Inhoud blog
  • 30 april 2019
  • 29 april 2019
  • 28 april 2019
  • 27 april 2019
  • 26 april 2019
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    29-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunde en de Himalaya

    WISKUNDE EN DE HIMALAYA

    File:Hillary and tenzing.jpg

    Op 29 mei 1953 (precies 60 jaar geleden) bereikte de Nieuw-Zeelandse bergbeklimmer
    Edmund Hillary samen met de sherpa Tenzing Norgay als eerste de top van de Himalaya.

    Meteen een reden om even stil te staan bij het begrip stijgingspercentage.

    File:Grade dimension.svg

    Bij een helling van 10 % stijgt het wegdek 10 meter op een afstand van 100 meter.
    Op de bovenstaande figuur is dan Δh/d = 10/100.
    In de praktijk is de horizontale afstand d echter moeilijk op te meten
    zodat men dan beter zijn toevlucht kan nemen tot de afstand l die men op het wegdek aflegt.
    Voor kleinere stijgingsprecentages geeft dit geen groot verschil voor de bijhorende hellingshoek α:

    Δh/d = 10/100 = tan α   → α = 5,71°
    Δh/l = 10/100 = sin α  → α = 5,74 °.

    File:Grades degrees.svg
    Stijgingspercentages met de bijkhorende hellingshoeken.
    Bron: wikipedia.

    WEETJE.
    Wist je dat de Himalaya niet de hoogste berg is op aarde?
    Alles hangt er immers van af hoe men de meting uitvoert.
    De Himalaya steekt 8 848 meter uit boven het zeeniveau.
    Wanneer men echter de hoogte van een berg opmeet vanaf de voet tot aan de top,
    dan blijkt de Mauna Kea met de eerste prijs weg te lopen!

    De Mauna Kea is een slapende vulkaan en gelegen in de grote oceaan op Hawaï.
    Vanaf zeeniveau meet deze berg 4 205 meter, maar gerekend vanaf de zeebodem meet hij 10 203 meter.
    Hiermee is de Mauna Kea de hoogste berg totalitair gezien op aarde.

    29-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    27-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Stelling van de gebroken koorde

    STELLING VAN DE GEBROKEN KOORDE

    Aan Archimedes wordt de volgende 'vergeten stelling'
    uit de vlakke meetkunde toegeschreven.

    De lijnstukken [AC] en [CB] vormen een gebroken koorde in een cirkel (met |AC| > |CB|).
    Als P het midden is van de boog ACB en als M het voetpunt is van de loodlijn uit P op [AC]
    dan is M ook het midden van de gebroken koorde.



    Op het eerste gezicht is dit een vrij logisch resultaat
    maar het bewijs ervan vraagt toch wat creativiteit!

    Misschien geraak je wel enthousiast over deze stelling als je de twee bewijzen ervan in bijlage bekijkt ?!

    AMAs animated GIF



    Bijlagen:
    STELLING VAN DE GEBROKEN KOORDE.pdf (193 KB)   

    27-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    26-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Magische sudoku

    MAGISCHE SUDOKU
    Bron: http://www.multimagie.com/

    Dit is ongetwijfeld het meest verbluffende magische vierkant
    dat bovendien de eigenschappen heeft van een sudoku!

    In dit vierkant staan alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 81.
    De som van de 9 getallen op elke horizontale rij, in elke vertikale kolom 
    en op de twee diagonalen is gelijk aan 369.
    De som van de 9 getallen in elk 3x3-deelvierkant (geel of blauw) is 369.

    Als men alle getallen in dit vierkant kwadrateert,
    bekomt men opnieuw een magisch vierkant 
    dat weer dezelfde eigenschappen heeft als het vierkant zelf!
    De som van de 9 kwadraatgetallen op elke horizontale rij, in elke vertikale kolom 
    en op de twee diagonalen is gelijk aan 20 049.
    De som van de 9 kwadraatgetallen in elk 3x3-deelvierkant (geel of blauw) is 20 049.



    MAGIC!

