Inhoud blog
  • 30 april 2019
  • 29 april 2019
  • 28 april 2019
  • 27 april 2019
  • 26 april 2019
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    05-03-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Mercatorjaar



    Gerard de Cremer werd op 5 maart 1512 in Rupelmonde geboren.
    Dat is exact 500 jaar geleden.
    Daarom werd 2012 tot Mercatorjaar uitgeroepen.

    Deze Vlaamse cartograaf verwierf immers wereldfaam als Gerardus Mercator
    door de naar hem genoemde Mercatorprojectie.

    Die projectie beeldt de aardbol af op een omhullende cilinder
    op een manier waarbij de hoeken bewaard blijven.
    Parallelcirkels en meridianen worden respectievelijk
    als horizontale en verticale rechte lijnen weergegeven.

    De Mercatorprojectie was van enorm belang voor de scheepvaart.
    Als men immers een vaste kompasrichting ging uitvaren
    waarbij de route een constante hoek maakte met de parallelcirkels
    dan bleek die route op de Mercatorkaart ook een rechte lijn te zijn.
    Een dergelijke lijn noemt men een loxodroom,
    een naam die komt van het Griekse loxos (= schuin) en dromos (= loop).

    Mercator stond ooit afgebeeld op onze bankbiljetten van 1 000 Belgische frank.

    Het onderstaande filmpje van de Nederlanse schooltv
    illustreert welke kaartprojecties er mogelijk zijn.



    Bron: http://www.schooltv.nl/beeldbank/clippopup/20080701_wiskundevdprof07

    05-03-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    04-03-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Geheugentraining voor de decimalen van pi

    Op 4 maart 2012 ging Tom Waes in zijn TV-programma TOMTESTEROM op bezoek bij
    Dominic O'Brien, de Engelse mnemonist die 8 keer de titel World Memory Champion behaalde. 
    O'Brien toonde aan dat iedereen er in 2 minuten in slaagt om de eerste 20 cijfers na te komma van het getal pi van buiten te leren.

    Dominic O'Brien

    Het volstaat aan de volgorde van de cijfers een verhaaltje te koppelen
    en dat visueel voor te stellen om het zo gemakkelijk weer te memoriseren.

    π = 3,   1415926535  8979323846 …

    Het verhaal en de visuele voorstelling ervan:

    Gisteren kwam ik om 14:15 uur aan bij mijn vriend.
    Hij woont op nr. 92.
    Hij is 65 jaar en samen met zijn dochter van 35 jaar wachtte hij me op.
    Zijn ouders van 89 jaar en 79 jaar waren op bezoek.

    Het huis is een bungalow met 3 + 2 + 3 kamers.
    Zijn tuinverlichting had 8 lampen waarvan er slechts 4 brandden.
    Zo zag ik meteen dat er 6 kippen rondscharrelden in de tuin.

                      


    digits of pi photo: Pi bettercolorpi.gif


    04-03-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Elk cijfer is bijzonder

    De Codex Vigilanus is het oudst gekende manuscript waarin onze Hindoe-Arabische cijfers opduiken. 
    De tekst is in het Latijn geschreven en dateert van het jaar 976.
    Merk op hoe vooral het cijfer 5 afwijkt van de huidige schrijfwijze.

    File:Codex Vigilanus Primeros Numeros Arabigos.jpg


    Over de herkomst van onze cijfers vertelt Marjolein Kool in haar boek
    'die conste vanden getale'
    dat je kan lezen of downloaden op
    http://www.dbnl.org/tekst/kool006cons01_01/index.php

    titelpagina

    Ons woord 'cijfer' is trouwens afgeleid van het Arabische woord 'sifr'
    dat 'nul' of 'leegte' betekent.

    We nodigen je hierbij uit om even een rekentoestelletje bij de hand te nemen
    en de volgende 'sifr-oefeningen' te maken.
    Zie je telkens wat er merkwaardig is aan de uitkomsten?


    3 x 3 + 2 = ...
    33 x 33 + 22 = ...
    333 x 333 + 222 = ...
    (en zet eens een ander cijfer in de plaats van 2
    bv. 3 x 3 + 7, 33 x 33 + 77, 333 x 333 + 777 ...)

    4 x 4 – 9 = ...
    4 x 44 – 99 = ...
    4 x 444 – 999 = ...

    5 x 5 – 20 + 2 = ...
    5 x 55 – 200 + 2 = ...
    5 x 555 – 2000 + 2 = ...

