In Vlaanderen is er nogal wat te doen rond het boek 'De voedselzandloper' van dokter Kris Verburgh. Deze jonge dokter verwijst in zijn goed gedocumenteerde bestseller o.a. naar de uitspraak van Hippocrates (460-370 v. Ch., grondlegger reguliere geneeskunde) 'Wat dan ook de vader van de ziekte is, de moeder is altijd een verkeerde voeding'.
In de onderste helft van de zandloper vind je de gezonde voedingsstoffen die de ongezonde uit de bovenste helft moeten vervangen.
We koppelen hier graag een wiskundig probleempje aan. Je beschikt over twee zandlopers. De kleinste heeft een looptijd van 3 minuten en de grootste van 4 minuten. Hoe kan je hiermee 5 minuten afmeten?
Oplossing. Laat beide zandlopers tegelijk lopen. Wanneer de kleinste zandloper na 3 minuten is doorgelopen, begin je de tijd te meten. De grootste loopt dan nog één minuut verder door. Wanneer die volledig is doorgelopen, draai je hem om en wanneer hij weer is doorgelopen zijn er precies 5 minuten voorbij.
Voor 2 betaalde mijn broer 6 euro. Voor 36 betaalden mijn ouders 12 euro. Voor 12 betaalde mijn vrouw eveneens 12 euro. Weet je dan hoeveel mijn zus betaalde voor 144?
Oplossing in bijlage.
Het emoticon bestaat dertig jaar Bron: Het Nieuwsblad, woensdag 19 september 2012.
Het is tegenwoordig niet meer weg te denken uit het internet- en gsm-verkeer en viert vandaag zijn dertigste verjaardag: het emoticon.
Officieel geldt professor Scott E. Fahlman van de Carnegie Mellon University in Pittsburgh als de eerste die een smiley gebruikte.
In een interne elektronische boodschap aan zijn studenten hanteerde hij op 19 september 1982 een dubbelpunt, streep en naar rechts afbuigend haakje als een manier om humor aan zijn boodschap toe te voegen.
Op de n-de rij staat dan de som (n2 2n + 2) + (n2 2n + 3) + ... + n2 die volgens de formule voor de som van 2n 1 opeenvolgende termen uit een rekenkundige rij gelijk is aan (n2 2n + 2 + n2)(2n 1)/2 = 2n3 3n2 + 3n 1 en dit is precies gelijk aan (n 1)3 + n3.
Leuk om te weten: (4 + 9 + 1 + 3)3 = 4913.
13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64 ... worden soms ook de kubusgetallen genoemd. Ze komen op een natuurlijke manier te voorschijn wanneer je opeenvolgende oneven getallen bij elkaar optelt:
Een eigenzinnige wiskundeleraar uit Trier maakte sommen op een eigenwijze manier. Van de 10 Arabische cijfers (die iedereen kent) negeerde hij er 9 permanent: hij gebruikte enkel en alleen het cijfer 4.
Wist je dat 4 het enige getal is in de Nederlandse taal dat even veel letters telt als het getal zelf aangeeft? Dit geeft aanleiding tot een leuke vaststelling. Neem een willekeurig getal, spel het overeenkomstig woord en tel het aantal letters. Doe dit opnieuw met het bekomen getal/woord. Ga zo door ... en je komt steeds weer op vier uit. Bron: wikipedia.
Voorbeeld. 35 = VIJFENDERTIG telt 12 letters. 12 = TWAALF telt 6 letters. 6 = ZES telt 3 letters. 3 = DRIE en dit woord telt 4 lettters!
Kan je met 4 vieren en via de vier hoofdbewerkingen (+, -, x en :) als resultaat alle cijfers van 0 tot en met 9 bekomen? Dat kan!
Probeer nu zelf eens om de uitkomsten 6, 7, 8 en 9 te bekomen.
Oplossing in bijlage.
Leuk om te weten: 10 lukt ook wel op de volgende manier: (44 4) : 4.
Vandaag gaat de 'nieuwe' Vlaamse TV-zender VIER van start. Wie naar VIER kijkt, wordt tussen de programma's door overspoeld door irritante reclamespotjes. Gelukkig hebben we een digicorder. Zo kunnen we interessante programma's opnemen en doorspoelen bij reclameblokjes.