    26-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    21-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Rep-tiles

    REP-TILES


    Een vlakke meetkundige figuur die je kunt verdelen in kleinere even grote figuren
    die allemaal gelijkvormige zijn met de oorspronkelijk figuur noemt men 
    (met een Engelse term) een rep-tile (rep = repetitief, herhaald, tile = tegel).
    Hierboven staan een collectie rep-tiles afgebeeld.
    Bron: wikipedia.

    Wanneer men dan elke deelfiguur op dezelfde manier weer gaat opdelen
    in nog kleinere gelijkvormige deelfiguren ontstaat een fractal.
    Hieronder illustreren we dit aan de hand van een gelijkzijdige driehoek
    die eerst wordt opgedeeld in vier kleinere gelijkzijdige driehoeken.
    Als men dit procédé blijft herhalen op de deelfiguren
    onstaat de zogenaamde Sierpinski-fractal.



    Weetje. Tot op heden is er slechts één vijfhoekige reptile gevonden: de zogenaamde sphinx.


     

     

    21-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    18-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Gulden rechthoek

    GULDEN RECHTHOEK

    Een gulden rechthoek is een rechthoek waarvan de verhouding van de lengte tot breedte
    gelijk is aan het getal  φ van de gulden snede.

    De gulden rechthoek speelt een bijzondere rol in de kunst.
    Zo blijkt de voorgevel van het Parthenon perfect te passen binnen een gulden rechthoek.
    De Griekse letter φ (phi) zou dan ook verwijzen naar Phidias, de bouwheer van deze tempel.



           


    Voor de constructie met passer en liniaal van een gulden rechthoek
    verwijzen praktisch alle bronnen naar de bovenstaande linkse figuur.
    Ik vraag me af waarom men het niet doet volgens de rechtse figuur
    die vertrekt van een rechthoekige driehoek waarvan de zijden lengte 1, 2 en √5 hebben.
    Toch veel eenvoudiger?


    Een dergelijke rechthoekige driehoek kan je bovendien 'opvullen'
    met vijf kleinere congruente driehoeken die gelijkvormig zijn met de grote driehoek, zoals je op de bovenstaande figuur ziet..
    We hebben hier dus een mooi voorbeeld van een rep-tile (zie voorgaande rubriek op mijn blog).
                  
    Animal Reptile Animated Images

    18-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    16-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Hoe ver ligt de horizon?

    Hoe ver ligt de horizon als je kijkt vanop een toren met hoogte h?



    Stel dat h jouw ooghoogte is en dat we voor de gemiddelde aardstraal R de waarde 6 370 km nemen.
    Via de stelling van Pythagoras kunnen we dan hiermee berekenen hoe ver je kunt zien
    (d.w.z. op welke afstand D de horizon ligt):

    D² = (h + R)² – R² zodat D² = 2Rh + h².

    Hierbij is h² verwaarloosbaar klein ten opzichte van de term 2Rh, zodat D ≈  √(2Rh).

    Rekening houdend met de waarde van R kunnen dan bij benadering stellen dat D = 3,6 . √h
    waarbij de ooghoogte h in meter is uitgedrukt en D in kilometer.

    Begin mei 2013 werd op het One World Trade Center in New York
    (op de plaats waar de Twin Towers stonden) als sluitstuk een antenne geplaatst.
    De toren werd hiermee 541,325 meter hoog.
    Als je weet dat 1 voet overeenkomt met 0,3048 meter dan blijkt dat de toren 1776 voet hoog is.
    En 1776 is niet toevallig het jaar van de Amerikaanse onfhankelijkheidsverklaring!

    Kan je nu ook berekenen hoe ver de arbeiders konden zien toen ze die antenne plaatsten?
    En hoe ver ziet een persoon de horizon als zijn ooghoogte 1,70 meter bedraagt?

    16-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    14-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Phi en de regelmatige vijfhoek

    Phi en de regelmatige vijfhoek

    Hieronder is een regelmatige vijfhoek getekend.

    Waarom is de verhouding van de lengte van de diagonalen tot de lengte van de zijden  gelijk aan het getal φ (gulden snede)?

    Dit betekent m.a.w. dat de diagonalen lengte φ hebben als de zijden lengte 1 hebben!


