Inhoud blog
  • 30 april 2019
  • 29 april 2019
  • 28 april 2019
  • 27 april 2019
  • 26 april 2019
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    03-07-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Vraagstuk over Laurent, Filip en Albert

    KONING FILIP

    Vandaag 3 juli 2013 is er groot nieuws!
    Koning Albert maakte zonet bekend dat hij op 21 juli aftreedt
    en dat prins Filip dan de nieuwe koning van België wordt.

    Op deze zeldzame foto uit de jaren '80 zie je Albert
    samen met zijn sportieve zonen Filip en Laurent.

    Ik dacht meteen aan de meerkeuzevraag die ik dit jaar heb ingediend
    voor de Junior Wiskunde Olympiade (tweede ronde - vraag 30).
    Los jij ze op?

    Filip, zijn broer Laurent en hun vader Albert lopen de 100 meter.
    Ze starten tegelijk en elk loopt met een constante snelheid.
    Wanneer Filip de eindmeet bereikt, heeft Laurent nog 10 meter af te leggen
    en wanneer Laurent de eindmeet bereikt, heeft Albert nog 20 meter af te leggen.
    Hoeveel meter moet Albert nog afleggen wanneer Filip de eindmeet bereikt?

    (A) 24     (B) 28     (C) 30     (D) 32     (E) 40

    © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw


    Geen eenvoudig probleem?
    Oplossing in bijlage.

    Bijlagen:
    Oplossing loopsnelheid Filip.pdf (112.8 KB)   

    03-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Een vierkant vol vierkanten

    EEN OPGEVULD VIERKANT

    In de jaren '30 kwamen in het Szkoka Café (Schots café) in de Poolse stad Lwow
    een aantal jonge wiskundigen geregeld samen om er te discussiëren
    over wiskundige problemen.
    Een aantal van die problemen werden opgetekend in een boek
    dat nu bekend staat als het Schotse boek.

    Eén van die ongeveer 200 problemen was het volgende.
    Is het mogelijk een vierkant te verdelen in een aantal vierkanten
    die allemaal verschillende afmetingen hebben?

    Reeds in 1940 werd een oplossing gevonden met 55 onderling verschillende vierkanten.
    Het was de Nederlander Arie Duijvestijn die in 1962 bewees dat het nooit
    met minder dan 21 vierkanten zou kunnen.
    En dat het effectief ook met 21 vierkanten kan
    bewees hij in 1978 door een computer te gebruiken.

    Hieronder staat zijn beroemd vierkant afgebeeld.



    Meer hierover lees je in een fraai artikel van Marco Swaen:
    http://www.kennislink.nl/publicaties/probleem-59-uit-het-schotse-boek .

    Op http://squaring.net/ vind je nog veel meer informatie
    over hoe een vierkant kan worden opgevuld.

    In 1998 verscheen in Duitsland een postzegel 
    waarop een vierkant vol vierkanten staat afgebeeld.
    De zegel verscheen naar aanleiding van
    het Internationaal Wiskunde Congres in Berlijn.
    Wie goed kijkt ziet op de achtergrond zelfs het getal pi verschijnen.

    File:Stamp Germany 1998 MiNr2005 Internationaler Mathematiker-Kongress.jpg

    In dit verband vond ik zelf de onderstaande figuur fascinerend:
    een vierkant wordt opgevuld met vijf rechthoekige driehoeken
    waarvan de zijden telkens gehele afmetingen hebben.
    Een leuke toepassing met Pythagorese drietallen!

     


    03-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    29-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Boekenraadsel

    EEN BOEKENRAADSEL

    Sidonie heeft een luxe-editie van de avonturen van Suske en Wiske aangekocht.
    De reeks bevat 15 delen en de boeken zijn ook genummerd van 1 tot en met 15.
    Op een zekere dag stelt haar man Lambik iets bijzonders vast.
    De boeken blijken in een merkwaardige volgorde te staan,
    want de som van de nummers van elke twee opeenvolgende boeken
    is een kwadraatgetal (1, 4, 9, 16 of 25).

    Kan jij vinden in welke volgorde de 15 boeken gerangschikt staan?

    Tip. Bij de getallen 8 en 9 past telkens slechts één ander getal
    zodat de som een kwadraatgetal is.

    Oplossing in bijlage.