    6 x 6 + 8 = ...
    66 x 66 + 88 = ...
    666 x 666 + 888 = ...

    7 x 7 + 5 – 50 = ...
    7 x 77 + 5 – 500 = ...
    7 x 777 + 5 – 5000 = ...

    8 x 8 + 7 – 70 = ...
    8 x 88 + 7 – 700 = ...
    8 x 888 + 7 – 7000 = ...

    9 x 9 + 18 = ...
    9 x 99 + 18 = ...
    9 x 999 + 18 = ...


     

    04-03-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het verdwenen vierkantje

    Er zijn heel wat leuke puzzels gekend
    waarbij men een figuur in stukjes snijdt,
    daarna de stukjes herschikt en dan vaststelt
    dat er blijkbaar om een mysterieuze reden een stukje oppervlakte bijgekomen is.

    Ongewijfeld heb je ooit al de onderstaande tekening gezien.
    Maar kan je ook wiskundig verklaren waarom er in de onderste van de twee driehoeken
    blijkbaar een wit vierkantje bijgekomen is?

    Missing square puzzle.svg


    Hieronder staat een applet met een gelijkaardige paradox.
    Bron: Wikipedia.



    Onlangs ontdekte ik op youtube een filmpje
    waarin een leuke variante wordt gepresenteerd.

    Geniet ervan!

    04-03-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    29-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Schrikkeljarigen

    Vandaag (29 februari 2012) las ik in de krant het volgende opmerkelijk artikeltje:

    Vandaag is het weer eens een schrikkeldag en meteen de verjaardag van 6 821 Belgen. Eén kans op de 1 461 heb je om geboren te worden op 29 februari, die fameuze schrikkeldag. 

     In de familie Bohets uit Blaasveld, bij Mechelen, zijn ze er met z'n vijven in geslaagd: mama Sonja (29 februari 1968) én haar vierling Shelly, Kimberly, Stephanie en Eric (29 februari 1992).

    Niet dat ze maar om de vier jaar een feestje bouwen. ‘Wij vieren onze verjaardag altijd heel uitbundig, meestal op 28 februari. En dat voelt niet minder echt.'


    Kimberley, Shelly, Stephanie en Eric (van links naar rechts) en mama Sonja

    Wist je dat ...
    - de kans 1 op 1 461 is om geboren te zijn op 29 februari?  Dit kan je verklaren door het feit dat er in 4 jaar maar één keer een 29ste februari voorkomt: (3 x 365) + 366 = 1 461;

    - men besloten heeft aan elk jaar dat deelbaar is door 4 een dag toe te voegen omdat een jaar eigenlijk 365,2421875 dagen telt.
    Uitzondering zijn de eeuwjaren: die zijn enkel een schrikkeljaar als ze deelbaar zijn door 400.
    Zo was 1900 geen schrikkeljaar, maar 2000 wel;
     

    - 'schrikkelen' eigenlijk 'overslaan' betekent.
    In de Juliaanse kalender was er in een schrikkeljaar ooit een nummerloze dag tussen 23 februari en 24 februari.
    Op die manier sloeg men een dagje over;

    - in de Romeinse kalender februari de laatste maand van het jaar was.
    Dat is de reden dat op het einde van februari en dus eigenlijk op het einde van het jaar (om de vier jaar) een schrikkeldag werd toegevoegd.
    De benamingen september (septem = zeven), oktober (octo = acht), november (novem = negen) en december (decem = tien)
    verwijzen trouwens nog naar het feit dat januari en februari in de Romeinse kalender de 11de en 12de maand waren..


    29-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    28-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Nul op tien met Prof. Van Bendegem


    Gisterenavond konden we genieten van de uiteenzetting
    van Prof. Jean Paul Van Bendegem
    bij de opening van de wiskundetentoonstelling
    Nul op tien?
    in het Brugse Immaculata Instituut.

    Deze tentoonstelling stelt de stelling van Pythagoras in negen verschillende kunstvormen voor. 
    Ook wie tot nog toe niet veel wiskunde op zijn boterham smeerde kan deze wiskunst zeker smaken.

    Eén van de vertoonde filmpjes stelde op een aanschouwelijke manier
    een bewijs zonder woorden voor.