    Gebruik hiervoor de onderstaande figuur en de gekende goniometrische waarde (zie bijlage)


    En wist je dat er in een icosaëder (regelmatig twintigvlak)
    drie gulden rechthoeken verscholen zitten.
    Dit zijn rechthoeken waarvan de verhouding van de lengte tot de breedte gelijk is aan φ.

    Zie bijvoorbeeld: http://www.goldennumber.net/geometry/

    Bijlagen:
    Berekening cos 36°.pdf (173.7 KB)   

    14-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    12-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Enthousiast voor wiskunde door een paar eenvoudige rekentrucs
    ENTHOUSIAST VOOR WISKUNDE

    Just A Normal School Day In Korea

    12-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    11-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De maantjes van Hippocrates - deel 1


    Hippocrates van Chios

    Op de Dag van de Wiskunde (19 november 2011) aan de Kulak in Kortrijk 
    gaven Riggy Van de Wiele en Jef De Langhe een erg gewaardeerde uiteenzetting
    over de geschiedenis van de wiskunde aan de hand van GeoGebra. Je vindt de volledige tekst in bijlage.
    In deze tekst staan ook de bewijzen van enkele merkwaardige stellingen
    uit de vlakke meetkunde die je hieronder op mijn blog terugvindt.

    In hun exposé hadden ze het ook over de kwadratuur van de cirkel.
    In een poging om dit probleem op te lossen slaagde Hippocrates van Chios (470 - 410 v. Chr.) er in
    te bewijzen dat de som van de oppervlakten van de twee gele maantjes
    op de onderstaande figuur gelijk is aan de oppervlakte van de rode rechthoekige driehoek ABC.
    Het kort bewijs maakt gebruik van de stelling van Pythagoras en staat onder de figuur vermeld.

     Als je dit bewijs gesnapt hebt, dan dagen we je uit de onderstaande meerkeuzevraag

    uit de JWO-competitie van 2008 op te lossen.

    Voor wie er niet direct aan uit geraakt, hebben we de oplossing in bijlage gestopt.

    Fox TV animated GIF


    Bijlagen:
    oplossing JWO-vraag maantjes van Hippocrates.pdf (154.5 KB)   
    WW5 Geschiedenis van de wiskunde met geoGebra.pdf (3 MB)   

    11-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    10-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De maantjes van Hippocrates - deel 2



    Hippocrates van Chios was een Griekse wiskundige die leefde rond 430 v. Chr.
    Hij schreef een invloedrijk werk Stoicheia over meetkunde
    en het is vrijwel zeker dat Euclides zich hierop baseerde voor zijn eigen meetkundeboeken (Elementen).

    Op de onderstaande figuur staat een opgave die een variatie geeft 
    op de eigenschap van de maantjes van Hippocrates.

    Vanuit het hoekpunt A van een rechthoekige driehoek ABC
    laat men de loodlijn neer op de zijde [AB].
    H is het voetpunt van deze loodlijn.
    Met de middens van de zijden [AB], [AC], [BC], [AH], [BH] en [CH]
    tekent men vijf cirkels zoals op de figuur.
    Toon aan dat de som van de oppervlakten van de vier maantjes A1 + A2 + A3 + A
    4
    gelijk is aan de oppervlakte van driehoek ABC.

    Hint.  A1 + A= opp. Δ ABH .

    Lukt het?

    frustrated animated GIF


    10-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Lemniscaat van Bernoulli en het symbool voor oneindig

     



    De Engelse wiskundige John Wallis (1616-1703) gebruikte in zijn werk Arithmetica infinitorum (1656)
    voor het eerst het symbool ∞ voor oneindigheid.

    Dit symbool heeft de vorm van een lemniscaat (Grieks: λημνίσκος, band, lint). 
     Deze wiskundige kromme werd beschreven doorvoorgesteld door Jakob Bernoulli
     in een artikel in zijn Acta Eruditorum (1694)
    en wordt daarom ook de lemniscaat van Bernoulli genoemd.

    Zoals je op de bovenstaande figuur kunt zien
    bestaat er een mooie constructiemethode (bijvoorbeeld met GeoGebra) voor deze kromme.
    Vertrek van twee cirkels met als middelpunt (2,0) en (-2,0) met als straal 2√2.
    Deze cirkels gaan dan ook door (0,2) en (0,-2).
    Neem daarna een variabel punt op beide cirkels
    zodat het lijnstuk dat die twee punten verbindt de constante lengte 4 heeft.
    De meetkundige plaats van het midden van dat lijnstuk zal dan de lemniscaat bepalen.



