Ik kwam bijna 50 jaar geleden voor het eerst in contact met de binaire getallen toen onze meester van het zesde leerjaar ons uitlegde hoe de oude Egyptenaren twee getallen met elkaar vermenigvuldigden. Hieronder zie je hoe ze 25 x 31 met een eenvoudig rekenschema oplosten. Voor wie wil weten wat het verband is met de binaire schrijfwijze van getallen: lees de bijlage.
In bijlage zitten ook binaire goochelkaartjes en een ppt-presentatie over 'binair goochelen'.
Heel wat wiskundige paradoxen hebben te maken met het begrip 'oneindig'.
Volgens de paradox van Zeno kan de loper Achilles een schildpad die enkele meters voor hem uit loopt nooit inhalen. Kijk maar even mee naar het volgende filmpje.
En als je wilt bewijzen dat 1 = 2, dan kan dit als volgt.
1 + ∞ = ∞ en 2 + ∞ = ∞ dus 1 + ∞ = 2 + ∞. Trek nu van beide leden ∞ af, dan is 1 = 2.
Een torus is een driedimensionaal omwentelingslichaam dat ontstaat door een cirkel te laten wentelen rond een rechte die zich in het vlak van de cirkel bevindt en waarbij de cirkel deze rechte niet snijdt.
Een (opgepompte) binnenband van een fiets en een donut hebben de vorm van een torus.
Het is een klassieke oefening van integraalrekenen om de oppervlakte A en het volume V van een torus te berekenen.
Spijtig genoeg vinden we in de huidige wiskundehandboeken geen bewijs meer van de regels van Guldin, die toelaten de oppervlakte en het volume van een torus op een eenvoudige manier te berekenen.
Regels van Guldin
De eerste regel van Guldin,
vernoemd naar de Zwitserse wiskundige en astronoom Paul Guldin (1577-1643),
stelt dat de oppervlakte van een omwentelingslichaam
gelijk is aan de omtrek van de om te wentelen figuur maal de lengte van de
cirkel die het zwaartepunt van deze figuur aflegt.
De regel kwam al eerder voor in de
Synagoge van Pappos van Alexandrië (4e eeuw)
en wordt daarom ook wel regel van Pappus genoemd.
De oppervlakte van een torus met omwentelingsstraal van het middelpunt R en straal van de om te wentelen cirkel r is dus
.
De tweede regel van Guldin
stelt dat de inhoud van een omwentelingslichaam
gelijk is aan de oppervlakte van de om te wentelen figuur maal de lengte van de
cirkel die het zwaartepunt van deze figuur aflegt.
De inhoud van de zojuist beschreven
torus kan dus worden gevonden met
.
Doordenkertje: men kan een torus ook bekijken als het ruimtelijk lichaam dat men bekomt door de twee uiteinden van een cilinder samen te voegen. Bereken dan eens de oppervlakte en de inhoud van deze 'genererende' cilinder. Ze blijken exact dezelfde waarde te hebben als bij de torus die eruit ontstaat!
Zoals ik op een andere pagina op mijn blog al liet weten is de cardioïde of hartlijn mijn favoriete vlakke meetkundige kromme.
Op http://users.telenet.be/jci/limacon/cardioide.html vind je een uitgebreide studie van de cardioïde.
Hieronder vind je twee verrassende manieren om een hartlijn te voorschijn te 'toveren'.
WERKWIJZE 1
Teken een cirkel en verdeel de omtrek
in een aantal even lange bogen.
Op de onderstaande tekening zijn dat 30 bogen.
Nummer de verdeelpunten van 0 tot en met 29.
Verbind nu punt 0 met punt 15, punt 2 met punt 16, punt 3 met punt 17 ..
enzovoort.
De omhullende van die verzameling
koorden is dan een cardioïde.
WERKWIJZE 2
Vertrek van een vaste cirkel met
middelpunt A (rood) en neem daarop een punt P.
Neem een vast punt C buiten de
cirkel.
Teken nu de cirkel met middelpunt P die door het vast punt C gaat.
Als P de gegeven cirkel doorloopt, dan is
de omhullende kromme
van die verzameling cirkels precies een
cardioïde.
Wie houdt van wiskundige spelletjes, houdt ongetwijfeld ook van het getal 21.
Wist je dat bij het spel BLOKUS elke speler 21 spelblokjes krijgt?
Bij het casinospel BLACKJACK is het de bedoeling dichter bij 21 te komen dan de bank.