Sommige spookdiertjes planten zich voort volgens een eigenaardige wetmatigheid. Stel dat je een jong paar spookdiertjes hebt. Na één maand zijn ze nog een onvolwassen paar. Na twee maanden zijn ze volwassen en planten ze zich voort. Zo komt er dan één maand later een nieuw jong paar bij. Eens dat een paar volwassen is, zorgt het een maand later telkens voor een nieuw jong paar.
Hoeveel paren spookdiertjes zijn er dan in totaal na 2, 3, 4, 5 ... maanden? Het antwoord kan je aflezen op het onderstaande schema.
De rij 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9 ... noemen we de spookrij. Hierin is vanaf de vierde term elke term gelijk aan de som van de vorige term en de term die drie plaatsen eerder in de rij staat. Zo is 4 = 3 + 1, 6 = 4 + 2, 9 = 6 + 3 enzovoort.
In de bijlage bewijzen we dat de verhouding pn/pn-1 van twee opeenvolgende termen uit de spookrij nadert naar het getal ξ = 1,46557... dat oplossing is van de vergelijking x3 = x2 + 1.
Bij het begin van het nieuwe schooljaar laait het debat over de kwaliteit van ons wiskunde-onderwijs en over het nut van het 'zuiver wiskundig denken' weer op.
Nochtans zijn er 10 goede redenen waarom wiskunde zo geweldig is.
1. Je wordt er blij van. 2. De sterke verhalen over wiskunde en wiskundigen zijn talrijk. 3. Het wapent je tegen denkfouten. 4. Het is goed voor je burgerschap. 5. Het kan je geld besparen. 6. Je kunt er rijk mee worden. 7. Zelfs het nutteloze is nuttig. 8. De hele wereld verwiskundigt. 9. Je kunt er mensen mee vermaken. 10. God is zelf een wiskundige.
Meer uitleg hierover lees je in de bijlage (bron: De Standaard).
En mocht je toch nog je twijfels hebben, kijk dan even hoe de mens erin slaagde - met behulp van de wiskunde - de robotjeep Curiosity te laten landen op Mars!
"Je leert niet voor school, maar voor het leven" (uitspraak van Seneca die in werkelijkheid het omgekeerde zei:
Non vitae sed scholae discimus, "De jeugd doet niet zijn best voor de toekomst maar alleen omdat de leraar het van hem vraagt" .
Vandaag 3 september 2012 trekken weer 1,1 miljoen Vlaamse kinderen naar school. 130 000 leerkrachten zetten dan in 3 600 scholen hun beste beentje voor om ze klaar te stomen voor hun taak in de maatschappij.
Leerlingen uit het tweede middelbaar
halen de opgelegde eindtermen voor wiskunde veel te vaak niet.
Vooral bewerkingen' en rekenen met veeltermen' zijn pijnpunten. Maar hoeveel
zou jij scoren op een wiskundeproef?
De juiste antwoorden zitten hier in bijlage.
Doe de test.
Wij selecteerden voor u tien vragen uit
de officiële wiskundetest.
Bewerkingen
1. Reken uit
.......
Let op: Het bewerkingsteken tussen het getal twee en de eerste haakjes, is een vermenigvuldigingsteken.
Getalinzicht
2. Waar zet je 1/2 op de volgende getallenlijn?
Antwoord met A, B, C of D
Rekenen met veeltermen
3. Bereken a in deze opgave: 5(a+4)-3(a-2)=32
Algebraïsering
4. Om te sjorren neemt leidster Mariam 200 touwen mee naar de scouts. Ze geeft elk kind 6 touwen. Ze heeft nog 32 touwen over.
Met welke vergelijking kan je berekenen hoeveel kinderen aanwezig waren?
Evenredigheden
5. Jan gaat op vakantie naar Marokko. De munteenheid is er de dirham. De bankbediende toont Jan de volgende tabel.
Welke formule drukt het verband uit tussen de waarde in euro (E) en in dirham (D)?
Omgaan met data
6. Laura leest op haar rapport dat de mediaan voor Frans in haar klas 68 is. Zelf behaalde Laura 84 voor Frans. De klas van Laura telt 15 leerlingen. Welke informatie kan hieruit afgeleid worden?
Als ik je op man af zou vragen wat er bijzonder is aan het getal 67, dan blijf je me waarschijnlijk het antwoord schuldig ... Of misschien herinner je je nog dat 67 een priemgetal is.
Ziehier toch drie leuke wiskundige weetjes omtrent 67.
GETALLENPIRAMIDE
67 x 67 = 4489 667 x 667 = 444889 6667 x 6667 = 44448889 66667 x 66667 = 4444488889 666667 x 666667 = 444444888889 6666667 x 6666667 = 44444448888889 enzovoort ...
