met een typisch voorbeeld met een 'Grieks' bewijs.
De alternerende kwadratensommen (in het linkerlid) leveren blijkbaar de driehoeksgetallen op:
Onmogelijke figuren en getrukeerde foto's hebben een magische uitstraling. Met behulp van computerprogramma's slaagt nu haast iedereen erin te 'fotoshoppen'.
In het Nederlands wiskundetijdschrift Pythagoras verschenen regelmatig leuke knutselfiguren.
Hieronder staan twee gekende onmogelijke figuren afgebeeld.
De linkse figuur is gemaakt uit een rechthoekig stuk papier dat ik met een schaar enkele keren heb ingeknipt. Kan je die namaken?
De rechtse vlakke figuur bestaat uit twee verschillende vierkanten die enkele keren zijn ingeknipt en dan in elkaar geschoven. Merk op dat er geen losse stukjes bij zijn. Probeer die maar eens na te maken!
Oplossingen vind je o.a. in het boek De Pythagoras Code (Uitgeverij Bert Bakker, Amsterdam, 2011).