Lee Sallows, een Britse elektronicus bedacht een aantal merkwaardige magische vierkanten. Zijn 'top-vierkant' is ongetwijfeld een 3 x 3 - alfamagisch vierkant, waarin zowel getallen als hun Engelse spelling een 3 x 3 - magisch vierkant bepalen.
Bij het vierkant linksboven is de magische constante 45. In het onderste vierkant staat de Engelse schrijfwijze. Tel nu de letters van elk woord en zet de gevonden getallen in een derde vierkant (rechtsboven). Dit blijkt zelf weer een magisch vierkant op te leveren met als magische constante 21.
Merk op: 45 = forty-five en 21 = twenty-one. Beide woorden tellen 9 = 3 x 3 letters!
Hoi, rekenknobbel. Vandaag verrrassen we je met een merkwaardige berekening. Reken hiervoor niet op de vingers van jouw hand maar neem er een rekenmachientje bij.
Voer dan de volgende bewerkingen uit:
1. Typ 7 in. 2. Vermenigvuldig met het getal van jouw geboortemaand (januari = 1, februari = 2 ...). 3. Trek hiervan 1 af. 4. Vermenigvuldig met 13. 5. Tel hierbij het getal van jouw geboortedag op (een getal van 1 tot 31). 6. Tel hierbij 3 op. 7. Vermenigvuldig met 11. 8. Trek hiervan het getal van jouw geboortemaand af. 9. Trek hiervan het getal van jouw geboortedag af. 10. Deel door 10. 11. Tel hierbij 11 op. 12. Deel tenslotte door 100.
Als je alles correct uitvoert, verschijnt een verrassend resultaat. En kan je dit ook verklaren?
Op 5 augustus 1962 - precies 50 jaar geleden - overleed Marilyn Monroe. Voor veel mannen is en blijft ze een sexy vrouw met de ideale maten: 89 - 55 - 89 (in cm) of 35" - 22" - 35" (1" = 1 inch = 2,54 cm).
Bestaat er een verband tussen 'de ideale maten' van Marilyn en 'de gulden snede'? Het getal van de gulden snede is φ = 1,618 ... en 89/55 = 1,618 ... De getallen 89 en 55 zijn ook twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci!
********************************
In een recent statistisch onderzoek vroeg men aan 3000 vrouwen welke figuur ze zelf hadden. Dit waren de resultaten: * 27% het butternut-pompoenfiguur, beter bekend als de zandloper: smalle taille, brede heupen en grote borsten, * 21% een peerfiguur: smalle taille, kleine borsten, brede heupen * 21% het appelfiguur: rondom rond, ook aan de taille en de boezem * 16% beschreef zichzelf als een aubergine: een brede taille en brede heupen * 15% vond zichzelf een wortel: lang en smal, zonder rondingen of een broccoli: grote boezem, smalle taille en smalle heupen.
Nochtans blijken steeds minder vrouwen een zandloperfiguur te hebben. De 'norm' is momenteel dat de verhouding tussen de taille en de heupomtrek 0,7 is. Dit vinden de mannen blijkbaar het meest aantrekkelijk!
******************************************
Bekijk
nu even de onderstaande foto.
Van dichtbij blijkt het een foto van Einstein te zijn.
Ga dan op 5 meter van jouw computerscherm staan.
Zie je nu Marilyn?
Elders op mijn blog kan je lezen waar je het getal φ van de gulden snede terugvindt in een regelmatige vijfhoek.
Zo is op de bovenstaande figuur |AB| / |BG| = φ
De vraag is nu of φ ook in verband staat met een gelijkzijdige driehoek en een vierkant. Hieronder lees je dat het antwoord op deze vraag positief is!
1. De gulden snede bij een gelijkzijkdige driehoek en de omgeschreven cirkel.
A en B zijn de middens van de twee zijden van de gelijkzijdige driehoek. AB snijdt de cirkel in een punt G.
Dan is |AB| / |BG| = φ.
Hint voor het bewijs: gebruik de macht van het punt B t.o.v. de cirkel.
2. De gulden snede bij een vierkant geconstrueerd op de middellijn van een cirkel.
Een vierkant wordt geconstrueerd op de middellijn van een cirkel zoals op de bovenstaande figuur. A en B zijn de twee hoekpunten van het vierkant die op de middellijn AB liggen. De andere twee hoekpunten van het vierkant liggen op de cirkel. AB snijdt de cirkel in een punt G.
Dan is |AB| / |BG| = φ.