    Kan je dit bewijs van de stelling van Pythagoras 'aflezen' op de onderstaande figuur?

    image

    28-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    24-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Netwerken met de kortste lengte

    In de tweede ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade dook in 1996 de volgende vraag op:

    © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

    Wie een beetje vertrouwd is met grafen en netwerken, weet dat het juiste antwoord op deze vraag D is.
    Men moet er blijkbaar voor zorgen dat er in de tussenpunten hoeken van 120° ontstaan.
    In de bijlage lossen we het probleem op de klassieke manier op met behulp van afgeleiden.

    Voor drie punten wordt het antwoord gevonden door het zogenaamde punt van Torricelli te bepalen.
    Hierover vind je elders op mijn blog meer informatie (typ als zoekopdracht 'Torricelli' in).

    Voor n punten werd het probleem op een wiskundige manier aangepakt door de Zwitser Jakob Steiner (1796 - 1863).
    Men heeft echter ontdekt dat men dat even goed (en soms sneller) kan door gebruik te maken van zeepvliezen.
    De tweede bijlage bij deze rubriek is van de hand van collega Stijn Symens en verduidelijkt hoe men dat doet.

    Het oplossen van dergelijke problemen heeft uiteraard ook zijn praktisch nut.
    Hoe kan men bijvoorbeeld op de meest efficiënte manier 29 Amerikaanse steden (via kabels) met elkaar verbinden?
    Op de onderstaande kaart staat een dergelijk kabelnetwerk afgebeeld. Dit werd met heel krachtige computers bepaald.
    Bron: The Shortest-Network Problem, M. W. Bern & R. L. Graham, Scientific American, januari 1989. 

    cartoon network animated GIF

    Bijlagen:
    EEN NETWERK MET DE KORTSTE LENGTE.pdf (164.9 KB)   
    Extremumproblemen met zeepvliezen (Stijn Symens).pdf (6.5 MB)   

    24-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    23-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het algoritme van Euclides



    Deze morgen kon ik bij een geurige kop koffie van de bovenstaande cartoon genieten in Het Nieuwsblad.

    Meteen dacht ik terug aan onze wiskundeleraar die ons met heel veel enthousiasme in het eerste jaar van de middelbare school
    het algoritme van Euclides aanleerde om de grootste gemene deler van twee (natuurlijke) getallen te bepalen.
    Over wat we hiermee in de rest van ons leven zouden kunnen aanvangen, stelden we ons geen vragen.
    Aan het plezier van de 'zuivere wiskunde'  hadden we al genoeg!

    In Stelling VII,2 in de Elementen van Euclides vinden we dit algoritme terug.
    Het is erop gebaseerd dat de grootste gemene deler (ggd) van twee natuurlijke getallen
    ook de ggd is van het kleinste getal en de rest die men bekomt bij deling van het grootste door het kleinste.
    Zo is de ggd van 525 en 400 ook de ggd van 400 en 125 (want 525 : 400 geeft als quotiënt 1 en als rest 125).
    We herhalen dit algoritme: de ggd van 400 en 125 is gelijk aan de ggd van 125 en 25 (want 400 : 125 geeft als quotiënt 3 en rest 25).
    We vinden tenslotte dat de ggd van 125 en 25 gelijk is aan 25.
    Besluit: de ggd van 525 en 400 is 25.

    Schematisch kan men dit algoritme als volgt voorstellen:

    Nu blijkt dit algoritme een belangrijke rol te spelen in het zogenaamde RSA-algoritme in de cryptografie,
    dat o.a. wordt gebruikt om elektronisch geldverkeer op een veilige manier te laten verlopen.
    Het is ook nuttig om zogenaamde Diofantische vergelijkingen op te lossen.
    Dit zijn vergelijkingen met gehele coëfficiënten, waarbij men zoekt naar gehele oplossingen. 
    Via het algoritme van Euclides vindt men bv. als oplossing van 525x + 400y = 25 dat x = -3 en y = 4.
    In het algemeen kan men via dit algoritme aantonen dat er gehele oplossingen x en y bestaan
    voor elke vergelijking van de vorm ax + by = c, waarbij c de ggd is van a en b.

    De term Diofantische vergelijkingen verwijst dan weer naar Diophantos van Alexandrië, die leefde rond 250 n. Chr.
    en vooral bekend is door zijn boek Arithmetica over vergelijkingen.
    We weten weinig over deze Griekse wiskundige. Metrodorus schreef in de 6de eeuw een raadselboek bijeen
    waarin we het volgende beroemde vraagstukje vinden over de leeftijd van Diophantos:

    " Diophantos' jeugd duurde een zesde van zijn leven.
    Dan begon zijn baard gedurende een twaalfde van zijn leven te groeien.
    Hij huwde een zevende van zijn leven later.
    Zijn zoon werd vijf jaar daarna geboren en leefde de helft van Diophantos' leeftijd.
    Diophantos stierf vier jaar na zijn zoon. Hoe oud was Diophantos als hij overleed?"


