Dag Eline, Nele, Alexandra, Jantien, Martijn en Phebe. Dag Elise, Emma, Mathias, Nils, Gilles en Julie. Dag Saar, Amber, Victor, Lize, Rustam en Dries. Dag Liselotte, Natacha, Suzanne, Nha Tuc, Fien en Louis.
Om het het probleemoplossend denken op een goede manier aan te leren en te stimuleren biedt het computerprogramma GeoGebra heel wat mogelijkheden. Uiteraard kan men niet van iedere leerling evenveel creativiteit verwachten en is kan niet iedereen eenzelfde hoog niveau van deskundigheid bereiken op het vlak van denk- en redeneervaardigheid. Het onderstaande schema geeft een duidelijk beeld van de verschillende niveaus die kunnen bereikt worden.
Het is een uitdaging voor elke leraar om op zo een manier les te geven dat elke leerling voldoende succesbeleving kent, maar ook voldoende uitdagingen krijgt op een aangepast niveau.
Digitale didactiek heeft niet alleen een serieuze impact op de manier van les geven maar impliceert ook dat de leerling (en de leraar) 'aangepaste' kennis, vaardigheden en attitudes verwerft. Daarom ontwikkelde Andrew
Churches een nieuwe, digitale versie van de bovenstaande taxonomie die rekening houdt met de
mogelijkheden en vereisten van de nieuwe informatie- en
communicatietechnologieën . Voor elk van de kennis- en vaardigheidsniveaus
(onthouden > begrijpen > toepassen > analyseren > evalueren > creëren) gaat hij na welk soort (digitale) activiteiten eraan te pas komen (zie bijlage).
Op school kan men proberen een ICT-leerlijn met GeoGebra op te bouwen over de leerjaren heen. In bijlage vind je een document dat hiervoor inspiratie kan bieden. Vanaf de tweede graad kan men systematisch bouwen aan het onderzoekend leren wat kan resulteren in leren onderzoeken (mathematiseren, onderzoekscompetenties).
Een tweede bijlage bevat een aantal problemen die men via de OVUR-methode samen met de leerlingen kan aanpakken.
In het
Sint-Pieterscollege/de Sint-Jozefshandelsschool in Blankenberge
en in Onze-Lieve-Vrouw Presentatie in Sint-Niklaas
kiest men vanaf volgend schooljaar resoluut voor het gebruik van tablets in de
lessen.
Het invoeren van de tablets heeft uiteraard heel wat praktische voordelen (lichtere boekentassen, geen aankoop van
een grafisch rekentoestel of woordenboeken of een atlas voor aardrijkskunde
...).
We mogen verwachten dat een tablet binnenkort voor iedereen betaalbaar
wordt
en dat uitgeverijen inspanningen zullen doen om hun leermiddelen aan te passen
aan deze nieuwe technologie,
zodat er steeds met up-to-date-handboeken kan worden gewerkt.
Bovendien sluit deze technologie duidelijk aan bij de leefwereld van de
jongeren,
die ondertussen gewend zijn aan het gebruik van Apps via hun smartphone.
En
ongetwijfeld zal het gebruik ervan erg motiverend zal werken.
De scholen staan meteen weer voor heel wat nieuwe uitdagingen:
het uitbouwen van een netwerk waarop een grote groep leerlingen tegelijk op het
internet kan surfen,
aanpassing van het evaluatiesysteem (een deel van het examen met en een deel
zonder tablet).
En wat te doen bij beschadiging of diefstal van toestellen?
Tegelijk krijgt de leraar nog meer de rol van coach in het leerproces en zullen
differentiatie en remediëring meer aan de orde zijn.
Digitale didactiek wordt alvast de komende jaren hét aandachtspunt in het
leerproces.
In bijlage vind je de persmap van beide hoger vernoemde scholen
waarmee ze hun project voor volgend schooljaar hebben aangekondigd.
Op www.demare.be/ipad vind je meer
informatie vanuit de school van Blankenberge.
Op 16 augustus 2009 liep Usain Bolt in Berlijn een nieuw wereldrecord op de 100 m. Hij legde die afstand af in 9,58 seconden wat neerkomt op een gemiddelde snelheid van 37,578 km/h.
John Barrow van de Cambridge University bestudeerde de videobeelden van deze recordloop en op basis hiervan maakte hij een wiskundige studie waaruit blijkt dat Bolt zijn record kan scherper tot 9,45 seconden.
Hij ziet hiervoor drie elementen.