Hint voor het bewijs: gebruik de macht van het punt B t.o.v. de cirkel en de stelling van Pythagoras.
Om te leren tellen gebruikt men vanaf het kleuteronderwijs allerlei hulpmiddeltjes zoals kinderliedjes en aftelrijmpjes.
DE ZEVENSPRONG
Een kleuterjuffrouw uit Bergen kon haar voorliefde voor 7 niet verbergen. De zevensprong danste ze enthousiast en dagelijks keken haar kleuters klokvast naar 'Sneeuwwitje en de 7 dwergen'. L.G.
TIEN KLEINE NEGERTJES gebaseerd op de meest succesvolle misdaadroman van Agatha Christie (1939)
10 kleine negertjes gingen uit eten langs verre wegen.
1 stikte in zijn drankje toen waren er nog 9.
9 kleine negertjes praatten tot diep in de nacht,
1 kon niet wakker worden toen waren er nog 8.
8 kleine negertjes kwamen op een eiland aangedreven,
1 zei, dat hij niet verder wou toen waren er nog 7.
7 kleine negertjes kapten hout met een kapmes,
1 sloeg zichzelf in tweeën toen waren er nog 6.
6 kleine negertjes hielden een honingbedrijf,
Eén werd gestoken door een bij toen waren er nog 5.
5 kleine negertjes kregen met het recht gemier,
Eén kwam terdege in de knoei toen waren er nog 4.
4 kleine negertjes gingen naar zee en zie,
Eén rode haring verzwolg er een toen waren er nog 3.
3 kleine negertjes gingen naar Artis mee,
Eén grote beer drukte er een fijn toen waren er nog 2.
2 kleine negertjes gingen naar het zonnebad heen,
1 schroeide de zon een gat in zijn bast toen was er nog maar 1.
1 klein negertje bleef helemaal alleen.
Hij hing tenslotte zich maar op dus bleef er toen niet één.
TELLEN EN SPELLEN MET EEN KAARTSPEL
Neem een spel van 52 kaarten. Leg de 4 azen bovenop. Daaronder de 4 tweeën, dan de 4 drieën ... 4 tienen, 4 boeren, 4 dames en 4 heren. Spel nu de volgende woorden: EEN TWEE DRIE VIER VIJF ZES ZEVEN ACHT NEGEN TIEN BOER DAME HEER en leg bij elke gespelde letter een kaart op tafel met de rugzijde naar boven. Bij de rode letters draai je een kaart om met de beeldzijde naar boven. Deze kaart zal telkens precies de waarde hebben van het gespelde woord.
In plaats van EEN kan je natuurlijk ook AAS spellen.
Omdat je in totaal 52 letters hebt gespeld zal je ook op het einde alle kaarten hebben neergelegd!
Jaren geleden kocht ik in Engeland het boekje 'MATHEMATICS MAGIC AND MYSTERY' van Martin Gardner. Deze bijdrage is dan ook op de eerste plaats bedoeld als een eerbetoon aan Martin die tientallen boekjes schreef over ludieke en leerrijke wiskunde. Hij verzorgde ook 25 jaar lang de column Mathematics Games in The Scientific American en toonde hiermee de opvoedende waarde aan van wiskundige puzzels, spelletjes en goocheltrucs.
Martin Gardner (1914-2010)
In het hierboven vermelde boekje beschrijft Martin een aantal goocheltoeren met kaarten en getallen. Op Youtube vond ik een 'verfilming' van een leuke variante op één van de beschreven trucs. Hieronder kan je het filmpje bekijken.
De goochelaar laat eerst een vrijwilliger een willekeurig aantal kaarten van 1 tot en met 12 afnemen van de stapel. De goochelaar ziet dus niet hoeveel de vrijwilliger er afneemt. Hij zal dit immers raden! Dan telt de goochelaar 12 kaarten af van die stapel. Hij legt ze daarna in de vorm van de 12 uren van een klok. Meteen weet de goochelaar te zeggen hoeveel kaarten de vrijwilliger van de stapel heeft genomen. Bovendien had de goochelaar blijkbaar vooraf op een briefje voorspeld welke kaart precies op het uur zou liggen dat overeenkomt met het aantal afgenomen kaarten.