    Bijlagen:
    Boekenraadsel - oplossing.pdf (81.6 KB)   

    29-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    28-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Hogere wiskunde

    HOGERE WISKUNDE

    Wiskundigen zijn altijd op zoek naar veralgemeningen
    en ontdekken zo soms merkwaardige objecten.
    We stellen er hier twee voor die thuis horen in de rubriek 'hogere wiskunde'.

    DE HYPERKUBUS

    De hyperkubus of vierdimensionale kubus is een object
    dat je uiteraard in onze driedimensionale ruimte niet zult tegenkomen
    maar dat in de fantasie van de wiskundigen wel bestaat.

    Als je een lijnstuk (eendimensionaal object) in een richting die er loodrecht op staat
    evenwijdig met zichzelf verplaatst, creëer je een vierkant.
    Als je een vierkant (tweedimensionaal object) in een richting die er loodrecht op staat
    evenwijdig met zichzelf verplaatst, creëer je een kubus.
    Als je dan een kubus (driedimensionaal object) in een richting die er loodrecht op staat
    evenwijdig met zichzelf verplaatst, creëer je een hyperkubus.


    Een lijnstuk heeft 2 hoekpunten (eindpunten),
    een vierkant heeft er 4, een kubus heeft er 8
    en een hyperkubus heeft er 16.

    Zoals een vierkant een 2D-projectie is van een kubus,
    zo is een kubus een 3D-projectie van een hyperkubus.
    Misschien snap je hiermee wat je hieronder ziet?

    hypercube animated GIF

     Driedimensionale projectie van een roterende vierdimensionale kubus.

    HET VLAK VAN FANO

    Wiskundigen gaan ervan uit dat een vlak in alle richtingen oneindig doorloopt.
    Ook een rechte bevat een oneindig aantal punten en is onbegrensd.
    Daarnaast bestaat er in de fantasie van de wiskundigen ook iets als een eindige meetkunde.

    Gino Fano, een Italiaanse wiskundige (1871 - 1952) werkte de eindige meetkunde uit
    van het zogenaamde Fano-vlak, dat bestaat uit 7 punten en 7 rechten.
    De onderstaande figuur is een model voor het Fano-vlak.
    Het is even wennen aan de idee dat ook 'de cirkel' op deze figuur een rechte voorstelt!
    Voor de coördinaten van de punten kan je niet werken met de reële getallen,
    maar moet je je 'binair beperken' tot 0 en 1.
    De 7 punten hebben dan ook een stel binaire coördinaten:
    001, 010, 011, 100, 101, 110, en 111.
    Door elk punt gaan drie rechten en op elke rechte liggen drie punten.



    Het Fano-vlak is het projectieve vlak 
    met het kleinste aantal punten en rechten.

    weird animated GIF

     

    28-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.TAU-dag en PI-droedels

    28 JUNI = TAU-DAG ?



    De tegenstanders van de pi-dag (3,14 > 3de maand, 14de dag) hebben er niets beter op gevonden
    dan 28 juni uit te roepen tot tau-dag (6,28 > 6de maand, 28ste dag).
    De Griekse letter τ komt overeen met onze letter t
    en verwijst naar de eerst letter van het woord 'toer' (Grieks: τορνος).
    1τ = 2π komt dan overeen met een hoek van 360° of één volledige 'toer'.

    Er is nog een tweede reden waarom men de letter tau heeft gekozen.
    De Griekse letter τ heeft als het ware één been terwijl π er twee heeft
    en dat verwijst meteen weer naar 1τ = 2π.

    Er zijn ook in de wiskunde en in de wetenschappen heel veel formules waarin de constante 2π voorkomt.
    Daarin zou men volgens de aanhangers van de tau-dag 2π moeten vervangen door τ.
    Meer hierover lees je in de bijlage 'The Tau Manifesto'.

    Zelf blijf ik aanhanger van de pi-dag 
    als is het maar omwille van het feit dat ik gemakkelijker
    een pi-droedel kan opstellen dan een tau-droedel!

    Kan je deze vier oplossen?
    Zie ook: http://glorieuxronse.classy.be/droedels.html .



      SPIONAGE

    PISTACHE

    Vampier

    Voor wie het niet direct ziet zitten: oplossingen in bijlage!


    confused animated GIF  

    Bijlagen:
    The Tau Manifesto.pdf (617.3 KB)   
    VIER PI-DROEDELS.pdf (84.6 KB)   

    28-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    25-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het Droste-effect


    HET DROSTE-EFFECT

    Het Droste-effect is een visueel effect, waarbij een afbeelding een verkleinde versie van zichzelf bevat.
    Voor de verkleinde afbeelding geldt weer hetzelfde, enzovoort.
    Dit proces van zelfverwijzing heet
    recursie. In theorie kan dit oneindig doorgaan.