1. De reactietijd: die kan Usain terugbrengen van 0,146 s naar 0,13 s. Usain blijkt dus eerder een trage starter te zijn. 2. Een gunstige rugwind: in Berlijn waaide een rugwind van 0,9 meter per seonde en de maximale toegelaten rugwind bedraagt 2 meter per seconde. 3. Lopen op grote hoogte: daar sneuvelen immers vaak heel wat records (zoals op de Olympische Spelen in Mexico in 1968).
Misschien zijn er nog wel enkele andere factoren die pofessor Barrow over het hoofd zag: geen seks de avond voor een sportprestatie en niet opzij kijken tijdens de laatste meters van de spurt ...
We zien alvast uit naar de prestaties van Usain Bolt op de komende Olympische Spelen in Londen!
Over magische vierkanten valt er heel wat te vertellen. Op mijn blog lees je hier meer over.
Verbazingwekkend is echter de unieke magische zeshoek waarin de getallen van 1 tot en met 19 voorkomen. In deze magische figuur is de som van de getallen in alle richtingen (door de pijltjes aangegeven) gelijk aan 38.
Waarom 38? Reden: 1 + 2 + 3 + ... + 19 = 190 en vertikaal bekenen zijn er 5 kolommen binnen deze zeshoek waarin je telkens dezelfde som moet bekomen: 190/5 = 38.
De Katholieke Universiteit Leuven besliste om vanaf het komende academiejaar een ijkingstoets aan te bieden aan beginnende bachelors die van plan zijn een opleiding burgerlijk ingenieur, burgerlijk ingenieur-architect, bio-ingenieur of een opleiding wiskunde of fysica te volgen.
Via deze niet-bindende toets hopen ze de studenten een realistisch beeld op te hangen van de nodige wiskundekennis bij de aanvang van hun studies in het hoger onderwijs. Meteen engageert de universiteit zich om studenten die behoorlijk maar toch eerder zwak scoren een passend bijsturingstraject aan te bieden.
De toets wordt afgenomen in Leuven en in Kortrijk op 4 juli 2012.
Op 9 juni 1934 (precies 78 jaar geleden) dook Donald Duck voor het eerst op in de tekenfilm 'The Wise Litte Hen' van Walt Disney.
Wist je dat dit impulsief eendje ook de hoofdrol speelt in een wiskundige animatiefilm van Walt Disney uit 1959 met de titel 'Donald in Mathmagic Land'?
Hieronder kan je een fragment bekijken waarbij Donald Duck ons leert hoe Pythagoras het verband legde tussen muziek en breuken.
In de film komen diverse onderwerpen aan bod: wiskunde en architectuur (gulden snede), wiskunde en sport (o.a. biljarten), wiskunde in de natuur, het begrip onenidig ...
De film eindigt met een uitspraak van Galilei: "Mathematics is the alphabet with which God has written the universe".
Fractalen blijven tot de verbeelding spreken van veel wiskundigen.
Een fractal kan je omschrijven als een meetkundige figuur waarin eenzelfde motief zich op een steeds kleinere schaal herhaalt.
Met S duidt men de schaalfactor waarbij 1/S de factor is waarmee de figuur telkens wordt verkleind.
N is het aantal kopieën van de oorspronkelijke figuur die bij elke volgende stap aan de figuur wordt toegevoegd.
De dimensie D van een fractal is dan gedefinieerd door
SD = N
of ook via: D = log N / log S.
Voorbeeld. Bij de onderstaande Pythagorasboom is S = √2 en N = 2 zodat de dimensie D = 2.
Hieronder zie je hoe de Kochkromme ontstaat. Het wordt een kromme met een oneindige lengte maar de oppervlakte onder de kromme (in het groen aangeduid op de figuur bovenaan deze pagina) is eindig.
Bij deze kromme worden telkens 4 kopieën gemaakt van de vorige figuur en worden de lijnstukjes 3 keer korter De dimensie van de Kochkromme is bijgevolg D = log 4 log 3 ≈ 1,26.
De dimensie van de onderstaande driehoek van Sierpinski is gelijk aan D = log 3/log 2 ≈ 1,585.
Voor het tapijt van Sierpinski vertrekt men van een vierkant (= fase 0) en bekomt men als dimensie D = log 8/log 3 ≈ 1,8928.
De spons van Menger is een driedimensionale fractal waarbij het vertrekpunt (fase 0) een kubus is en de dimensie is D = log 20/ log 3 ≈ 2,7268.
Dit onderwerp is uiteraard geschikt voor een wiskundige eindwerkje in het secundair onderwijs (zie bijlage).