Verklaring. In het filmpje had de goochelaar vooraf ruitenvier op positie 13 geplaatst. De vrijwilliger neemt N kaarten af. De goochelaar gebruikt nu de kaarten N+1, N+2 ... N+12, maar keert hun volgorde om bij het aftellen van de kaarten van het hoopje. Kaart N+12 zal hierdoor het uur 1 aanduiden, kaart N+11 zal het uur 2 aanduiden, enzovoort ... tot en met kaart N+1 die het uur 12 zal aanduiden. Logisch dat kaart 13 dan het uur N zal aanduiden: (N+12 + 1 = N+11 + 2 = ...= 13 + N)!
In de volgende bijdrage op mijn blog vind je een eenvoudige variante hierop die eveneens in het hierboven vermelde boek van Martin Gardner wordt beschreven.
In zijn boek MATHEMATICS MAGIC AND MYSTERY beschrijft Martin Gardner een eenvoudige goocheltruc met dierennamen. Gebruik hiervoor de onderstaande afbeelding. Printversie in bijlage.
De
goocheltoer verloopt als volgt.
Eenvrijwilliger neemt de naam van één van de
afgebeelde dieren in gedachten.
Vervolgens
spelt die persoon in gedachten de naam van het dier
terwijl de goochelaar telkens één van de afgebeelde dieren aantikt:
het aantal tikken komt dus overeen met het aantal letters van de
gekozen dierennaam.
Na de tik
waarbij de laatste letter wordt gespeld roept de vrijwilliger STOP!.
Op dat moment blijkt de goochelaar juist het gekozen dier aan te wijzen.
Als bijvoorbeeld PAARD werd gekozen, zaler STOP worden geroepen na de vijfde tik
en op dat ogenblik wijst de goochelaar precies het paard aan.
Hoe gaat de
goochelaar te werk?
De eerste
tik geeft hij op de krokodil en verspringt bij elke letter naar het volgende
dier.
Hij volgt hierbij de lijnen van de zevenhoek en vertrekt in de richting van de
pijl.
Dus: krokodil, dan vleermuis, dan aap enzovoort.
Mijn favoriete regelmatige veelhoek is de regelmatige zevenhoek.
Convexe regelmatige De twee stervormige regelmatige zevenhoek zevenhoeken
Waarom?
1. Het is de regelmatige veelhoek met het kleinste aantal zijden die niet met een passer en een liniaal kan geconstrueerd worden.
2. Wist je dat je wellicht dagelijks een regelmatige zevenhoek 'ontmoet'?
De muntstukjes van 20 eurocent hebben immers 7 inkepingen in de rand en zo wordt een regelmatige zevenhoek uitgetekend.
3. Beschouw de driehoek ABC in de onderstaande regelmatige zevenhoek. Als de zijden van deze driehoek als lengte a, b en c hebben, dan is
Voor het bewijs moet je eerst de stelling van Ptolemaeus (zie elders op mijn blog) toepassen in een vierhoek (bepaald door 4 hoekpunten van de zevenhoek) met zijden c, a, a en b en met diagonalen c en b. Volgens de stelling van Ptolemaeus is ca + ab = cb. Deel daarna de drie termen door abc en je vindt de vooropgestelde formule. Zie ook: http://www.qbyte.org/puzzles/p091ss.html .
4. Omdat er 7 dagen zijn in een week, mag je verwachten dat er pillendoosjes bestaan in de vorm van een regelmatige zevenhoek. En ja hoor, we vonden zo een doosje op het internet.
Wist je dat je met een gewicht van 1 kg, van 3 kg en van 9 kg alle mogelijke gehele gewichten (massa's) van 1 tot en met 13 kg kunt afwegen? Merk op 30 = 1, 31 = 3 en 32 = 9 zijn machten van 3.
Enkele voorbeelden. We nemen aan dat je het af te wegen pak in de linkerschaal plaatst. Om een pak van 6 kg af te wegen, plaats je bij dat pak 3 kg en plaats je dan 9 kg in de rechterschaal. Om een pak van 5 kg af te wegen, plaats je bij dat pak 1 kg en 3 kg en weer 9 kg in de rechterschaal. Om een pak van 4 kg af te wegen, plaats je gewoonweg 1 kg en 3 kg in de rechterschaal.
Ga na dat je zo alle gewichten van 1 kg tot en met 13 kg kunt afwegen. En controleer ook eens dat je met een gewicht van 1 kg, 3 kg, 9 kg en 27 kg (27 = 33) alle mogelijke gewichten van 1 kg tot en met 40 kg kunt afwegen.
Een wiskundeleraar uit Turijn bleek in de ban van het getal pi te zijn. Zijn beide zonen waren alvast hierdoor een beetje erfelijk belast: de ene was pi-loot, de andere ka-pi-tein.