    Kan jij dit raadsel oplossen?

    Oplossing in bijlage.

    Bijlagen:
    Diophantos.pdf (112.5 KB)   

    23-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    21-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Priemgetallen zijn rare beestjes

    PRIEMGETALLEN ZIJN RARE BEESTJES



    In de verzameling van de natuurlijke getallen kruipen priemgetallen schijnbaar ongeordend als vreemde beestjes in het rond.

    Dat priemgetallen fundamentele bouwstenen zijn van de getallenleer wisten de oude Grieken al.
    In de wiskundeles leerden we dat elk natuurlijk getal (groter dan 1)
    ofwel zelf een priemgetal is, ofwel op een unieke manier te schrijven is als een product van priemgetallen.

    Hieronder vermelden we vijf merkwaardige vondsten over priemgetallen.

    RARITEIT 1.
    Als p een priemgetal is, dan is het product 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (p-1) vermeerderd met 1 deelbaar door p. 
    Zo is bijvoorbeeld voor p = 5 het getal 1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 25 deelbaar door 5 en voor p = 7 is 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 721 duidelijk deelbaar door 7.
    Dit is de stelling van Wilson, genoemd naar de student John Wilson die ze in 1770 vermeldde.
    De stelling werd pas in 1773 door Lagrange bewezen.

    RARITEIT 2.

     In de natuur zijn priemgetallen populair.
    Sommige cicadensoorten (‘snavelinsecten’) komen maar eens in de zeventien jaar de grond uit.

    Andere cicadensoorten komen elke dertien jaar de grond uit.

    Sommige bamboesoorten sterven juist elke zeven jaar af.



    Dat 17, 13 en 7  priemgetallen zijn, is geen toeval.

    Stel dat een cicadensoort een cyclus van twaalf jaar heeft.
    Deze beestjes hebben dan te vrezen van hordes natuurlijke vijanden, nl. de dieren die elk jaar uitzwermen,

    maar ook dieren met cycli van 2, 3, 4, 6 of 12 jaar kunnen hun cycli zo afstemmen
    dat zij die cicaden met een cyclus van twaalf jaar zullen tegenkomen. 
    Bron: www.kennislink.nl .


    RARITEIT 3.
    Euclides had al bewezen dat er geen grootste priemgetal bestaat, m.a.w. dat er oneindig veel priemgetallen bestaan.
    Rond 1800 vermoedden Legendre en Gauss dat het aantal priemgetallen kleiner dan n, wat we aanduiden met π(n),
    ongeveer gelijk is aan n gedeeld door ln n (hierbij is ln de functie die de natuurlijke logaritmen aanduidt).
    In formulevorm betekent dit :



    Deze stelling werd in 1896 onafhankelijk door de Fransman Jacques Hadamard en de Belgische wiskundige Charles-Jean de la Vallée Poussin bewezen.

    RARITEIT 4.
    Twee opeenvolgende oneven getallen die beide priemgetallen zijn, noemt met een priemtweeling.
    Voorbeelden: 5 en 7, 17 en 19, 101 en 103.
    Men vermoedt dat er oneindig veel priemtweelingen bestaan, maar dat heeft men nog niet kunnen bewijzen.
    Priemtweelingen inspireerden Paolo Giordano voor het schrijven van zijn bestseller De eenzaamheid van de priemgetallen.



    RARITEIT 5.
    Het Ishangobeentje is wellicht 20 000 jaar oud en is hiermee de oudste gekende vondst die verband houdt met wiskunde.
    Het beentje is ongeveer 10 cm lang werd in 1960 gevonden door de Belg Jean de Heinzelin nabij Ishango in Belgisch Congo
    en wordt bewaard in het Museum voor Natuurwetenschappen (Elsene).
    Het beentje bevat een aantal inkervingen waaruit een zekere regelmaat naar voor komt.
    Men weet niet waartoe het beentje diende. Was het een maankalender of een rekentabel?

    In elk geval is het verwonderlijk dat een aantal van die inkervingen priemgetallen voorstellen (11 + 13 + 17 + 19 = 60).
    Toeval?