Een dobbelsteen heeft 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 ogen.
Er zijn 21 manieren om koorden te tekenen tussen 5 punten op een cirkel zodat de koorden elkaar niet snijden. Hierbij rekenen wiskundigen ook de 'triviale manier' (geen koorde tekenen). Daarom is 21 een Motzkingetal.
21 komt voor in de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... en in de rij van Padovan: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21 ....
We nodigen je tenslotte uit voor een wiskundige rekenspelletje. Neem er alvast een rekenmachientje bij!
1. Kies een willekeurig geheel getal (voorbeeld 217) 2. Vermenigvuldig dit getal met 21 (217 x 21 = 4 557) 3. Laat het laatste cijfer van dit getal weg (je bekomt nu 455) 4. Vermenigvuldig het bekomen getal met 11 (455 x 11 = 5 005) 5. Trek hiervan het weggelaten cijfer (bij stap 3) af (5 005 - 7 = 4 998) DE UITKOMST IS DAN ALTIJD DEELBAAR DOOR 21 (4998 : 21 = 238).
Droom je ook nog even weg bij het Andante uit het pianoconcerto Nr. 21 van Wolfgang Amadeus Mozart (muziek uit de film Elvira Madigan)?
Het plastisch getal, aangeduid met de Griekse letter ψ (psi), hoort thuis in de verhoudingenleer binnen de architectuur, die werd ontwikkeld door de priester en architect Dom Hans van der Laan (1904-1991). Je kunt dit getal aanzien als het driedimensionale equivalent van het gulden getal φ (phi, het getal van de gulden snede). Het getal ψ voldoet aan de wiskundige vergelijking
Zoals het gulden getal de limiet is van de verhouding van twee opeenvolgende termen in de rij van Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8 ...), zo is het plastisch getal de limiet van de verhouding van twee opeenvolgende termen in de rij van Padovan (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21 ...).
Deze rij getallen P0 ,P1, P2, P3 , P4, ..., Pn, ... is bepaald door P0 =P1 = P2 = 1 en Pn+3 = Pn + Pn+1. Deze rij is genoemd naar de architect Richard Padovan.
Je kunt deze getallen beschouwen als de lengten van zijden van gelijkzijdige driehoeken die zo een spiraal bepalen (zie onderstaande figuur).
Een balkvormige doos met lengte l, breedte b en hoogte h waarbij l : b = h : l = (b + l) : h kan je volgens deze theorie beschouwen als 'de doos met de ideale afmetingen' zoals blijkt uit het rekenwerk in de bijlage, want dan is l = ψb en h = ψl = ψ²b.
De waarde voor ψ (= 1,3247...) werd hier afgerond op 4/3 en de waarde voor ψ² (= 1,7548...) op 7/4.
Galileo Galilei verrichtte rond 1600
baanbrekend werk op het gebied van de kinematica.
Hij wilde weten hoe voorwerpen vallen.
Maar een steen of een metalen kogel valt zó snel dat je dit met het
blote oog nauwelijks kunt volgen
en in die korte tijd zeker geen valtijd kunt opmeten.
Om die val te vertragen werkte hij met een soort valgeul, een licht hellend
vlak waarin hij een ronde kogel omlaag liet rollen.
Hij bouwde een goot, ongeveer vier meter lang, die hij min of meer schuin kon
zetten om die kogel te laten rollen.
Over die goot bracht hij kleine belletjes aan die rinkelden als ze een tik
kregen van de voorbij rollende bal.
Hij verschoof die onderling tot het rinkelen heel regelmatig was: de bal deed
er dan even veel tijd over om van elke bel tot de volgende te rollen.
Hij vond dat de opeenvolgende afstanden tussen de bellen veelvouden waren van
de eerste afstand (die tussen bel 1 en bel 2 dus)
en wel zo dat ze zich verhielden als 3, 5, 7, 9 .. d.w.z. zoals de oneven
getallen dus.
Dat bewees dat de bal, gemeten vanaf de oorsprong (bel 1), afstanden aflegden
die waren zoals
1
1+3 = 4
1+3+5 = 9
1+3+5+7 = 16
enz... dus zoals de kwadraten van de tijden.
En zo kwam hij op de valwet: de valafstand is evenredig met het kwadraat
van de tijd
of in formulevorm s = ½ gt², waarbij g de valversnelling is (ongeveer 9,81
m/s² op aarde).
Stikt genomen geldt de wet enkel in vacuüm, maar bij een zwaar lichaam, zoals
een loden kogel
en afstanden van enkele tientallen meter is de afremming door de lucht te
verwaarlozen.