L. G.
Hieronder staat een pandigitale benadering voor het getal pi. Pandigitaal betekent dat alle cijfers van 1 tot en met 9 precies één keer voorkomen in de uitdrukking. Reken dit maar eens uit met jouw rekenmachine.
Ik was wellicht 8 of 9 jaar toen een oudere vriend me de onderstaande beroemde goocheltoer met 21 speelkaarten leerde.
Laat jouw tegenspeler een kaart kiezen uit een spel van 21 kaarten en laat hem daarna de kaart terug tussen de andere kaarten stoppen. Hierna leg je drie keer na elkaar de 21 kaarten op tafel neer in drie kolommen van 7 kaarten. Laat jouw tegenspeler telkens aanwijzen in welke kolom de gekozen kaart ligt. Verzamel telkens de kaarten in 3 stapeltjes, maar stop de 7 kaarten uit de aangeduide kolom in het midden van de 3 stapeltjes. Nadat je dit 3 keer hebt herhaald, zal de gekozen kaart op de 11de positie van de gehele stapel terecht komen.
Toen ik in het zesde leerjaar zat, leerde iemand me de volgende truc met getallen.
Laat jouw tegenspeler een geheel getal van 5 cijfers opschrijven, waarvan het eindcijfer (cijfer van de eenheden) minstens 2 is. Laat hem daaronder nog een geheel getal van 5 cijfers schrijven. Dan kom jij aan de beurt: schrijf hieronder het getal van 5 cijfers zodat de som van het tweede getal en jouw getal gelijk is aan 99 999. Laat jouw tegenspeler een vierde getal opschrijven. Dan kom jij weer aan de beurt: schrijf hieronder een vijfde getal zodat de som van het vierde en het vijfde getal weer 99 999 is.
Daag dan jouw tegenspeler uit om zo snel mogelijk de 5 getallen bij elkaar op te tellen. Dat is erg eenvoudig voor jou: neem het eerste getal; zet hiervoor een cijfer 2 en verminder het cijfer van de eenheden met 2. Dat is meteen de juiste uitkomst!
Voorbeeld. 72 934 Het eerste getal schrijft de tegenspeler op. 31 904 Het tweede getal schrijft de tegenspeler op. 68 095 Dit getal schrijf jij op: 31 904 + 68 095 = 99 999 23 831 Dit getal schrijft de tegenspeler op. + 76 168 Dit getal schrijf jij op: 23 831 + 76 168 = 99 999 ------------ 272 932 Deze som kan je nu snel berekenen. Neem het eerste getal (72 934), zet een 2 ervoor en trek 2 af van het eindcijfer 4.
Zonet zijn we terug thuisgekomen na een uitgebreide vakantietrip naar Barcelona en omstreken. De sangria, paella, tapas en vooral de Sagrada Familia nodigden uit tot enkele zonnige wiskundige mijmeringen.
Het magisch vierkant van de
Sagrada Familia
Het magisch vierkant gesculpteerd in de gevel Het magisch vierkant in de bronzen toegangsdeur van de kathedraal naast het beeld van de Judaskus (Marcus 14, 45)
Op 310 verschillende manieren kan je 4 getallen kiezen uit het vierkant zodat hun som gelijk is aan 33, de leeftijd waarop Jezus aan het kruis is gestorven.
De getallen 10 en 14 komen in het vierkant twee keer voor. De verklaring hiervoor is te vinden in de numerologie. 10 + 10 + 14 + 14 = 48. De lettercombinatie INRI (Iesus Nazarenus Rex Iudaeorum) verwijst naar Jezus. Bekijk nu even het Latijns alfabet: A B C D E F G H I K L M N O P Q R S T V X. Hierin vind je op positie 9 de letter I op de positie 13 de letter N en op positie 17 de letter R. INRI geeft precies weer 9 + 13 + 17 + 9 = 48.
Ziehier enkele manieren om 33 te vormen als som van 4 getallen uit het magisch vierkant.
Tijdens onze vakantiereis in Spanje genoten we van de kunst van Gaudi, Picasso en Miro
en we namen ook even de tijd voor een bezoek aan Camp Nou,
het legendarische voetbalstadion van FC Barcelona.
In de clubshop gingen de truitjes van de sterspelers Messi, Iniesta en Xavi vlot van de hand.