    Het effect is vernoemd naar Droste, een producent van cacao en de afbeelding dook voor het eerst op in 1904.
    Op de cacaoblikken was een verpleegster afgebeeld die een dienblad droeg
    met daarop hetzelfde blik cacao, waarop dan weer hetzelfde stond, enzovoort.

    Dit effect werd o.a. door Escher toegepast in zijn grafische kunstwerken.
     Meer hierover lees je op http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/
    Recursie treedt uiteraard ook op in fractalen.
     Hieronder zie je dit effect bij de Sierpinski-fractal.



    Op de onderstaande foto zie je me samen met collega-vakbegeleider Geert Delaleeuw
    en Lies Van de Wege, die me opvolgt bij de vakbegeleiding wiskunde van DPB-Brugge.
    Ze houdt blijkbaar deze foto vast waarop wij samen staan afgebeeld en creëert zo het Droste-effect!


    25-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    24-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De baksteen van Euler

    DE BAKSTEEN VAN EULER

    Leonhard Euler formuleerde ooit het volgende schijnbaar eenvoudige probleem:
    bestaat er een balk waarvan de lengte, de breedte en de hoogte een gehele waarde hebben
    en waarvan ook de lengte van de zijvlaksdiagonalen een geheel getal is?


    Dit is een zogenaamd Diofantisch probleem,
    waarbij men een stelsel van drie vergelijkingen moet oplossen
    en waarbij de oplossingen gehele getallen moeten zijn:

    x² + y² = a²
    x² + z² = b²
    y² + z² = c².

    Het was een zekere Paul Halcke die in 1719 als eerste een oplossing vond voor dit probleem.
    Voor x = 44, y = 117 en z = 240 is a = 125, b = 244 en c = 267.
    Dit kan men controleren met behulp van de stelling van Pythagoras.

    Ga eens na dat dit ook het geval is bij de balken met de volgende afmetingen:
    1) x = 85, y = 132, z = 720
    2) x = 160, y = 231, z = 792
    3) x = 240, y = 252, z = 275
    4) x = 140, y = 480, z = 693.

    Tot op heden is er echter nog niemand in geslaagd de perfecte balk te vinden
    waarbij ook de lengte d van de lichaamsdiagonalen een geheel getal is.
    Dit levert een bijkomende vergelijking op : x² + y² + z² = d².

    Zin om hier even op te zoeken?

    Moving animated picture of monkey smile

    24-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Kantelende veelhoeken en de cycloïde

    KANTELENDE VEELHOEKEN

    Op de bovenstaande figuur zie je hoe een regelmatige vijfhoek ABCDE
    vier keer na elkaar over een hoek van 72° wordt gekanteld
    (een rotatie over een hoek van 72° met als centra
    van de rotatie achtereenvolgens de punten E, F, G en H).
    De vijfhoek rolt dus als het ware over een rechte lijn.
    Het punt A komt zo achtereenvolgens in de posities P, Q, R en S terecht.

    Wat blijkt nu (via een controle met GeoGebra)?
    De oppervlakte van de vijfhoek APQRS
    is precies drie maal de oppervlakte van de vijfhoek ABCDE.

    Hieronder zie een 'bewijs zonder woorden' van P. Mallinson
    voor een kantelende regelmatige tienhoek.
    Merk op dat de oppervlakte van elk (roze) driehoekje
    dat boven de (rode) veelhoekige lijn uitsteekt
    gelijk is aan de oppervlakte van een (wit) driehoekje onder deze veelhoekige lijn.
    Hierdoor klopt dit bewijs!

    Het leuke aan dit verhaal is dat hieruit volgt dat
    de oppervlakte onder één boog van een cycloïde
    precies gelijk is aan drie maal de oppervlakte van de cirkel
    die deze cycloïde genereert.


    File:Cycloid animated.gif 

    In de bijlage berekenen we deze oppervlakte op de klassieke manier
    met behulp van de integraalrekening.