Galilei sprak ook Aristosteles tegen, die beweerde dat de snelheid van een
vallend voorwerp afhangt van zijn massa.
Zo voorspelde Galilei dat, wanneer men een veer en een hamer tegelijkertijd zou
laten vallen in het luchtledige,
ze terzelfdertijd op de grond zouden neerkomen.
Dit experiment werd door astronaut David Scott in 1971 trouwens uitgevoerd op
de maan
tijdens de missie van Apollo XV, zoals je in het volgende filmpje kunt zien.
Je kan een eigentijdse replica van de valgeul van Galilei zien op de site van het museum voor de geschiedenis van de wetenschappen te Firenze.
Zo zie
je maar dat het soms jaren duurt vooraleer belangrijke wetenschappelijke
vondsten
die met behulp van wiskundige formules werden voorspeld ook daadwerkelijk
experimenteel kunnen aangetoond worden.
En vandaag 4 juli 2012 is het weer zo ver. Het bestaan van het zogaamde
higgsboson is bevestigd!
De
Belgische professoren François Englert en Robert Brout (Université Libre de Bruxelles)
hadden het bestaan ervan reeds in 1964 voorspeld.
Het deeltje werd echter vernoemd naar Peter Higgs,
die enkele weken na Englert en Brout een soortgelijke theorie puliceerde.
Deze Babylonische kleitablet van rond 1800 v. Chr. werd in 1921 in Irak gevonden en heeft het nummer 322 in de catalogus van George A. Plimpton, die ze schonk aan de Columbia University.
De tablet bevat een aantal merkwaardige getallenreeksen in spijkerschrift.
Op lijn 5 staat bijvoorbeeld 1:05 en 1:37. Omdat het hier om het zestigdelig talstelsel van de Babyloniërs gaat, lezen we dit als 1 x 60 + 5 = 65 en 1 x 60 + 37 = 97. Nu is 97² 65² = 5184 en dat is zelf weer een kwadraatgetal, nl. 72².
Op lijn 3 staat 1:16:41 en 1:50:49. Als we dit omzetten naar ons tiendelig talstelsel vinden we 1 x 60² + 16 x 60 + 41 = 4601 en 1 x 60² + 50 x 60 + 49 = 6649. Nu is 6649² 4601² = 23 040 000 = 4800².
Op de tablet staan dus blijkbaar kopppels natuurlijke getallen (c,a) zodat a² c² = b² waarbij b ook weer een natuurlijk getal is. Drietallen natuurlijke getallen (b, c, a) met a² = b² + c² noemt men Pythagoreïsche drietallen omdat ze als lengten kunnen dienenvoor de drie zijden van een rechthoekige driehoek.
Dit is meteen het bewijs dat de Babyloniërs de stelling van Pythagoras kenden lang voordat deze Griekse wiskundige leefde (rond 500 v. Chr.).
Formule voor Pythagoreïsche drietallen: a = u² + v², b = 2uv, c = u² v² (met u en v twee positieve gehele getallen) dan is (u² v²)² + (2uv)² = (u² + v²)²
Meer details over de getallenreeksen op de Plimpton 322 vind je in de bijlage.
De cardioïde (hartlijn) is mijn favoriete vlakke kromme.
Deze
kromme kan men op verschillende manieren construeren:
(1) als een voetpuntskromme (door een vast punt op een cirkel loodrecht te
projecteren op een veranderlijke raaklijn aan deze cirkel);
(2) als een bijzondere epicycloïde (waarbij men de baan volgt van een vast punt
op een cirkel met straal a
die rolt zonder glijden over een vaste cirkel met dezelfde straal);
(3) als omhullende van een familie cirkels. Vertrek hiervoor van een cirkel met
middelpunt O en kies een vast punt B op deze cirkel.
Beschouw nu alle cirkels met middelpunt A op deze cirkels die door B gaan.
De omhullende van deze familie cirkels is de cardioïde.
In de drie bijlagen vind je de technische uitwerking van de drie verschillende manieren om een cardioïde als een meetkundige plaats te bekomen.
We stellen hierbij diverse soorten vergelijkingen op van de cardioïde: parametervergelijkingen, poolvergelijking en cartesiaanse vergelijking.
Later op mijn blog verschijnen trouwens nog drie bijdragen over de cardioïde.