     


     midges animation


    21-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    20-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.1 miljard


    1 miljard = 1 000 000 000
    Heb je er wel een idee van hoeveel één miljard is?

    Stel dat er per seconde één euro zou bijkomen in de Belgische staatskas.
    Hoe lang zal het dan duren vooraleer er 1 miljard zou bijgekomen zijn?

    Voor een wiskundige is dit een mooie uitdaging voor schattend rekenen.
    In een uur zijn er 3 600 seconden en in een dag zijn er 24 uren.
    3 600 x 24 is iets minder dan 3 600 x 25 = (3 600 : 4) x 100 = 90 000.
    In een jaar zijn er 365 of 366 dagen. We nemen afgeronde getallen:  300 x 100 000 = 30 000 000.
    1 miljard gedeeld door 30 miljoen geeft iets meer dan 30.

    Via exact rekenwerk (neem even een rekentoestelletje erbij) vind je
    dat het meer dan 31 jaar zou duren
    vooraleer Elio Di Ripo het gezochte bedrag
    van één miljard in de staatskas zal aantreffen ...

    20-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    19-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunderaadsels voor wielertoeristen


       

    Op zondag 26 februari 2012 is het weer zo ver: Kuurne-Brussel-Kuurne,
    de wielerwedstrijd waar wij als Kuurnenaars elk jaar een beetje naar uit zien.
    Dit jaar wordt het wel iets speciaals:
    voor de allereerste keer is er ook een editie voor wielertoeristen op zaterdag 25 februari.

    Tijd om ook eens een paar wiskundige wielerraadsels te lanceren!

    RAADSEL 1.
    De wielertoeristen rijden de eerste helft van de koers met een gemiddelde snelheid van 30 km/u.
    Bij de terugtocht naar Kuurne hebben ze de wind op kop en ze halen nog maar een gemiddelde snelheid van 15 km/u.
    Hoeveel bedraagt dan hun gemiddelde snelheid over het gehele parcours?

    RAADSEL 2.
    Op 1 kilometer van de aankomst haalde de Australiër Christopher Sutton vorig jaar de tweede in.
    In de hoeveelste positie reed Sutton dan?

    RAADSEL 3.
    Een groepje wielertoeristen uit Erps-Kwerps rijdt de eerste helft van de koers met een gemiddelde snelheid van 15 km/u.
    Ze hadden echter gewed dat ze over het gehele traject een gemiddelde snelheid van 20 km/u zouden halen.
    Tegen welke gemiddelde snelheid zullen ze dan de tweede helft moeten fietsen?

       

    ANTWOORDEN

    RAADSEL 1. 20 km/u
    RAADSEL 2. In tweede positie.
    RAADSEL 3. 30 km/u.

    Waarom is het gemiddelde van 15 km/u en 30 km/u hier blijkbaar 20 km/u?
    Stel dat het traject heen en het traject terug allebei 30 km lang zijn.
    Als men het eerste deel rijdt tegen 30 km/u, dan doet men daar 1 uur over.
    Als men het tweede deel (dat even lang is) rijdt tegen 15 km/u, dan doet men er 2 uur over.
    Dan heeft men in 3 uur tijd in totaal 60 km afgelegd,
    d.w.z. met een gemiddelde snelheid van 20 km/u.

       


    19-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    17-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Orde en chaos

    ORDE EN CHAOS

    Chaos is het woord dat we bedacht hebben voor een orde die we niet begrijpen.
    Henry Miller, Amerikaans schrijver

    De beste manier om chaos te veroorzaken is alles te regelen.
    Karel Boullart, Belgische filosoof

    Elk denken is een poging om een weinig orde te brengen in de chaos die ons aanhoudend bedreigt.
    Leopold Flam, Belgische filosoof

    Wie de chaos beschrijft, stelt orde op zaken.
    Bergman, Nederlands schrijver

    Om de soms (schijnbaar) chaotische wereld om ons heen te beschrijven,
    maken wiskundigen onder andere gebruik van tabellen, grafieken, diagrammen, formules en functies.

    Hieronder staat een getijdentabel met de uren waarop er de komende dagen hoog- en laagwaterstand is Oostende.


    Getijden

    laagwater

    hoogwater

    laagwater

    hoogwater

    vrijdag 17 februari 2012

    2:59

    9:02

    15:41

         21:51

    zaterdag 18 februari 2012

    4:33

    10:31

    17:11

         23:10

    zondag 19 februari 2012

    5:46

    11:39

    18:11

         23:59


    Wiskundig bekeken kan men deze waarden uitzetten op de grafiek van een sinusfunctie.