Bij het maken van redeneringen kan je botsen op een zogenaamde vicieuze cirkel. Hieronder staat een leuk voorbeeld dat we vonden op de website www.mobielvlaanderen.be : :
Ook in de wiskunde duiken dergelijke redeneringen geregeld op. Hieronder zie je bijvoorbeeld een bewijs voor de fameuze stelling van Pythagoras via de grondformule van de goniometrie, die zelf weer een gevolg is van de stelling van Pythagoras.
Deze redenering was de aanleiding om samen met college Koen De Naeghel te zoeken naar een alternatief en nieuw bewijs voor de stelling van Pythagoras door gebruik te maken van lineaire algebra.
Het bewijs vind je in bijlage in een Nederlandstalige en een Engelstalige versie.
Is dit een geldig bewijs of zit hierin een vicieuze cirkel verscholen? Wie zegt het ons???
Waarom heeft de regenboog de vorm van een cirkelboog?
De regeldruppels weerkaatsen via een bepaalde breking het licht van de zon.
Opdat een regendruppeltje bijdraagt tot het feit dat u een regenboog ziet, moet de hoek tussen de zon en uzelf, gezien vanuit de druppel 42° zijn.
De druppels die daaraan voldoen liggen dan blijkbaar vanuit uw standpunt gezien in een cirkel aan de hemel. Prof.dr. Paul Hellings, hoogleraar toegepaste wiskunde (groep T - Leuven) geeft u een meer gedetailleerde uitleg op http://www.ikhebeenvraag.be/vraag/26205 .
In feite ziet iedereen die naar een regenboog kijkt een 'persoonlijke regenboog'.
De regenboog lijkt zich daarom ook samen met de waarnemer te verplaatsen zodat ze dus 'een bewegende optische illusie' is.
Vanuit een vliegtuig of vanop een hoog torengebouw kunt u een regenboog als een volledige cirkel zien, zoals blijkt uit het onderstaande youtube-filmpje.
In de bijlage kunt u genieten van een powerpointpresentatie met o.a. enkele bewegende optische illusies.
De schijngestalten van de maan en een sinusfunctie
De schijngestalten van de maan zijn welbekend: nieuwe maan, eerste kwartier, volle maan, laatste kwartier en terug nieuwe maan.
Een cyclus duurt 28 dagen. Bij eerste en laatste kwartier is 25 % van de maan zichtbaar verlicht, bij volle maan is dat 100 % en bij nieuwe maan 0 %. Als we de cyclus laten starten bij nieuwe maan (dag 0), dan kan een wiskundige zich de vraag stellen hoeveel procent van de maan zichtbaar verlicht is na 3,5 dagen, na 10,5 dagen, na 17,5 dagen en na 24,5 dagen (zie onderstaande figuur).
Voor de oplossing maken we gebruik van een algemene sinusfunctie met als voorschrift
f(x) = 50 sin [(π/14)( x 7)] + 50.
Jouw wiskundeleraar kan je ongetwijfeld uitleggen hoe ik aan dit voorschrift kom!
Dan levert f(3,5) = f(24,5) de waarde 14,64 % op en f(10,5) = f(17,5) geeft 85,36 %.
Controleer zelf de waarden van f(0), f(7), f(14), f(21) en f(28).
Na hoeveel dagen is een kwart van de maan zichtbaar verlicht?
Voor de liefhebbers van integralen: bereken eens de bepaalde integraal van de bovenstaande functie tussen de grenzen 0 en 28. Verklaar het gevonden resultaat.
Een oudere vent uit Ploegsteert had nooit graag wiskunde gestudeerd. Hij kende toch in elk geval een mooie eigenschap van ieder getal. Was hij dan toch getallen-teerd?
STELLING. Elk natuurlijk getal heeft een speciale eigenschap.
Bewijs uit het ongerijmde. Stel dat V de verzameling is van de natuurlijke getallen zijn die geen speciale eigenschap hebben. Als deze verzameling niet leeg is, dan zit hierin een kleinste natuurlijk getal. Dit getal heeft dan de speciale eigenschap dat het het kleinste natuurlijk getal is zonder speciale eigenschap. Dit is meteen een contradictie met het feit dat het in de verzameling V zit. Q.E.D.
************** Je kunt je bijvoorbeeld afvragen welke bijzondere eigenschap het getal 176 heeft. Het antwoord zit in een magische vierkant, waarin we de digitale cijfertypes gebuiken.