Op de onderstaande tekening zie je hoe men wiskunde heeft toegepast voor het ontwerp van het euroteken. Het gekozen symbool is ontworpen door de Belg Alain Billiet (verklaart dit misschien de naam 'bankbiljet'?).
Ook de tekening op de Europese zijde van de euromunten is een ontwerp van een Belg namelijk van Luc Luycx, een computeringenieur die werkt bij de Koninklijke Munt van België. Zijn initialen (LL) staan op elke euromunt onder de letter O van EURO.
Dat euromuntstukken de vorm hebben van cirkels zal ook geen toeval zijn: geld moet rollen!
Heel wat leuke weetjes over de euro en hoe de euro ons geld is geworden lees je in de bijlage.
Het moiré-effect is een gekende optische illusie (eigenlijk een interferentie-effect) die ontstaat als twee doorzichtige stoffen met lijnen over elkaar heen gelegd worden onder een iets verschillende hoek of wanneer de afstand tussen de lijnen op twee stoffen lichtjes verschilt.
De term komt van het Franse moiré, wat oorspronkelijk een soort zijde was.
Dit effect neem je ook soms waar bij een TV-programma wanneer de presentator een streepjeshemd draagt waarbij de lijnen interfereren met de lijnen op het TV-scherm.
Hieronder kan je meegenieten van een youtube-filmpje dat het moiré-effect op een verrassende manier illustreert.
STRIMKO is een leuk uitdagend logisch cijferspelletje dat wat lijkt op sudoku. Een STRIMKO is een vierkant rooster met n x n cirkeltjes waarin de cijfers van 1 tot en met n moeten ingevuld worden.
Er zijn drie eenvoudige spelregels: - in elke rij moeten alle cijfers één keer voorkomen - in elke kolop moeten alle cijfers één keer voorkomen - in een STRIMKO komen zogenaamde 'streams' voor. Dit zijn verbindingen tussen n cirkeltjes waarin ook alle cijfers één keer moeten voorkomen.
In de onderstaande STRIMKO moet je in de lege cirkeltjes de cijfers van 1 tot en met 4 invullen overeenkomstig de bovenstaande spelregels.
Probeer je eens?
Deze opgave (met de oplossing) en vier andere STRIMKO's vind je in bijlage.
Als kind was ik gefascineerd door de spirograaf, een plastieken sjabloon met een setje tandwieltjes waarmee je fascinerende geometrische figuren kon tekenen.
Pas veel jaren later zou ik ontdekken dat het hier om vlakke meetkundige krommen ging die allemaal een exotische naam hadden en door eminente wiskundige waren ontdekt en bestudeerd. Ik verwijs hiervoor o.a. naar de website http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml.
Op http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/ de wiskundeblog van collega Didier Müller, kwam ik zo een hypotrochoïde tegen. De kromme onstaat op de onderstaande figuur door een punt op het uiteinde van een vast staafje met lengte 5 te volgen dat vastzit in het midden van een tandwiel met straal 3 dat rolt binnen een cirkel met straal 5. Merk op dat de binnenste cirkel dan 3 toeren moet afleggen om de volledige grafiek te beschrijven en dat er dan op de grafiek 5 'toppen' verschijnen.
En blijkbaar is een ellips een bijzonder geval hiervan. Kijk maar (ook in de bijlage voor de wiskundige verklaring)!
Paul Levrie en Rudi Penne doceren wiskunde aan de ingenieursopleiding van de Karel de Grote-Hogeschool. Rudi doceert bovendien aan het departement Wiskunde-Informatica van de Universiteit Antwerpen en Paul is onderzoeker aan het departement Computerwetenschappen van de KU Leuven. Paul is ook redacteur van Pythagoras (www.pythagoras.nu), het wiskundetijdschrift voor liefhebbers.
Op hun blog geven ze onder andere een originele verklaring voor het feit dat 'pi' de beginletters vormen van 'piano (zie onderstaande figuur)'.
Ze maakten me ook attent op het feit dat Lewis Carroll (1832-1898) (pseudoniem voor Charles Lutwidge Dodgson) die wereldberoemd is als auteur van het kinderboek Alice in Wonderland ook een eminente wiskundige was.
Hij vond o.a. een originele methode om determinanten te berekenen via de zogenaamde 'condensatiemethode'.
In onze handboeken van het secundair onderwijs wordt deze snelle en efficiënte methode jammer genoeg niet vermeld.
Ziehier een eenvoudige wiskundige goocheltoer waarmee je wel wat indruk kunt maken.