    De vorm van de sinusfunctie hangt dan uiteraard af van de hoogste en laagste waarde van de waterstand en van de periode (ongeveer twee keer hoog- en laagwaterstand per dag).


    De sinusfunctie.png

    Zo hebben grafieken en tabellen meteen ook vaak een voorspellende waarde.

    Maar ja, hoever liggen orde en chaos soms uit elkaar?
    Denk maar aan de extreme situatie waarin plots een tsunami kan opduiken ...

    Het onderstaande filmpje van de Harvard University vormt een passende illustratie bij deze rubriek.


    17-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    16-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Punt van Torricelli

    Evangelista Torricelli was een Italiaans wis- en natuurkundige, die leefde van 1608 - 1647.
    Hij was assistent van Galilei en volgde hem op als mathematicus van de groothertog van Toscane.
    Het meest bekend is Torricelli omwille van de uitvinding van de barometer voor het meten van de luchtdruk.

    In de wiskunde is een bijzonder punt in een willekeurige driehoek naar hem genoemd.
    Het punt van Torricelli is het punt, waarvoor de som van de afstanden
    tot de drie hoekpunten van de gegeven driehoek minimaal is.

    De Franse wiskundige Fermat had dit probleem aan hem voorgelegd.
    Torricelli wist dit probleem op een ingenieuze manier op te lossen.
    Hij ontdekte meteen ook dat dit punt enkele merkwaardige eigenschappen had.

    Hieronder zie je hoe het punt T van Torricelli wordt geconstrueerd.

    Torricelli had zelf al ontdekt dat men vanuit T elk paar hoekpunten van driehoek ABC dan onder een hoek van 120° ziet.

    Constructie van het punt van Fermat/Torricelli

    Construeer drie gelijkzijdige driehoeken naar buiten toe op de drie zijden van de gegeven driehoek ABC.

    Trek een lijn door elk nieuw hoekpunt van de gelijkzijdige driehoeken en het overstaande hoekpunt van driehoek ABC.

    Het snijpunt van de drie lijnen is het punt van Torricelli.


    Je leest alles over het punt van Torricelli in het bijgevoegde document
    dat in het tijdschrift Pythagoras is verschenen.


    Bijlagen:
    Punt van Torricelli.pdf (268.8 KB)   

    16-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    15-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Natuurlijke logaritmen
    NATUURLIJKE LOGARITMEN

    In de wiskunde vinden we nog maar weinig sporen terug van het feit dat de wetenschappelijke taal in West-Europa oorspronkelijk het Latijn was.
    Eén van die sporen is het voorschrift van de functie voor de natuurlijke logaritmen : y = ln x, waarbij ln staat voor logarithmus naturalis.

    Oorspronkelijk sprak men ook van hyperbolische logaritmen omdat men met behulp van dit soort logaritmen
    de oppervlakte kan berekenen onder de hyperbool met als functievoorschrift f(x) = 1/x. 
    Dit zie je afgebeeld op de onderstaande figuur: ln a is het maatgetal van de oppervlakte
    van het gebied tussen de grafiek van de functie met als voorschrift f(x) = 1/x en de x-as tussen x = 1 en x = a (met a > 1).


    De functie met als voorschrift y = ln x heeft  een mooie wiskundige eigenschap.

    Neem een willekeurig punt A op de grafiek van de functie met als voorschrift f(x) = ln x.
    Teken in dat punt de raaklijn aan de grafiek.
    Bepaal het snijpunt B van die raaklijn met de verticale y-as.
    Bepaal ook de loodrechte projectie C van A op de y-as.
    Dan is de afstand van B tot C constant (onafhankelijk van het gekozen punt A op de grafiek) en gelijk aan1.


    Kan je dat bewijzen?

    confused animated GIF

    15-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    14-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskundige logica op Sint-Valentijn


      WISKUNDIGE LOGICA OP SINT-VALENTIJN



    OPTELSOMMEN

      Slimme man + slimme vrouw = romance

    Slimme man + domme vrouw = affaire

    Domme man + slimme vrouw = huwelijk

    Domme man + domme vrouw = ongewenste zwangerschap


    WISKUNDIGE LEVENSDUUR

    Getrouwde mannen leven langer dan vrijgezellen, maar vrijgezellen leven liever.