    Bijlagen:
    Berekening van de oppervlakte onder een cycloïde.pdf (160.7 KB)   

    24-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    23-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Som van derdemachten - deel 1

    EEN BEWIJS ZONDER WOORDEN

    Ziehier een bewijs zonder woorden
    - in de Griekse stijl -
    voor de formule voor de som van de derdemachten
    van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n:
     13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2(n+1)2/4.



    Gezien?

    Ouch  Don't you just hate getting poked in the eye with the curser arrow

    23-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    22-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Som van derdemachten - deel 2


    Ziehier een tweede bewijs voor de formule voor de som van de derdemachten
    van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n:

     13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2(n+1)2/4.

    We maken hierbij gebruik van de volgende vaststelling:

    13 = 1
    23 = 3 + 5
    33 = 7 + 9 + 11
    ...
    n3 = [(n –1)n +1 ] + ... + [n(n+1) – 1].

    Bijgevolg is 13  + 23 + 33 +... + n3  = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + [n(n + 1) – 1].

    Deze som van n termen uit het rechterlid kan je dan direct berekenen
    met behulp van de formule voor de n-de partieelsom van een rekenkundige rij en zo vind je dat

    13 + 23 + 33 + ... + n= ½ [1 + n(n + 1) – 1]n(n+1)/2
                                                   = [n(n + 1)/2]2  = (1 + 2 + 3 + ... + n)2.

    Dit algebraïsch bewijs kan ook visueel voorgesteld worden
    als een bewijs zonder woorden (in de 'Griekse' stijl).



    Animated moving blinking eye in the wall picture

    GEZIEN?

    22-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    21-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Eigenschap van een veeltermfunctie van de derde graad

    Een merkwaardige eigenschap van veeltermfuncties van de derde graad

    Stel dat f een derdegraadsfunctie is met als functievoorschrift
    f(x) = k(x  – a)(x  – b)(x  – c)
    met k ≠ 0 en a ≠ b ≠ c ≠ a.
    De nulwaarden zijn a, b en c.
    Neem het gemiddelde van twee nulwaarden:  (a+ b)/2.
    Dan gaat de raaklijn in P ((a+b)/2, f((a + b)/2) aan de grafiek van f door het punt (c, 0).

    Voorbeeld.

    f(x) = (1/6)(x – 4)(x + 2)(x + 6).
    De nulpunten van de functie f zijn A(-6, 0), B(-2, 0) en C(4, 0)
    Neem het gemiddelde van twee nulwaarden: (-2 + 4)/2 = 1.
    De raaklijn in het punt P(1, f(1)) = (1, -10,5) gaat dan door het derde nulpunt (-6,0).


    Controle van de eigenschap via de App DESMOS.

    Controleer nu zelf via eens (via berekening) :
    1) de raaklijn in het punt (-4, f(-4)) gaat door het punt (4, 0)  (-4 is immers het gemiddelde van -6 en -2)
    2) de raaklijn in het punt (-1, f(-1))) gaat door het punt (-2, 0) (-1 is immers het gemiddelde van -6 en 4). 
    Met het rekenwerk voor het algemeen bewijs (zie bijlage) ben je voor een tijdje zoet!

    Moving animated gif picture of baby doing stuff with it's eyes

    21-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Driehoeksgetallen en kwadraatgetallen

    DRIEHOEKSGETALLEN EN KWADRAATGETALLEN

    Elders op mijn blog kan je al heel wat informatie en eigenschappen vinden in verband met driehoeksgetallen.
    Hieronder zie je de 'meetkundige' voorstelling van de eerste 7 driehoeksgetallen.

    We voegen hier nu een eenvoudige gekende eigenschap aan toe.
    Maak zelf eens de som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen
    en je zult vaststellen dat dit steeds een kwadraatgetal oplevert.

    Zo is bijvoorbeeld
    6 + 10 = 16 = 42
    10 + 15 = 25 = 52.

    Een 'Grieks' bewijs zonder woorden zie je op de onderstaande afbeeldingen.

    6 + 10 = 16 Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg     10 + 15 = 25 Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg

    Een algebraïsch bewijs volgt uit het feit dat het n-de driehoeksgetal gelijk is aan Dn = n(n + 1)/2.
    Dan is Dn-1 + Dn = (n – 1)n/2 + n(n + 1)/2 = n(n – 1 + n + 1)/2 = n.2n/2 = n2 .
                 

