PRIEMGETALLEN ZIJN RARE BEESTJES
In de verzameling van de natuurlijke getallen kruipen priemgetallen schijnbaar ongeordend als vreemde beestjes in het rond.
Dat priemgetallen fundamentele bouwstenen zijn van de getallenleer wisten de oude Grieken al. In de wiskundeles leerden we dat elk natuurlijk getal (groter dan 1) ofwel zelf een priemgetal is, ofwel op een unieke manier te schrijven is als een product van priemgetallen.
Hieronder vermelden we vijf merkwaardige vondsten over priemgetallen.
RARITEIT 1. Als p een priemgetal is, dan is het product 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (p-1) vermeerderd met 1 deelbaar door p. Zo is bijvoorbeeld voor p = 5 het getal 1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 25 deelbaar door 5 en voor p = 7 is 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 721 duidelijk deelbaar door 7. Dit is de stelling van Wilson, genoemd naar de student John Wilson die ze in 1770 vermeldde. De stelling werd pas in 1773 door Lagrange bewezen.
RARITEIT 2.
In de natuur zijn priemgetallen populair. Sommige cicadensoorten (snavelinsecten) komen maar eens in de zeventien jaar de grond uit.
Andere cicadensoorten komen elke dertien jaar de grond uit.
Sommige bamboesoorten sterven juist elke zeven jaar af.
Dat 17, 13 en 7 priemgetallen zijn, is geen toeval.
Stel dat een cicadensoort een cyclus van twaalf jaar heeft. Deze beestjes hebben dan te vrezen van hordes natuurlijke vijanden, nl. de dieren die elk jaar uitzwermen,
maar ook dieren met cycli van 2, 3, 4, 6 of 12 jaar kunnen hun cycli zo afstemmen dat zij die cicaden met een cyclus van twaalf jaar zullen tegenkomen. Bron: www.kennislink.nl .
RARITEIT 3. Euclides had al bewezen dat er geen grootste priemgetal bestaat, m.a.w. dat er oneindig veel priemgetallen bestaan. Rond 1800 vermoedden Legendre en Gauss dat het aantal priemgetallen kleiner dan n, wat we aanduiden met π(n), ongeveer gelijk is aan n gedeeld door ln n (hierbij is ln de functie die de natuurlijke logaritmen aanduidt). In formulevorm betekent dit :
Deze stelling werd in 1896 onafhankelijk door de Fransman Jacques Hadamard en de Belgische wiskundige Charles-Jean de la Vallée Poussin bewezen.
RARITEIT 4. Twee opeenvolgende oneven getallen die beide priemgetallen zijn, noemt met een priemtweeling. Voorbeelden: 5 en 7, 17 en 19, 101 en 103. Men vermoedt dat er oneindig veel priemtweelingen bestaan, maar dat heeft men nog niet kunnen bewijzen. Priemtweelingen inspireerden Paolo Giordano voor het schrijven van zijn bestseller De eenzaamheid van de priemgetallen.
RARITEIT 5. Het Ishangobeentje is wellicht 20 000 jaar oud en is hiermee de oudste gekende vondst die verband houdt met wiskunde. Het beentje is ongeveer 10 cm lang werd in 1960 gevonden door de Belg Jean de Heinzelin nabij Ishango in Belgisch Congo en wordt bewaard in het Museum voor Natuurwetenschappen (Elsene). Het beentje bevat een aantal inkervingen waaruit een zekere regelmaat naar voor komt. Men weet niet waartoe het beentje diende. Was het een maankalender of een rekentabel?
In elk geval is het verwonderlijk dat een aantal van die inkervingen priemgetallen voorstellen (11 + 13 + 17 + 19 = 60). Toeval?
21-02-2012 om 00:00
geschreven door Luc Gheysens
|