    WISKUNDIGE WIJZIGING

    Een vrouw trouwt met het idee, dat de man zal veranderen, maar dat doet hij niet.

    Een man trouwt met de hoop, dat de vrouw niet zal veranderen, maar dat doet ze wel.




    LOGICA
     
    Een vrouw zal altijd het laatste woord hebben in een discussie.

    Alles wat de man daarna nog zegt, is per definitie het begin van een nieuwe discussie.




    14-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Op de kalender kan je rekenen


           Op de kalender kan je rekenen (zelfs op Valentijnsdag) ...

    CALENDAR GIRL FEBRUARY top 4

      

    Ziehier drie probleempjes die op een of andere manier te maken hebben met de kalender.
    Kan jij ze oplossen?

    Vraag 1.
    Julius vierde in 1998 zijn achtste verjaardag. Zijn moeder beweerde dat hij in 2006 geboren is.
    Hoe kan dat?

    Vraag 2.
    Waar komt april voor maart?

    Vraag 3.
    Neem een kalenderblad en vraag iemand (die goed kan rekenen) om hierop een willekeurige rechthoek
    met 9 getallen in te selecteren, zoals bijvoorbeeld op de onderstaande figuur.
    Het is de bedoeling nu om ter vlugst de som van de 9 getallen in die rechthoek te bepalen.
    Ga daarvoor zelf als volgt te werk.
    Tel 8 op bij het kleinste getal en vermenigvuldig die som met 9.
    Hier wordt dit dus: (6 + 8) x 9 = 14 x 9 = 126.
    Weet je ook waarom dit klopt?




    Bijlagen:
    Kalendervraagjes.pdf (115.2 KB)   
    Rekenen met een kalender.pdf (218.2 KB)   

    14-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het mooiste meisje van de klas



    HET MOOISTE MEISJE VAN DE KLAS


    Het mooiste meisje van de klas

    Verschikt onwennig bij haar schouder

    Een bandje van haar bustehouder;

    Ze draagt dat rare ding maar pas.

    De meester, achter brillenglas

    Ziet toe, ontroerd, en denkt: Wat zou d’r

    Gebeuren als zij tien jaar ouder

    En ik eens tien jaar jonger was?

    Ach, hij vergeet hoe hij verdorde

    En hoe haar leven net begint.

    In stilte wordt door hem bemind

    De schone vrouw, die zij zal worden.

    Dan praat ze wat, het lieve kind

    En streng roept hij haar tot de orde.

    Driek van Wissen, docent Nederlands

    14-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    13-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Verrassende driehoeken

    Soms botst men in de wiskunde op een verrassend eenvoudige eigenschap of stelling.
    In zijn boekje "Mijn Mooiste Mathe ..." laat Leon van den Broek ons meegenieten met enkele van die pareltjes.

    Dit is één ervan:

    Om een gelijkzijdige driehoek ABC tekent men een rechthoek ADEF zoals op de figuur. 
    Op die manier onstaan de rechthoekige driehoeken CFA, ADB en BEC.
    Dan is opp. Δ CFA + opp. Δ ADB = opp. Δ BEC.




    Voor wie vertrouwd is met goniometrie
    is het bewijs hiervan (zie bijlage)
    een leuke uitdaging.

    In zijn boek geeft Leon een mooi 'bewijs zonder woorden'.

    Bijlagen:
    Verrassende driehoeken.pdf (183.2 KB)   

    13-02-2012 om 19:51 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Ei-raadsel


    EI-RAADSEL


    Een boer met een kleine boerderij heeft een paar kippen.

    Vroeg in de ochtend pakt een mandje en verzamelt hij alle eieren die zijn kippen hebben gelegd
    en gaat naar de markt om deze te verkopen.

    Het is een gekke dag op de markt; de eerste klant komt bij de boer en vraagt:

    "Ik wil de helft van alle eieren die je hebt en een half ei."
    Zo gevraagd… zo verkocht. De klant is immers koning.

    Na een paar minuten komt de tweede klant en vraagt vreemd genoeg hetzelfde: 
    de helft van alle eieren die hij heeft en een half ei.
    Opnieuw is dit geen probleem.

    Nou gekker kan het niet worden, maar ook de derde en laatste klant vraagt hetzelfde als zijn twee voorgangers.
    De boer heeft alle eieren verkocht en heeft geen ei kapot hoeven te maken.

    Hoe kan dat en met hoeveel eieren ging de boer naar de markt?