DEELBAARHEID
Schrijf een getal van 4 cijfers op waarbij het getal gevormd door de eerste twee cijfers het dubbele is van het getal gevormd door de laatste twee. Dan is dat getal steeds deelbaar door 67.
Verklaring: (2000a + 200b) + (10a + b) = 2010a + 201b = 67 x (30a + 3b)
TAFEL VAN 67
Vermenigvuldig de veelvouden van drie met 67: 3 x 67 = 201 6 x 67 = 402 9 x 67 = 603 12 x 67 = 804 15 x 67 = 1005 18 x 67 = 1206 21 x 67 = 1407 24 x 67 = 1608 27 x 67 = 1809 enzovoort ... Zie jij de regelmaat? Hoe gaat dit verder?
Vandaag 25 augustus 2012 is Neil Armstrong, de eerste man op de maan, op 82-jarige leeftijd overleden. Hij zette op 21 juli 1969 de eerste voet op de maan. Zijn familie vraagt om even naar de maan te kijken en als eerbetoon aan deze astronaut even te knipogen ...
Als persoonlijke hommage aan Neil geef ik hier graag een wiskundig probleem een plaatsje: de kwadratuur van de maan.
Rechts zie je een 'maansikkel' die werd geconstrueerd met behulp van twee cirkels en twee raaklijnen. Is het mogelijk deze figuur in vier stukken te verdelen waarmee je dan het afgebeelde vierkant kunt vormen?
Op 18 augustus 2012 overleed Scott McKenzie die met 'San Francisco' (Be sure to wear flowers in your hair) een wereldhit scoorde. Deze typische hippiesong werd geschreven door John Phillips (The Mamas & The Papas) ter promotie van het Monterey Pop Festival in 1967. Het lied sprak de hoop uit van een hele generatie: nooit meer oorlog maar flower power en leven in vrijheid en in harmonie met de natuur ...
Geniet nog even van de live-uitvoering van deze song en los meteen het onderstaande bloemenvraagstukje op.
In de driehoekige tuin van Floris treffen we aan de drie hoeken telkens een bloemenperk aan met drie verschillende soorten bloemen: rozen, lelies en petunia's. Floris doet een merkwaardige vaststelling. Als hij het aantal bloemen samentelt in de twee perkjes langs elke zijde van de dtiehoek, dan komt hij telkens een volkomen kwadraat uit. Hoeveel bloemen staan er dan in elk perkje?
Hint. Er staan 120 petunia's en niet veel rozen...
Heel wat mensen hebben moeite met het toepassen van de zogenaamde regel van drieën, die verband houdt met recht evenredige of omgekeerd evenredige grootheden.
Twee voorbeelden ter illustratie.
1. Een doos met 60 spijkers kost 8 euro. Hoeveel kost een doos met 75 spijkers?
Oplossing. 60 spijkers > 8 euro. 1 spijker > 8/60 euro. 75 spijkers > (8 x 75)/60 = 10 euro. Hier gaat het om recht evenredige grootheden.
2. Een boer heeft voldoende veevoer in voorraad om 20 varkens gedurende 15 dagen te voederen. Hoe lang kan hij hiermee 75 varkens voederen?
Oplossing. 20 varkens > 15 dagen. 1 varken > 300 dagen. 75 varkens > 4 dagen. Hier gaat het om omgekeerd evenredige grootheden.
Probeer het nu zelf eens met het volgende probleem. 200 kippen leggen gemiddeld 200 eieren in 2 dagen. Hoeveel kippen leggen dan gemiddeld 300 eieren in 3 dagen?
En nu we het toch over drieën hebben: ziehier een leuk lucifersprobleempje. De onderstaande figuur bestaat uit 3 even grote rechthoeken. Kan je door 3 lucifers te verplaatsen een figuur bekomen die bestaat uit precies 3 (niet-noodzakelijke even grote) vierkanten?
Een donut is niet alleen lekker (vraag het maar aan Homer Simpson), het is ook een leuk studieobeject voor wiskundigen die dan spreken over een torus.
Stel dat er planeten zouden bestaan in de vorm van een donut (een bol met een gat erin). Hoeveel kleuren zouden cartografen dan minstens nodig hebben om alle mogelijk landkaarten op die planeet te kleuren zodat geen twee aan elkaar grenzende landen dezelfde kleur hebben?