    De lemniscaat van Bernouilli is ook de meetkundige plaats van de punten P
    waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste,
    vooraf bepaalde punten F1 = (-a,0) en F2 = (a,0) gelijk is aan a²:
    !, |P F_1|.|P F_2|=a^2.

    Op http://www.wiskundeonline.nl/PV_Lemniscaat_van_Bernoulli.htm
    lees je hoe men vanuit deze voorwaarde de cartesiaanse vergelijking van deze kromme opstelt:

    !, (x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2) .



    "Twee dingen zijn oneindig: het universum en menselijke domheid.
    Maar van het universum weet ik het nog niet helemaal zeker..."
    Albert Einstein

    10-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    06-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Veelhoeksgetallen

    Eeuwen geleden reeds waren de Griekse wiskundigen
    en de volgelingen van Pythagoras in het bijzonder
    in de ban van de gehele getallen.

     Zo onderzochten ze de eigenschappen van de zogenaamde veelhoeksgetallen (figuurlijke of figuratieve getallen).
    De bekendste soorten zijn de driehoeksgetallen en de vierhoeksgetallen (kwadraten).
    Hieronder staan naast deze twee soorten ook de vijf- en zeshoeksgetallen afgebeeld.
    Uiteraard is er van elke soort een oneindig doorlopende rij getallen.

    Maar wist je dat er een algemene formule bestaat voor het n-de p-hoeksgetal G(n,p)?

    excited animated GIF

    06-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (1)
    05-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Stelling van Ptolemaeus


    Claudius Ptolemaeus van Alexandrië (87 - 150 na Chr.)
    was een begaafde sterrenkundige, wiskundige, geograaf en muziektheoreticus.

    Met zijn epicykeltheorie verklaarde hij o.a. waarom de planeten
    soms een schijnbare retrograde (achteruitgaande) beweging maakten aan het firmament.
    Volgens deze theorie volgen de planeten cirkelvormige banen
    waarbij het middelpunt van de cirkel zelf beweegt op een grotere cirkel (de deferent).
    In feite waren de planetenbanen volgens deze theorie dus epicycloïden.

    Ptolemaeus berekende ook een degelijke benadering voor pi, nl. 377/120 ≈ 3,1416...

    Voor de wiskundigen blijft hij echter vooral bekend door een merkwaardige stelling (lees de bijlage!)

    Hieronder staat een mooie opgave die een toepassing is op de stelling van Ptolemaeus.

    Kan je dit bewijzen?

    Bijlagen:
    Stelling van Ptolemaeus - klassiek bewijs (Dick Klingens).pdf (171.1 KB)   

    05-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    02-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Curiosum Mathematicum

    CURIOSUM MATHEMATICUM

    Af en toe duikt er in de wiskunde een eenvoudige eigenschap van getallen op.
    In 1939 ontdekte Dov Juzuk de volgende verrassende eigenschap.

    Schrijf de natuurlijke getallen in volgorde onder elkaar op
    in groepjes van 1, 2, 3, 4 ... getallen en te beginnen met het getal 1.
    Schrap dan de rijen met een even volgnummer.
    Dan blijkt de som van de getallen in de eerste n resterende rijen telkens gelijk te zijn aan n4.


    confused animated GIF

     Voor wie hierdoor wat in de war is: een bewijs door volledige inductie zit in bijlage.

    Bijlagen:
    Curiosum Mathematicum - bewijs.pdf (196.4 KB)   

    02-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    01-05-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.finalevraag VWO-2013

    Op de voorbije finale van de Vlaamse Wiskunde Olympiade (editie 2013)
    kregen de deelnemers een mooie oefening uit de vlakke meetkunde voorgeschoteld.

    Beschouw (in het vlak) drie concentrische cirkels met stralen 1, 2 en 3 en een gelijkzijdige driehoek
    zodanig dat op elk van de drie cirkels één hoekpunt van deze driehoek ligt.
    Bereken de lengte van de zijden van deze driehoek.

    © Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

    UITDAGING. Los deze opgave op met behulp van het computerprogramma GeoGebra.


    www.geogebra.org

    In de bijlage vind je een verrassende oplossing voor het probleem
    die gebruik maakt van de omgekeerde stelling van Ptolemaeus.

    happy animated GIF  

    Bijlagen:
    Oplossing VWO-finalevraag 2013.pdf (277.6 KB)   

    01-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    29-04-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het probleem van de goudsmid

    WISKUNDE BIJ DE GOUDSMID

    Een goudsmid heeft een ketting gemaakt die bestaat uit 
    18 karaat gouden ringetjes met verschillende afmetingen.
    Er zijn ringetjes van drie verschillende formaten in verwerkt.
    De goudsmid beweert dat de drie soorten ringetjes dezelfde hoeveelheid goud bevatten
    (d.w.z. dezelfde oppervlakte hebben) omdat de koorden [AB], [CD] en [EF] dezelfde lengte hebben.

    Heeft de goudsmid gelijk?

    Tip. De stelling van Pythagoras toepassen.
    Antwoord in bijlage

    Bijlagen:
    WISKUNDE BIJ DE GOUDSMID - oplossing.pdf (59.2 KB)   

    29-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    28-04-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Zonderlinge eigenschap van 7 en 13

    NIEUWE (?) EIGENSCHAP VAN ZEVEN EN DERTIEN


    Niet enkel in sprookjes komt het cijfer 7 af en toe voor
    maar ook in de wiskunde blijkt het aantrekkelijke eigenschappen te bezitten.

    We vermelden hier een nieuwe (?) eigenschap
    waarvoor we in bijlage ook een bewijs geven.

    Zoek een getal van 6 cijfers dat deelbaar is door 7.
    We beweren dat elk getal dat je bekomt
    via een cyclische permutatie van de cijfers van dat getal
    ook weer deelbaar is door 7.

    Voorbeeld. 
    364 175 = 7 x 52 025.



    Via cyclische permutatie bekom je dan
    641 753 = 7 x 91 679
    417 536 = 7 x 59 648
    175 364 = 7 x 25 052
    753 641 = 7 x 107 663
    536 417 = 7 x 76 631.

    Uit het bewijs (zie bijlage) volgt dat deze eigenschap ook geldig is voor het priemgetal 13.
    Zo is 635 921 = 13 x 48 917.
    Controleer nu zelf eens dat de getallen
    359 216, 592 163, 921 635, 216 359 en 163 592
    ook weer deelbaar zijn door 13. 

    Test nu zelf eens of de eigenschap geldig is
    voor een getal van 3 cijfers dat deelbaar is door 37.


    Bijlagen:
    EIGENSCHAP VAN 7.pdf (166.2 KB)   

    28-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Mijn uurwerkparadox

    MIJN UURWERKPARADOX



    Om ongeveer 5 voor 12 en 5 na 12
    maken de grote en de kleine wijzer van een uurwerk een hoek van 30°.
    Hoeveel keer maken de twee wijzers dan elke dag
    tussen middernacht en 12 uur 's middags een hoek van 30°?

    Een simpele redenering is de volgende.
    Ongeveer om 00.05 uur is er voor de eerste keer een hoek van 30° tussen beide wijzers.
    Daarna is er rond elk uur telkens 2 keer een hoek van 30°
    (ongeveer om 00.55 uur en ongeveer om 1.05 uur,
    ongeveer om 2.05 uur en ongeveer om 2.15 uur enzovoort ...).
    Ongeveer om 11.55 uur is er voor de laatste keer een hoek van 30°.
    Dit geeft in totaal 1 + (11 x 2) + 1 = 24 keer.

    Waar zit de fout in deze redenering?


    28-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Over PHI en PI

    Bestaat er een verband tussen de getallen pi en phi?

    pi phi tattoo

    In de bijlage bewijzen we de volgende formule:





    Verrassend toch ?
    Pi is immers geen oplossing van een vierkantsvergelijking met gehele coëfficiënten
    (pi is een transcendent irrationaal getal) terwijl phi dat wel is (phi is een algebraïsch irrationaal getal).

    Chapter Life 2

    PI en PHI: om van te genieten!