    Bron: www.rdzl.nl


    egg cracks and chick peeks out animated gif


    Antwoord in bijlage!




    Bijlagen:
    EI-raadsel opgelost.pdf (62.7 KB)   

    13-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.100 en 99



    Een gekend rekenprobleempje (dat je niet door op je vingers te tellen kunt oplossen) is het volgende:

    "Schrijf de cijfers van 1 tot en met 9 in stijgende volgorde achter elkaar
    en schrijf op een aantal plaatsen een plusteken of een minteken tussen deze cijfers.
    Reken de aldus bekomen som uit.
    Kan je ervoor zorgen dat die som precies 100 is?"

    Wij vonden de volgende oplossingen:
    123 –  45 –  67 + 89 = 100
    123 + 4 –  5 + 67 –  89 = 100
    123 + 45 –  67 + 8 –  9 = 100
    1 + 2 + 34 – 5 + 67 –  8 + 9 = 100
    123 –  4 –  5 –  6 – 7 + 8 –  9 = 100.

    Misschien vind jij nog wel een andere oplossing?

    Bij de vragen van de voorbije eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade zat een gelijkaardig vraagje.
    Kan jij het oplossen?

    "Schrijf de cijfers van 1 tot en met 9 in stijgende volgorde achter elkaar
    en schrijf op een aantal plaatsen een plusteken tussen deze cijfers. 
    Reken vervolgens de aldus bekomen som uit. Bijvoorbeeld: 12 + 34 + 5 + 6 + 789 = 846.
    Op hoeveel manieren kunnen de plustekens geplaatst worden zodanig dat de uitkomst 99 is?

    (A) 0     (B)  1     (C)  2     (D)  3     (E) 4

    © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

    Het juiste antwoord vind je in de bijlage!

    Bijlagen:
    VWO-vraag 2012.pdf (47.5 KB)   

    13-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 29/04-05/05 2019
  • 22/04-28/04 2019
  • 15/04-21/04 2019
  • 08/04-14/04 2019
  • 01/04-07/04 2019
  • 25/03-31/03 2019
  • 18/03-24/03 2019
  • 11/03-17/03 2019
  • 04/03-10/03 2019
  • 25/02-03/03 2019
  • 18/02-24/02 2019
  • 11/02-17/02 2019
  • 04/02-10/02 2019
  • 28/01-03/02 2019
  • 21/01-27/01 2019
  • 14/01-20/01 2019
  • 07/01-13/01 2019
  • 31/12-06/01 2019
  • 24/12-30/12 2018
  • 17/12-23/12 2018
  • 10/12-16/12 2018
  • 03/12-09/12 2018
  • 26/11-02/12 2018
  • 19/11-25/11 2018
  • 12/11-18/11 2018
  • 05/11-11/11 2018
  • 29/10-04/11 2018
  • 22/10-28/10 2018
  • 15/10-21/10 2018
  • 08/10-14/10 2018
  • 01/10-07/10 2018
  • 24/09-30/09 2018
  • 17/09-23/09 2018
  • 10/09-16/09 2018
  • 03/09-09/09 2018
  • 27/08-02/09 2018
  • 20/08-26/08 2018
  • 13/08-19/08 2018
  • 06/08-12/08 2018
  • 30/07-05/08 2018
  • 23/07-29/07 2018
  • 16/07-22/07 2018
  • 09/07-15/07 2018
  • 02/07-08/07 2018
  • 25/06-01/07 2018
  • 18/06-24/06 2018
  • 11/06-17/06 2018
  • 04/06-10/06 2018
  • 28/05-03/06 2018
  • 21/05-27/05 2018
  • 14/05-20/05 2018
  • 07/05-13/05 2018
  • 30/04-06/05 2018
  • 23/04-29/04 2018
  • 16/04-22/04 2018
  • 09/04-15/04 2018
  • 02/04-08/04 2018
  • 26/03-01/04 2018
  • 19/03-25/03 2018
  • 12/03-18/03 2018
  • 05/03-11/03 2018
  • 26/02-04/03 2018
  • 19/02-25/02 2018
  • 12/02-18/02 2018
  • 05/02-11/02 2018
  • 29/01-04/02 2018
  • 22/01-28/01 2018
  • 15/01-21/01 2018
  • 08/01-14/01 2018
  • 01/01-07/01 2018
  • 25/12-31/12 2017
  • 18/12-24/12 2017
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Meer blogs