    21-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    20-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Vlakvullingen

    Een regelmatige vlakvulling of betegeling is een overdekking van het platte vlak met convexe en congruente regelmatige veelhoeken van één soort (driehoeken, vierhoeken ...). Deze komen in hun hoekpunten samen. De punten waar de hoekpunten samen komen noemen we de verdelingspunten. Rond ieder verdelingspunt liggen evenveel veelhoeken. We kunnen bewijzen dat er maar drie soorten regelmatige betegelingen mogelijk zijn: met driehoeken, vierkanten en zeshoeken.

    default  

    Het bewijs hiervan vind je in de onderstaande bijlage.

    Er bestaan echter ook heel wat niet-regelmatige vlakvullingen, waarbij verschillende soorten veelhoeken worden gebruikt. Je kunt hiermee zelf gaan experimenteren op http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/washington/taprats/applet.html. Een gekend voorbeeld hiervan is de Penrose-betegeling waarin er twee soorten tegels voorkomen: de zogenaamde vlieger en pijl. Een Penrose-betegeling herhaalt zichzelf nooit en is dus niet-periodiek. Dat betekent dat je een Penrose-betegeling niet zódanig kunt verschuiven dat hij weer op zichzelf terecht komt. Lees meer hierover op http://www.kennislink.nl/publicaties/penrose-betegelingen-in-middeleeuwse-islamitische-mozaieken .

              Penrose Tiling

    In 1891 bewees de Russische kristallograaf E.S. Fedorov dat er precies 17 verschillende behangpatronen mogelijk zijn:

                                                       WallpaperGroups

    In het artikel in bijlage over islamitische kunst legt Prof. Jan van de Craats uit hoe men tot die 17 patronen komt. In zijn classificatie op blz. 9 vertrekt hij van de kleinste rotatiehoek die in het patroon kan voorkomen.
    Voor n = 1: geen rotatiehoek.
    Voor n = 2: een hoek van 360°/2 = 180°.
    Voor n = 3: een hoek van 360°/3 = 120°.
    Voor n = 4: een hoek van 360°/4 = 90°.
    Voor n = 6: een hoek van 360°/6 = 60°.

    Deze patronen komen o.a. voor in het Alhambra in Granada en ze inpireerden de Nederlandse grafische kunstenaar M.C. Escher voor zijn beroemde vlakvullingen.

                                                                                    

     

    Bijlagen:
    Regelmatige vlakvullingen.pdf (307.8 KB)   
    Symmetrie in islamitische ornamentale kunst.pdf (8 MB)   

    20-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    19-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Desmos App

    De DESMOS App is er.
    Hoera!

    Hieronder zie je enkele schermafdrukken waaruit je kunt opmaken
    welke mogelijkheden deze App zoal biedt.

    Studie van functies (van de eerste en de tweede graad).
    Snijpunten van twee grafieken.

    Invloed van parameters in een functievoorschrift via schuifbalken.

     Verband tussen de grafiek van een functie en van de afgeleide functie.

    Raaklijn in een willekeurig punt aan een grafiek (dynamisch) en verband met de afgeleide.

    Combinaties, variaties, permutaties,
    grootste gemeenschappelijke deler, logaritmen ...

    HIER KRIJG JE NIET SNEL GENOEG VAN!

    Beautiful blonde card animation pictures - Girls - Gif fun GIF free download - Best gif fun and animated gifs


    19-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Som van kwadraten

    SOM VAN KWADRATEN

    Ik heb me altijd al verbaasd over de formule voor de som van de kwadraten
    van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n:

    De formule blijkt 'weinig symmetrisch' te zijn
    en om 'een mysterieuze reden' moet er gedeeld worden door 6.

    Hieronder zie 'een Grieks bewijs' zonder woorden voor deze formule.
    We gaan er van uit dat je weet dat 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.

    De oppervlakte van de linkse figuur (met n = 4)  is dan gelijk aan
    3(12 + 22 + ... + n2) en ook aan (2n+1)(1 + 2 + ... + n).
    Hieruit volgt dan direct de gewenste formule!





    Op http://www.proofwiki.org/wiki/Sum_of_Sequence_of_Squares
    vind je vier algebraïsche bewijzen voor deze formule
    waaronder ook het klassieke bewijs door volledige inductie.

    In de bijlage presenteren we nog twee andere originele bewijzen.

    Animated red bouncing exclamation mark picture

    Bijlagen:
    Bewijs van de somformule van de kwadraten.pdf (182.5 KB)   

    19-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    18-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Financiële algebra



    Een kleine berekening leert dat bij de Belgen DAGELIJKS ongeveer 3,3 miljoen euro in rook opgaat.