In het magisch vierkant 1 is de som van de vier getallen in elke horizontale rij, in elke verticale kolom en op de twee diagonalen gelijk aan 176. Dit getal noemt men dan de magische constante van het vierkant. Wanneer je nu dit vierkant op zijn kop zet (ondersteboven houdt) bekom je het magisch vierkant 4. Merkwaardig genoeg is de magische constante opnieuw 176. Door op het vierkant 1 een andere meetkundige transformatie uit te voeren (weet je ook welke?) bekom je de magische vierkanten 3 en 4. Wat is hier de magische constante?
En als je toch nog twijfels hebt over het feit dat elk natuurlijk getal een speciale eigenschap heeft, kijk dan eens op een van de volgende websites:
Slechts twee Belgische wiskundigen hebben in België een standbeeld gekregen.
In Brugge staat het standbeeld van Simon Stevin. In Brussel staat Adolphe Quetelet. Aan hem hebben we o.a. het woord 'wiskunde' te Hij is voornamelijk bekend voor danken. Hij verving immers 'mathematica' door het invoeren van de Body Mass Index, die het Nederlandse woord 'wiskonst'. ook wel de Quetelet-index wordt genoemd.
Slechts twee Belgische wiskundigen wonnen ooit de prestigieuze Fields-medaille. Omdat er geen Nobelprijs is voor wiskunde, kan men deze onderscheiding als de tegenhanger ervan beschouwen. Kwatongen beweren dat er geen Nobelprijs voor wiskunde is omdat de vrouw van Alfred Nobel een affaire had met de Zweedse wiskundige Gosta Mittag-Leffler. Dat het hier om een roddel gaat valt niet te betwijfelen: Alfred Nobel is immers nooit getrouwd geweest... De Fields-medaille is genoemd naar een Canadese wiskundige en ze wordt om de vier jaar uitgereikt aan wiskundigen die niet ouder zijn dan 40 jaar en een bijzondere verdienste hebben op het vlak van de wiskunde.
Pierre Deligne (geboren in Brussel in 1944) ontving de Fields-medaille in 1978.
Jean Bourgain (geboren in Oostende in 1954) ontving de Fields-medaille in 1994.
Beide professoren werkten aan de bijzonder hoog aangeschreven School of Mathematics van het Institute for Advanced Study in Princeton.
In de eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade editie 2011-2012 dook een verrassend vraagstukje op waarbij er op het eerste gezicht te weinig gegevens zijn om het te kunnen oplossen:
In de etalage van een juwelier ligt een collectie ringen die alle uit zowel goud als zilver bestaan, telkens in een andere samenstelling. De ringen zijn even zwaar. De mooiste ring, volgens mijn persoonlijke smaak, bevat één vijfde van de totale massa aan goud in de collectie en één zevende van de totale massa aan zilver. Hoeveel ringen liggen er in de etalage?
Het duikt op in de bijbel: "Simon Petrus ging weer aan boord en sleepte het net aan land. Het was vol grote vissen, honderdrieënvijftig stuks, en ofschoon het er zo veel waren, scheurde het net niet." (Joh. 21, 11)
153 = 13 + 53 + 33 En op basis van deze eigenschap kan je een leuk cijferspelletje spelen. Neem er even een rekenmachientje bij!
Start met een willekeurig getal met 3 verschillende cijfers. Maak vervolgens de som van de derdemachten van deze drie cijfers. Herhaal dit procédé met de cijfers van de bekomen som. Ga zo door ... tot de som niet meer verandert.
Voorbeeld. We starten met 231. 23 + 33 + 13 = 36 33 + 63 = 243 23 + 43 + 33 = 99 93 + 93 = 1458 13 + 43 + 53 + 83 = 702 73 + 03 + 23 = 351 33 + 53 + 13 = 153 en dan verandert het resultaat niet meer.
Zoekertje: kan je een startgetal van 3 cijfers kiezen zodat dit procédé eindigt op 370, 371 of 407? Deze getallen hebben immers dezelfde merkwaardige eigenschap: 370 = 33 + 73 + 03 371 = 33 + 73 + 13 407 = 43 + 03 + 73.
Men noemt ze narcistische getallen. Dit zijn getallen die gelijk zijn aan de som van hun cijfers tot de macht het aantal cijfers van het getal.
Hier heb je een narcistisch getal met 4 cijfers: 1634
1634 = 14 + 64 + 34 + 44
PS. Volgens de Griekse mythologie was Narcissus een beeldschone jongeling die verliefd was op zijn eigen spiegelbeeld. Meteen had hij ook te maken met een onmogelijke liefde.