In 1976 losten Kenneth Appel en Wolfgang Haken het vierkleurenprobleem op voor landkaarten op onze aarde. Hiermee bewezen ze dat elke mogelijke landkaart kan ingekleurd worden met hoogstens 4 kleuren als men eist dat geen twee aangrenzende landen dezelfde kleur hebben.
Kaart van de USA waarbij 4 kleuren volstaan om ervoor te zorgen dat geen twee aangrenzende staten dezelfde kleur hebben.
Hun bewijs was echter erg omstreden omdat ze gebruik maakten van een computerprogramma om alle mogelijke situaties uit te testen. En wie kon bewijzen dat hun computerprogramma geen fout bevatte? Toch is hun bewijs ondertussen algemeen aanvaard en zelfs verbeterd met behulp van een computer.
Appel en Haken
Meteen stelden wiskundigen de vraag hoeveel kleuren men zou nodig hebben om dit probleem op te lossen voor gebieden op een torus. Men heeft bewezen dat 7 kleuren volstaan. Lees meer hierover in de bijlage (bron: het wiskundetijdschrift Pythagoras).
Voor landkaarten op een planeet met n gaten erin volstaan int[ ½ (7 + √(1 + 48n)] kleuren waarbij int(x) gelijk is aan het geheel getal kleiner of gelijk aan x. Zo volstaan bij een planeet met 2 gaten erin int[ ½ (7 + √(1 + 96)]= int(8,4244 ...) = 8 kleuren.
Een doordenkertje voor de slimsten onder jullie: waarom is er voor het inkleuren van de onderstaande kaart toch blijkbaar een vijfde kleur nodig?
Vandaag 14 augustus 2012 is het een bijzondere dag voor de Amerikaanse pi-fanaten. Het Amerikaanse bevolkingsaantal wordt voortdurend weergegeven door het Amerikaanse Census Bureau, dat bevolkingsstatistieken bijhoudt.
Dit bureau berekende dat vandaag rond 20.29 uur Belgische tijd de Amerikaanse bevolking het getal 314.159.265 bereikt en dit is 100 miljoen keer pi.
Belgische gynaecoloog ontdekt gulden snede in baarmoeder
Bron: De Standaard, 14 augustus 2012
Een Belgische gynaecoloog van het UZ Leuven heeft ontdekt dat de afmetingen
van de meest vruchtbare baarmoeders zich verhouden tot de gulden snede.
Dat schrijft de Britse krant The Guardian.
Jasper Verguts, een gynaecoloog aan het universitair ziekenhuis in Leuven, nam de voorbije maanden met behulp van ultrasoundtechnologie de afmetingen van de baarmoeders van zowat 5.000 vrouwen. Daarop maakte hij een tabel met de gemiddelde verhouding tussen de lengte en breedte, en dat volgens verschillende leeftijdsgroepen.
Volgens de gegevens bedraagt die verhouding ongeveer 2 bij de geboorte, om dan geleidelijk af te nemen tot 1,46 bij oudere vrouwen.
Klassieke schoonheid
Verguts ontdekte zo dat wanneer vrouwen op hun vruchtbaarst zijn, dat is als ze tussen 16 en 20 jaar oud zijn, de verhouding 1,6 bedraagt. Dat cijfer komt erg dicht bij de gulden snede, de speciale verhouding die veel voorkomt in de klassieke architectuur en kunst, en in de natuur.
De verhouding, zowat 1,618, zorgt volgens experten voor een intrinsieke schoonheid.
Gynaecologen kunnen meteen zien of een baarmoeder er wel of niet normaal uitziet, volgens de afmetingen ervan. Verguts vermoedde dat die afmetingen zich tot de gulden snede verhielden, en dat is nu ook bewezen.
'Het is de eerste keer dat dit onderzocht werd. Ik ben erg tevreden dat ons onderzoek dat heeft aangetoond', aldus Verguts.
Zouden de Olympische Spelen mogelijk zijn zonder wiskunde? Wellicht niet!
Een voorbeeld ter illustratie: voor de berekening van het aantal behaalde punten bij de diverse onderdelen van de tienkamp doet men een beroep op functies met rationale exponenten. De punten worden als volgt berekend:
Looponderdelen: punten = a(bT)c waarin T staat voor de gelopen tijd in seconden. Springonderdelen: punten = a(Mb)c waarin M staat voor de sprongprestatie in centimeters. Werponderdelen: punten = a(Db)c waarin D staat voor de werpafstand in meters.
a, b en c zijn parameters die per discipline verschillen, zoals is te zien in de tabel hieronder. Het resultaat van de berekening wordt naar beneden afgerond op een geheel getal.