    Alle Belgen bezitten samen goed 800 miljard euro.
    In dat netto financieel vermogen zit alles: cash, spaarrekeningen, kasbonnen, aandelen, obligaties enzovoorts,
    en alle schulden van de particulieren zijn ervan afgetrokken.
    En het dikt aardig aan, een jaar geleden was het nog maar 750 miljard.
    Van die 800 miljard staat nu 240 miljard op spaarboekjes. Nog nooit was dat zo veel.

    Dat is opmerkelijk, want geld op een spaarboekje levert nauwelijks nog iets op.
    Een klassieke spaarrekening bij een grote bank biedt je nu een rente van 0,70 procent (basisrente plus getrouwheidspremie).
    Dat betekent dat je voor elke 10 000 euro die een jaar op een spaarrekening blijft staan maar 70 euro rente ontvangt.

    Vandaag ligt de inflatie al boven 1 procent.
    Dat is niet hoog, want de Europese Centrale Bank (ECB) streeft naar een inflatie van juist onder de 2 procent.
    Een gemiddeld rendement op een spaarboekje van 0,70 procent en een inflatie van 1,20 procent wil wel zeggen
    dat de spaarder reëel verarmt en niet weinig: als er 240 miljard op de spaarboekjes staat
    en de reële spaarrente (rente min inflatie) min 0,5 procent bedraagt,
    gaat jaarlijks 1,2 miljard euro aan koopkracht in rook op. 
    Dat komt neer op ongeveer 3,3 miljoen euro per dag.

    Bron: KNACK - 19 juni 2013 - EP

    18-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Formules voor de dubbele hoek

    GONIOMETRISCHE FORMULES
    VOOR DE DUBBELE HOEK


    Vertrekkend van de som- en verschilformules
    bewijst men in het secundair onderwijs
    de gomiometrische formules voor de dubbele hoek:

    sin 2α = 2 sinα cos α
    cos 2α = cos2α  –  sin2α.

    Hieronder presenteren we een 'bewijs zonder woorden' voor beide formules.
    We gaan ervan uit dat je weet dat de oppervlakte van een willekeurige driehoek gelijk is aan
    het halve product van twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek:

    Opp. Δ ABC = ½ bc sin α.






    Triangle-particularbg

    18-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    17-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Hefboomprincipe


    "Geef me een plaats om te staan en ik beweeg de aarde"
    Archimedes (3de eeuw v. Chr.)

    Met deze beroemde uitspraak verwijst Archimedes naar het hefboompricipe:
    MACHT x MACHTARM = LAST x LASTARM.

    Als Archimedes dus zou beschikken over een hefboom die lang genoeg is,
    een steunpunt en de juiste plaats waar hij zou kunnen staan,
    dan zou hij in principe de aarde kunnen optillen.

    Het hefboomprincipe vindt zijn dagelijkse toepassing in heel wat gebruiksvoorwerpen:
    een koevoet, een notenkraker, een suikertang, riemen van een roeiboot,
    een kroonkurkwipper, een slagboom, een schaar, de voorarm,
    een vorkheftruck, een knoflookpers, een nagelknipper, een trektang ...

    {short description of image}

    Stel dat Bert 570 N weegt (ongeveer 58 kg) en Ernie 380 N (ongeveer 39 kg).
    Ze zitten beiden op een wip en Bert bevindt zich op 90 cm van het steunpunt.
    Hoe ver moet Ernie dan gaan zitten aan de andere kant van het steunpunt
    opdat de wip in evenwicht zou blijven?


    In bijlage zit een gebruiksklare werktekst voor een les over hefbomen.
    Met dank aan collega Nele Vanderbusse.

    Bijlagen:
    Werktekst hefbomen.pdf (572.7 KB)   

    17-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    16-06-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Griekse wiskunde en alternerende kwadratensommen


    "Dat niemand hier binnentrede
    zonder kennis van de geometrie."

    Dit opschrift stond boven de ingang van de Academie die Plato in 387 v. Chr. in Athene oprichtte.
    Dit was in feite de eerste universiteit ter wereld.
    De leerlingen kregen er onderricht in de filosofie en de wiskunde
    die in die tijd voornamelijk meetkundig geïnspireerd was.
    In feite bewezen de oude Grieken ook heel wat eigenschappen uit de getallenleer
    op een louter meetkundige manier;

    Hieronder vermelden we een voorbeeld met een typisch voorbeeld met een 'Grieks' bewijs.