In een perfecte wereld ... zou het bewijs van heel wat wiskundige stellingen veel eenvoudiger moeten zijn.
Daarom stellen we hier een nieuw bewijs voor van de stelling van Pythagoras.
De vlieger van Pythagoras
Op de linkse figuur staat een vierhoek afgebeeld die men een vlieger noemt. Deze vlieger bestaat uit twee rechthoekige driehoeken. Wanneer je deze twee driehoeken op een andere manier tegen elkaar plaatst, bekom je de rechtse figuur, die een gelijkbenige driehoek is. Uiteraard hebben beide figuren dezelfde oppervlakte.
Een gekende formule voor de oppervlakte van een driehoek is de volgende: "De oppervlakte van een willekeurige driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek".
Door deze formule op beide figuren toe te passen, bekom je een vrij eenvoudig bewijs van de stelling van Pythagoras.
Eigenschap van de fibonaccigetallen zonder woorden
De rij van de Fibonaccigetallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... blijft heel veel wiskundigen fascineren.
Geregeld duiken nieuwe verbanden op tussen deze getallen. Als we deze rij getallen voorstellen met F0, F1, F2, ... , Fn , ... dan kan men in het algemeen bewijzen dat
Zo is bijvoorbeeld voor n = 3: 1² + 1² + 2² + 3² = 3 . 5 en voor n = 4: 1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 . 8
Hieronder zien we een bewijs voor n = 7. Zie jij dit ook? En zie je in dat je aan de hand van zo een tekening eigenlijk ook een algemeen 'bewijs zonder woorden' kunt geven?
Gaspard Monge (1746 - 1818) was een eminente Franse wiskundige die de beschrijvende meetkunde op punt stelde.
Aan hem danken we één van de mooiste stellingen uit de vlakke meetkunde, waarin drie cirkels voorkomen. Ze worden daarom ook wel de cirkels van Monge genoemd.
Teken in een vlak drie cirkels met een verschillende straal en teken ook de uitwendige raaklijnen aan elk paar van deze cirkels. Noem A, B en C de snijpunten van deze paren raaklijnen. Dan liggen A, B en C op één rechte lijn.
In bijlage vind je twee bewijzen voor deze stelling.
Het eerste bewijs is een eenvoudig '3D-bewijs' waarbij de cirkels bekeken worden als de doorsnede van een vlak met drie bollen.
Het tweede bewijs maakt gebruik van de stelling van Thales.
Op zijn website http://fabpedigree.com/james/mathmen.htm onderneemt James Dow Allen een poging om een top-100 op te stellen van de grootste wiskundigen aller tijden.
Hieronder staat zijn top-12. Ik kan me best vinden in zijn keuze. Ken jij (vanuit de wiskundelessen) de verdiensten van elk van hen?
Klik op een naam voor meer Engelstalige informatie over die wiskundige.
Merk op: Alexander Grothendieck (geboren in Berlijn in 1928) is de enige uit
deze top-12 die momenteel nog in leven is.
Hij wordt algemeen aanzien als één van de grootste wiskundigen van de 20ste
eeuw.
Vierkanten blijken heel wat wiskundigen (en niet-wiskundigen) te fascineren.
Ze duiken bijvoorbeeld op in optische illusies. Op de bovenstaande figuur staan geen kromme lijnen. Neem even een latje erbij en overtuig jezelf van het feit dat de horizontale en verticale lijnen in de figuur recht zijn.
Ook kunstenaars zoals Piet Mondriaan en Victor Vasarely gebruikten vaak vierkanten in hun abstracte composities.
Hieronder staat het vierkant afgebeeld dat mij als wiskundige het meest fascineert.
1
De rechthoekszijden van de rode driehoek ABO hebben als lengte 2 en 4. Het vierkant ABCD wordt door de rechten OA en OB in vier stukken verdeeld met als oppervlakte 1, 4, 4 en 11.
De punten E en F liggen in het midden van een zijde van het vierkant.
De lijnstukken [AF] en [BE] worden door het punt O in stukken verdeeld met als lengte 1, 2, 3 en 4.
En waar zit 5? Dit is uiteraard de lengte van [AF] en van [BE] maar ook de gemiddelde oppervlakte van de vier gekleurde delen van het vierkant!
:
In de bijlage kunt u genieten van een powerpointpresentatie met o.a. enkele bewegende optische illusies.
De oplossing vind je in de bijlage.
Lees de bijlage!
1