Onderdeel
a
b
c
100 m
25,4347
18
1,81
verspringen
0,14354
220
1,4
kogelstoten
51,39
1.5
1,05
hoogspringen
0,8465
75
1,42
400 m
1,53775
82
1,81
110 m horden
5,74352
28.5
1,92
discuswerpen
12,91
4
1,1
polsstokhoogspringen
0,2797
100
1,35
speerwerpen
10,14
7
1,08
1500 m
0,03768
480
1,85
Bron: Wikipedia.
Hans Van Alphen, de Belgische tienkamper behaalde een eervolle vierde plaats op de voorbije Olympische Spelen in Londen. Reken even na (met behulp van de bovenstaande formules en met een rekenmachine): - Hans loopt de 100 meter in 10,96 seconden. Dit levert hem 870 punten op. - Bij het hoogspringen haalt hij 2,06 meter. Dit is goed voor 859 punten. - De speer werpt hij 64,15 meter ver. Deze prestatie is goed voor 800 punten.
En nu we het toch hebben over glansprestaties op de voorbije Olympische Spelen: wat denk je van de bovenmenselijke prestatie van Epke Zonderland, de flying Dutchman, die met een gewaagde en acrobatische oefening aan het rek terecht de gouden medaille won? Hij maakte het verschil met zijn hoge moeilijkheidsgraad. Zijn unieke combinatie van vluchtelementen - de Cassina/Kovacs/Kolman - gaf hem een voorsprong op de concurrenten. Het kwam er op aan de aftrek wegens haperingen in de uitvoering zo veel mogelijk te beperken. Dat lukte, mede dank zij een perfecte landing.
In 1902 ontdekte de puzzelfanaat Henry Dudeney hoe je een gelijkzijdige driehoek in 4 stukken kunt knippen om hiermee dan een vierkant te vormen. Hij publiceerde deze merkwaardige vondst onder de naam 'The haberdasher's puzzle'. (haberdashery = garen en band; haberdasher: wie werkt met garen en band).
Op de onderstaande animatie zie je hoe dit gebeurt. Bron: wikipedia.
In de bijlage vind je hoe je zelf zo een puzzel kunt maken.
Een andere merkwaardige 'dissectie' bestaat er in 3 even grote regelmatige zeshoeken te verknippen om dan met de puzzelstukjes een nieuwe regelmatige zeshoek te vormen. Kijk maar.
GEZIEN?
En dan heb je nog de 'paradoxale dissecties'. Kan je verklaren wat je op het onderstaande filmpje ziet?
Lee Sallows, een Britse elektronicus bedacht een aantal merkwaardige magische vierkanten. Zijn 'top-vierkant' is ongetwijfeld een 3 x 3 - alfamagisch vierkant, waarin zowel getallen als hun Engelse spelling een 3 x 3 - magisch vierkant bepalen.
Bij het vierkant linksboven is de magische constante 45. In het onderste vierkant staat de Engelse schrijfwijze. Tel nu de letters van elk woord en zet de gevonden getallen in een derde vierkant (rechtsboven). Dit blijkt zelf weer een magisch vierkant op te leveren met als magische constante 21.
Merk op: 45 = forty-five en 21 = twenty-one. Beide woorden tellen 9 = 3 x 3 letters!
Hoi, rekenknobbel. Vandaag verrrassen we je met een merkwaardige berekening. Reken hiervoor niet op de vingers van jouw hand maar neem er een rekenmachientje bij.
Voer dan de volgende bewerkingen uit:
1. Typ 7 in. 2. Vermenigvuldig met het getal van jouw geboortemaand (januari = 1, februari = 2 ...). 3. Trek hiervan 1 af. 4. Vermenigvuldig met 13. 5. Tel hierbij het getal van jouw geboortedag op (een getal van 1 tot 31). 6. Tel hierbij 3 op. 7. Vermenigvuldig met 11. 8. Trek hiervan het getal van jouw geboortemaand af. 9. Trek hiervan het getal van jouw geboortedag af. 10. Deel door 10. 11. Tel hierbij 11 op. 12. Deel tenslotte door 100.
Als je alles correct uitvoert, verschijnt een verrassend resultaat. En kan je dit ook verklaren?
Knippatronen
Oplossing in bijlage.
= 
Oplossing in bijlage.
.......
Oplossing in bijlage.