    De alternerende kwadratensommen (in het linkerlid) leveren blijkbaar de driehoeksgetallen op:

    1² = 1
    –  1² = 4 – 1 = 3
    – 2² + 1² = 9 – 4 + 1 = 6
    – 3² + 2² – 1² = 16 – 9 + 4 – 1 = 10
    – 4² + 3² – 2² + 1² = 25 – 16 + 9 – 4 + 1 = 15
    ...

    De getallen 1, 3, 6, 10, 15 ... zijn inderdaad de driehoeksgetallen



    ALGEMENE FORMULE VOOR DE ALTERNERENDE KWADRATENSOM:



    BEWIJS
     

    Zie je het?

    Animation of girl's eye looking right at you then looks back and forth

    16-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Twee onmogelijke figuren



    Onmogelijke figuren en getrukeerde foto's hebben een magische uitstraling.
    Met behulp van computerprogramma's slaagt nu haast iedereen erin te 'fotoshoppen'.

    In het Nederlands wiskundetijdschrift Pythagoras
    verschenen regelmatig leuke knutselfiguren.

    Hieronder staan twee gekende onmogelijke figuren afgebeeld.

    De linkse figuur is gemaakt uit een rechthoekig stuk papier
    dat ik met een schaar enkele keren heb ingeknipt.
    Kan je die namaken?

    De rechtse vlakke figuur bestaat uit twee verschillende vierkanten
    die enkele keren zijn ingeknipt en dan in elkaar geschoven.
    Merk op dat er geen losse stukjes bij zijn.
    Probeer die maar eens na te maken!



    Oplossingen vind je o.a. in het boek De Pythagoras Code
    (Uitgeverij Bert Bakker, Amsterdam, 2011).

    greatestgifever 

    16-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 29/04-05/05 2019
  • 22/04-28/04 2019
  • 15/04-21/04 2019
  • 08/04-14/04 2019
  • 01/04-07/04 2019
  • 25/03-31/03 2019
  • 18/03-24/03 2019
  • 11/03-17/03 2019
  • 04/03-10/03 2019
  • 25/02-03/03 2019
  • 18/02-24/02 2019
  • 11/02-17/02 2019
  • 04/02-10/02 2019
  • 28/01-03/02 2019
  • 21/01-27/01 2019
  • 14/01-20/01 2019
  • 07/01-13/01 2019
  • 31/12-06/01 2019
  • 24/12-30/12 2018
  • 17/12-23/12 2018
  • 10/12-16/12 2018
  • 03/12-09/12 2018
  • 26/11-02/12 2018
  • 19/11-25/11 2018
  • 12/11-18/11 2018
  • 05/11-11/11 2018
  • 29/10-04/11 2018
  • 22/10-28/10 2018
  • 15/10-21/10 2018
  • 08/10-14/10 2018
  • 01/10-07/10 2018
  • 24/09-30/09 2018
  • 17/09-23/09 2018
  • 10/09-16/09 2018
  • 03/09-09/09 2018
  • 27/08-02/09 2018
  • 20/08-26/08 2018
  • 13/08-19/08 2018
  • 06/08-12/08 2018
  • 30/07-05/08 2018
  • 23/07-29/07 2018
  • 16/07-22/07 2018
  • 09/07-15/07 2018
  • 02/07-08/07 2018
  • 25/06-01/07 2018
  • 18/06-24/06 2018
  • 11/06-17/06 2018
  • 04/06-10/06 2018
  • 28/05-03/06 2018
  • 21/05-27/05 2018
  • 14/05-20/05 2018
  • 07/05-13/05 2018
  • 30/04-06/05 2018
  • 23/04-29/04 2018
  • 16/04-22/04 2018
  • 09/04-15/04 2018
  • 02/04-08/04 2018
  • 26/03-01/04 2018
  • 19/03-25/03 2018
  • 12/03-18/03 2018
  • 05/03-11/03 2018
  • 26/02-04/03 2018
  • 19/02-25/02 2018
  • 12/02-18/02 2018
  • 05/02-11/02 2018
  • 29/01-04/02 2018
  • 22/01-28/01 2018
  • 15/01-21/01 2018
  • 08/01-14/01 2018
  • 01/01-07/01 2018
  • 25/12-31/12 2017
  • 18/12-24/12 2017
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Meer blogs