Je hebt hiervoor enkel 5 kaartjes nodig met op de ene zijde de zwarte cijfers 1, 2, 3, 4 en 5 en op de andere zijde de rode getallen 6, 7, 8, 9 en 10. Let op: 6 moet op de achterzijde staan van 1, 7 op de achterzijde van 2, 3 van 8, 4 van 5 en 6 van 10, maar dat laat je best niet zien aan de toeschouwers.
Leg aan de toeschouwers uit dat iemand de kaartjes mag in de lucht gooien en dat je daarna supersnel de som zult maken van vijf zichtbare getallen op de kaartjes. Jij ziet echter zelf die getallen niet, want je laat je vooraf blinddoeken of je draait je gewoon even om.
Nadat je geblinddoekt bent (of je even hebt omgedraaid) vraag je aan een toeschouwer om de kaartjes in de lucht te gooien.
Vraag dan hoeveel rode getallen er zichtbaar zijn. Meteen kan je ook de som van de vijf zichtbare getallen geven!
Hoe doe je dat? Vermenigvuldig het aantal rode getallen die zichtbaar zijn met 5 en tel hierbij 15 op. Dat is meteen de som van vijf zichtbare getallen
Voorbeeld. Stel dat dit de 5 getallen zijn die zichtbaar zijn op de geworpen kaartjes:
Er zijn twee rode getallen zichtbaar. Jij berekent daarom 2 x 5 + 15 = 25 en dat is precies gelijk aan de som 1 + 7 + 3 + 4 + 10.
De abstracte kunst van Nederlandse kunstschilder Piet Mondriaan (1872 - 1944) blijkt niet alleen wiskundigen te fascineren. Op een subtiele manier speelt hij immers met eenvoudige geometrische vormen (rechthoeken en vierkanten) en de primaire kleuren rood, blauw en geel in combinatie met wit, zwart en grijs. Blijkbaar paste hij ook onbewust 'de gulden snede' toe in zijn werk zoals blijkt uit de onderstaande studie.
Het labyrint op de vloer in de kathedraal van Chartres dateert van rond 1200 en het is een van de best bewaarde labyrinten in gotische kathedralen.
Wiskundige bekeken gaat het hier om een erg symmetrische vorm. De weg slingert zich door de vier kwadranten. De pelgrims legden de weg af doorheen het labyrint als een vorm van boetedoening.
Dit labyrint staat model voor het podium van Cirque du Soleil in de verbluffende show CORTEO die ik gisteren (vrijdag 22 juni 2012) met vrouwlief Ingrid kon gaan bekijken in Antwerpen.
Geniet je even mee van de trailer waarin het podiumlabyrint duidelijk in beeld komt ? Zoals je zult opmerken spelen 'cirkels' een belangrijke rol in de show.
Vorig jaar dook in de Vlaamse Wiskunde Olympiade een vraag op over het aantal wegen in een eenvoudige doolhof. Los jij ze correct op?
Electrabel heeft al heel wat problemen opgelost. Vinden ze nu ook een oplossing voor het volgende klassiek vraagstukje?
Drie huizen A, B en C moeten aangesloten worden op het gasnet (G), de waterleiding (W) en het elektriciteitsnet van Electrabel (E). Kan je vanuit G, W en E telkens drie leidingen leggen naar elk van de huizen A, B en C zonder dat die leidingen elkaar kruisen?
Dat is meteen een mooie toepassing van de grafentheorie!
OPMERKING
Er is wel een oplossing voor dit probleem als de eigenaar van huis A
toelaat
dat één van de leidingen vanuit huis C onder zijn huis door loopt.
Elke wiskundeleraar zal wel zijn eigen TOP 30 van wiskundige formules hebben.
Ongetwijfeld staat de formule van Euler bij de favorieten van veel collega's:
Hierbij is e = 2,71818 ... de basis van de natuurlijke logaritmen i = de imaginaire eenheid met i² = -1 π = 3,14159... het bekendste irrationaal getal 1 = het neutraal element voor de vermenigvuldiging 0 = het neutraal element voor de optelling.
Het bewijs steunt op de reeksontwikkelingen van Maclaurin voor ex, cos x en sin x.
Hieruit blijkt dat eiα = cos + i sin α. Vervang tenslotte in deze formule α door π en je vindt meteen de formule van Euler.
In bijlage vind je mijn persoonlijke TOP 30 van wiskundige formules.
Ken jij ze allemaal? Of heb je een andere persoonlijke favoriete formule?
.
.