Momenteel hebben de volgende spelers de rugnummers van 1 tot en met 11: 1. Valdés (doelwachter) 2. Alves 3. Piqué 4. Fàbregas 5. Puyol. 6. Xavi 7. Villa 8. Iniesta 9. Alexis 10. Messi 11. Thiago
Stel dat deze 11 spelers willekeurig één van de 11 truitjes nemen waarop de rugnummers van 1 tot en met 11 staan. Hoe groot is dan de kans dat minstens één speler zijn eigen truitje neemt?
Antwoord. Ongeveer 71,5 %.
Dit probleem werd voor het eerst bestudeerd door Montmort in 1708 en staat bekend als het garderobeprobleem.
Meer hierover en over het verrrasend verband dat dit probleem heeft met het getal e ≈ 2,71828 ... (getal van Euler) lees je in de beide bijlagen.
Tijdens onze vakantietrip naar Barcelona maakten we tijd voor een zomerse cultuurinjectie. Met werken van Gaudi, Miró en Picasso binnen wandelbereik was dit niet echt een probleem.
Gaudi in Park Güell Fundació Joan Miró Picasso langs de straten van Barcelona
Hoe is het gesteld met jouw kennis over deze drie beroemde kunstenaars? We doen even de test aan de hand van 4 meerkeuzevragen.
Vraag 1. Waar werd Pablo Picasso geboren? A. Málaga B. Barcelona C. Madrid D. Valencia
Vraag 2. Waar werd Joan Miró geboren? A. Málaga B. Barcelona C. Madrid D. Valencia
Vraag 3. Welk gebouw in Barcelona is niet van de hand van Gaudi? A. Palau Reial B. Palau Güell C. Casa Battló D. Casa Milà
Vraag 4. Wanneer is men begonnen met de bouw van de Sagrada Familia? A. 1831 B. 1854 C. 1882 D. 1891
Hieronder staat de formule waarmee men meestal de score bij meerkeuzevragen berekent. Per juist antwoord: +1 Blanco: 0 Foutief antwoord: - 1/(N 1) waarbij N het aantal keuzemogelijkheden is per vraag. Deze laatste waarde is de zogenaamde giscorrectie. Hiermee wil men het gokken tegengaan.
Wie op de vier bovenstaande vragen telkens gokt, zal volgens de kansberekening (gemiddeld) één juist antwoord hebben. De behaalde score is dan S = 1 3/(4 1) = 1 1 = 0. Logisch ?!
Hij heeft een houten vierkant bord van 5 meter op 5 meter dat in 25 vakjes van 1 meter op 1 meter verdeeld is. Men vraagt hem nu het bord langs de lijnen in vier stukken te zagen waarmee hij dan een vierkant van 3 op 3 meter en een vierkant van 4 op 4 meter moet vormen. Piet beweert dat hij deze klus gemakkelijk kan klaren omdat 3² + 4² = 5².
Weet jij hoe Piet Agoras dit probleem zal oplossen?
Je krijgt 3 minuten tijd om dit probleem op te lossen.
Luister ondertussen naar één van de vele hits van The Carpenters en geniet mee van de briljante stem van Karen die in 1983 op 32-jarige leeftijd stierf aan de gevolgen van anorexia nervosa.
Ik kwam bijna 50 jaar geleden voor het eerst in contact met de binaire getallen toen onze meester van het zesde leerjaar ons uitlegde hoe de oude Egyptenaren twee getallen met elkaar vermenigvuldigden. Hieronder zie je hoe ze 25 x 31 met een eenvoudig rekenschema oplosten. Voor wie wil weten wat het verband is met de binaire schrijfwijze van getallen: lees de bijlage.
In bijlage zitten ook binaire goochelkaartjes en een ppt-presentatie over 'binair goochelen'.
Heel wat wiskundige paradoxen hebben te maken met het begrip 'oneindig'.
Volgens de paradox van Zeno kan de loper Achilles een schildpad die enkele meters voor hem uit loopt nooit inhalen. Kijk maar even mee naar het volgende filmpje.
En als je wilt bewijzen dat 1 = 2, dan kan dit als volgt.
1 + ∞ = ∞ en 2 + ∞ = ∞ dus 1 + ∞ = 2 + ∞. Trek nu van beide leden ∞ af, dan is 1 = 2.
Meer uitleg in de bijlage!
Printversie in bijlage.
![BARCA: Blaugrana flag and team crest [Animated GIF, open thumbnail for animation]](https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/originals/92/aa/ff/92aaff33b2b0e80853ee7f5c76d75c3d.jpg)