    Bijlagen:
    Een merkwaardig verband tussen pi en phi.pdf (164.2 KB)   

    28-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    24-04-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Een mooi probleem uit Archimedes' lab

    Archimedes' Laboratorium is een boeiende en uitdagende website
    die elke maand een wiskundig probleem lanceert.
    Zie: http://www.archimedes-lab.org/ bij de rubriek 'Monthly Puzzle'.

    We troffen er een ogenschijnlijk eenvoudige puzzel aan 
    die ook een simpele en creatieve oplossing heeft.

    PUZZEL 131
    G is een willekeurige punt binnen een gelijkzijdige driehoek ABC.
    Projecteer G loodrecht op de drie zijden en verbind G met de drie hoekpunten.
    Dan ontstaan zes driehoeken (figuur 1).
    Toon aan dat de som van de oppervlakten k + m + o
    gelijk is aan de som van de oppervlakten l + n + p.

      Figuur 1

    BEWIJS.
    Trek door G een evenwijdige met de drie zijden van driehoek ABC.
    De driehoek wordt dan verdeeld in drie parallellograms en drie gelijkzijdige driehoeken.
    De lijnstukken die G met de hoekpunten A, B en C verbinden
    verdelen deze parallellograms en deze gelijkzijdige driehoeken
    telkens in twee delen met dezelfde oppervlakte.
    Dan is
    k + m + o = (x + a) + (y + b) + (z + c)
    = (a + y) + (b + z) + (c + x) = l + n + p.

    Q.E.D.

    Figuur 2


    Triangle animation photo: triangle animation MySpaceGens_9522872547.gif

    24-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 29/04-05/05 2019
  • 22/04-28/04 2019
  • 15/04-21/04 2019
  • 08/04-14/04 2019
  • 01/04-07/04 2019
  • 25/03-31/03 2019
  • 18/03-24/03 2019
  • 11/03-17/03 2019
  • 04/03-10/03 2019
  • 25/02-03/03 2019
  • 18/02-24/02 2019
  • 11/02-17/02 2019
  • 04/02-10/02 2019
  • 28/01-03/02 2019
  • 21/01-27/01 2019
  • 14/01-20/01 2019
  • 07/01-13/01 2019
  • 31/12-06/01 2019
  • 24/12-30/12 2018
  • 17/12-23/12 2018
  • 10/12-16/12 2018
  • 03/12-09/12 2018
  • 26/11-02/12 2018
  • 19/11-25/11 2018
  • 12/11-18/11 2018
  • 05/11-11/11 2018
  • 29/10-04/11 2018
  • 22/10-28/10 2018
  • 15/10-21/10 2018
  • 08/10-14/10 2018
  • 01/10-07/10 2018
  • 24/09-30/09 2018
  • 17/09-23/09 2018
  • 10/09-16/09 2018
  • 03/09-09/09 2018
  • 27/08-02/09 2018
  • 20/08-26/08 2018
  • 13/08-19/08 2018
  • 06/08-12/08 2018
  • 30/07-05/08 2018
  • 23/07-29/07 2018
  • 16/07-22/07 2018
  • 09/07-15/07 2018
  • 02/07-08/07 2018
  • 25/06-01/07 2018
  • 18/06-24/06 2018
  • 11/06-17/06 2018
  • 04/06-10/06 2018
  • 28/05-03/06 2018
  • 21/05-27/05 2018
  • 14/05-20/05 2018
  • 07/05-13/05 2018
  • 30/04-06/05 2018
  • 23/04-29/04 2018
  • 16/04-22/04 2018
  • 09/04-15/04 2018
  • 02/04-08/04 2018
  • 26/03-01/04 2018
  • 19/03-25/03 2018
  • 12/03-18/03 2018
  • 05/03-11/03 2018
  • 26/02-04/03 2018
  • 19/02-25/02 2018
  • 12/02-18/02 2018
  • 05/02-11/02 2018
  • 29/01-04/02 2018
  • 22/01-28/01 2018
  • 15/01-21/01 2018
  • 08/01-14/01 2018
  • 01/01-07/01 2018
  • 25/12-31/12 2017
  • 18/12-24/12 2017
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Meer blogs